现代控制理论第6章

1、2022年年5月月27日日第第6章第章第1页页2022年年5月月27日日第第6章第章第2页页第第6章第章第3页页2022年年5月月27日日6.1.1 引言引言 所谓综合与设计，即给定一个受控设备和预期性能指标所谓综合与设计，即给定一个受控设备和预期性能指标（稳、快、准），要求综合设计出控制器的结构和参数。综（稳、快、准），要求综合设计出控制器的结构和参数。综合设计的基础是依据系统的定性分析，因为定性分析充分解合设计的基础是依据系统的定性分析，因为定性分析充分解释了系统性质、潜在能力与限制。例如，经典控制理论中，释了系统性质、潜在能力与限制。例如，经典控制理论中，利用利用BODE图进行综合设计时

2、，稳定性分析发挥了重要作用。图进行综合设计时，稳定性分析发挥了重要作用。 线性反馈控制系统的基本组成：受控对象、控制器、检线性反馈控制系统的基本组成：受控对象、控制器、检测装置。测装置。 经典控制理论：单经典控制理论：单-单系统，反馈量为系统的输出量；单系统，反馈量为系统的输出量； 现代控制理论：多现代控制理论：多-多系统，除输出反馈外，多系统，除输出反馈外，还用状态反还用状态反馈馈。第第6章第章第4页页2022年年5月月27日日6.1.2 性能指标的类型性能指标的类型 本章内容针对非优化型性能指标，常用的提法有：本章内容针对非优化型性能指标，常用的提法有：1）系统的）系统的镇定镇定：以渐近稳

3、定作为性能指标的综合问题。：以渐近稳定作为性能指标的综合问题。2）极点配置极点配置：以一组期望的闭环系统极点作为性能指标的综合问：以一组期望的闭环系统极点作为性能指标的综合问题。从线性定常系统的运动分析中可知，如时域中的超调量、过渡题。从线性定常系统的运动分析中可知，如时域中的超调量、过渡过程时间及频域中的幅值稳定裕度、相位稳定裕度，实质上都等价过程时间及频域中的幅值稳定裕度、相位稳定裕度，实质上都等价于系统极点的位置，因此相应的综合问题都可视为极点配置问题。于系统极点的位置，因此相应的综合问题都可视为极点配置问题。3）系统）系统解耦解耦：以使一个多输入多输出系统实现为：以使一个多输入多输出系

4、统实现为“一个输入只控一个输入只控制一个输出制一个输出”，作为性能指标。在工业过程控制中，解耦控制有着作为性能指标。在工业过程控制中，解耦控制有着重要的应用。重要的应用。4）跟踪跟踪问题：以使系统的输出问题：以使系统的输出y(t)无静差地跟踪外部信号无静差地跟踪外部信号r(t)作为性作为性能指标。能指标。第第6章第章第5页页2022年年5月月27日日6.1.3 线性反馈系统的基本结构线性反馈系统的基本结构1、输出反馈结构、输出反馈结构（任意配置极点条件：原系统状态完全能观）（任意配置极点条件：原系统状态完全能观）反馈信号回馈至状态微分处反馈信号回馈至状态微分处前后能观性保持不变，可能影响能控性

5、前后能观性保持不变，可能影响能控性第第6章第章第6页页2022年年5月月27日日 为了克服噪音、负载干扰的影响，利用反馈技术几乎是不可避为了克服噪音、负载干扰的影响，利用反馈技术几乎是不可避免的。在经典控制理论中，利用的是输出反馈。虽然这解决了单变免的。在经典控制理论中，利用的是输出反馈。虽然这解决了单变量系统的许多控制问题，但也暴露了许多经典控制理论的局限性。量系统的许多控制问题，但也暴露了许多经典控制理论的局限性。输出反馈结构输出反馈结构（不能配置极点）（不能配置极点）反馈信号回馈至输入信号的入口处反馈信号回馈至输入信号的入口处前后能观性、能控性保持不变。前后能观性、能控性保持不变。第第6

6、章第章第7页页2022年年5月月27日日2. 状态反馈结构（条件：原系统完全能控）状态反馈结构（条件：原系统完全能控） 前后能控性保持不变，可能影响能观性前后能控性保持不变，可能影响能观性 输出反馈在工程上构成方便，但输出量的个数往往小于状态变量的个输出反馈在工程上构成方便，但输出量的个数往往小于状态变量的个数，故状态反馈可调参数更多，有更多的控制余地，随着状态观测器和卡数，故状态反馈可调参数更多，有更多的控制余地，随着状态观测器和卡尔曼滤波理论的发展，状态反馈的物理实现问题也基本解决。尔曼滤波理论的发展，状态反馈的物理实现问题也基本解决。研究表明：研究表明：输出反馈可行，状态反馈可行；输出反

7、馈可行，状态反馈可行；状态反馈可行，输出反馈不一定可行。状态反馈可行，输出反馈不一定可行。第第6章第章第8页页2022年年5月月27日日3. 带状态观测器结构的控制系统带状态观测器结构的控制系统 把不能直接获取的状态变量重构出来，即构成一个仿真系统把不能直接获取的状态变量重构出来，即构成一个仿真系统（状态观测器），再组成状态反馈，解决了状态反馈的物理实现（状态观测器），再组成状态反馈，解决了状态反馈的物理实现问题。问题。全维状态观测器与被全维状态观测器与被控系统内部结构相同控系统内部结构相同第第6章第章第9页页2022年年5月月27日日4. 解耦控制系统解耦控制系统 化为化为n个独立的单输入单

8、输出系统，即传递函数阵个独立的单输入单输出系统，即传递函数阵W(s)为对角线阵。为对角线阵。2022年年5月月27日日第第6章第章第10页页 第第6章第章第11页页2022年年5月月27日日6.2.1 期望极点对系统动态性能的影响期望极点对系统动态性能的影响 1、系统极点对系统的影响、系统极点对系统的影响 系统极点在复平面上的分布是决系统极点在复平面上的分布是决定系统动态性能的主要因素。定系统动态性能的主要因素。 2、极点的选择、极点的选择 控制方案与性能指标之间，以及各个性能指标与极点分布间的控制方案与性能指标之间，以及各个性能指标与极点分布间的关系互相矛盾，其选择非常麻烦。在最优控制中，采

9、用某种综合关系互相矛盾，其选择非常麻烦。在最优控制中，采用某种综合目标函数目标函数J，通过使，通过使J最小来调和以上矛盾。最小来调和以上矛盾。3、极点配置极点配置 通过对反馈矩阵的设计，使闭环系统的极点为所期望的极点，通过对反馈矩阵的设计，使闭环系统的极点为所期望的极点，以获得理想的动态特性。以获得理想的动态特性。213%(0.05)snet ，第第6章第章第12页页2022年年5月月27日日6.2.2 状态反馈与极点配置（单状态反馈与极点配置（单-单系统）单系统） 如图，被控系统见虚线框内，矩阵如图，被控系统见虚线框内，矩阵K是反馈控制（系数）矩阵。是反馈控制（系数）矩阵。 uy xAxbc

10、x原原被被控控系系统统的的状状态态空空间间表表达达式式;()v y xAbK xbcx1nn 1状态方程改变，状态方程改变，输出方程不变。输出方程不变。1;( )()( )det()W ssfsc IAbKbIAbK带状态反馈系统的表达式：带状态反馈系统的表达式：A+b cyKu-vuv Kx xx原被控系统原被控系统1. 带状态反馈系统的数学描述带状态反馈系统的数学描述2. 极点配置极点配置通过对反馈矩阵通过对反馈矩阵K的设计，可以改变闭环特征多项式的系数，从而使的设计，可以改变闭环特征多项式的系数，从而使闭环系统的极点为所期望的极点，以获得理想的动态特性。闭环系统的极点为所期望的极点，以获

11、得理想的动态特性。 第第6章第章第13页页2022年年5月月27日日6.2.3 单变量系统极点配置定理单变量系统极点配置定理1、极点配置的条件、极点配置的条件 采用状态反馈任意配置闭环极点的充要条件是原系统采用状态反馈任意配置闭环极点的充要条件是原系统(A,b,c)完全能控。完全能控。 2.证明：化为能控标准型证明：化为能控标准型uy xAxbcxuyxAxbc x-10121010000100001naaaaAT AT-1，xTxxT x0001 b第第6章第章第14页页2022年年5月月27日日01101100000000001nnkkkkkk b K011nkkkK引入状态反馈引入状态反

12、馈()vy；xAbK xbcx00112211010000100001()()()()nnakakakakA bKuyxAxbc x 加入状态反馈后，仍为能控标准型，加入状态反馈后，仍为能控标准型， 、 阵未变，故阵未变，故零点（分子）未变；零点（分子）未变； 阵改变，阵改变，极点（分母）改变。极点（分母）改变。bcA第第6章第章第15页页2022年年5月月27日日1111100( ) |()|()()()nnnnakakakfIAbK所以得证：原系统完全能控，闭环系统的极点可以任意配置。所以得证：原系统完全能控，闭环系统的极点可以任意配置。（重要）（重要）1110( ) |nnnfaaaIA

13、00112211010000100001()()()()nnakakakakA bK 加入状态反馈后，仍为能控标准型，加入状态反馈后，仍为能控标准型， 、 阵未变，故阵未变，故零点（分子）未变；零点（分子）未变； 阵改变，阵改变，极点（分母）改变。极点（分母）改变。bcA当反馈阵的元素值改变时，闭环多项当反馈阵的元素值改变时，闭环多项式的各项系数均发生变化，因此，反式的各项系数均发生变化，因此，反馈后系统的闭环特征值亦改变。馈后系统的闭环特征值亦改变。 第第6章第章第16页页2022年年5月月27日日结论：结论： 利用状态反馈可以重新配置系统的极点，以改善系统的性能；利用状态反馈可以重新配置系

14、统的极点，以改善系统的性能； 只有所有状态能控才可能通过引入状态反馈并通过输入只有所有状态能控才可能通过引入状态反馈并通过输入u影响所影响所有状态（改变极点），故系统能够通过状态反馈配置极点的前有状态（改变极点），故系统能够通过状态反馈配置极点的前提是系统能控（提是系统能控（不可控极点与输入无关，不可改变不可控极点与输入无关，不可改变）；）； 状态反馈不影响系统的能控性状态反馈不影响系统的能控性，不改变系统传递函数（阵）的，不改变系统传递函数（阵）的分子，但改变分母（极点）；分子，但改变分母（极点）； 当系统原传递函数（阵）有零点时，可能在改变了分母后，引当系统原传递函数（阵）有零点时，可能在

15、改变了分母后，引起零极点对消，影响系统的能观性。起零极点对消，影响系统的能观性。 尽量选择状态变量在物理上容易采集的实现作为原系统的实现。尽量选择状态变量在物理上容易采集的实现作为原系统的实现。第第6章第章第17页页2022年年5月月27日日2、极点配置算法、极点配置算法1）非奇异变换法）非奇异变换法（1）判断能控性）判断能控性（2）对于系统）对于系统(A,b,c)，确定使系统转换为能控标准型的非奇，确定使系统转换为能控标准型的非奇异变换阵异变换阵T ，化为能控标准型，并求原系统特征多项式为，化为能控标准型，并求原系统特征多项式为（3）引入反馈矩阵）引入反馈矩阵1111100( ) |()|(

16、)()nnnnfakakak（）IAbK011nkkkK1110( ) |nnnfaaaIA第第6章第章第18页页2022年年5月月27日日（4）根据闭环系统期望特征值，导出期望特征多项式）根据闭环系统期望特征值，导出期望特征多项式*121*1*110()()()()nnnnfaaa（5）确定能控标准型下反馈增益矩阵）确定能控标准型下反馈增益矩阵*000111111( )( ),.,nnnffkaakaakaa（6）求对应于给定状态的）求对应于给定状态的K（注意）（注意） 根据以上标准算法，可用根据以上标准算法，可用MATLAB编写程序，求解给定系统进行极编写程序，求解给定系统进行极点配置所需

17、的反馈矩阵点配置所需的反馈矩阵K。 也可不化为能控标准型，直接按照定义求解也可不化为能控标准型，直接按照定义求解K。*1*110( ) |()|nnnaaafIAbK-1uvvv，KxKTxKxKKTKKT期望特征多项式期望特征多项式第第6章第章第19页页2022年年5月月27日日2）直接代入法）直接代入法3）爱克曼公式（）爱克曼公式（Ackermanns Formula） 以上以上3种方法所得到的反馈增益矩阵种方法所得到的反馈增益矩阵K是相同的。如果系是相同的。如果系统的阶次统的阶次n4，则推荐使用第一种与第三种方法，因为所有，则推荐使用第一种与第三种方法，因为所有的矩阵计算都可由计算机实现

18、。如果使用第二种方法，由于的矩阵计算都可由计算机实现。如果使用第二种方法，由于计算机不能处理含有未知参数的特征方程，因此必须进行手计算机不能处理含有未知参数的特征方程，因此必须进行手工计算。工计算。不化为能控标准型，直接按照定义求解不化为能控标准型，直接按照定义求解K。( ) |()|*( )ffIAbK期望特征多项式期望特征多项式状态反馈后的状态反馈后的特征多项式特征多项式第第6章第章第20页页2022年年5月月27日日例例6.1 试确定状态反馈增益矩阵，使闭环系统的极点为试确定状态反馈增益矩阵，使闭环系统的极点为-2，-1j。解：解：1）系统为能控标准型。）系统为能控标准型。0100001

19、002311000uy xxxuyx13x 32xx 21xx 103232( )32f第第6章第章第21页页2022年年5月月27日日2）加入反馈矩阵）加入反馈矩阵012kkkK由相关结论可得：由相关结论可得：32210( ) |()|(3)(2)fkkkIAbK3）期望闭环特征方程）期望闭环特征方程*32()(2)(1)(1)464fjj4）比较系数）比较系数*( )( )441ff K第第6章第章第22页页2022年年5月月27日日5）设状态变量直接可测，画出其引入状态反馈后的模拟方框图）设状态变量直接可测，画出其引入状态反馈后的模拟方框图第第6章第章第23页页2022年年5月月27日日

20、 设计图中系统的反馈控制矩阵设计图中系统的反馈控制矩阵K=k1 k2 k3，使闭，使闭环系统满足下列动态指标：环系统满足下列动态指标： （1） %5%； （2）ts 0.5s； （3）跟踪单位阶跃信号的稳态误差为零。）跟踪单位阶跃信号的稳态误差为零。 例例6.2第第6章第章第24页页2022年年5月月27日日0100012101000061 ，Abc解：解：1）首先建立原系统对应的状态空间表达式：）首先建立原系统对应的状态空间表达式：非能控标准型非能控标准型321( )1872W ssssx36-uy3x x212-2x x11x 第第6章第章第25页页2022年年5月月27日日2）求期望的共

21、轭闭环主导极点和其它闭环极点）求期望的共轭闭环主导极点和其它闭环极点由二阶系统的动态性能指标，由二阶系统的动态性能指标， %5% ，ts 0.5s：可得：可得： 0.707， n 6，选定选定 =0.707， n =10得期望闭环主导极点为：得期望闭环主导极点为：21,23*17.077.07*100nnjj ，取取则期望特征多项式为：则期望特征多项式为：*32( )100 (7.077.07)(7.077.07)114.1151010000fjj（）213%(0.05)snet ，第第6章第章第26页页2022年年5月月27日日3）求反馈矩阵）求反馈矩阵K方法方法1（标准算法）（标准算法）（

22、1）判断能控性）判断能控性（2）对于系统）对于系统(A,b,c)，确定使系统转换能控标准型的非奇，确定使系统转换能控标准型的非奇异变换阵异变换阵T，并求得原系统特征多项式，并求得原系统特征多项式 f ( )与相应系数与相应系数ai （3）确定能控标准型下反馈增益矩阵）确定能控标准型下反馈增益矩阵*000111111( )( ).nnnffkaakaakaa，（4）求对应于给定状态的）求对应于给定状态的K-1KKT第第6章第章第27页页2022年年5月月27日日方法方法2进行状态反馈进行状态反馈0100012101000061 ，Abc123kkkK123000000kkk123( ) |()|

23、000100()0001210000061fkkk IAbKIAbK*32( )114.1151010000f10000284.896.1K123123000101000012101210066kkkkkk 323231( )(18)(1272)fkkkk不化为能控标准型，直接按照定义求解不化为能控标准型，直接按照定义求解K。( ) |()|*( )ffIAbK期望特征多项式期望特征多项式状态反馈后的状态反馈后的特征多项式特征多项式第第6章第章第28页页2022年年5月月27日日4）确定输入放大系数确定输入放大系数f反馈后的闭环系统的传递函数反馈后的闭环系统的传递函数 由于要求跟踪单位阶跃信号

24、的稳态误差为零，故闭环系由于要求跟踪单位阶跃信号的稳态误差为零，故闭环系统的闭环传递系数应该为统的闭环传递系数应该为1，添加输入变换放大器，添加输入变换放大器f， f=10000。 32( )114.1151010000fssss第第6章第章第29页页2022年年5月月27日日x3-uy3 xx212-2 xx11 x96.1+284.8+10000+原受控系统原受控系统状态反馈状态反馈6fv第第6章第章第30页页2022年年5月月27日日状态反馈前后性能比较状态反馈前后性能比较1. 状态反馈前状态反馈前反馈前无法跟踪反馈前无法跟踪阶跃信号阶跃信号第第6章第章第31页页2022年年5月月27日

25、日2. 状态反馈后状态反馈后动态性能满足要求动态性能满足要求 补偿放大系数，补偿放大系数，保持稳态性能。保持稳态性能。第第6章第章第32页页2022年年5月月27日日3. 状态反馈的特点（单状态反馈的特点（单-单系统）单系统）1）状态反馈不会引入新的状态变量，不增加系统维数）状态反馈不会引入新的状态变量，不增加系统维数（引入反馈后系统矩阵（引入反馈后系统矩阵A =A-bK）；）；2）状态反馈不改变系统零点；）状态反馈不改变系统零点；3）状态反馈保持系统能控性状态反馈保持系统能控性，从系统能控标准型出发进，从系统能控标准型出发进行状态反馈，所得闭环系统状态矩阵、输入矩阵仍保行状态反馈，所得闭环系

26、统状态矩阵、输入矩阵仍保持能控标准型；但不一定能保持系统能观测性（由于持能控标准型；但不一定能保持系统能观测性（由于传递函数分母改变，可能有零极点对消）。传递函数分母改变，可能有零极点对消）。第第6章第章第33页页2022年年5月月27日日 对于单输入量系统，状态反馈矩阵对于单输入量系统，状态反馈矩阵K是一个是一个n维（维（1n）行向量，由于单输入量系统的能控标准型是唯一的，系统对行向量，由于单输入量系统的能控标准型是唯一的，系统对于实现确定的期望极点的反馈矩阵于实现确定的期望极点的反馈矩阵K有唯一解。有唯一解。 而多输入系统的状态反馈矩阵而多输入系统的状态反馈矩阵K是一个（是一个（rn）维矩

27、阵，）维矩阵，r为输入量的维数，考虑到多输入系统的能控标准型不是唯一为输入量的维数，考虑到多输入系统的能控标准型不是唯一的，系统的状态反馈矩阵的，系统的状态反馈矩阵K的解不是唯一的。因此，多输入的解不是唯一的。因此，多输入系统采用状态反馈比较复杂。系统采用状态反馈比较复杂。;()v y xABK xBCxrnn r注意：注意：第第6章第章第34页页2022年年5月月27日日6.2.4 状态反馈下闭环系统的镇定问题状态反馈下闭环系统的镇定问题1. 定义定义 受控系统能够通过状态反馈保证闭环系统的极点全受控系统能够通过状态反馈保证闭环系统的极点全部具有负实部（包括被零点消去的极点），以保证系统部具

28、有负实部（包括被零点消去的极点），以保证系统是渐近稳定的，则该系统是状态反馈能够镇定的。是渐近稳定的，则该系统是状态反馈能够镇定的。2. 条件条件 系统不能控子系统是渐近稳定的，即不能控子系统系统不能控子系统是渐近稳定的，即不能控子系统的极点具有负实部。的极点具有负实部。第第6章第章第35页页2022年年5月月27日日例例6.4112233101002001021xxxxuxx 判断系统是否为可镇定的，若是可镇定的，试用状态反馈使闭环系统为判断系统是否为可镇定的，若是可镇定的，试用状态反馈使闭环系统为渐近稳定。渐近稳定。解：解：1）判别系统能控性）判别系统能控性01300023125rank，

29、2MbAbA bM124010001120cRRRRM阵外选阵外选2）能控性结构分解）能控性结构分解1201100010c R第第6章第章第36页页2022年年5月月27日日分解后系统的状态表达式：分解后系统的状态表达式：-1-1010113000002uu cccxRAR xb+ Rx不能控子空间为一维，是稳定的，原系统是可镇定的不能控子空间为一维，是稳定的，原系统是可镇定的120.3822.618，2011( )31130uf ，ccxx原系统不稳定原系统不稳定322ccxx ，第第6章第章第37页页2022年年5月月27日日3）由状态反馈使系统成为渐近稳定）由状态反馈使系统成为渐近稳定1

30、2kkK状态反馈后能控子系统的闭环系统特征多项式为：状态反馈后能控子系统的闭环系统特征多项式为：2121( ) |()|(3)3 cccfkkk（1）IAb K由劳斯判据，系统稳定的条件是由劳斯判据，系统稳定的条件是1238kk，4）求对应于原给定状态的）求对应于原给定状态的K-1121221232010100010(02)kkkkkkkkcKKR能控部分能控部分2022年年5月月27日日第第6章第章第38页页6.3 输出反馈输出反馈第第6章第章第39页页2022年年5月月27日日() xAHC xBuyCx( )det()fIAHC 闭环极点任意配置的条件闭环极点任意配置的条件 受控系统受控

31、系统(A，B，C)，用输出反馈至输入矩阵，用输出反馈至输入矩阵B的后端时，能够任的后端时，能够任意配置系统闭环极点的充要条件是原受控系统完全能观测。并且，反馈前意配置系统闭环极点的充要条件是原受控系统完全能观测。并且，反馈前后能观性保持不变，但由于极点变化，可能引起零极点相消，使系统能控后能观性保持不变，但由于极点变化，可能引起零极点相消，使系统能控性改变。性改变。 第第6章第章第40页页2022年年5月月27日日 HC相当于状态反馈中的相当于状态反馈中的K（r n维），但由于维），但由于mn，所以，所以H（r m维）可供选择的自由度比维）可供选择的自由度比K小，因此这种输出反馈仅相当于部分状

32、态小，因此这种输出反馈仅相当于部分状态反馈，无法实现极点的任意配置。反馈，无法实现极点的任意配置。 () xAxBuABHC xBvyCx( )det()fIABHC第第6章第章第41页页2022年年5月月27日日1）状态反馈和输出反馈都是线性反馈，均不增加新的状态变量。）状态反馈和输出反馈都是线性反馈，均不增加新的状态变量。2）状态反馈前后系统能控性不变，但可能改变能观性；输出反馈前后系统能观性不）状态反馈前后系统能控性不变，但可能改变能观性；输出反馈前后系统能观性不变，但可能改变能控性。变，但可能改变能控性。3）实现状态反馈的前提是状态变量必须是物理上可测量的，对某些系统这个条件可）实现状

33、态反馈的前提是状态变量必须是物理上可测量的，对某些系统这个条件可能并不满足。而输出反馈在反馈量的获取上不存在困难，工程上构成方便。能并不满足。而输出反馈在反馈量的获取上不存在困难，工程上构成方便。4）用状态反馈实现闭环极点的任意配置时，反馈矩阵）用状态反馈实现闭环极点的任意配置时，反馈矩阵K是常数阵，即比例反馈。而是常数阵，即比例反馈。而用输出反馈除了比例反馈之外，可能还需要速度反馈甚至加速度反馈，即需要一阶用输出反馈除了比例反馈之外，可能还需要速度反馈甚至加速度反馈，即需要一阶、二阶微分环节，工程实现较困难，且容易通过干扰噪声，抗干扰能力下降。、二阶微分环节，工程实现较困难，且容易通过干扰噪

34、声，抗干扰能力下降。5）除极点配置外，状态反馈还可以用于其他方面，如实现系统的解耦控制、改善跟）除极点配置外，状态反馈还可以用于其他方面，如实现系统的解耦控制、改善跟踪系统的稳态性能、构成最优调节器等。踪系统的稳态性能、构成最优调节器等。6）综合两种反馈形式，状态反馈具有更多的控制余地和更好的控制性能，而且随着）综合两种反馈形式，状态反馈具有更多的控制余地和更好的控制性能，而且随着观测器理论和卡尔曼滤波理论的发展，状态反馈的物理实现已经基本解决，因此具观测器理论和卡尔曼滤波理论的发展，状态反馈的物理实现已经基本解决，因此具有更大的适应性。有更大的适应性。2022年年5月月27日日第第6章第章第

35、42页页第第6章第章第43页页2022年年5月月27日日 状态反馈中隐含了一个假设：所有状态变量能被测状态反馈中隐含了一个假设：所有状态变量能被测量以供反馈所用。实际上许多状态变量不能测量甚至没量以供反馈所用。实际上许多状态变量不能测量甚至没有物理意义；或者在物理上难以测量。有物理意义；或者在物理上难以测量。 状态重构：状态重构：重新构造新的系统，利用原系统能够直重新构造新的系统，利用原系统能够直接测量的信号作为输入，则新系统的状态在一定条件下接测量的信号作为输入，则新系统的状态在一定条件下能与原系统的状态能与原系统的状态 x 相等。相等。 xx第第6章第章第44页页2022年年5月月27日日

36、 龙倍格（龙倍格（Luenberger）首先提出了一种较具一般性）首先提出了一种较具一般性的状态观测器设计方法，适用于确定性系统（系统假设的状态观测器设计方法，适用于确定性系统（系统假设无噪声）。我们所介绍的状态观测器可视为龙倍格观测无噪声）。我们所介绍的状态观测器可视为龙倍格观测器的一种特殊情况（确定性全维状态观测器）。器的一种特殊情况（确定性全维状态观测器）。 卡尔曼（卡尔曼（Kalman）滤波器适用于有噪声污染的情况，）滤波器适用于有噪声污染的情况，也就是通常所说的最优估计或最优滤波，属于随机最优也就是通常所说的最优估计或最优滤波，属于随机最优控制的内容。控制的内容。第第6章第章第45页

37、页2022年年5月月27日日6.4.1 开环状态观测器开环状态观测器uA+BCyA+B开环状态观测器开环状态观测器原系统结构原系统结构x xx xC y第第6章第章第46页页2022年年5月月27日日 开环观测器是根据已知被控对象的开环观测器是根据已知被控对象的A、B、C建造的模拟建造的模拟系统。显然，系统。显然，在同一个输入作用及相同的初态下，模拟在同一个输入作用及相同的初态下，模拟系统与原系统动态行为相同系统与原系统动态行为相同。因而，可以期望二者状态。因而，可以期望二者状态相等。相等。 开环观测器的状态既表示观测器的状态，同时也表示被开环观测器的状态既表示观测器的状态，同时也表示被控对象

38、状态的估计值。控对象状态的估计值。 通常，开环观测器由电子模拟设备或计算机构成，其状通常，开环观测器由电子模拟设备或计算机构成，其状态变量很容易测量，从而可以通过观测器获取被控系统态变量很容易测量，从而可以通过观测器获取被控系统的状态。的状态。第第6章第章第47页页2022年年5月月27日日开环观测器的缺点：开环观测器的缺点：（1）每使用一次观测器，必须计算出被观测对象的初态，）每使用一次观测器，必须计算出被观测对象的初态，以此设置观测器的初态，给系统实际应用带来不便。以此设置观测器的初态，给系统实际应用带来不便。（2）系统中难免存在干扰，如果被控系统矩阵）系统中难免存在干扰，如果被控系统矩阵

39、A中包含中包含正的特征值，则随着时间的增长，状态观测误差将达到正的特征值，则随着时间的增长，状态观测误差将达到任意大。任意大。 存在估计误差存在估计误差 x = x - x第第6章第章第48页页2022年年5月月27日日6.4.2 闭环全维状态观测器闭环全维状态观测器闭环观测器闭环观测器uA+BCyA+BCGx xx x+- x y状态观测器的状状态观测器的状态空间描述为态空间描述为()()( )det()fxAxBuGyAxBuGC xxAGC xBuGyyCxIAGC闭环观测器的特征多项式闭环观测器的特征多项式nm y = y - yy对状态观测器相当于外部输入对状态观测器相当于外部输入原

40、系统结构原系统结构 y-第第6章第章第49页页2022年年5月月27日日()()()()xxxAxGCxBuGCxAxBuAGCxxAGC x状态误差方程为状态误差方程为()000000limill mimttttet0，A GCxxxxxxxx 显然，无论初始偏差如何（干扰也表现为初始偏差），只要合理选择显然，无论初始偏差如何（干扰也表现为初始偏差），只要合理选择G，使，使A-GC的特征值均具有负的实部，状态观测误差将迅速减至的特征值均具有负的实部，状态观测误差将迅速减至0，即观，即观测器的状态将趋于被控系统的状态。因此，这种闭环观测器也称为测器的状态将趋于被控系统的状态。因此，这种闭环观测

41、器也称为渐近渐近观测器观测器。()xAGC xBuGy第第6章第章第50页页2022年年5月月27日日问题是：问题是： 是否存在一个反馈矩阵是否存在一个反馈矩阵G，使得，使得A- GC的特征值可以任的特征值可以任意配置。意配置。定理：定理： 设动力学系统设动力学系统(A,B,C)状态是完全能观测的，状态是完全能观测的，则可任意配置观测器的极点。所配置极点的位置则可任意配置观测器的极点。所配置极点的位置决定了状态观测误差衰减为决定了状态观测误差衰减为0的速度。的速度。 利用对偶原理，可以容易地证明该定理。利用对偶原理，可以容易地证明该定理。第第6章第章第51页页2022年年5月月27日日几点说明

42、：几点说明：1. 若原系统不完全能观，可将其分解为能观和不能观子系统。只若原系统不完全能观，可将其分解为能观和不能观子系统。只有当不能观的子系统为渐近稳定时，设计的观测器才稳定，否则有当不能观的子系统为渐近稳定时，设计的观测器才稳定，否则观测器不稳定；观测器不稳定；2. 反馈矩阵反馈矩阵G的极点可以完全按照极点配置算法进行。而观测器的的极点可以完全按照极点配置算法进行。而观测器的极点离虚轴越远，状态误差趋于零的速度就越快。但若极点过于极点离虚轴越远，状态误差趋于零的速度就越快。但若极点过于远离虚轴，远离虚轴，G阵必须有很大的增益，会受到元件非线性饱和特性的阵必须有很大的增益，会受到元件非线性饱

43、和特性的限制；且系统响应速度过快，系统的频段变宽，易于受各种高频限制；且系统响应速度过快，系统的频段变宽，易于受各种高频干扰信号的影响。干扰信号的影响。3. 一般选观测器的极点稍小于系统的极点，即状态误差向量衰减一般选观测器的极点稍小于系统的极点，即状态误差向量衰减的速度稍快于系统瞬态响应的速度；的速度稍快于系统瞬态响应的速度；4. 观测器的设计主要考虑克服初始条件不同的影响，在物理实现观测器的设计主要考虑克服初始条件不同的影响，在物理实现时尽可能使两系统参数相同并采用高精度的元器件。时尽可能使两系统参数相同并采用高精度的元器件。第第6章第章第52页页2022年年5月月27日日6.4.3 配置

44、状态观测器反馈增益矩阵配置状态观测器反馈增益矩阵G的方法（的方法（非奇异变换法非奇异变换法 ）（类似状态反馈矩阵的求解）（类似状态反馈矩阵的求解）1、对于系统、对于系统(A, B, C)，确定非奇异变换阵，确定非奇异变换阵T，求得能观测标准型，求得能观测标准型 111111101nnnaaaCATCAC0011-1-111001,01001nnacacac，AT ATBT BT ATBT BCCTCCT其中其中为系统特征多项式的各项系数；为系统特征多项式的各项系数；01-1naaa、 、第第6章第章第53页页2022年年5月月27日日2、根据能观测标准型，导出状态观测器特征多项式、根据能观测标

45、准型，导出状态观测器特征多项式 *1*110( )nnnfaaa1111100( ) |()|()()nnnnfagagagIAGC5、求对应于给定状态的、求对应于给定状态的G3、根据状态观测器期望特征值，导出期望特征多项式、根据状态观测器期望特征值，导出期望特征多项式4、由、由2、3相等可得能观测标准型下反馈增益矩阵相等可得能观测标准型下反馈增益矩阵GG =TG或按照定义直接求给定状态的或按照定义直接求给定状态的G011TngggG 证明了系统能观不仅能够保证利证明了系统能观不仅能够保证利用状态观测器重构系统的状态，还用状态观测器重构系统的状态，还可以通过反馈矩阵可以通过反馈矩阵G的选择实现

46、观测的选择实现观测器极点的任意配置。器极点的任意配置。*( )()( )ffIAGC第第6章第章第54页页2022年年5月月27日日例例6.6 设计状态观测器，观测器极点配置设计状态观测器，观测器极点配置为为-9，-9。解：可以判断原受控系统完全能观。解：可以判断原受控系统完全能观。01023120uy xxx12ggG1122122112*2220202021( )det()223(23)(622)( )(9)1881gggggfggggfGcIAGC7.517G第第6章第章第55页页2022年年5月月27日日第第6章第章第56页页2022年年5月月27日日6.4.4 降维状态观测器降维状态

47、观测器 对于一个能观测系统，全维状态观测器与原系统维数相同对于一个能观测系统，全维状态观测器与原系统维数相同，可以重构出所有的系统状态变量。实际上，有一些状态变，可以重构出所有的系统状态变量。实际上，有一些状态变量可以直接或间接地通过传感器准确量测的，不必再估计。量可以直接或间接地通过传感器准确量测的，不必再估计。因此，状态观测器的维数可以降低，观测器的实现也就比较因此，状态观测器的维数可以降低，观测器的实现也就比较容易和简单。当观测器的维数小于原系统维数时，这种观测容易和简单。当观测器的维数小于原系统维数时，这种观测器称为器称为降维观测器降维观测器。 假设状态向量假设状态向量x为为n维向量，

48、输出向量维向量，输出向量y为可量测的为可量测的m维向量维向量。由于。由于m个输出变量均是状态变量的线性组合，所以个输出变量均是状态变量的线性组合，所以m个状态个状态变量就不必进行估计，只需估计其余变量就不必进行估计，只需估计其余n-m个状态变量即可。因个状态变量即可。因此，该降维观测器为此，该降维观测器为n-m维观测器，这样的维观测器，这样的n-m维观测器就是维观测器就是最小阶观测器最小阶观测器。第第6章第章第57页页2022年年5月月27日日建立建立n-m维子系统动态方程维子系统动态方程其中，其中，m维分状态维分状态 可直接由可直接由y提供，只须估计提供，只须估计n-m维维 即可，即可， 其

49、状态可用其状态可用n-m维龙倍格观测器进行估计。维龙倍格观测器进行估计。1DTCD为（为（n-m） n维矩阵，维矩阵，D的选择应使的选择应使T可逆；可逆；C为受控系统的输出矩阵。为受控系统的输出矩阵。则线性变换后，系统的动态方程为则线性变换后，系统的动态方程为 12xx =xnmm n mm111122122AAA T ATAAn mmn mmr112BBT BB n mm 0C CTIm2x2x1x2022年年5月月27日日第第6章第章第58页页第第6章第章第59页页2022年年5月月27日日 对于具有能控、能观性，但状态不可量测的对于具有能控、能观性，但状态不可量测的受控系统，状态观测器解

50、决了状态重构的问题，受控系统，状态观测器解决了状态重构的问题，使得受控系统实现状态反馈成为可能。使得受控系统实现状态反馈成为可能。第第6章第章第60页页2022年年5月月27日日6.5.1 系统的结构与数学模型系统的结构与数学模型设系统为能控、能观的设系统为能控、能观的n 阶系统，状态空间描述为阶系统，状态空间描述为 xA xB uy+C xn维状态观测器的状态空间描述为维状态观测器的状态空间描述为uvKx) ( xAGCxBuGyyCx 将状态观测器重构的将状态观测器重构的状态，通过反馈矩阵状态，通过反馈矩阵K，负反馈至系统输入信号负反馈至系统输入信号的入口处，反馈控制律的入口处，反馈控制律

51、为为第第6章第章第61页页2022年年5月月27日日uA+BCy+x ABCy GK+-vxx x x y- yuvKx状态观测器状态观测器状态反馈状态反馈原系统原系统() ()()()(xAxB vKxAxBKxBvxAGC xBuGyAGC xB vKxGCxAGCBK xGCxBv第第6章第章第62页页2022年年5月月27日日 可见，闭环系统的维数为可见，闭环系统的维数为2n，是原系统的，是原系统的2倍。其中：倍。其中：原受控系统原受控系统n阶，观测器阶，观测器 n 阶。阶。() ()()()(xAxB vKxAxBKxBvxAGC xBuGyAGC xB vKxGCxAGCBK xG

52、CxBv 0 xABKxBvGCA BK GCxBxxyCx第第6章第章第63页页2022年年5月月27日日 只要适当选择只要适当选择G保证观测器的特征值均具有负实部，就保证观测器的特征值均具有负实部，就能保证状态观测误差趋于能保证状态观测误差趋于0，即以状态观测器的状态代替，即以状态观测器的状态代替被控对象状态进行反馈不会影响系统稳态特性。被控对象状态进行反馈不会影响系统稳态特性。 而在估计误差趋于而在估计误差趋于0的过程中，这种替代对系统的瞬态性的过程中，这种替代对系统的瞬态性能会有影响。这些影响中，最关心系统的稳定性。能会有影响。这些影响中，最关心系统的稳定性。第第6章第章第64页页20

53、22年年5月月27日日()()bf（ ）IAIABKIAGC6.5.2 闭环系统的基本特性闭环系统的基本特性10，IPPPII取非奇异变换阵取非奇异变换阵对原系统作非奇异变换对原系统作非奇异变换由于非奇异变换不改变系统的特征值，故系统的特征多项式为由于非奇异变换不改变系统的特征值，故系统的特征多项式为 可见，闭环系统特征值多项式等于观测器的特征值多项式与按被控可见，闭环系统特征值多项式等于观测器的特征值多项式与按被控系统真实状态进行状态反馈后的闭环系统特征值多项式的乘积系统真实状态进行状态反馈后的闭环系统特征值多项式的乘积。1v 000，得得xxPxxxABKBKxBxAGCxxyCx 0 xABKxBvGCA BKGCxBxxyCx第第6章第章第65页页2022年年5月月27日日1、状态观测器是按照设计后观测器特征值均具有负实部这一原则进行设、状态观测器是按照设计后观测器特征值均具有负实部这一原则进行设计的；同样，设计状态反馈时，期望