空间解析几何-第3章 常见的曲面1

1、2022-5-29空间解析几何空间解析几何第第3章章 常见的曲面常见的曲面12022-5-29水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在曲面在空间空间解析几何中被看成是点的几何轨迹解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：如如果果曲曲面面S与与三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述关关系系：（1 1） 曲面曲面S上任一点的坐标都满足方程；上任一点的坐标都满足方程；（2 2）不在曲面）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程；上的点的坐标都不满足方程；那么，方程那么，方程0),( zyxF就叫做曲面就叫做曲面 S的的方程方程，而曲面而曲面S就叫做方程的就叫做

2、方程的图形图形 曲面的实例：曲面的实例： 3.1 3.1 曲面的方程曲面的方程2022-5-29以下给出几例常见的曲面以下给出几例常见的曲面.例例1 1 建建立立球球心心在在点点),(0000zyxM、半半径径为为R的的球球面面方方程程.解解设设),(zyxM是球面上任一点，是球面上任一点，RMM |0根据题意有根据题意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为2222Rzyx 2022-5-29得上、下半球面的方程分别是：得上、下半球面的方程分别是：202020202020)()()()(yyxxR

3、zzyyxxRzz 当当 A2+B2+C2-4D 0 时时, 是球面方程是球面方程. 2202020Rzzyyxx 由由由上述方程可得球面的一般式方程为：由上述方程可得球面的一般式方程为：反之，由一般式方程（反之，由一般式方程（*），经过配方又可得到：），经过配方又可得到：x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0 （*）(x+A/2)2+(y+B/2)2+(z+C/2)2=(A2+B2+C2-4D)/42022-5-29例例2 2 求求与与原原点点O及及) 4 , 3 , 2(0M的的距距离离之之比比为为2:1的的点点的的全全体体所所组组成成的的曲曲面面方方程程.

4、 解解设设),(zyxM是曲面上任一点，是曲面上任一点，,21|0 MMMO根据题意有根据题意有 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程为所求方程为2022-5-29例例3 3 已已知知) 3 , 2 , 1 (A，) 4 , 1, 2( B，求求线线段段AB的的垂垂直直平平分分面面的的方方程程.设设),(zyxM是是所所求求平平面面上上任任一一点点，根据题意有根据题意有|,|MBMA 222321zyx ,412222 zyx化简得所求方程化简得所求方程. 07262 zyx解解2022-5-29zxyo例例4 4 方程方程 的图形是怎样的？的图形

5、是怎样的？1)2()1(22 yxz根据题意有根据题意有1 z用用平平面面cz 去去截截图图形形得得圆圆：)1(1)2()1(22 ccyx 当当平平面面cz 上上下下移移动动时时，得得到到一一系系列列圆圆圆心在圆心在), 2 , 1(c，半径为，半径为c 1半径随半径随c的增大而增大的增大而增大.图形上不封顶，下封底图形上不封顶，下封底解解c以上方法称为以上方法称为截痕法截痕法.以上几例表明研究空间曲面有以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（讨论柱

6、面、二次曲面）（1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程2022-5-29本章主要内容本章主要内容1柱面柱面2 锥面锥面3 旋转曲面旋转曲面4 曲线与曲面的参数方程曲线与曲面的参数方程5 椭球面椭球面6 双曲面（单叶双曲面，双叶双曲面）双曲面（单叶双曲面，双叶双曲面）7 抛物面（椭圆抛物面，双曲抛物面）抛物面（椭圆抛物面，双曲抛物面）8 二次直纹面二次直纹面9 作图作图五种典型的五种典型的二次曲面二次曲面水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方

7、程的定义：曲面的实例：曲面的实例：3.1 3.1 柱面柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程: 定义定义3.1.13.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为的直线所形成的曲面称为柱面柱面. .这条定曲线叫这条定曲线叫柱面的柱面的准线准线，动直线叫柱面动直线叫柱面的的母线母线.母线母线准准线线柱面举例：柱面举例：xozyxozyyx22 抛物柱面抛物柱面xy 平面平面yx22 xy 抛物柱面抛物柱面方程：方程：平面方程：平面方程： ),(zyxM )0 ,(1yxM1. 椭圆柱面12222 byaxxyzO2. 双曲柱面双曲柱面12222 byaxx

8、ozy如何建立柱面方程如何建立柱面方程?l已知准线方程已知准线方程l母线方向母线方向0),(0),(:211zyxFzyxFlZYXs,二、柱面的方程二、柱面的方程12,0,0F xXt yYt zZtFxXt yYt zZt12, ,0, ,0F x y zCFx y z：, ,X Y Z11112111111,0,0F x y zFx y zxxyyzzXYZ分析：分析：1111 ,Mx y zS 11MCMlt, ,0F x y z1Mv2222221222xyzxyz，1,0,1程的柱面方程，即所求方代回含有将，联立方程求解代入令，则如果ttt)2)(1 (,101)2( 222) 1

9、 ( 1),(11111122222221212111111tzzyytxxtzzyyxxzyxzyxlzyxM11122xyz1, 2,1P解法一：由准线和母线求圆柱面方程解法一：由准线和母线求圆柱面方程解法二：根据圆柱面的特殊性质求方程（解法二：根据圆柱面的特殊性质求方程（P71） ,r tf tg th t, ,X Y Z rr tuv1Mxzy0M xf tXuyg tYuzh tZu从柱面方程看从柱面方程看柱面的特征柱面的特征： 只只含含yx,而而缺缺 z的的方方程程0),( yxF，在在空空间间直直角角坐坐标标系系中中表表示示母母线线平平行行于于 z轴轴的的柱柱面面，其其准准线线为

10、为xoy面面上上曲曲线线 C:0),( yxF. （其他类推）（其他类推）实实 例例12222czby椭圆柱面，椭圆柱面，x12222 byax双曲柱面双曲柱面 ，zpzx22 抛物柱面，抛物柱面，y母线母线/ 轴轴母线母线/ 轴轴母线母线/ 轴轴2022-5-29xozyxozyyx22 抛物柱面抛物柱面xy 平面平面yx22 xy 抛物柱面抛物柱面方程：方程：平面方程：平面方程： ),(zyxM )0 ,(1yxM 母线平行与坐标轴的柱面方程母线平行与坐标轴的柱面方程2022-5-2912222 byaxabzxyo椭圆2022-5-29zxy = 0y12222 bzaxo 双曲2022

11、-5-29pxy22 zxyo抛物 定义定义3.2.13.2.1 通过一定点且与一不过定点的定通过一定点且与一不过定点的定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做锥面锥面. .这些直线都叫做锥面的这些直线都叫做锥面的母线母线. .那个定点叫做锥面的那个定点叫做锥面的顶点顶点. .锥面的方程是一个三元方程锥面的方程是一个三元方程. .特别当顶点在坐标原点时：特别当顶点在坐标原点时：3.2 3.2 锥面锥面 n次齐次方程次齐次方程 F(x,y,z)= 0 的图形是以原点为顶点的锥面的图形是以原点为顶点的锥面；方程方程 F(x,y,z)= 0是是 n次齐次方程次齐次方程：

12、 ).,(),( zyxFttztytxFn 若若准线准线顶点顶点F(x,y,z)= 0. 反之，以原反之，以原点为顶点的锥面点为顶点的锥面的方程是的方程是n次齐次次齐次方程方程 锥面是直纹面锥面是直纹面x0z y 锥面的准线不锥面的准线不唯一，和一切母线唯一，和一切母线都相交的每一条曲都相交的每一条曲线都可以作为它的线都可以作为它的准线准线.1 锥面的一般方程锥面的一般方程准线 ，12, ,0, ,0F x y zFx y z顶点 ，000,A xyz11112111000101010,0,0, ,0Fx y zFx y zF x y zxxyyzzxxyyzz取准线上任意一点取准线上任意一

13、点 ，1111,Mx y z如何建立锥面方程如何建立锥面方程 1:22221czbyaxl222222111111122122111111at)2)(1 (, , ty , tx 1)2() 1 ( 1a,l czbyxtzzyxtzzyyxxczbyxzyxP得，联立方程消去代入令母线方程则有），（解：任取例例1 锥面的顶点在原点，且准线为锥面的顶点在原点，且准线为 ，求锥面的方程求锥面的方程2 锥面的参数方程锥面的参数方程 已知锥面的准线为已知锥面的准线为 ，顶点，顶点 决定的向径决定的向径为为 ，则锥面的向量式参数方程与坐标式参数，则锥面的向量式参数方程与坐标式参数方程分别为方程分别为

14、与与 ， 式中式中 为参数为参数 ,r ux uy uz u0000,rxyz 01rvr uv r 000111xvx uv xyvy uv yzvz uv z, u vA3. 已知圆锥面的轴已知圆锥面的轴 ，顶点，顶点 ，半顶角半顶角 ，求直圆锥面的方程，求直圆锥面的方程000:xxyyzzLXYZ000,A xyz02例例2 已知圆锥面的顶点为已知圆锥面的顶点为 ，轴垂直于平面，轴垂直于平面 ，母线与轴成母线与轴成 角，试求这圆锥面的方程角，试求这圆锥面的方程1,2,3:2210 xyz 30半顶角半顶角lM0Mv0,M M v 或或0cos,cosM M v 解法一：由准线和顶点求圆锥

15、面方程解法一：由准线和顶点求圆锥面方程解法二：根据圆锥面的特殊性质求方程解法二：根据圆锥面的特殊性质求方程定义定义2 对于正整数对于正整数 ，若方程，若方程 对于任意实数对于任意实数 满足满足 ，则称方程，则称方程 为为 次齐次方程次齐次方程., ,0f x y z ntn, ,nf tx ty tzt f x y z, ,0f x y z 三、锥面的判定定理三、锥面的判定定理定理定理1 一个关于一个关于 的（正数次）齐次方程总表示顶点在坐标原点的锥面。的（正数次）齐次方程总表示顶点在坐标原点的锥面。（反之亦然）（反之亦然）, ,x y z推论推论 关于关于 的（正数次）齐次方程表示顶点在的（

16、正数次）齐次方程表示顶点在 的锥面（反之亦然）的锥面（反之亦然）000,xxyyzz000,xyzxozy解解 yoz面面上上直直线线方方程程为为 cotyz 圆锥面方程圆锥面方程 cot22yxz oxzy 2222yxaz 或或请同学们自己用截痕法请同学们自己用截痕法研究其形状研究其形状.0222222 czbyax椭圆锥面椭圆锥面一、旋转曲面的有关概念一、旋转曲面的有关概念二、旋转曲面的方程（直角坐标系）二、旋转曲面的方程（直角坐标系）三、几种特殊的旋转曲面（直角坐标系）三、几种特殊的旋转曲面（直角坐标系）3.3 3.3 旋转曲面旋转曲面Sl1.1.定义定义1 1 在空间，一条曲线在空间

17、，一条曲线 绕着定直绕着定直线线 l l 旋转一周所生成的曲面旋转一周所生成的曲面 S S 称为称为旋转曲面旋转曲面（或（或回转曲面回转曲面） （surface surface of revolutionof revolution） 称为旋转曲面的称为旋转曲面的母线母线（generating curvegenerating curve） l l 称为旋转曲面的称为旋转曲面的旋转轴旋转轴 （axis of rotationaxis of rotation）一、旋转曲面的有关概念一、旋转曲面的有关概念:实例：实例：纬圆纬圆SlM经线经线2 2纬圆和经线的定义：纬圆和经线的定义： 1 1母线母线 上

18、任意一点上任意一点 绕旋转轴绕旋转轴 旋转的轨迹是一个圆，称旋转的轨迹是一个圆，称为旋转面的为旋转面的纬圆纬圆或或纬线纬线(latitudinal line)(latitudinal line). .1Ml该圆满足以下两条：（该圆满足以下两条：（1 1）过点）过点 （2 2）垂直于轴）垂直于轴 的平面与的平面与旋转曲面的交线旋转曲面的交线 . .1Ml2 2过轴过轴 的平面上，以的平面上，以 为界为界的每个半平面都与曲线交成一条曲的每个半平面都与曲线交成一条曲线叫做线叫做经线经线(longitudinal line).(longitudinal line). ll说明：说明：1 1纬圆也可看作

19、垂直于旋转轴纬圆也可看作垂直于旋转轴 l l 的平面与旋转面的交线的平面与旋转面的交线2 2经线不唯一，都能彼此重合，且为平面曲线，其可以看成经线不唯一，都能彼此重合，且为平面曲线，其可以看成特殊的母线，而母线不一定是经线特殊的母线，而母线不一定是经线. . 这里因为母线不一定为这里因为母线不一定为平面曲线而经线为平面曲线，母线不一定在某一平面上，可平面曲线而经线为平面曲线，母线不一定在某一平面上，可是旋转曲面上每个纬圆都相交的任一条空间直线是旋转曲面上每个纬圆都相交的任一条空间直线. .3 3任何一旋转曲面可以看成所有纬圆的集合，可以看作由一任何一旋转曲面可以看成所有纬圆的集合，可以看作由一

20、条经线绕轴形成的条经线绕轴形成的. .二、旋转曲面的方程（直角坐标系）二、旋转曲面的方程（直角坐标系） 设旋转曲面的母线设旋转曲面的母线 ，12, ,0:, ,0F x y zF x y z000:xxyyzzlXYZ旋转轴为直线旋转轴为直线当当 M M1 1 遍历整个母线遍历整个母线 时，得出旋转曲面的时，得出旋转曲面的所有纬圆，这些纬圆生成旋转曲面所有纬圆，这些纬圆生成旋转曲面分析：分析：lM11111 ,Mxyz母线平面球1M纬圆1MSS2022-5-29, ,0F x y z 222211122000101111211110101(2)(3)(4),0,00,xxyyzzxxyyzzF

21、 x y zF xX xxY yyzZ zzy纬圆：母线：旋转曲面的一般方程旋转曲面的一般方程注：注： 1 1写出这母线上任意一点写出这母线上任意一点 的纬圆方程或母线族的纬圆方程或母线族 2 2写出参数写出参数 的约束条件的约束条件 3 3消去参数得到所求旋转曲面的方程（或柱面、锥面的方程）消去参数得到所求旋转曲面的方程（或柱面、锥面的方程）1111,Mx y z111,x y zlM1S曲线曲线 C 00),(xzyfCy zo绕绕 z轴轴曲线曲线 C 00),(xzyfxCy zo绕绕z轴轴.曲线曲线 C 00),(xzyf旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 SCSMN), 0(11z

22、y zz 1zPMPy |11y1zy zo绕绕 z轴轴.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z).x S曲线曲线 C 00),(xzyf旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 SxCSMN), 0(11zyzz 1zPMPy |11y1z0),( 22 zyxfS：.绕绕 z轴轴.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z)f (y1, z1)=0f (y1, z1)=0.y zo Sxozy0),( zyf), 0(111zyM M),(zyxM设设1)1(zz （2）点）点M到到z轴的距离轴的距离|122yyxd 建立旋转曲面的方程：建立旋转曲面的方程：如图如图将将 代入代

23、入2211,yxyzz 0),(11 zyfd , 0,22 zyxf得方程得方程 , 0,22 zyxf方程方程同同理理：yoz坐坐标标面面上上的的已已知知曲曲线线0),( zyf绕绕y轴轴旋旋转转一一周周的的旋旋转转曲曲面面方方程程为为 . 0,22 zxyf例例1 1 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程生成的旋转曲面的方程（1）xOz 面上双曲线面上双曲线12222 czax分别绕分别绕 x轴和轴和 z轴；轴； 绕绕x轴轴旋旋转转122222 czyax旋转双叶双曲面旋转双叶双曲面yzoxyzox绕绕z轴轴旋旋转转122222 czayx（1）xOz 面上双曲线面上双曲线12222 czax分别绕分别绕 x轴和轴和 z轴；轴； xyoz xyoz旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面（2）yOz 面面上上椭椭圆圆12222 czay 绕绕 y轴轴和和 z轴轴； 绕绕y轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czxay122222 czayx旋转椭球面旋转椭球面xyzxyz（3）yOz 面上抛物线面上抛物线pzy22 绕绕 z轴；轴； pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面xyzoxyzo0 p几种几种 特殊旋转曲面特殊旋转曲面l1 双叶旋转曲面l2 单叶旋转曲面l3 旋转锥面l4 旋转抛物面