求极限的方法探讨

1、求极限的方法探讨摘 要极限是高等数学中最重要、最基本的概念之一,是其他知识点的基础,如导数、微分、积分、级数等都是在极限概念的基础上建立的.因此,掌握求极限的方法至关重要.由于极限定义的高度抽象,致使我们很难用极限定义本身去求极限;又由于极限运算分布于整个高等数学的始终,许多重要的概念是由极限定义的,反过来我们也可以用这些概念来求一些极限,所以求极限运算方法十分繁多,本文主要通过例题归纳和总结常见的求极限的方法.并指出了求函数极限中的易错点.【关键词】极限 函数 求法AbstractThe limit of higher mathematics is the most important, i

2、n one of the most basic concept, is the foundation of knowledge, such as other derivative, differential and integral, series are established on the basis of the concept of limit. Therefore, master the methods for limit is very important. Due to the limit of the highly abstract definition, cause we d

3、efine itself is difficult to use limit to ask limit; Also, because limit operation distributed throughout the higher mathematics the always, many important concept is defined by the limit, and in turn we can also use these concepts to ask some limit, therefore may limit operation method is mainly th

4、rough various, this paper sample summed up the limits of the common method for. And points out the easy for function limit fault point.Keywords limit function methods目 录第一章 序论11.1极限理论的确定11.2函数极限的地位11.3极限的概念2第二章 极限的证明32.1定义法32.2 柯西收敛准则法4第三章 求极限的常用方法63.1利用极限的四则运算法则的方法求极限63.2利用两个重要极限公式及其推导公式的方法求极限83.3利

5、用函数连续性的方法求极限93.4利用函数极限的存在定理的方法求极限103.5利用等价无穷小的方法求极限113.6利用洛必达法则的方法求极限133.7利用函数的左右极限的方法求极限163.8利用泰勒公式的方法求极限173.9利用定积分的方法求极限183.10利用微分中值定理的方法求极限193.11利用导数的定义的方法求极限193.12利用级数收敛的必要条件的方法求极限203.13利用变量代换法的方法求极限21结束语22参考文献23谢 辞2424第一章 序论1.1极限理论的确定十七世纪中叶,随着微积分学的诞生,极限作为数学中的一个概念也就明确地提了出来.但最初提出的极限概念是含糊不清的,许多理论常

6、常难以自圆其说,甚至自相矛盾.极限理论的确立使数学中出现的暂时的混乱局面.到十九世纪才有了改善,首次给出极限严格定义的是捷克斯洛伐克的数学家贝尔纳波尔查诺,但对他来说有点不幸的是,他的数学著作多半被他的同时代的人所忽视,他的许多成果等到后来才被重新发现,但此时功劳已被别人抢占或只能与别人分享了.1820 年,法国著名数学家柯西研究了极限定义,并创造性地用极限理论把微积分学中的定理加以严格的系统的证明.但柯西的极限定义用了描述性语言“无限的趋近”“随意小”,不够精确.这一点后来由德国数学家魏尔斯特拉斯给出精确的“- ”方法,获得了圆满解决.至此,极限概念和极限理论才完全严格地确定了下来,成为高等

7、数学教材中所显示的样子.1.2函数极限的地位函数极限是高等数学最基本的要领之一,常常通过分析变量的极限,引出高等数学的新概念如:函数值的增量与自变量增量比值的极限就是函数的导数;一元函数与小区间长度乘积的和式的极限是定积分;二元函数与小矩形面积乘积的和式的极限是二重积分等等总之,和式的内容不一样,所定义的名称也不一样.这些导数定义、积分定义都是由变量的极限脱胎而来的.此外,泛函分析和拓扑学等则是极限的发展和深化.函数的极限既然是微积分的一个重要内容.于是如何求出已知函数的极限,就是学习微积分必须掌握的基本技能.1.3极限的概念 极限的概念是由于求某些实际问题精确解答而产生的.例如我国古代数学家

8、刘薇利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法割圆术,就是极限思想在几何学上的应用.在此,将极限分为数列极限和函数极限加以讨论.（1）数列极限定义1.3.1 设为数列,为定数若对任何的正数,总存在正整数,使得当时有则称数列收敛于,定数称为数列的极限,并记作,或（2）函数极限a.趋于时函数的极限定义1.3.2 设为定义在上的函数,为定数.若对任给的,存在正数,使得当时有,则称函数当趋于时以为极限,记作 或 b.x趋于时函数的极限定义1.3.3 设函数在点的某个空心领域内有定义, 为定数.若对任给的,存在正数,使得当时有,则称函数当趋于时以为极限,记作 或 .第二章 极限的证明2.1定义法因为的含义是:

9、,当时,总有成立.又,即指,当时,总有成立.利用定义证明极限就必须注意与的关键作用,只有当或时才有估计式或,因而产生了利用定义证明极限的分段估值法.例2.1.1 已知数列满足条件,证明:证明:因为已知,当时有,下面关键是实现未知向已知转化,设法利用以后有上述估计式成立以及的固定性.对固定的,当时当时有:所以分段估值法（利用固定性）,在函数极限证明中同样使用.例2.1.2 设在内可导,且, 试证 证:由已知,当时有,取在上连续且可导,由拉氏定理有: 固定,取，并且当时有，则当时有，所以2.2 柯西收敛准则法 数列收敛的充要条件是:对,总某一个自然数,使得时有.都要这个条件所反映的事实是:收敛数列

10、各项的值愈是接近，以至它们之间差的绝对值可小于任何预先所给的正数.例2.2.1 设是一数列，试证若则 证明:已知,由柯西准则，当时，有亦即 由题设，当时有 故当时有 当足够大，如，可试与同时成立取有所以，即第三章 求极限的方法3.1 利用极限四则运算法则的方法求极限(1)极限四则运算法则对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则,法则本身简单，但为了能够使用这些法则.往往需要先对函数做某些恒等变形或化简，采用怎样的变形和化简，要根据具体的算式确定,常用的变形或化简有分式的约分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积分公式以及适当的变量替换.例

11、3.1.1 解:例3.1.2 求极限解: (2)用极限四则运算法则常见错误分析a.对无限个函数的和(或差,积等)用极限运算法则例3.1.3 求极限 错解: 对运算法则“有限个无穷小的和还是无穷小”往往易忽略“有限”这一前提条件,而对于“无穷多个”无穷小的和却不一定是无穷小.在使用“和的极限等于极限的和”时,只对有限个函数之和才适用,而本例中的项却不是有限的,所以导致错误.类似的问题还有不一定为0，不一定为0,比预定为1.在极限运算中,未得到证明的运算法则切不可按常量数学中去套用.变量数学与常量数学是有本质区别的.正解:因为 又， 由夹逼定理得:b.每个参与运算函数的极限不都存在时用极限运算法则

12、例3.1.4 错解: 分析: 上面计算中第一个等号是错误的,因为不存在,所以不能用极限的四则运算法则.正解:当时,是一个无穷小量,而,由无穷小量性质可得:c.分母的极限为零时,求商的极限用极限的四则运算法则.例3.1.5 错解：分析:极限四则运算法则明确指出,当及都存在且 时有,也就是说,商的极限的运算法则有个重要前提,即分母的极限不能为零. 本例中,显然不能用极限的四则运算法则.正解:由 由于无穷小量与无穷大量的导数关系,得3.2 利用两个重要极限公式及其推导公式的方法求极限(1)两个重要极限公式a.第一个重要极限:;其变形为:例3.2.1 求解:b.第二个重要极限:;其变形为:或;变形为:

13、例3.2.3 求 解:令 则 当， 所以(2)求极限时易忽视变量的变化过程例3.2.2 求 错解:此类错误产生的原因在于把与看成类似的，而忽略了当，这一变化过程.直接用重要极限公式进行计算.类似的错误还有, 等等. 正解:因为当，为一有界数.故3.3利用函数的连续性的方法求极限利用函数的连续性求极限包括若在点连续，则及若且在点连续,则例3.3.1 求 解:因为在处连续故例3.3.2 求 解:由于及函数在处连续，故3.4 利用函数极限的存在定理的方法求极限(1)夹逼准则若，且，则. 利用夹逼准则可将某函数适当缩小和放大,使得缩小和放大后得到的新函数的极限分别存在且相等,从而得到原函数的极限,即原

14、函数的极限就等于缩小或放大后的函数的极限.例3.4.1 求解:设 则有 于是 由，有 已知有(2)单调有界准则该准则是指:单调有界数列必存在极限.应用该准则求极限时,首先可用数学归纳法或不等式的收缩法来讨论数列的单调性和有界性,之后在令,然后解关于的方程,从而得出.例 3.4.2 设，试证数列极限存在并求之.解:由及知,若设,则有也就是说,对一切自然数,式子都成立,即数列单调递减.由及,可得,即数列有下界.根据极限存在定理知存在，设其极限为.然而对两边取极限,得,解之得,由于,故可得注:此种方法主要用于数列求极限.3.5 利用等价无穷小代换的方法求极限 (1)等价无穷小代换等价无穷小代换可简化

15、求极限的过程.常用的等价无穷小代换有:当时,.例3.5.1 计算解:时,;.于是 例3.5.2 求解:时,;, (2)用等价无穷小求极限应注意的问题我们知道用等价无穷小的方法求极限可以化繁为简,变难为易.然而,此方法并非万能,它的使用时有条件的,稍不注意就会出现计算错误.下面就计算时常见的误区做一些探析. 例3.5.3 错解:当时,有,， 故分析错误的原因在于对分式中的与分别使用了无穷小代换，并忽略了“0作为无穷小是比任何无穷小都高阶的无穷小” 这个结论.正解:当时,有, 这说明,求“”型的极限时,如果分子、分母是连乘、连除的形式时,可把分子或分母的某个函数用其等价无穷小来代换,以简化计算过程

16、;如果分子、分母是几个函数和、差的表达式时,我们不能无条件地对其中的某个函数进行代换.这时,需要根据不同情况，从下边的方法中悬着一种进行变形:一是把分子、分母进行整体代换;二是通过恒等变形把分子、分母转化为乘积，然后对其中的某个函数进行代换;三是按照下面的定力进行计算:定理3.5.4 设，为同一变化过程中的无穷小量且为同阶无穷小，且，则其中，为常数，且，非零.在例题中,当时,不等价于,不能对分子中的与分别使用无穷小代换,而是把分子通过恒等变形,转化为积的形式，然后进行代换.3.6 利用洛必达法则的方法求极限(1)洛必达法则定理:设在某一过程中 (1), , （2）在该极限过程中,存在 （3）存

17、在或为无穷大,则有(2)使用洛必达法则求极限的范围极限中,0,这七种未定式均可用洛必达法则求解;未定式的基本类型:,型可直接用洛必达法则定理求解;未定式的其他类型:0,a.对于0,型,可将乘积化为除的形式,即化为或型的未定式来计算.b.对于型,可利用通分化为型的未定式来计算.c.对于,型,可先化为以为底的指数函数的极限,再利用指数函数的连续性,化为直接求指数的极限,指数的极限为0,的形式,再化为，型的未定式来计算.例3.6.1 解:这是型的未定式,运用洛必达法则: 例3.6.2 求解:这是型的未定式,由于是幂指函数形式,可利用取对数方法对其进行简化.设,对其两边同时取自然对数,得当时,是一个型

18、,可利用洛必达法则求解,即因此,原极限注:（a）并不是类似于“”或“”型的极限都能用洛必达法则.利用洛必达法则求解,一定要先验证是否满足洛必达法则条件.例如3.6.3 解:原式=.但极限不存在,所以不能再用洛必达法则求解 正确解法为原式（b）将等价无穷小量代换等求极限的方法与洛必达法则结合起来使用，可简化计算.(3)慎用洛必达法则求极限在函数微分学中,洛必达法则是整个微分学乃至整个微积分学中重要的基本定理之一,是沟通函数极限与其导数之间的桥梁,是求不定式极限的一种重要而简便有力的方法.我们知道形如,0,这七种未定式均可用洛必达法则求解.而洛必达法则的使用是有条件的.使用时如果不注意条件的验证,

19、就会使计算出现错误.a.型或型的未定式是使用洛必达法则的先决条件审查求解的极限是否为已知的未定式,不是未定式、不满足洛必达法则条件的不能使用洛必达法则计算.例3.6.4 求解:此解法不正确,因为虽是未定式型,但它不是型或型.此时不能使用洛必达法则.正确的解法是:b.洛必达法则失效 极限存在只是存在的充分而非必要条件,极限不存在,不能断定极限也不存在.例3.6.5 求 错解:,故原极限不存在. 分析:本题虽是“”型不定式,但由于导数不得极限不存在,故不能使用洛必达法则求解.正解:注:本题虽然注意到了验证洛必达法则的条件,但由于导数比的极限是否存在无法判定,从而确认原极限不存在,这是错误处的.c.

20、多次使用洛必达法则，极限式出现循环现象 洛必达法则求未定式的极限时有其优越性，但如果不结合其他求极限的方法也会使某些极限的计算陷入复杂,得不到结果,甚至出现错误.例3.6.6 错解:有些人一看该题是属于“”型,会不假思索地直接使用洛必达法则,于是有分析:本题虽然是“”型,可以使用洛必达法则进行求解.但由于分子、分母的导数越求越复杂,如果按照此方法继续做下去,导数比的极限越来越复杂，无法得到结果.这时,可结合其他方法求解.正解:因此,在使用洛必达法则求函数极限时,除了要逐步验证条件外,还要根据所求极限的特点,结合其他求函数极限的特点,结合其他的极限求法，保证计算的简捷性与准确性.3.7 利用函数

21、的左、右极限的方法求极限 该方法使用于求不连续函数在不连续点处得极限，往往求分段函数在其分段点处得极限或某函数在其间断点处的极限. 函数在某点处的极限存在的充要条件是:当且仅当函数在某点处的左、右极限都存在且相等,且函数在该点处的极限值即为所求的左右极限的值. 根据求函数极限.例3.7.1 讨论函数 在处的极限解:因为， 且,所以例3.7.2 设,求当时的极限解:因为所以 故3.8利用泰勒公式的方法求极限 利用泰勒公式求极限,一般用麦克劳林公式形式,并采用皮亚诺型余项.当函数为分式时,一般要求分子分母展开成同一阶的麦克劳林公式,再通过比较求出极限.例3.8.1 求极限解:因为极限式的分母为,则

22、取将极限式的分子展开 ， , 因而求的例3.8.2 求解:因为前面的因式为,则将取按麦克劳林公式展开而: 3.9 利用定积分的方法求极限若遇到某些求和式极限问题,能够将其表示出为某个可积函数的积分和,就能用定积分来求极限,关键在于根据所给和式确定被积函数以及积分区间.例3.9.1 求极限解: 例3.9.2 ,其中, 解: 3.10 利用微分中值定理的方法求极限 由于微分中值定理可得到在某一点的具体的倒数值,而根据函数在某点的导数的定义: 可知某点的倒数是极限的形式表示的.所以类似此类函数的极限符合中值定理的话,可利用此种方法.例3.10.1 求解:因为由微分中值定理（介于与之间）原式 3.11

23、 利用导数的定义的方法求极限利用导数的定义求极限,一般可得 例3.11.1 求 解:例3.11.2 若函数在点处可导,且,求极限解:由于在点点处可导,若令,则3.12利用级数收敛的必要条件的方法求极限 级数收敛的必要条件是:若级数收敛,则,故对某些极限,可将函数作为级数的一般项.只须证明此级数收敛,便有. 由于判别级数收敛的方法较多,因而用这种方法判定一些以零为极限的数列极限较方便.例3.12.1 求解:设,则级数为项级数. 由比值审敛法: 所以收敛,故3.13 利用变量代换的方法求极限例3.13.1 求极限 解:令,当时,则: 例3.13.2 求解:令,则 原式 注:当时,通常作变量代换,化为;当时,可作倒戈代换,化为,变成我们熟悉的形式.结束语本文首先介绍了极限的理论,地位,概念.并介绍了极限证明的方法.主要对求极限的方法进行了系统的归纳,使读者对求极限有了更好的认识.并找到适合的方法去求极限.另外,本文还就求极限应注意的问题,错误进行了讲解.使读者避免一些常犯的错误.其中对等价无穷小和洛必达法则求极限应注意适用的范围和条件作了归纳,并对求极限常出现的一些问题进行了分析.参考文献1华东师范大学数学系.数学分析M.第三版.高等教育出版社,20042杨曼英.极限的证明与求极限的方法J. 娄底师专学报,1994,(2)3周世