波特图的见解

1、第四章第四章 频域响应频域响应 4-1 线性系统的频率响应设线性定常系统设线性定常系统( (图图4-1)4-1)的传递函数为的传递函数为)()()(sGsXsYG(s)X(s)Y(s)图4-1 系统方框图tXtxsin)(其输入信号为其输入信号为 则输入信号的拉氏变换是则输入信号的拉氏变换是)()(22jsjsXsXsX)()()()()()(21nsssssssAsBsAsGnnnssassassajsbjsbjsjsXsssssssAsXsGsY221121)()()()()()()(系统的传递函数通常可以写成系统的传递函数通常可以写成由此得到输出信号的拉氏变换由此得到输出信号的拉氏变换对

2、上式进行拉氏反变换得到系统的输出为对上式进行拉氏反变换得到系统的输出为tsntststjtjneaeaeaebbety2121)(tjtjtWebbetyty)(lim)(对对稳定系统稳定系统, ,s1,s2,.sn都具有负实部都具有负实部，当时间，当时间t t趋趋于无穷大时，上式的暂态分量将衰减至零。因此于无穷大时，上式的暂态分量将衰减至零。因此系统的稳态响应为系统的稳态响应为jXjGjsjsjsXsGbjs2)()()()(jXjGjsjsjsXsGbjs2)()()()(其中待定系数其中待定系数b b和和 可按下式计算可按下式计算bG(jG(j) )是一个复数，用模和幅角可表示为是一个复

3、数，用模和幅角可表示为)()()(jejGjG)(Re)(Im)()(jGjGarctgjG同样，同样，G(-G(-jj) )可以表示为可以表示为)()()()()(jjejGejGjG)sin()(2)(2)(2)()()()()()(tXjGjeeXjGjXeejGjXeejGtytjtjtjjtjjW则系统稳态响应可化为则系统稳态响应可化为)sin()(tYtyW或或式中式中Y=|Y=|G(j)|XG(j)|X为稳态输出信号的幅值为稳态输出信号的幅值; ; 为稳态输出信号的相移。为稳态输出信号的相移。)(jG系统的频率特性反映了在正弦输入信号作用下，系统的稳系统的频率特性反映了在正弦输入

4、信号作用下，系统的稳态响应与输入正弦信号的关系。态响应与输入正弦信号的关系。 称为系统的幅频特性，反映系统在称为系统的幅频特性，反映系统在不同频率正弦信号作用下，输出稳态幅值与输入信号幅值不同频率正弦信号作用下，输出稳态幅值与输入信号幅值的比值，即系统的放大（或衰减）特性。的比值，即系统的放大（或衰减）特性。)()(XYjG)()()(jGjejGjG系统的频率特性：系统的频率特性：其中：其中： 称为系统的称为系统的相频特性相频特性，反，反映系统在不同频率正弦信号的作用下，输出信号相对输映系统在不同频率正弦信号的作用下，输出信号相对输入信号的相移。入信号的相移。)(Re)(Im)()(jGjG

5、arctgjG 系统的幅频特性和相频特性统称为系统的频率特性。系统的幅频特性和相频特性统称为系统的频率特性。二、实验法二、实验法 当系统已经建立，尚不知道其内部结构或传递函数时，当系统已经建立，尚不知道其内部结构或传递函数时，在系统的输入端输入正弦信号在系统的输入端输入正弦信号X(t)= Xsint，测出不同频，测出不同频率时系统稳态输出的振幅率时系统稳态输出的振幅Y Y和相移和相移，便可得到它的幅频，便可得到它的幅频特性和相频特性特性和相频特性。获取系统频率特性的途径获取系统频率特性的途径: :一、解析法一、解析法 当已知系统的传递函数时，用当已知系统的传递函数时，用s=s=j j代入传递函

6、数可代入传递函数可得到系统的频率特性得到系统的频率特性G(jG(j) )。 4-2 频率特性的图形表示 l 幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线l 对数频率特性曲线对数频率特性曲线 4.2.1 幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线 幅相频率特性曲线：简称幅相频率特性曲线：简称幅相曲线幅相曲线，又称极坐标图，又称极坐标图，是以是以角频率角频率作自变量，把作自变量，把幅频特性幅频特性和和相频特性相频特性用一条用一条曲线同时表示在复平面上。曲线同时表示在复平面上。 注意：注意：l 幅频特性是角频率的偶函数，相频特性是的奇函数，幅频特性是角频率的偶函数，相频特性是的奇函数，因此，角频率从因此，角频率从0变化到

7、无穷大时的幅相曲线与从负无穷变化到无穷大时的幅相曲线与从负无穷大变化到大变化到0的幅相曲线关于实轴对称，通常，只画出从的幅相曲线关于实轴对称，通常，只画出从0变至时的幅相曲线，并在曲线上用箭头表示增大的方向。变至时的幅相曲线，并在曲线上用箭头表示增大的方向。l 只要的值取得足够多，用解析的方法得到不同值时的只要的值取得足够多，用解析的方法得到不同值时的幅值和相角，就可以在极坐标平面上画出较精确的幅值和相角，就可以在极坐标平面上画出较精确的幅相幅相频率特性曲线。频率特性曲线。 （一）（一） 放大环节（比例环节放大环节（比例环节) ) 放大环节的传递函数为放大环节的传递函数为KsG)(（K为常数）

8、对应的频率特性是对应的频率特性是KjG)(幅频特性幅频特性KjG)(00)(jG相频特性相频特性 00mIKeR图5-2 放大环节的频率响应一、典型环节幅相曲线（二）（二） 积分环节积分环节 积分环节的传递函数为积分环节的传递函数为ssG1)(对应的频率特性是对应的频率特性是jjG1)(幅频特性幅频特性11)(jjG相频特性相频特性0900)(arctgjGeRmI0G090图5-3 积分环节的频率响应（三）（三） 惯性环节惯性环节 惯性环节的传递函数为惯性环节的传递函数为11)(TssG对应的频率特性是对应的频率特性是11)(jTjG幅频特性2211)(TjG相频特性arctgTjG)(当当

9、 时，时， ， ；01)0(jG00)0(jG当当 时，时， ， ；0)(jG090)(jG当当由零至无穷大变化时，惯性环节的频率特性由零至无穷大变化时，惯性环节的频率特性在在 平面上是正实轴下方的半个圆周，平面上是正实轴下方的半个圆周，)(jG.045010.5T/1 图图5-4 惯性环节的频率响应mI G0eR当当 时，时， ， ；T1707.021)1(TjG045)1(TjG证明：证明：222211111)(TTjTjTjG)(11)(Re22uTjG)(1)(Im22vTTjG2222222222112111)(21)(TTTvu则有则有推广：推广：当惯性环节传递函数的分子是常数当惯

10、性环节传递函数的分子是常数K K时，即时，即 时，其频率特性是圆心为时，其频率特性是圆心为 ，半径为，半径为 的实轴下方半个圆周。的实轴下方半个圆周。1)(jTKjG0 ,2K2K（四）（四） 振荡环节振荡环节 振荡环节的传递函数为振荡环节的传递函数为121)(22TssTsG对应的频率特性是对应的频率特性是TjTTjTjG2)1 (1121)(2222幅频特性幅频特性2222224)1 (1)(TTjG相频特性相频特性2212)(TTarctgjG当当 时，时， ， ；01)0(jG00)0(jG当当 时，时， ， ；T121)1(TjG090)1(TjG当当 时，时， ， ；0)(jG01

11、80)(jGnnrM0nnr0mIr1eR G图图5-5 5-5 振荡环节的频率响应振荡环节的频率响应振荡环节的幅频特性和相频特性均与阻尼比有关。当阻尼比较小时会产生谐振，谐振峰值当阻尼比较小时会产生谐振，谐振峰值Mr(Mr0)和谐振频率和谐振频率r由幅频特性的极值方程由幅频特性的极值方程解出。解出。041)(222222TTddjGdd)210(2121122nrT其中其中 称为振荡环节的无阻尼自然振荡频率，称为振荡环节的无阻尼自然振荡频率，是振荡环节频率特性曲线与虚轴交点处的频率。是振荡环节频率特性曲线与虚轴交点处的频率。Tn1)210(121)(2rrjGM谐振峰值谐振峰值2021arc

12、sin9021)(arctgjGrr谐振相移谐振相移振荡环节的幅值特性曲线振荡环节的幅值特性曲线当当 时，随着时，随着的增加，幅值缓慢增大；的增加，幅值缓慢增大；当当 时，幅值达到最大值时，幅值达到最大值 ；当当 时，幅值迅速减小，时，幅值迅速减小， 时时的频率的频率 称为截止频率；频率大于称为截止频率；频率大于 后，输出后，输出幅值衰减更快。幅值衰减更快。r0rrMr707. 0)(Mcc1)(M707. 00crrM 图5-6 振荡环节的频率响应1推广：推广：当振荡环节传递函数的分子是常数当振荡环节传递函数的分子是常数K时，时，即即 ，其对应频率特性，其对应频率特性 的起的起点点 为为 。

13、12)(22TssTKsG)(jG000)0(,)0(jGKjG（五）（五） 一阶微分环节一阶微分环节 一阶微分环节的传递函数为一阶微分环节的传递函数为1)(ssG对应的频率特性是对应的频率特性是1)(jjG幅频特性1)(22jG相频特性arctgjG)(当当 时，时， ， ；01)0(jG00)0(jG当当 时，时， ， ；12)1(jG045)1(TjG当当 时，时， ， ； )( jG090)(jG1eR0mIG0G 图5-7 一阶微分环节的频率响应（六）（六） 二阶微分环节二阶微分环节 二阶微分环节的传递函数为二阶微分环节的传递函数为12)(22sssG对应的频率特性是对应的频率特性是

14、12)(22jjG幅频特性幅频特性22222241)(jG相频特性相频特性2212)(arctgjG当 时， ， ；01)0(jG00)0(jG当当 时，时， ， ；12)1(jG090)1(TjG当当 时，时， ， ； )( jG0180)(jG 图5-8 二阶微分环节频率特性图1)1(2mIeR00G（七）（七） 不稳定惯性环节不稳定惯性环节 不稳定惯性环节的传递函数为不稳定惯性环节的传递函数为TssG11)(对应的频率特性是对应的频率特性是jTjG11)(幅频特性幅频特性11)(22TjG相频特性相频特性arctgTarctgTjG)()(当当 时，时， ， ；01)0(jG00)0(j

15、G当当 时，时， ， ；T121)1(TjG045)1(TjG当当 时，时， ， ；0)(jG090)(jG0ImRe0图59 不稳定惯性环节的频率特性0ImRe0图54 惯性环节的频率特性（八）（八） 滞后环节滞后环节 滞后环节的传递函数为滞后环节的传递函数为sesG)(对应的频率特性是对应的频率特性是jejG)(幅频特性幅频特性1)(jG相频特性相频特性度）弧度）(3 .57()(jG0mIj0eR11jG 图5-10 滞后环节频率特性图二、二、系统的开环幅相曲线系统的开环幅相曲线 线性系统的开环频率特性通常可写成如下形式：线性系统的开环频率特性通常可写成如下形式：lniliiiiihjj

16、jjhmjjjTjTTjjjjsKjHjG2112212221 1)(2)() 1()( 1)(2)() 1()()(解解 系统开环频率特性为系统开环频率特性为111)()(222212TTKjHjG21)()(TarctgTarctgjHjG相频特性相频特性 幅频特性幅频特性 0)()(,)()(, 0jHjGKjHjG180)()(, 0)()(,jHjGjHjG起点起点终点终点与负虚轴交点与负虚轴交点9021TarctgTarctg211TT2121)()(TTTTKjHjG解解 系统系统开环频率特性开环频率特性为为111)()(222212TTKjHjG2190)()(TarctgTa

17、rctgjHjG相频特性相频特性 幅频特性幅频特性 90)()(,)()(, 0jHjGjHjG270)()(, 0)()(,jHjGjHjG起点起点终点终点 若在例若在例41系统中增加一个系统中增加一个积分环节积分环节，则系统为，则系统为1型系统型系统其开环传函为其开环传函为) 1)(1()()(21sTsTsKsHsG11111)()(21TjTjjKjHjG起点或终点存在无穷大，求渐近线起点或终点存在无穷大，求渐近线90)()(,)()(, 0jHjGjHjG起点起点起点存在无穷大，求渐近线起点存在无穷大，求渐近线)()(Im)()(Re)1)(1 ()1()()1)(1 ()(1)(1

18、 ()()(2222122212122221221jHjGjHjGTTTTjTTKTTjTjTjKjHjG)()(RejHjG)()(ImjHjG0)()()(Re21TTKjHjG)()(ImjHjG将频率特性写成将频率特性写成实部实部与与虚部虚部的形式的形式实频特性实频特性与实轴交点 令0)()(ImjHjG与与实轴交点实轴交点 令令得211TTx2121)()(ReTTTKTjHjGxx解解 系统系统开环频率特性开环频率特性为为111)()(2222122TTKjHjG21180)()(TarctgTarctgjHjG相频特性相频特性 幅频特性幅频特性 180)()(,)()(, 0jH

19、jGjHjG360)()(, 0)()(,jHjGjHjG起点起点终点终点 若在例若在例41系统中再增加一个系统中再增加一个积分环节积分环节，则系统，则系统为为2型系统型系统其开环传函为其开环传函为) 1)(1()()(212sTsTsKsHsG111111)()(21TjTjjjKjHjG起点或终点存在无穷大，求渐近起点或终点存在无穷大，求渐近线线与与实轴交点实轴交点 令令) 1)(1() 1()()(21sTsTssKsHsG) 1)(1() 1()()(21TjTjjjKjHjG2190)()(TarctgTarctgarctgjHjG111)()(22221222TTKjHjG090)

20、()(jHjG)()(jHjG180)()(jHjG0)()(jHjG例例4-2 系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为试绘制概略的开环幅相曲线。试绘制概略的开环幅相曲线。解解 系统系统开环频率特性开环频率特性起点存在无穷大，求渐近线起点存在无穷大，求渐近线)()(Im)()(Re)1)(1 ()(1 ()1 ()()1)(1 ()(1)(1)(1 ()()(2222122122122122122221221jHjGjHjGTTTTTTjTTTTKTTjTjTjjKjHjG)1)(1 ()1 ()()()(Re22221221221TTTTTTKjHjG)1)(1 ()(1()()(Im22

21、2212212212TTTTTTjKjHjG0)()()(Re21TTKjHjG)()(ImjHjG21TT0)()(RejHjG21TT0)()(RejHjG21TT0)()(RejHjG，起始于起始于负虚轴左侧负虚轴左侧无穷远处无穷远处，起始于起始于负虚轴右侧负虚轴右侧无穷远处无穷远处起始于起始于负虚轴上侧负虚轴上侧无穷远处无穷远处0)()(ImjHjG2121TTTT0)(121212TTTT)(12121TTTT)(2121TTTT求曲线与负实轴的交点，令求曲线与负实轴的交点，令当当曲线与负实轴有交点曲线与负实轴有交点 由于不等式方程组由于不等式方程组212121TTTTTT无解，故只

22、有当幅相曲线从无解，故只有当幅相曲线从负虚轴左侧负虚轴左侧无穷远处起始时，无穷远处起始时，才才与负实轴有交点与负实轴有交点。 无解，故只有当幅相曲线从负虚轴左侧无穷远处起始时，才与负实轴有交点，开环幅相曲线如图4-15所示。)90(mn )90()(mnmn 对于开环传递函数只含有对于开环传递函数只含有左半平面的零点和极点左半平面的零点和极点的系统，其幅相曲线的起点和终点具有如下规律：的系统，其幅相曲线的起点和终点具有如下规律：起点：起点：l 系统系统不含有积分环节不含有积分环节，曲线，曲线起始于正实轴起始于正实轴上某点，该点距原点上某点，该点距原点的距离值为开环增益的距离值为开环增益 K；l

23、 系统含有系统含有v个积分环节个积分环节，曲线，曲线起始于无穷远处起始于无穷远处，相角为，相角为终点：系统开环传递函数分母的阶次总是大于或等于分子的阶次终点：系统开环传递函数分母的阶次总是大于或等于分子的阶次终点在原点终点在原点，且以角度，且以角度进入原点；进入原点； 曲线曲线终止于正实轴上某点终止于正实轴上某点，该点距原点的距离，该点距原点的距离与各环节的与各环节的时间常数时间常数及及开环增益开环增益等参数有关。等参数有关。注注：若系统开环传递函数含有若系统开环传递函数含有右半平面极点或零点右半平面极点或零点（不稳定环节（不稳定环节），则幅相曲线的起点和终点），则幅相曲线的起点和终点不具有以

24、上规律不具有以上规律。对于这样的系统。对于这样的系统，尤其应注意其相频特性。在作图时，应根据相频特性的表达式，尤其应注意其相频特性。在作图时，应根据相频特性的表达式分析曲线的起点、终点位置以及相角的变化范围等。分析曲线的起点、终点位置以及相角的变化范围等。 l l 对数相频特性对数相频特性：对数相频特性曲线对数相频特性曲线：横坐标横坐标：表示频率：表示频率，按对数分度，单位，按对数分度，单位rad/srad/s；纵坐标纵坐标：表示相频特性函数值，按线性分度，单位是度。：表示相频特性函数值，按线性分度，单位是度。（度）)()(jG4.2.2 4.2.2 对数频率特性曲线对数频率特性曲线 一、伯德

25、图一、伯德图伯德（伯德（BodeBode）图）图：又称对数频率特性曲线，包括：又称对数频率特性曲线，包括对对数幅频特性和对数相频特性两条曲线数幅频特性和对数相频特性两条曲线。对对数幅频特性数幅频特性：对对数幅频特性曲线数幅频特性曲线：横坐标横坐标：表示频率：表示频率，按对数分度，单位，按对数分度，单位rad/srad/s；纵坐标纵坐标：表示对数幅频特性函数值，按线性分度，单位：表示对数幅频特性函数值，按线性分度，单位dBdB。)()(lg20)(dBjGL伯德图优点：伯德图优点：（1 1）将）将幅频特性幅频特性和和相频特性相频特性分别作图，使系统（或环节）分别作图，使系统（或环节）的幅值和的幅

26、值和相角相角与与频率频率之间的关系更加清晰；之间的关系更加清晰；（2 2）幅值用）幅值用分贝数分贝数表示，可将表示，可将串联环节串联环节的幅值相乘变为相的幅值相乘变为相加运算，简化了计算；加运算，简化了计算； （3 3）可以采用）可以采用渐近线渐近线的方法，用直线段画出近似的的方法，用直线段画出近似的对数幅对数幅频特性曲线频特性曲线，使作图更为简单方便；，使作图更为简单方便；（4 4）横轴（横轴（轴）轴）用对数分度，扩展了低频段，同时也兼用对数分度，扩展了低频段，同时也兼顾了中、高频段，有利于系统的分析与综合。顾了中、高频段，有利于系统的分析与综合。（5 5）对于）对于最小相位系统最小相位系统

27、，可以有对数幅频特性曲线得到系，可以有对数幅频特性曲线得到系统的传递函数。统的传递函数。二、典型环节的伯德图二、典型环节的伯德图（一）放大环节（比例环节）（一）放大环节（比例环节） 放大环节的频率特性：放大环节的频率特性：幅频特性：幅频特性： 对数幅频特性：对数幅频特性：为大于零的常数）KKjG()(KjG)(KjGlg20)(lg20当当K1K1时，时，20lgK020lgK0，位于横轴上方；，位于横轴上方；当当K=1K=1时，时，20lgK=020lgK=0，与横轴重合；，与横轴重合；当当K1K1时，时，20lgK020lgK0N0，则，则 F包围包围F(s)平面坐标原点，且按平面坐标原点

28、，且按顺时针方向旋转顺时针方向旋转N N周周；若若N0Nm：奈奎斯特曲线（奈氏曲线）奈奎斯特曲线（奈氏曲线）：奈氏轨迹：奈氏轨迹 s 在在GHGH平面上的映射平面上的映射 GH。2.2.G(s)H(s)在在S S平面的虚轴上（包括原点）有极点平面的虚轴上（包括原点）有极点j000) 1 ()2(R) 3()4(0r S虚轴上有开环极点时的奈氏轨迹s 奈氏轨迹奈氏轨迹不能经过开环极不能经过开环极点点， GH必须避开虚轴上的所有必须避开虚轴上的所有开环极点。开环极点。 图图5-445-44表示当有开环极点表示当有开环极点为零时的奈为零时的奈氏轨迹，其中（氏轨迹，其中（1）、）、（2） 和（和（3）

29、的定义）的定义与前相同与前相同. .（4 4） ， ，表明，表明S S沿以原点沿以原点为圆心，半径为无穷小的右半圆弧上逆时针变化为圆心，半径为无穷小的右半圆弧上逆时针变化（ ）。）。jrres0lim)22(由 这样，这样， s 既绕过了既绕过了G(s)H(s)原点上的极点，又包围了整原点上的极点，又包围了整个右半个右半S S平面，如果在虚轴上还平面，如果在虚轴上还有其它极点，亦可采用同样的有其它极点，亦可采用同样的方法，将方法，将 s 绕过这些虚轴上的绕过这些虚轴上的极点。极点。j000) 1 ()2(R)3()4(0r S虚轴上有开环极点时的奈氏轨迹s设系统的开环传递函数为设系统的开环传递

30、函数为其中其中v v为无差度为无差度，即，即系统积分环节个数系统积分环节个数（位于原点的开环点数）。（位于原点的开环点数）。)()()()()()(2121vnvmpspspsszszszsksHsGjvjvvrrenvmreseerKpspspsszszszsksHsGjrjr0lim2121limlim)()()()()()(00 s 的第（的第（4 4）部分无穷小半圆弧在）部分无穷小半圆弧在 GHGH平面上的映射为顺时针旋平面上的映射为顺时针旋转的无穷大圆弧，旋转的弧度为转的无穷大圆弧，旋转的弧度为v v弧度。弧度。图545（a）、（b）分别表示当 v=1和v=2时系统的奈氏曲线，其中的

31、虚轴部分是s 的无穷小半圆弧在GH平面上的映射1mI 000R01veR)(aGH0010R0GH2veR)(b图5-45 时的奈氏曲线0v （二） 基于G(j)H(j)的奈氏判据奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据 闭环系统稳定的充分必要条件是，GH 平面上的开环频率特性G(j)H(j) ,当从从-变化到 时，按逆时针方向包围（1，j0）点P周。 当位于S平面右半部的开环极点数P=0时，即当系统的开环传递函数的全部极点均位于S平面左半部（包括原点和虚轴）时，闭环系统稳定的充分必要条件是奈氏曲线GH不包围GH平面的（1，j0)点。应用奈氏判据分析系统稳定性时，可能会遇到下列三种情况：应用奈氏判据分

32、析系统稳定性时，可能会遇到下列三种情况： I.I.当系统开环传递函数当系统开环传递函数G(s)H(s)的全部极点都位于的全部极点都位于S S平面左平面左半部时（半部时（P=0P=0），如果系统的奈氏曲线），如果系统的奈氏曲线 GH不包围不包围GHGH平面的平面的(-1.j0)(-1.j0)点（点（N=0N=0），则闭环系统是稳定的（），则闭环系统是稳定的（Z=P+N=0Z=P+N=0），），否则是不稳定的；否则是不稳定的；II.II.当系统开环传递函数当系统开环传递函数G(s)H(s)有位于有位于S S平面平面右半部的极点右半部的极点时（时（P），如果系统的奈氏曲线），如果系统的奈氏曲线 GH

33、逆时针包围逆时针包围(-1.j0)(-1.j0)点点的周数等于位于的周数等于位于S平面右半部的开环极点数（平面右半部的开环极点数（N=-P），则），则闭环系统是稳定的（闭环系统是稳定的（Z=P+N=0），否则是不稳定的；），否则是不稳定的；III.如果系统的奈氏曲线如果系统的奈氏曲线 GH顺时针包围点顺时针包围点(-1.j0)(-1.j0) （N0），），则无论是否有则无论是否有S平面右半部的开平面右半部的开 环极点，闭环系统都是不环极点，闭环系统都是不稳定的（稳定的（Z=P+N0）。）。 在有些情况下，在有些情况下， GH 曲线恰好通过曲线恰好通过GH平面的平面的(-(-1.j0)1.j0)

34、点（注意不是包围），此时如点（注意不是包围），此时如果系统无位于果系统无位于S S平平面右半部的开环极点，则系统处于临界稳定状态。面右半部的开环极点，则系统处于临界稳定状态。五、奈氏判据应用示例五、奈氏判据应用示例 例例5 56 6 试用奈氏判据分析例试用奈氏判据分析例5 51 1系统的稳定性系统的稳定性。 解解该系统的开环传递函数为该系统的开环传递函数为 其对应的频率特性是其对应的频率特性是 开环频率特性的极坐标图如图开环频率特性的极坐标图如图5 52424所示，当所示，当 由由 变至变至 时系统的奈氏曲线时系统的奈氏曲线如图如图 546所示。由该系统的两个开环极点所示。由该系统的两个开环极

35、点 和和 均在均在S平面左半部，即平面左半部，即S平面右半部的开环极点数平面右半部的开环极点数P=0，由，由图图546可知，系统的奈氏曲线可知，系统的奈氏曲线 不包围不包围 点（点（N=0），），根据奈氏判据，位于根据奈氏判据，位于S平面右半部的闭环极点数平面右半部的闭环极点数 Z=P+N=0， 该该闭环系统是稳定的。闭环系统是稳定的。 )() 1)(1()()(2121TTsTsTKsHsG)1)(1()()(21jTjTKjHjG11T21TGH), 1(jw-+ 上述结论可从图上述结论可从图 547547所示的根轨图得到证明，所示的根轨图得到证明， 从图从图547547可知，无论可知，无

36、论K K为何值根轨迹都在为何值根轨迹都在S S平面左半部，系统总平面左半部，系统总是稳定的。是稳定的。)0(1KP)0(2KPKK21T11Tj S0图5-47 例5-6根轨迹图10K0eRmIGH图5-46 例5-6奈氏曲线 例例5 57 7 试用奈氏判据分析例试用奈氏判据分析例5 53 3所给系统的稳定性。所给系统的稳定性。 解解 该系统的开环传递函数为该系统的开环传递函数为其对应的频率特性是其对应的频率特性是 开环频率特性的极坐标图如图开环频率特性的极坐标图如图5 54848所示，当所示，当 变至变至. 时，时，系统的奈氏曲线如图系统的奈氏曲线如图 548所示。由于系统含有一个所示。由于

37、系统含有一个积分环节（积分环节（v=1），当），当 对应奈氏曲线为顺时针环对应奈氏曲线为顺时针环绕坐标原点的无穷大半圆（图绕坐标原点的无穷大半圆（图548中虚线所示）。中虚线所示）。)10()12()()(22TssTKvsHsG)21 ()()(22TjTjKvjHjG由时，至由00+ 开环传递函数无右半开环传递函数无右半S平面的极点，即平面的极点，即P=0，系统是否稳定取决于奈氏曲，系统是否稳定取决于奈氏曲线与负实轴的交点坐标值线与负实轴的交点坐标值 的大小，当的大小，当 时时,奈氏曲线奈氏曲线FGH顺顺时针包围时针包围 点两周，即点两周，即N=2（图（图548（b），系统不稳定；当），系

38、统不稳定；当 时，时， FGH不包围不包围 点，即点，即N=0（图（图548（a），系统是），系统是稳定的。稳定的。2KvT12KvT), 1(j12KvT), 1(j02TKV 0 0eRGHmI012)(NTKaV时112TKV 0 0eRGHmI212)(NTKbV时0图5-48 例5-7奈氏曲线 例例5 58 8已知反馈控制系统的开环传递函数为已知反馈控制系统的开环传递函数为试用奈氏判据分析当试用奈氏判据分析当 时系统的稳定性。时系统的稳定性。解解: : 系统的开环频率特性是系统的开环频率特性是其幅频特性和相频特性分别是其幅频特性和相频特性分别是)1()1()()(2TsssKsHsG

39、TTT、)1 ()1()()(2jTjKjHjG2222211)()(TKjHjGarctgarctgTjHjG0180)()(T当当 时，时， , 当当由由0变至变至+时，时， 由由变至变至0， 由由-180o在第在第III象限内象限内变化为变化为-180o，其对应的奈氏曲线如图，其对应的奈氏曲线如图5-50（a）所示，图中）所示，图中虚线表示的顺时针旋转的无穷大圆弧是开环零重极点在虚线表示的顺时针旋转的无穷大圆弧是开环零重极点在 GH 平面上的映射。由于奈氏曲线左端无穷远处是开口的，它没平面上的映射。由于奈氏曲线左端无穷远处是开口的，它没有包围有包围 点（点（N=0），系统无），系统无S平

40、面右半部的开环平面右半部的开环极点（极点（P=0），由奈氏判据知，当），由奈氏判据知，当 时，该系统是稳时，该系统是稳定的。定的。 arctgarctgT)()(jHjG)()(jHjG), 1(jT （b） 当当 时，时， ，系统的相频特，系统的相频特性性 ，与角频率无关，幅频特性，与角频率无关，幅频特性 ，当当 由由 变至变至 0 0 。 如图如图5-505-50（b b）所示，除无穷大圆弧外，奈氏曲线是穿过所示，除无穷大圆弧外，奈氏曲线是穿过 v v 点且与负实轴重合的，系统是临界稳定状态。点且与负实轴重合的，系统是临界稳定状态。 当当 时，系统的根轨迹如图时，系统的根轨迹如图5-515

41、-51（b b）所示。由于所示。由于 两条根轨迹位于两条根轨迹位于S S平面的虚轴上，系统是等幅振荡的临界稳定平面的虚轴上，系统是等幅振荡的临界稳定 状态。状态。T0180)()(jHjGarctgTarctgw=tw)()(jHjG时，变至由0), 1(jT（c）当当 时，时， ，当，当 由由0变至变至 时，时， 由由 变至变至0， 在第在第II象限内变化后再象限内变化后再次变为次变为-1800，其对应的奈氏曲线如图，其对应的奈氏曲线如图5-50（c)所示。由于奈氏曲线左端是封口的，它顺时针包围了所示。由于奈氏曲线左端是封口的，它顺时针包围了(-1,j0)点两周（点两周（N=2），由奈氏判据

42、知，当），由奈氏判据知，当 时，该系统是不稳定时，该系统是不稳定的。当的。当 时，系统的根轨迹如图时，系统的根轨迹如图551（c）所示。由于有）所示。由于有两条根轨迹全部位于两条根轨迹全部位于S平面右半部，无论平面右半部，无论K为何值，该系统都为何值，该系统都是不稳定的。是不稳定的。TarctgarctgT)()(jHjG0180)()(由jHjGTT00mIeRGHT)(a101000mIeRT)(bGH 0 010GHmIeRT)(c图5-50 例5-8系统的奈氏曲线021PP3P1kT11j S稳定）(T)(a21PP临界稳定）(T)(b0j S21PP1k3p0T11j)(不稳定T)(

43、c S图5-51 例5-8系统的根轨迹图返回 5-5 控制系统的相对稳定性 一、相对稳定性一、相对稳定性 在工程应用中，由于环境温度的变化、元件的老化以及元件在工程应用中，由于环境温度的变化、元件的老化以及元件的更换等，会引起系统参数的改变，从而有可能破坏系统的稳定的更换等，会引起系统参数的改变，从而有可能破坏系统的稳定性，使系统不能正常工作。因此在选择元件和确定系统参数时，性，使系统不能正常工作。因此在选择元件和确定系统参数时，不仅要考虑系统的稳定性，还要求系统有一定的稳定程度，这就不仅要考虑系统的稳定性，还要求系统有一定的稳定程度，这就是所谓自动控制系统的相对稳定性问题。是所谓自动控制系统

44、的相对稳定性问题。 mI000GHeR)(a1AAmI000GHeRBB1)(b图5-52 系统的相对稳定性二、稳定裕度二、稳定裕度 通常用通常用稳定裕度稳定裕度来衡量系统的相对稳定性或系统的稳定来衡量系统的相对稳定性或系统的稳定程度，其中包括系统的程度，其中包括系统的相角裕度相角裕度和和幅值裕度幅值裕度。 最小相位系统的稳定裕度)(c0jj1g0Kg11mIeRcGH100Kg负幅值裕度负相角裕度)(bmIeR)(cGHKg1g0jj11100Kg正幅值裕度正相角裕度)(a0c相角裕度相角裕度：是幅值穿越频率对应的相移：是幅值穿越频率对应的相移 与与1801800 0角的差角的差值，即值，即

45、 )(c00180)()180()(cc（一）（一） 相角裕度相角裕度剪切频率剪切频率( (幅值穿越频率幅值穿越频率):GH):GH平面上的单位圆与系统开环频率平面上的单位圆与系统开环频率特性曲线的交点频率特性曲线的交点频率, ,记为记为 ，它满足，它满足c)(c0jj1g0Kg11mIeRcGH100Kg负幅值裕度负相角裕度)(bmIeR)(cGHKg1g0jj11100Kg正幅值裕度正相角裕度)(a0ccc|G(j)H(j)|1ww=1.1.对于最小相位系统，如果相角裕度对于最小相位系统，如果相角裕度 ，系统是稳定的，系统是稳定的, ,且且 值愈大，系统的相对稳定性愈好。如果相角裕值愈大，

46、系统的相对稳定性愈好。如果相角裕度度 ，系统则不稳定。当，系统则不稳定。当 时，系统的开环频率特时，系统的开环频率特性曲线穿过性曲线穿过 点，系统处于点，系统处于临界稳定状态临界稳定状态。000000), 1(j)(c0jj1g0Kg11mIeRcGH100Kg负幅值裕度负相角裕度)(bmIeR)(cGHKg1g0jj11100Kg正幅值裕度正相角裕度)(a0c注意：注意：注意：2. 2. 相角裕度相角裕度的含义是的含义是使系统达到稳定的临界状态时的开环频率使系统达到稳定的临界状态时的开环频率特性的相角特性的相角 减小（对应稳定系统）减小（对应稳定系统）或增加（对应不稳定系统）的数值。或增加（对应不稳定系统）的数值。)()()(cccjHjG