行列式的性质与计算.

1、金融数学教研室线线 性性 代代 数数性质性质1 行列式的某一行中所有的元素都乘以同一数行列式的某一行中所有的元素都乘以同一数k, 等于用数等于用数k乘此行列式乘此行列式.nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaakakakaaaakaaaaaa111211112112121212 推论推论1 行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式符号外面行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式符号外面.推论推论2 某行元素全为零的行列式其值为零某行元素全为零的行列式其值为零.2465105314例例 246000314 1232 5121314 011121112212niiiiininn

2、nnnaaaabababaaa 性质性质2 111211112112121212nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaaaaabbbaaaaaa 44332211babababa 注意：注意：4321aaaa4321bbbb ? 44332211babababa4321aaaa 443321babaaa 443321bababb 4321bbaa 4321aabb 4321bbbb nnnimiiimiinaacccbbbaaD12121111 推广：推广：nnniinaacbaa122111 nnnimimnaacbaa1111 nnniinaacbaa111111 性质性质3行列式

3、的两行对换行列式的两行对换,行列式的值反号行列式的值反号.性质性质4行列式中两行对应元素全相等行列式中两行对应元素全相等, 其值为零其值为零.性质性质5行列式中两行对应元素成比例行列式中两行对应元素成比例, 其值为零其值为零.例例246510 531424631 4510 524662 831 4 0练习练习解方程解方程0913251323221321122 xx11121112212nijijinjnnnnnaaaakaakaakaaaa111211212niiinnnnnaaaaaaaaa 性质性质6 6将行列式将行列式D的某一行的各个元素乘以同一个数然后加到的某一行的各个元素乘以同一个数

4、然后加到另一行对应的元素上去另一行对应的元素上去, ,行列式的值不变行列式的值不变. .即即)(jijiccrr)(iikckr 交换行列式两行（列），记作交换行列式两行（列），记作 行列式第行列式第i i行（列）乘以数行（列）乘以数k k，记作，记作 以数以数k k乘行列式第乘行列式第i i行（列）加到第行（列）加到第j j行（列）上，记作行（列）上，记作()jijirkrckc111212122212,nnnnnnaaaaaaDaaa 112111222212nnTnnnnaaaaaaDaaa 定义定义1.2.11.2.1记记行列式行列式DT称为行列式称为行列式D的的转置行列式转置行列式.

5、 .性质性质7 行列式行列式D与其转置行列式与其转置行列式 相等相等.TD以上对行的性质对以上对行的性质对 列列 也成立也成立.意义意义 ： 行列式中的行与列具有同等的地位；行列式中的行与列具有同等的地位；.111niiiDa A 1111( 1)niiiiaM 性质性质8 8行列式行列式D可按第可按第1 1列展开列展开, ,即即nnnnaaaaaa0002221121100001122111211nnnaaaaaa 11212212nnnnnaaaDaaa nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaD12111112212100000000 1nijijjDa A1122iiiiini

6、na Aa Aa A(1,2, )in1nijijiDa A1122jjjjnjnja Aa Aa A(1,2, )jn性质性质9 9 行列式行列式D可按任一行可按任一行( (列列) )展开展开, ,即即 或或 1 2 34 0 51 0 6D按第按第2列展开列展开4 51 31 32001 61 64 51 2 34 0 51 0 6D0 54 54 01230 61 61 0按第按第1行展开行展开例例 2 2958 2 295811220ijijinjna Aa Aa A()ij11220ijijninja Aa Aa A()ij性质性质1010行列式某一行行列式某一行( (列列) )的元

7、素与另一行的元素与另一行( (列列) )的对应的对应元素的代数余子式乘积之和等于零元素的代数余子式乘积之和等于零. .即即 或或 4、如此继续下去，直至使它成为上三角形行列式，、如此继续下去，直至使它成为上三角形行列式，这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值. 1 1、先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素、先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为不为0 0 ，如为，如为1 1；2、然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行，、然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行，使得第一列除第一个元素外其余元素全为使得第一列除第一个元素外其余元素全为

8、0；3、再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下、再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式；的低一阶行列式； 二、二、 行列式的计算行列式的计算 14 3439 5 10230 1214 06D21314133rrrrrr14340342201210100032324rr143403422006200324312rr14340342200620001解解 . 例例1.2.1 计算计算 28683951030121406D2 1 3 ( 6) 136 (三角形法三角形法 )011 211 021 21 02110D 解解：练练1. 计算行列式计算行列式324231102011

9、200240022rrrr 121102011 2121 02110rrD 314121102011201120314rrrr 43110201124.00240002rr 例例1.2.2计算计算 3111131111311113D D1234cccc6 1 1 16 3 1 16 1 3 16 1 1 31 1 1 11 3 1 161 1 3 11 1 1 3213141rrrrrr1 1 1 10 2 0 06480 0 2 00 0 0 2分析：分析：把各列都加到第一列把各列都加到第一列, 提出第一列的公因数提出第一列的公因数6， 将第一行乘将第一行乘 1分别加到其余各行分别加到其余各

10、行, D化为上三角行列式化为上三角行列式.注：注：此方法可推广到一般的此方法可推广到一般的行和或列和相同行和或列和相同的行列式求解问题的行列式求解问题 解解 降阶法降阶法: 将某行将某行(某列某列)变换成只有一个元素不为变换成只有一个元素不为0, 其其余元素均为余元素均为0, 再按那行再按那行(列列)展开展开, 降阶成低阶的行列式降阶成低阶的行列式. 计算行列式的常用方法计算行列式的常用方法:例例1.2.3计算计算 3371113145 1032452DD21cc307 1103 141 10 3225 2432rr307110314110360154按第2列展开3 237111316154-

11、1（-）13233cccc241001234按第2行展开2 3241223 （）解解(降阶法降阶法) 例例1.2.4计算计算 011112001030100Dn注：注： 此方法可推广到一般的此方法可推广到一般的爪型行列式爪型行列式计算计算.122221211112111nnnnnnnaaaDaaaaaanD11,nnra r112nnra r21 1,ra r211221122221111100()()0()()nnnnnnnnaaaaDaaaaaaaaaaaa按第1列展开2131122133112222213311()()()()()()nnnnnnnnaaaaaaa aaa aaa aaa

12、aaaaaaaa例例1.2.51.2.5计算计算范德蒙行列式范德蒙行列式：.解解 对对依次作如下运算依次作如下运算: : , , , 每列提出公因子23222213112322223111)()()nnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa（213111)()()nnaaaaaaD=（21311324222)()()()()()nnnaaaaaaaaaaaa D=（1()jii j naa . 则则123222123111xxxxxx范德蒙行列式应用：范德蒙行列式应用：213132()()()xxxxxx123422221234333312341111xxxxxxxxxxxx213141324243()()()()()()xxxxxxxxxxxx练习练习1计算计算 阶行列阶行列式式nabbbbabbbbabbbbaD 122222222232222Dn练习练习2计算计算 阶行列阶行列式式nnaaaaD 1111111111111111321练习练习3计算计算 阶行列阶行列式式n其中其中a ai i均不为零。均不为零。思考题思考题阶行列式阶行列式设设nnnDn