电磁场与电磁波第六章2

1、电磁场与电磁波电磁场与电磁波电磁场与电磁波电磁场与电磁波静态场（静态场（2，3）课程构架课程构架静电场（静电场（2）恒定电场（恒定电场（3） 恒定磁场（恒定磁场（3）静态场的解（静态场的解（4）时变电磁场（时变电磁场（5）平面电磁波（平面电磁波（6）数学基础数学基础与时间无关与时间无关与时间有关与时间有关解析解法解析解法电磁波的特例电磁波的特例矢量分析（矢量分析（1）电磁波：电磁波：电磁场在给定条件下空间分布和随时间变化规律；电磁场在给定条件下空间分布和随时间变化规律；分类：平面电磁波，柱面电磁波，球面电磁波等；分类：平面电磁波，柱面电磁波，球面电磁波等；平面电磁波：平面电磁波：电磁波的场矢量

2、电磁波的场矢量等相位面等相位面是与电磁波传播方向是与电磁波传播方向垂直的无限大平面，矢量波动方程的特解；（近似）垂直的无限大平面，矢量波动方程的特解；（近似）均匀平面电磁波：均匀平面电磁波：等相位面为无限大平面，且其上场强大小等相位面为无限大平面，且其上场强大小相等、方向相同的电磁波。即沿某方向传播的平面电磁波的相等、方向相同的电磁波。即沿某方向传播的平面电磁波的场量除随时间变化外，只与波传播方向的坐标有关，而与其场量除随时间变化外，只与波传播方向的坐标有关，而与其它坐标无关。它坐标无关。实际电磁波：实际电磁波：可分解为许多均匀平面电磁波。可分解为许多均匀平面电磁波。电磁场与电磁波电磁场与电磁

3、波第六章第六章 平面电磁波平面电磁波本章内容本章内容6.1 6.1 无耗媒质中的平面电磁波无耗媒质中的平面电磁波6.2 6.2 导电媒质中的平面电磁波导电媒质中的平面电磁波6.3 6.3 电磁波的极化电磁波的极化6.4 6.4 电磁波的色散和群速电磁波的色散和群速6.5 6.5 均匀平面电磁波向平面分界面的垂直入射均匀平面电磁波向平面分界面的垂直入射6.6 6.6 均匀平面电磁波向多层媒质分界面的垂直入射均匀平面电磁波向多层媒质分界面的垂直入射6.7 6.7 均匀平面电磁波向平面分界面的斜入射均匀平面电磁波向平面分界面的斜入射6.8 6.8 均匀平面电磁波的全透射和全反射均匀平面电磁波的全透射

4、和全反射 电磁场与电磁波电磁场与电磁波第六章第六章 平面电磁波平面电磁波1. 1. 波动方程波动方程 在在无限大无限大的的各向同性各向同性的的均匀线性均匀线性媒质中，时变电磁场的方程为媒质中，时变电磁场的方程为 ),(),(),( ),(1),(),(),(222222ttttttttttrJrHrHrrJrErE上式称为上式称为非齐次波动方程非齐次波动方程。电磁场与电磁波电磁场与电磁波第六章第六章 平面电磁波平面电磁波式中式中( , )( , ), ttJ rE r电荷体密度电荷体密度 (r, t)与传导电流与传导电流 ( E ) 的关系为的关系为t )( E 若所讨论的区域中没有若所讨论的

5、区域中没有外源外源，且媒质为理想介质，即，且媒质为理想介质，即 = 0，此，此时传导电流为零，自然也不存在体分布的时变电荷，即时传导电流为零，自然也不存在体分布的时变电荷，即 = 0，则上，则上述波动方程变为述波动方程变为 0),(),( 0),(),(222222ttttttrHrHrErE此式称为此式称为齐次波动方程齐次波动方程。对于研究平面波的对于研究平面波的传播传播特性，仅需求解特性，仅需求解齐次齐次波动方程。波动方程。 电磁场与电磁波电磁场与电磁波第六章第六章 平面电磁波平面电磁波若所讨论的时变场为若所讨论的时变场为正弦正弦电磁场，则上式变为电磁场，则上式变为 0)()( 0)()(

6、2222rHrHrErEkk 此式称为此式称为齐次矢量亥姆霍兹方程齐次矢量亥姆霍兹方程，式中，式中 k 在直角坐标系中，电场强度在直角坐标系中，电场强度 E 及磁场强度及磁场强度 H 的各个分量分别满足的各个分量分别满足下列方程：下列方程： 0)()(0)()( 0)()(222222rrrrrrzzyyxxEkEEkEEkE0)()(0)()( 0)()(222222rrrrrrzzyyxxHkHHkHHkH这些方程称为这些方程称为齐次齐次标量标量亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程。由于各个分量方程由于各个分量方程结构结构相同，它们的解具有相同，它们的解具有同一同一形式。形式。 电磁场与电磁波电磁场与

7、电磁波第六章第六章 平面电磁波平面电磁波 在直角坐标系中，若时变电磁场的场量在直角坐标系中，若时变电磁场的场量仅仅与与一个一个坐标分量有关，坐标分量有关，则该时变电磁场的场量不可能具有则该时变电磁场的场量不可能具有该该坐标分量。坐标分量。 例如，若场量仅与例如，若场量仅与 z 变量有关，则可证明变量有关，则可证明 ，因为若场，因为若场量与变量量与变量 x 及及 y 无关，则无关，则0zzHEzHzHyHxHzEzEyExEzzyxzzyxHE因在给定的区域中，因在给定的区域中， ，由上两式得，由上两式得0 , 0HE0zHzEzz代入代入标量亥姆霍兹标量亥姆霍兹方程，即知方程，即知 z 坐标分

8、量坐标分量 。 0zzHE考虑到考虑到0222222222zHzHyHxHHzzzzz0222222222zEzEyExEEzzzzz电磁场与电磁波电磁场与电磁波第六章第六章 平面电磁波平面电磁波2. 理想介质中的平面波理想介质中的平面波 已知正弦电磁场在无外源的理想介质中应满足下列齐次矢量已知正弦电磁场在无外源的理想介质中应满足下列齐次矢量亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程0)()( 0)()(2222rHrHrErEkk 若电场强度若电场强度E 仅与坐标变量仅与坐标变量 z 有关，与有关，与 x , y 无关，则电场强度不可无关，则电场强度不可能存在能存在 z 分量。分量。 令电场强度方向为令电场强

9、度方向为 x方向，即方向，即 ，则磁场强度，则磁场强度 H 为为 xExeE )(jjxExeEHxxxeee)(j)(jxxxEEE电磁场与电磁波电磁场与电磁波第六章第六章 平面电磁波平面电磁波zEzEyExEExzxzxyxxeeeex因因zEHxyjyyxyHzEeeHj得得已知电场强度分量已知电场强度分量 Ex 满足齐次满足齐次标量标量亥姆霍兹方程，考虑到亥姆霍兹方程，考虑到0yExExx0dd222xxEkzE得得这是一个二阶这是一个二阶常微分方程常微分方程，其通解为，其通解为kzxkzxxEEEj0j0ee上式上式第一项第一项代表向代表向正正 z 轴方向传播的波，第二项反之。轴方向

10、传播的波，第二项反之。首先仅考虑向首先仅考虑向正正 z 轴方向传播的波，即轴方向传播的波，即 kzxxEzEj0e)(式中式中Ex0 为为 z = 0 处电场强度的复振幅。处电场强度的复振幅。电磁场与电磁波电磁场与电磁波第六章第六章 平面电磁波平面电磁波Ex(z) 对应的瞬时值为对应的瞬时值为 0( , )sin( )xxE z tEtkz 电场强度随着时间电场强度随着时间 t 及空间及空间 z 的的变化波形如图示。变化波形如图示。Ex(z, t)zO223t1 = 0 上式中上式中 t 称为称为时间相位时间相位。kz 称称为为空间相位空间相位。空间相位相等的点组成。空间相位相等的点组成的曲面

11、称为的曲面称为波面波面。 由上式可见，由上式可见， z = 常数的平面为常数的平面为波面。因此，这种电磁波称为波面。因此，这种电磁波称为平面波平面波 因因 Ex(z) 与与 x, y 无关，在无关，在 z = 常常数的波面上，各点场强振幅相等。因数的波面上，各点场强振幅相等。因此，这种平面波又称为此，这种平面波又称为均匀平面波均匀平面波。42Tt 23Tt 可见，电磁波向正可见，电磁波向正 z 方向传播。方向传播。电磁场与电磁波电磁场与电磁波第六章第六章 平面电磁波平面电磁波fT12 时间相位时间相位变化变化 2 所经历的时间称为电磁波的所经历的时间称为电磁波的周期周期，以，以 T 表示，而表

12、示，而一秒内相位变化一秒内相位变化 2 的次数称为的次数称为频率频率，以，以 f 表示。那么由表示。那么由 的关系的关系式，得式，得 2T 空间相位空间相位 kz 变化变化 2 所经过的距离称为所经过的距离称为波长波长，以，以 表示。那么由关表示。那么由关系式系式 ，得，得 2kk2由上可见，由上可见，电磁波的电磁波的频率频率是描述相位随是描述相位随时间时间的变化特性的变化特性，而而波长波长描述相描述相位随位随空间空间的变化特性的变化特性。 由上式又可得由上式又可得 2k 因空间相位变化因空间相位变化 2 相当于一个相当于一个全波全波，k 的大小又可衡量单位长度的大小又可衡量单位长度内具有的全

13、波数目，所以内具有的全波数目，所以 k 又称为又称为波数波数。电磁场与电磁波电磁场与电磁波第六章第六章 平面电磁波平面电磁波 根据相位不变点的轨迹变化可以计算电磁波的相位变化速度，这根据相位不变点的轨迹变化可以计算电磁波的相位变化速度，这种相位速度以种相位速度以 vp 表示。令表示。令 常数，得常数，得 ，则，则相位速相位速度度 vp 为为 kzt 0dd zktktzvddp考虑到考虑到 ，得，得 kccrrrr0011相位速度相位速度又简称为又简称为相速相速。 考虑到一切媒质相对介电常数考虑到一切媒质相对介电常数 ，又通常相对磁导率，又通常相对磁导率 ，因此，理想介质中均匀平面波的相速通常

14、因此，理想介质中均匀平面波的相速通常小于小于真空中的光速。真空中的光速。1r1r 注意注意，电磁波的相速有时可以，电磁波的相速有时可以超过超过光速。因此，相速不一定代表光速。因此，相速不一定代表能量能量传播速度。传播速度。 在理想介质中，均匀平面波的在理想介质中，均匀平面波的相速相速与与媒质媒质特性有关。特性有关。1pkv电磁场与电磁波电磁场与电磁波第六章第六章 平面电磁波平面电磁波fv p由上述关系可得由上述关系可得 平面波的平面波的频率频率是由是由波源波源决定的，但是平面波的决定的，但是平面波的相速相速与与媒质媒质特性有关。特性有关。因此，平面波的因此，平面波的波长与媒质特性有关波长与媒质

15、特性有关。rr0rr00p1ffv由上述关系还可求得由上述关系还可求得式中式中0001f0 是频率为是频率为 f 的平面波在真空中传播时的波长。的平面波在真空中传播时的波长。在真空中，在真空中，300)MHz( )m(f0 由上式可见，由上式可见， ，即平面波在媒质的波长，即平面波在媒质的波长小于小于真空中波长。这真空中波长。这种现象称为种现象称为波长缩短波长缩短效应，或简称为效应，或简称为缩波缩波效应。效应。电磁场与电磁波电磁场与电磁波第六章第六章 平面电磁波平面电磁波kzykzxyHEHj0j0ee由关系式由关系式 可得可得zEHxyj00 xyEH式中式中 可见，在可见，在理想理想介质中

16、，均匀平面波的电场与磁场介质中，均匀平面波的电场与磁场相位相同相位相同，且两者，且两者空间相位均与变量空间相位均与变量 z 有关，但振幅不会改变。有关，但振幅不会改变。左图表示左图表示 t = 0 时刻，电场及磁场随时刻，电场及磁场随空间的变化情况。空间的变化情况。HyExz电磁场与电磁波电磁场与电磁波第六章第六章 平面电磁波平面电磁波电场强度与磁场强度之比称为电磁波的电场强度与磁场强度之比称为电磁波的波阻抗波阻抗，以，以 Z 表示，即表示，即yxHEZ可见，平面波在可见，平面波在理想理想介质中传播时，其波阻抗为介质中传播时，其波阻抗为实数实数。当平面波在真空中传播时，其波阻抗以当平面波在真空

17、中传播时，其波阻抗以 Z0 表示，则表示，则000120377()Z 上述均匀平面波的磁场强度与电场强度之间的关系又可用矢量形式上述均匀平面波的磁场强度与电场强度之间的关系又可用矢量形式表示为表示为 xzyZEeH1zyxZeHE或或ExHyz电磁场与电磁波电磁场与电磁波第六章第六章 平面电磁波平面电磁波 对于对于传播方向传播方向而言，电场及磁场仅具有而言，电场及磁场仅具有横向横向分量，因此这种电分量，因此这种电磁波称为磁波称为横横电磁波，或称为电磁波，或称为TEM波波。以后我们将会遇到在传播方向。以后我们将会遇到在传播方向上具有电场或磁场分量的上具有电场或磁场分量的非非TEM波。波。 由上可

18、见，由上可见，均匀均匀平面波是平面波是TEM波，只有波，只有非均匀非均匀平面波才可形成平面波才可形成非非TEM波，但是波，但是TEM波也可以是波也可以是非非均匀平面波。均匀平面波。根据电场强度及磁场强度，即可求得复能流密度矢量根据电场强度及磁场强度，即可求得复能流密度矢量 Sc 2*20c011222xxyzzyEZHZSEHee可见，此时复能流密度矢量为可见，此时复能流密度矢量为实数实数，虚部为零。这就表明，电磁波能，虚部为零。这就表明，电磁波能量仅向正量仅向正 z 方向方向单向单向流动，空间流动，空间不存在不存在来回流动的来回流动的交换交换能量。能量。电磁场与电磁波电磁场与电磁波第六章第六

19、章 平面电磁波平面电磁波电磁场与电磁波电磁场与电磁波第六章第六章 平面电磁波平面电磁波220c01Re22xzzyEZHZSee从而复能流密度的时间平均值为：从而复能流密度的时间平均值为： 说明电磁波在传播过程中没有能量损失，因此理想媒质中的均匀平面说明电磁波在传播过程中没有能量损失，因此理想媒质中的均匀平面电磁波是电磁波是等振幅波等振幅波。 电磁能量密度和磁场能量密度的瞬时值为：电磁能量密度和磁场能量密度的瞬时值为： 22200222002200111( )cos ()22211( )( )cos ()221cos ()( )2/exmxxew tD EEEtkzwtHtHtkzEtkzw

20、t 可见，任一时刻电场能量和磁场能量密度相等，各为电磁能量的一半。可见，任一时刻电场能量和磁场能量密度相等，各为电磁能量的一半。电磁场与电磁波电磁场与电磁波第六章第六章 平面电磁波平面电磁波电磁能量密度和磁场能量的时间平均值为电磁能量密度和磁场能量的时间平均值为 22,0,02,011,4412av exav mxavav eav mxwEwHwwwE若沿能流方向取出长度为若沿能流方向取出长度为 l ，截面为，截面为 A 的圆柱体，如图示。的圆柱体，如图示。 lSA 设圆柱体中能量均匀分布，且平均能设圆柱体中能量均匀分布，且平均能量密度为量密度为 wav ，能流密度的平均值为，能流密度的平均值

21、为Sav ，则柱体中总平均储能为（则柱体中总平均储能为（ wav A l ），穿过），穿过端面端面 A 的总能量为（的总能量为（ Sav A ）。）。tlAwtlAwASavavav式中式中 比值显然代表比值显然代表单位时间单位时间内的能量内的能量位移位移，因此该比值称为，因此该比值称为能量速度能量速度，以以 ve 表示。由此求得表示。由此求得tlavavewSv 若圆柱体中若圆柱体中全部全部储能在储能在 t 时间内全部穿过端面时间内全部穿过端面 A ，则，则lAwAtSavav电磁场与电磁波电磁场与电磁波第六章第六章 平面电磁波平面电磁波20av2xESZ已知已知 ， ，代入上式得，代入上式

22、得 2avav,e0122xwwEpe1vv由此可见，由此可见，在在理想理想介质中，平面波的能量速度介质中，平面波的能量速度等于等于相位速度相位速度。 均匀平面波的波面是均匀平面波的波面是无限大无限大的平面，而波面上各点的场强振幅又的平面，而波面上各点的场强振幅又均均匀分布匀分布，因而波面上各点的，因而波面上各点的能流密度相同能流密度相同，可见这种均匀平面波具有无，可见这种均匀平面波具有无限大的能量。显然，实际中限大的能量。显然，实际中不可能不可能存在这种均匀平面波。存在这种均匀平面波。 当观察者离开波源很远时，因波面很大，若观察者仅限于局部区域，当观察者离开波源很远时，因波面很大，若观察者仅

23、限于局部区域，则可以则可以近似近似作为均匀平面波。作为均匀平面波。电磁场与电磁波电磁场与电磁波第六章第六章 平面电磁波平面电磁波kzxxEzEj0e)(fT12k22k1pkvrr0rr00p1ffvyxHEZ2*20c011222xxyzzyEZHZSEHeepe1vvkzykzxyHEHj0j0eeHyExz在无限大的各向同性的均匀线性在无限大的各向同性的均匀线性理想理想介质中介质中0)()( , 0)()(2222rHrHrErEkk电磁场与电磁波电磁场与电磁波第六章第六章 平面电磁波平面电磁波例例 已知均匀平面波在真空中向正已知均匀平面波在真空中向正 Z 方向传播，其电场强度的瞬时值为

24、方向传播，其电场强度的瞬时值为 )V/m( )2106sin(220) ,(8zttzxeE试求：试求： 频率及波长；频率及波长； 电场强度及磁场强度的复矢量表示式；电场强度及磁场强度的复矢量表示式； 复能流密度矢量；复能流密度矢量； 相速及能速。相速及能速。 解解 频率频率 (Hz) 1032106288f(m) 1222k波长波长j2( )20 2e V/mzzxEe 电场强度电场强度j2012( )e A/m6zzyzZHeEe磁场强度磁场强度*2c110 W/m23zSEHe 复能流密度复能流密度m/s 1038epkvv 相速及能速相速及能速电磁场与电磁波电磁场与电磁波第六章第六章

25、平面电磁波平面电磁波3. 任意方向传播的平面波任意方向传播的平面波 设平面波的设平面波的传播方向传播方向为为es，则与，则与 es 垂直的平面为该平面波的垂直的平面为该平面波的波面波面，如下图示。如下图示。令坐标原点至波面的距离为令坐标原点至波面的距离为d，坐，坐标原点的电场强度为标原点的电场强度为E0，则波面，则波面上上 P0 点的场强应为点的场强应为 kdPj00e)( EEzyxdesP0E0波面波面P(x, y, z)r若令若令P 点为波面上点为波面上任一点任一点，其坐标，其坐标为为(x, y, z)，则该点的位置矢量，则该点的位置矢量 r 为为zyxzyxeeer令该矢量令该矢量 r

26、 与传播方向与传播方向es的夹角为的夹角为 ，则距离，则距离 d 可以表示为可以表示为re scosrd电磁场与电磁波电磁场与电磁波第六章第六章 平面电磁波平面电磁波 考虑到上述关系，点的电场强度考虑到上述关系，点的电场强度可表示为可表示为reEEs j0ek若令若令ke sk上式为沿上式为沿任意方向任意方向传播的平面波表达式。这里传播的平面波表达式。这里 k 称为称为传播矢量传播矢量，其大小，其大小等于传播常数等于传播常数 k ，其方向为传播方向，其方向为传播方向 es ；r 为空间任一点的为空间任一点的位置矢量位置矢量。 rkEEj0e则上式可写为则上式可写为 由上图知，传播方向由上图知，

27、传播方向 es 与坐标轴与坐标轴 x, y, z 的夹角分别为的夹角分别为 , , ，则，则传播方向传播方向 es 可表示为可表示为 coscoscosszyxeeeecoscoscoskkkzyxeeek传播矢量可表示为传播矢量可表示为zyxdesP0E0波面波面P(x, y, z)r电磁场与电磁波电磁场与电磁波第六章第六章 平面电磁波平面电磁波coskkxcoskky coskkz若令若令zzyyxxkkkeeek那么传播矢量那么传播矢量 k 可表示为可表示为那么，电场强度又可表示为那么，电场强度又可表示为)( j0ezkykxkzyx EE)coscoscos(j0ezyxk EE或者写

28、为或者写为考虑到考虑到 ，因此，因此 应该满足应该满足1coscoscos222zyxkkk,2222kkkkzyx可见，三个分量可见，三个分量 中只有两个是独立的。中只有两个是独立的。 zyxkkk,电磁场与电磁波电磁场与电磁波第六章第六章 平面电磁波平面电磁波S 根据传播矢量及麦克斯韦方程，可以证明，在无源区中理想介质根据传播矢量及麦克斯韦方程，可以证明，在无源区中理想介质内向内向 k 方向传播的均匀平面波满足下列方程方向传播的均匀平面波满足下列方程 EHk HEk 0Ek0Hk由此可见，电场与磁场相互垂直，而且两者又垂直于传播方向，这些由此可见，电场与磁场相互垂直，而且两者又垂直于传播方

29、向，这些关系反映了均匀平面波为关系反映了均匀平面波为 TEM 波的性质。波的性质。 HE电磁场与电磁波电磁场与电磁波第六章第六章 平面电磁波平面电磁波例例 已知某真空区域中的平面波为已知某真空区域中的平面波为TEM波，其电场强度为波，其电场强度为zyxzyyxE6 . 0)8 . 06 . 0(3 . 2 j0ee )5 j2(eeeE试求：试求： 是否是均匀平面波？是否是均匀平面波？ 平面波的频率及波长；平面波的频率及波长； 电场强度的电场强度的 y 分量分量 0yE式中式中 为常数。为常数。0yE解解 给定的电场强度可改写为给定的电场强度可改写为 )6 . 0 j8 . 06 . 0(3 . 2 j0e )5 j2(zyxzyyxEeeeE可见，平面波的传播方向位于可见，平面波的传播方向位于 xy 平面内，因此波面平行于平面内，因此波面平行于