第4章 线性控制系统的数学模型1

1、4.1 线性连续系统的数学模型4.2 线性离散时间系统的数学模型4.3 系统模型的相互转换4.4 方框图描述系统的化简4.5 线性系统的模型降阶4.6 本章要点小结模型 一般控制理论教学和研究中经常将控制系统分为连续系统和离散系统：常用的描述方式是 和，u相应地可以用和表示。u传递函数和状态方程之间、连续系统和离散系统之间还可以进行相互转换。模型4.1.1 线性线性系统的系统的传递函数模型传递函数模型格式格式1 1 连续动态系统一般是由微分方程来描述的，而线性系统又是以线性常微分程来描述的。假设系统的输入信号为u(t)，且输出信号为y(t)，则n阶系统的微方程可以写成4.1 线性连续系统模型及

2、线性连续系统模型及MATLAB表示表示 系统的分母多项式又称为系统的特征多项式。对物理可实现系统来说，一定要满足mn，这种情况下又称系统为正则(proper)系统。若m s=tf(s); G=(12*s3+24*s2+12*s+20)/(2*s4+4*s3+6*s2+2*s+2);如果采用后一种输入方法，则同样可以输入系统的传递函数如果采用后一种输入方法，则同样可以输入系统的传递函数模型，二者完全一致。模型，二者完全一致。模型例例4-24-2 s=tf(s); G=3*(s2+3)/(s+2)3/(s2+2*s+1)/(s2+5) 或或G=3*(s2+3)/(s+2)3*(s2+2*s+1)*

3、(s2+5)模型例例4-34-3 再考虑一个带有多项式混合运算的例子可以看出，分母多项式内部含有方式更烦琐，所以可以用第二种方式直接利用算子法输入系统的传递函数模型项，用第一种输入可以得出系统的传递函数模型格式格式3 3模型例例传递函数模型系统模型例例然后才能用下面的MATLAB语句表示整个系统模型。模型模型1）22642202412)(23423sssssssG) 523() 1()66)(2( 4)(23322sssssssssG练习：传递函数描述练习：传递函数描述num=12,24,0,20;den=2 4 6 2 2;G=tf(num,den)num=4*conv(1,2,conv(1

4、,6,6,1,6,6);den=conv(1,0,conv(1,1,conv(1,1,conv(1,1,1,3,2,5);G=tf(num,den)2）借助多项式乘法函数借助多项式乘法函数conv来处理：来处理：模型除了分子和分母多项式外，MATLAB 的tf 对象还允许携带其他信息(或属性)，其全部属性可以由set 命令列出，即模型其中，除了其中，除了num、den属性外，还有其他诸多属性可以选属性外，还有其他诸多属性可以选择，例如，择，例如，Ts属性为采样周期，连续系统的采样周期为属性为采样周期，连续系统的采样周期为0。属性属性ioDelay为系统的输入输出延迟。为系统的输入输出延迟。若系

5、统的时间延迟常数为 = 3，即延迟系统模型为例例4-34-3则可以用命令直接输入，也可以由命令输入。模型如果有了传递函数模型G，则提取系统的分子和分母多项式还可以由tfdata() 函数来实现模型4.1.2 4.1.2 线性系统的线性系统的零极点模型零极点模型对传递函数的分子和分母分别进行因式分解，则可以得出模型例例4-64-6 考虑系统的零极点模型可以通过下面的MATLAB语句输入这个系统模型模型练习：零极点模型练习：零极点模型)256)(2)(1() 5)(6()(2ssssssssG)43)(43)(2)(1()5)(6()(jsjsssssssG模型4.1.3 4.1.3 线性系统的线

6、性系统的状态方程模型状态方程模型对线性系统来说，其状态方程可以简单地描述为模型在MATLAB下表示系统的状态方程模型是相当直观的，只需要将各个系数矩阵按照常规矩阵的方式输入到工作空间中即可，这样系统的状态方程模型可以用下面的语句直接建立起来如果在构造状态方程时给出的各个矩阵维数不兼容，则ss()对象时将给出明确的错误信息，中断程序运行。模型例例4-54-5多变量系统的状态方程模型可以用前面介绍的方法直接输入，无需再进行特殊的处理。考虑一个双输入双输出系统的状态方程模型系统的状态方程模型可以用下面的语句直接输入模型带有时间延迟的状态方程模型可以表示为模型练习：在练习：在MATLAB环境下建立下面

7、状态方程模型环境下建立下面状态方程模型 5 . 02022426475. 025. 075. 125. 1125. 15 . 025. 025. 025. 125. 425. 25 . 025. 1525. 2tutxtx 25. 020201000txty模型4.1.4 4.1.4 多变量系统多变量系统的的传递函数矩阵传递函数矩阵模型模型u多变量系统的可以由ss() 函数直接输入到MATLAB 环境中u多变量系统的另外一种常用描述方法是，它是单变量系统传递函数的概念在多变量系统中的直接扩展。多变量系统的传递函数矩阵一般可以写成模型例例4-74-7 考虑一个带有时间延迟的多变量传递函数矩阵对这

8、样的多变量系统，只需先输入各个子传递函数矩阵，再按照常规矩阵的方式输入整个传递函数矩阵。这样的传递函数矩阵还可以由下面的方法输入，即输入各个不带延迟的子传递函数，构造传递函数矩阵，再重新赋值其ioDelay属性，亦即模型其中的(2,1)子传递函数可以用G(2,1)语句直接提取出来。模型练习：在练习：在MATLAB环境下建立下面的传递函数矩阵环境下建立下面的传递函数矩阵或或模型4.2 4.2 离散系统模型离散系统模型4.2.1 4.2.1 离散离散传递函数传递函数模型模型由差分方程模型推导出系统的离散传递函数模型一般的单变量离散系统可以由下面的差分方程来表示式中T为离散系统的采样周期。模型和连续

9、传递函数不同的是，同时还需要输入系统的采样周期T，具体语句如下：其中T应该输入为实际的采样周期数值，H为离散系统传递函数模型。模型例例4-84-8 假设离散系统的传递函数模型为且系统的采样周期为T= 0.1s，则可以用下面的语句将其输入到MATLAB工作空间。该模型还可以采用算子方式直接输入模型这就要求实际延迟时间是采样周期T的整数倍，亦即时间延迟常数为mT。离散系统的时间延迟模型和连续系统不同，一般可以写成模型模型例例4-94-9 已知离散系统的零极点模型为其采样周期为T= 0.1s，可以用下面的语句输入该系统的数学模型模型练习：在练习：在MATLAB环境下建立下面离散传递环境下建立下面离散

10、传递函数模型函数模型模型练习：在练习：在MATLAB环境下建立下面零极点模环境下建立下面零极点模型型模型4.2.2 4.2.2 离散离散状态方程状态方程模型模型模型kTukTxTkx2349876543211kTxkTy321练习：在练习：在MATLAB环境下建立下面离散状态环境下建立下面离散状态方程模型方程模型sT1 . 0模型4.3 4.3 系统模型的相互转换系统模型的相互转换 前面介绍了线性控制系统的各种表示方法，本节将介绍基于MATLAB 的系统模型转换方法，如系统之间的相互转换，并将介绍模型的方法，以及模型的各种实现方法。4.3.1 4.3.1 连续模型和离散模型的相互转换连续模型和

11、离散模型的相互转换对于状态方程，状态变量的解析解为模型对照式上式与使用零阶保持器后连续系统离散化可以直接获得离散状态方程模型，离散后系统的参数可以由下式求出可以发现，且二者的C与D矩阵完全一致。模型模型SYSD = C2D(SYSC,Ts,METHOD) converts the continuous-time LTI model SYSC to a discrete-time model SYSD with sample time Ts. The string METHOD selects the discretization method among the following: zoh

12、Zero-order hold on the inputs foh Linear interpolation of inputs (triangle appx.) imp Impulse-invariant discretization tustin Bilinear (Tustin) approximation prewarp Tustin approximation with frequency prewarping. The critical frequency Wc (in rad/sec) is specified as fourth input by SYSD = C2D(SYSC

13、,Ts,prewarp,Wc) matched Matched pole-zero method (for SISO systems only). The default is zoh when METHOD is omitted. 模型例4-10模型模型MATLAB程序为：程序为：sys=tf(2,5,1,1,2,3,td,0.5); %生成连续系统的传递函数模型生成连续系统的传递函数模型sysd=c2d(sys,0.1,foh)%形成采样系统形成采样系统32152)(22sssssH练习练习 系统的传递函数为：系统的传递函数为：输入延时输入延时Td =0.35秒，试用一阶保持法对连续秒，试

14、用一阶保持法对连续系统进行离散，采样周期系统进行离散，采样周期Ts= 0.1s。程序运行结果为：程序运行结果为：Transfer function: 2.036 z2 - 3.628 z + 1.584z(-5) * - z2 - 1.792 z + 0.8187 Sampling time: 0.1模型书后习题（书后习题（10）：双输入双输出系统的状态方程表示为）：双输入双输出系统的状态方程表示为试将该模型输入到试将该模型输入到MATLAB 空间，并得出该模型相应的空间，并得出该模型相应的传递函数矩阵。若选择采样周期为传递函数矩阵。若选择采样周期为T = 0.1 s，求出离散化，求出离散化后

15、的状态方程模型和传递函数矩阵模型。对该模型进行连后的状态方程模型和传递函数矩阵模型。对该模型进行连续化变换，测试一下能否变换回原来的模型。续化变换，测试一下能否变换回原来的模型。解答提示：解答提示：用状态方程直接离散化，之后再连续化可以转出来原始的连续状态方程模型，因为系统的状态没有变化。如果先转成传递函数再离散化，从得出的传递函数再连续化，并转出状态方程模型，这时由于传递函数到状态方程的转换中系统的状态可能重新定义，将不能转出原来的状态方程。模型书后习题（10）： A=2.25,-5,-1.25,-0.5; 2.25,-4.25,-1.25,-0.25;.0.25,-0.5,-1.25,-1

16、; 1.25,-1.75,-0.25,-0.75;B=4,6; 2,4; 2,2; 0,2; C=0,0,0,1; 0,2,0,0;G=ss(A,B,C,0); G1=tf(G)D1=c2d(G,0.1), G2=d2c(D1)模型模型例4-12模型kTukTxTkx2349876543211kTxkTy321练习：在练习：在MATLAB环境下建立下面离散状态环境下建立下面离散状态方程模型，并用方程模型，并用Tustin方法将其连续化方法将其连续化sT1 . 0模型3.4.2 3.4.2 系统传递函数的获取系统传递函数的获取模型模型例4-13模型3.4.3 3.4.3 控制系统的状态方程实现控

17、制系统的状态方程实现模型例4-14模型例4-14该系统总的状态方程可以最终表示为模型模型模型4.3.4 4.3.4 状态方程的最小实现状态方程的最小实现模型模型例4-16模型 x t模型书后习题书后习题(18)： 假定系统的状态方程模型由下面给出，假定系统的状态方程模型由下面给出，请检验是否这些模型是最小实现，如果不是最小实现，请检验是否这些模型是最小实现，如果不是最小实现，则从传递函数的角度解释为什么该模型不是最小实现。则从传递函数的角度解释为什么该模型不是最小实现。解答 可以用下面的语句输入系统状态方程模型，并用minreal() 函数对其最小实现处理 A=-9 -26 -24 0; 1

18、0 0 0; 0 1 0 0; 0 1 1 -1;B=1; 0; 0; 0; C=0 1 1 2; G=ss(A,B,C,0); G1=minreal(G)模型得出的最小实现模型是二阶模型得出的最小实现模型是二阶模型2 states removed.zpk(G), zpk(G1)得出的原模型和最小实现模型如下得出的原模型和最小实现模型如下模型4.3.5 4.3.5 传递函数与符号表达式的相互转换传递函数与符号表达式的相互转换模型4.4 4.4 框图描述系统的化简框图描述系统的化简4.4.1 4.4.1 控制系统的典型连接结构控制系统的典型连接结构串联连接模型并联连接模型反馈连接模型模型模型模型

19、例4-17模型例4-18模型例4-19模型模型例4-20 如果系统由单位负反馈构成。由于两个模型一个为连续的，如果系统由单位负反馈构成。由于两个模型一个为连续的，另一个为离散的，所以不能用串联方式直接求取总模型，必须先另一个为离散的，所以不能用串联方式直接求取总模型，必须先将二者转换为相同的模型类型，才能求出整个闭环系统的近似模将二者转换为相同的模型类型，才能求出整个闭环系统的近似模型。下面的语句可以分别得出连续的或离散的近似模型型。下面的语句可以分别得出连续的或离散的近似模型模型练习练习系统的传递函数如图。系统的传递函数如图。MATLAB源程序为：s1=tf(2,5,1,1,2,3) %系统

20、s1的传递函数模型s2=zpk(-2,-10,5)%系统s2的零极点增益模型sys=feedback(s1,s2)% s1环节前向，s2环节反馈5(s+2)/(s+10)模型4.4.2 4.4.2 节点移动时的等效变换节点移动时的等效变换模型4.4.3 4.4.3 复杂系统模型的简化复杂系统模型的简化MATLAB 提供的feedback() 函数只能用于G1 和G2 为具体参数给定的模型，通过适当的扩展，就可以编写一个能够处理符号运算的feedback() 函数若将其放置在MATLAB 路径下某个目录的sym 子目录下，例如在当前工作目录下建立一个sym 子目录，将该文件置于子目录下，则可以直接处理符号模型的化简问题，而不影响原来数值型feedback() 函数的正常调用。function H=feedback(G1,G2,key)if nargin=2; key=-1; end, H=G1/(sym(1)-key*G1*G2); H=simple(H);模型4.4.3 4.4.3 复杂系统模型的简化复杂系统模型的简