高中数学经典函数知识点总结(重要)

1、高中数学函数知识点总结1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性。女口：集合 Ax|y lg x，B y | y Ig x，C (x, y) | y Ig x，A、B、C中元素各表示什么？A表示函数y=lgx的定义域，B表示的是值域，而 C表示的却是函数上的点的轨迹2进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。八，2女口 ：集合 A x|x 2x 30 ， B x|ax 1假设B A，那么实数a的值构成的集合为 “ 1(答：1，0，-)3显然，这里很容易解出 A=-

2、1,3.而B最多只有一个元素。故 B只能是-1或者3。根据条件， 可以得到a=-1,a=1/3.但是， 这里千万小心，还有一个 B为空集的情况，也就是 a=0,不要把 它搞忘记了。3. 注意以下性质：(1) 集合a1，a2，an的所有子集的个数是 2n;要知道它的来历：假设B为A的子集，那么对于元素a1来说，有2种选择在或者不在。同样，对于元素a2, a3,an,都有2种选择，所以，总共有 2n种选择，即集合A有2n个子 集。当然，我们也要注意到，这2n种情况之中，包含了这 n个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为2n 1，非空真子集个数为 2n 2(2)假设 AB ABA，A B B;

3、3德摩根定律:Cu A BCuACuB，Cu A BCuACuB有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂4. 你会用补集思想解决问题吗？排除法、间接法ax 5女口：关于x的不等式 -0的解集为M,假设3 M且5 M，求实数ax a的取值范围。( 3 M ,.a 3 5032 aa 5 5T 5M，052aa 1, -9, 25 )3注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过;如告诉你函数上单调递增，就应该马上知道函数对m，n实际上就是方程 的2个根“或，“且和“非气.fx=ax 2+bx+ca>0在，1上单调递减，在1,称轴是x=1.或者，我说在上，也应该马上可以想到5、熟

4、悉命题的几种形式、可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有假设p q为真，当且仅当p、q均为真假设p q为真，当且仅当p、q至少有一个为真假设p为真，当且仅当p为假命题的四种形式及其相互关系是什么？互为逆否关系的命题是等价命题。原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。6、熟悉充要条件的性质高考经常考A x|x满足条件p， B x | x满足条件q，假设;那么p是q的充分非必要条件AB ；假设;那么p是q的必要非充分条件AB；假设;那么p是q的充要条件AB ；假设;那么p是q的既非充分又非必要条件 ；7. 对映射的概念了解吗？映射 f: AtB，是否注意到 A中元素的任意性和 B中与

5、之对应元 素的唯一性，哪几种对应能构成映射？一对一，多对一，允许B中有元素无原象。注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，那么从A到B的映射个数有nm个。女口：假设A 1,2,3,4，B a,b,c；问：A到B的映射有个，B到A的映射有个；A到B的函数有 个，假设A 1,2,3，那么A到B的一一映射有 个。函数y x的图象与直线 x a交点的个数为 个。8. 函数的三要素是什么？如何比拟两个函数是否相同?(两点必须同时具备)定义域、对应法那么、值域相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致9. 求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数y J%4 x2的定义域是lg X 3(

6、答：0, 22，33，4)函数定义域求法：分式中的分母不为零；偶次方根下的数或式大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。1, 1，值域是0, n ,函数y= arctgx的定义域是R，值域是.，函数 y= arcctgx正切函数y tanxxR,且xk-,k2余切函数y cotxxR,且xk,k反三角函数的定义域-函数y= arcsinx的定义域是1, 1，值域是2 2 ，函数y= arccosx的定义域是的定义域是 R，值域是(0, n ).当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范 围，再取他们的交集，就得到函

7、数的定义域。10. 如何求复合函数的定义域？如：函数f (x)的定义域是 a, b , b a 0,那么函数F(x) f (x) f ( x)的定义域是。(答： a, a )复合函数定义域的求法：yf (x)的定义域为 m, n，求y f g(x)的定义域，可由m g(x) n解出x的范围，即为y f g(x)的定义域。1例 假设函数yf (x)的定义域为，2，贝U f (log2 x)的定义域为 。211分析：由函数y f (x)的定义域为 一2可知：一 x 2 ；所以y f(log2x)中有22log 2 x 2。1解：依题意知：log2 x 22解之，得2 x 4f log2 x的定义域

8、为x | ,2 x 411、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比拟简单的函数，其值域可通过观察得到。1例求函数y=l的值域x2、配方法配方法是求二次函数值域最根本的方法之一。例、求函数y=x2-2x+5，x -1，2的值域。3、判别式法对二次函数或者分式函数分子或分母中有一个是二次都可通用，但这类题型有时也可以 用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂a. yb. y吕型：直接用不等式性质bxc. y2xmx nyx, 21+x2xmx n例:,先化简，再用均值不等式d. y2型通常用判别式x mx nx2 mx n 型x n法一：用判别式法二

9、：用换元法，把分母替换掉x 1例：yx 1x+12 x+1+11x+1121x 14、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例求函数y= 3x_4值域。5x 65、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的 单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例求函数xey=-xe2sin 11 sin1的值域。1 cosxee 12si n11 sin|sin |1yil21,2s in11 cos2sin ycos2siny(1cos:. 24 y sin(又由sin( x)x)x)解不等式，求出y,就是要求的答

10、案6、函数单调性法x 5例求函数y=2log x 12wXW 10的值域通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容x 57、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用。例求函数y=x+ . x 1的值域。8数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目假设运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。. . 2 2例：点Px.y丨在圆x +y =1 上,丄的取值范围x 2(2)y-2 x的取值范围解: 令丄 k,那么y

11、k(x 2),是一条过(-2,0)的直线.x 2R(d为圆心到直线的距离,R为半径)令y-2x b,即y 2x b 0,也是直线d d R,r 2 2-R例求函数y= (x 2) + (x 8)的值域。解：原函数可化简得：y= I x-2 I + I x+8 I上式可以看成数轴上点P x到定点A 2，B-8丨间的距离之和。由上图可知：当点 P在线段AB上时，y= I x-2 I + I x+8 I = I AB I =10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y= I x-2 I + I x+8 I > I AB I =10故所求函数的值域为：10, +8例求函数y= x26x 13

12、 + x2 4x 5 的值域I222解：原函数可变形为：y=(X 3)(0 2) + (x 2)(0 1)上式可看成x轴上的点P X,由图可知当点P为线段与x轴的交点时，y m in=I AB I=(3 2)2 (22 1) = 43 ,故所求函数的值域为43 , +8。注：求两距离之和时,9、不等式法要将函数利用根本不等式 a+b> 2 Jab , a+b+c>3 3Jabc a, b, c r，求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到 拆项、添项和两边平方等技巧。例：X22(X 0)X=x(2 X5)113(X X+3-2x

13、 )31(3&ab3时，注意使13者的乘积变成常数应用公式abc _b_ 3时，应注意使 3者之和变成常数3倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例求函数y=2的值域X 3yXyXx 2x 320时，X2Jx 2x 220时，y=0多种方法综合运用总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰 当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和根本不等式法，然后才考虑用其他各种特 殊方法。12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？切记：做题，特别是做大题时，一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得

14、协商，不要犯我当年的错误，与到手的总分值失之交臂如：f . X 1exX，求f(X)令 tX 1,那么t0二 X t21t2 1 f(t) e2t1X21f(x) e2 X1 x 013. 反函数存在的条件是什么? 一一对应函数求反函数的步骤掌握了吗？反解x;互换x、y;注明定义域女口：求函数f(x)1 x x2xx0的反函数0x 1x 1(答: f 1(x)xx 0在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题：(2004.全国理)函数y . x 11(x1)的反函数是 B A . y=x2 2x+2(x<1)B . y=x2- 2x+

15、2(x> 1)C. y=x2 2x (x<1)D. y=x2 2x (x> 1)当然，心情好的同学，可以自己慢慢的计算，我想，一番心血之后，如果不出现计算问题的话，答案还是可以做出来的。可惜，这个不合我胃口，因为我一向懒散惯了，不习惯计算。下面请看一下我的思路：原函数定义域为 X=1，那反函数值域也为 y>=1.排除选项 C,D.现在看值域。原函数至于 为y>=1,那么反函数定义域为 x>=1,答案为B.我题目已经做完了，好似没有动笔除非你拿来写*书。思路能不能明白呢？14. 反函数的性质有哪些？反函数性质：1、反函数的定义域是原函数的值域可扩展为反函数中的

16、 x对应原函数中的y2、反函数的值域是原函数的定义域可扩展为反函数中的y对应原函数中的X3、反函数的图像和原函数关于直线=x对称难怪点x,y和点y, x关于直线y=x对称 互为反函数的图象关于直线y= x对称； 保存了原来函数的单调性、奇函数性； 设y f(x)的定义域为 A，值域为C, a A , b C,那么f(a) = b f 1(b) a1 1 1f f(a) f (b) a, f f (b) f(a) b由反函数的性质，可以快速的解出很多比拟麻烦的题目，如一一4104.上海春季咼考函数f(x) Iog3( 2)，那么方程f (x) 4的解x .x15.如何用定义证明函数的单调性？取值

17、、作差、判正负判断函数单调性的方法有三种：(1) 定义法：根据定义，设任意得x1,x 2，找出f(x 1),f(x 2)之间的大小关系可以变形为求 "XJ f(X2)的正负号或者-LOP与1的关系x1 x2f (x2)参照图象： 假设函数f(x)的图象关于点(a , b)对称，函数f(x)在关于点(a , 0)的对称区间具有相同的单调性；特例：奇函数 假设函数f(x)的图象关于直线x = a对称，贝恼数f(x)在关于点(a , 0)的对称区间里 具有相反的单调性。特例：偶函数利用单调函数的性质： 函数f(x)与f(x) + c(c是常数)是同向变化的 函数f(x)与cf(x)(c 是

18、常数)，当c>0时，它们是同向变化的；当 cV0时，它们是 反向变化的。 如果函数f1(x) , f2(x)同向变化，贝y函数f1(x) + f2(x)和它们同向变化；函数相加 如果正值函数f1(x) , f2(x)同向变化，贝V函数 f1(x)f2(x) 和它们同向变化；如果负 值函数f1(2)与f2(x)同向变化，贝恼数f1(x)f2(x) 和它们反向变化；函数相乘 函数f(x)与丄在f(x)的同号区间里反向变化。f(X) 假设函数 U =0 (x) , x a,卩与函数 y = F(u) , u 0 ( a ) , 0 (卩)或 u 0 (卩), 0 ( a )同向变化，那么在a,

19、卩上复合函数y= F 0 (x)是递增的；假设函数 U=0 (x),x a,卩与函数 y = F(u) , u 0 ( a ) , 0 (卩)或 u 0 (卩),0 ( a )反向变它们f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x) 都是正 数增增增增增增减减/减增 减/减减增减减如：求y化，那么在a,卩上复合函数y = F 0 (x)是递减的。同增异减假设函数y = f(x)是严格单调的，那么其反函数 x =厂1©)也是严格单调的，而且, 的增减性相同。2log1 x 2x2(设ux2 2x,由 u2且 log 1 u , u x 11,如图:2当 x (0, 1时

20、，u ，又 log 1 u ，二 y当 x 1, 2)时，u ，又 log 2 u ，二 y216.如何利用导数判断函数的单调性？在区间a, b内，假设总有f'(x)0那么f(x)为增函数。(在个别点上导数等于零，不影响函数的单调性)，反之也对，假设f'(x) 0呢？女口：a 0，函数f(x) x3 ax在 1，上是单调增函数，那么a的最大值是A. 0(令 f'(x) 3x2 a 3 xx .i-03 也3由f(x)在1，)上为增函数，那么.a 1,即a 3V3 a的最大值为317.函数f(x)具有奇偶性的必要非充分条件是什么？f(x)定义域关于原点对称假设壮x) f(

21、x)总成立 f(x)为奇函数函数图象关于原点对称假设f( x) f(x)总成立f(x)为偶函数函数图象关于y轴对称注意如下结论：1在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数； 个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。(2) 假设f(x)是奇函数且定义域中有原点，那么f(0)0。女口：假设f(x) a一22为奇函数，那么实数 a 2x 1 f(x)为奇函数，x R，又 0 R,： f(0)0r 0ra 2 a 2即 00，a 1)20 1求f(x)在1, 1上的解析式。(令 x1, 0，贝y x0, 1 , f(又f(x)为奇函数，f(x)2 x42x又f(0)0,二 f(x)2

22、x4x 12x4x 11,0)4x又如：f(x)为定义在(1,1)上的奇函数，当x (0, 1)时，f(x)判断函数奇偶性的方法一、定义域法一个函数是奇偶函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇偶函数的必要条件 假设函数的定义域不关于原点对称，那么函数为非奇非偶函数二、奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算f( x)，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性这种方法可以做如下变形 f(x)+f(-x) =0奇函数f(x)-f(-x)=0偶函数1 偶函数f(-x)1 奇函数f(-x)三、复合函数奇偶性f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x)奇奇奇奇偶奇偶

23、偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶熟悉周期函数的定义吗?(假设存在实数T ( T 0),在定义域内总有f x T f(x)，那么f(x)为周期函数，T是一个周期。女口：假设 f x af(x)，贝U(答：f(x)是周期函数，T2a为f(x)的一个周期)我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你 f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反响过来，这f (x) f (x 2t)f (x) f ( x t) 0时说这个函数周期 2t.推导：f(x t) f(x 2t)0同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关

24、于直线对称，对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比方,f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线 x=a对称。又如：假设f (x)图象有两条对称轴即f (a x) f (af(x)f(x)令t 2af(2af(2bx,贝眨bx),x)x)f(b x)f (2ax a, x b f(b x)x) f (2b x)x2a)t 2b 2a, f (t) f (t 2b 2a)即f (x) f (x 2b所以，函数f(x)以2|b a|为周期(因不知道a, b的大小关系, 为保守起见，我加了一个绝对值如:19. 你掌握常用的图象变换了吗？f(x)与f (

25、x)的图象关于y轴 对称 联想点x,y，(-x,y)f (x)与 f (x)的图象关于X轴 对称 联想点x,y，(x,-y)f(x)与 f( x)的图象关于 原点 对称 联想点x,y，(-x,-y)f (x)与f 1 (x)的图象关于 直线y x对称 联想点x,y，(y,x)f (x)与f(2a x)的图象关于 直线x a对称 联想点x,y，(2a-x,y)f (x)与 f(2a x)的图象关于 点(a, 0)对称 联想点x,y，(2a-x,0)将y if(x)图象左移a(a 0)个单位右移a(a 0)个单位y f(xy f(xa)a)上移b(b0)个单位y f(x a) b下移b(b0)个单

26、位y f(x a) b这是书上的方法，虽然我从来不用，但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=O,x+a=O,画出点的坐标。看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。注意如下“翻折变换：f (x)| f (x) |把X轴下方的图像翻到上面f (x) f (| x|)把y轴右方的图像翻到上面女口： f(x) log 2 x 1作出ylog2 x 1及y log2 x 1的图象y=log 2x19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?x(1)一次函数：y kx b k 0(k为斜率，

27、b为直线与y轴的交点)k(2)反比例函数：y k 0推广为y bk 0是中心O'(a, b)的双曲线。顶点坐标为b 4ac b22a' 4a,对称轴xb2ab 4ac b2(3)二次函数 y ax2 bx c a 0 a2ab图象为抛物线4a开口方向：a 0，向上，函数ymin4a2a 0,向下，ymax根的关系：xb 22a4ac b24ax2X2Ib,xia二次函数的几种表达形式：f (x) ax2 bx c(一般式)f(x) a(x m)2 n(顶点式，(m，n)为顶点f (x) a(x x1)(x x2)(x1, x2是方程的 2个根)f (x) a(x x1)(x x

28、2) h(函数经过点(x1, h)(x2, h)应用：“三个二次二次函数、二次方程、二次不等式的关系一一二次方程ax2 bx c 0，0时，两根x1> x2为二次函数y ax2 bx c的图象与x轴的两个交点，也是二次不等式ax2bx c0( 0)解集的端点值。求闭区间m, n上的最值。区间在对称轴左边(n区间在对称轴右边(m区间在对称轴2边(n屯)2aP)2abf maxf max2am)f (m), f min f(n)f (n), f min f (m)max( f (m), f (n)4ac b2 rf min, f max4a也可以比拟m,n和对称轴的关系，距离越远，值越大(只

29、讨论a 0的情况) 求区间定动，对称轴动定的最值问题。 一元二次方程根的分布问题。如：二次方程ax2一根大于k, 一根小于k0在区间m, n内有2根在区间m, n内有1根0bmn2af (m)0f( n) 0f (m) f (n)0(4)指数函数：y ax a 0, a 1(5)对数函数 y loga x a 0，a 1由图象记性质!k6“对勾函数 y x k 0x利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?启 意等号成立的条件均值不等式一定要注20. 你在根本运算上常出现错误吗？1指数运算：a01 (a 0), a p - (a 0)apmma7n am (a 0), a 7 (

30、a 0)n ma对数运算：loga(M N)loga M loga N M 0, N 0.MlogaNlog a M log a N , log a v' MlogaM n对数恒等式：aloga x对数换底公式：loga blogc b logcalogabnmlogablog a x1logxa21. 如何解抽象函数问题？赋值法、结构变换法如：(1)R, f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f (x)为奇函数。(先令x0f(0) 0 再令 yx,)(2)xR,f(x)满足 f(xy) f(x)f (y)，证明f (x)是偶函数。(先令xt f ( t)( t) f(t t)

31、f( t)f(t) f(t) f(t) f( t)f(t)(3) 证明单调性：f(x2) f x2 x1 x2对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了1、代 y=x,2、令x=0或1来求出f(0)或f3、求奇偶性，令 y= x;求单调性：令 x+y=x 1几类常见的抽象函数1. 正比例函数型的抽象函数fx= kx k工 0 fx ± y= f x± f y2. 幕函数型的抽象函数xf (x)f x= xa f xy= f xf y; f一=yf(y)3. 指数函数型的抽象函数fx= ax fx + y= fxf y； fx-y= f (x)f(y)4. 对数函数

32、型的抽象函数xf x= logax a>0 且 1f x y= f x+ f y； f= f x一 f yy5. 三角函数型的抽象函数f x= tgxfx+ y= f(x) f(y)1 f(x)f (y)fx= cotxf x+y=f(x)f(y) 1f (x) f(y)例1函数fx对任意实数x、y均有fx+ y= fx+ f y，且当x>0时，f(x)>0, f( 1) = 2求f(x)在区间2,1上的值域.分析：先证明函数f f X在R上是增函数注意到f f X2= f f x2 X1+ X1 = f f x2 X1+ f f X1；再根据区间求其值域.例2函数f f x

33、对任意实数x、y均有f f x+ y+ 2= f f x+ f f y，且当x>0时, f(x)>2 , f(3) = 5,求不等式 f f a2 2a 2<3 的解.分析：先证明函数f f x在R上是增函数仿例1；再求出f f 1= 3;最后脱去函数符号例3函数f f x对任意实数x、y都有f xy= f f xf f y，且f f 1= 1, f f 27 =9，当 0 w xv 1 时，f f x 0, 1.(1) 判断f f x的奇偶性；(2) 判断f f x在0,+R 上的单调性，并给出证明；(3) 假设a > 0且f f a+ 1w 3 9，求a的取值范围分

34、析：f 1令y= 1 ；x1x1 , r2利用 f X1= f丄 X2= f二f X2；x2x23OW aw 2.例4设函数f X的定义域是一8,+8，满足条件：存在 Xi工X2，使得f XI 丰fX2；对任何 X 和 y，f x+ y= fxf y成立.求：(1) f0；(2) 对任意值x,判断f X值的符号.分析：1令 x= y = 0;2令 y= xm 0.例5是否存在函数fx，使以下三个条件：fx>0,x N;f a+ b= f af b，a、b N :f 2= 4同时成立？假设存在，求出f X的解析式，假设不存在，说明理由分析：先猜出fx= 2X；再用数学归纳法证明.例6设fx

35、是定义在0，+上的单调增函数，满足fx y= fx+ fy，f 3= 1,求:(1) f 1；(2) 假设fx+ fx-8w 2，求x的取值范围. 分析：1利用3 = 1 X 3；2禾9用函数的单调性和关系式.例7设函数y= f x的反函数是y= g x.如果f ab= f a+ f b，那么g a + b= g a g b是否正确，试说明理由.分析：设 fa= m，fb= n，贝U gm= a，gn= b， 进而 m+ n = fa+ f b= fab= f g mgn.例8函数f x的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件:X1、X2是定义域中的数时，有f X1- X2=f(Xjf(X2)

36、1f(X2)f(X1) f a= - 1 a>0，a是定义域中的一个数； 当 0 v xv 2a 时，f xv 0.试问：(1) f x的奇偶性如何？说明理由；(2) 在0，4a上，fx的单调性如何？说明理由.分析：1禾U用 f 一 X1- X2 = - f X1- X2，判定 f X是奇函数；(3) 先证明fX在0，2a上是增函数，再证明其在2a，4a上也是增 函数.对于抽象函数的解答题， 虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的根本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题例 9

37、函数 fxxm 0满足 fxy= f x+ f y，(1) 求证：f 1= f 1= 0;(2) 求证：f X为偶函数；1(3) 假设f乂在0,+上是增函数，解不等式fx+ fx -w 0.2分析：函数模型为：f x= loga|x| a> 0(1) 先令 x= y= 1,再令 x= y= 1;(2) 令 y= 1;(3) 由 f x为偶函数，那么 f x= f|x|.例10函数fx对一切实数x、y满足f 0工0, f x+ y= f x f y，且当 xv 0 时，fx> 1，求证：(1) 当 x> 0 时，0v fxv 1 ；(2) fX在x R上是减函数.分析：1先令x

38、= y= 0得f 0= 1，再令y= x;(3) 受指数函数单调性的启发：由 fx+ y= fxfy可得 fx y= f (x),f (y)进而由 X1 v X2,有 f (x)= f X1 X2> 1.f(X2)练习题：1. ：fx+ y= f x+ f y对任意实数x、y都成立，那么Af0= 0 Bf0= 1Cf 0= 0或1D以上都不对2. 假设对任意实数x、y总有f xy= f x+ fy，那么以下各式中错误的选项是1Af 1= 0 Bf 1= f xXCf X= fx一 fyDfxn= nfx n Ny3. 函数fx对一切实数x、y满足：f 0工0, fx+ y= fxfy,且

39、当xv 0时,f x> 1，那么当x> 0时，f x的取值范围是A 1,+dBa, 1C 0, 1D 1,+d4. 函数f X定义域关于原点对称，且对定义域内不同的X1、X2都有f X1 X2= f (X1)f (x?)，贝y f 乂为1 f(X1)f(X2)A奇函数非偶函数B偶函数非奇函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数5.不恒为零的函数 fX对任意实数X、y 满足 f x+ y+ f x y= 2f x+ fy,那么函数f X是A奇函数非偶函数B偶函数非奇函数C既是奇函数又是偶函数 参考答案：D非奇非偶函数积的求法)弧长公式和扇形面积公式吗？(1 R, S 扇1 R丄2 2 R2)(和三角形的面积公式很相似，可以比拟记忆要知道圆锥展开图面1 . A2. B3. C4. A5. B23.你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为a,半径为 R的aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa