由特殊到一般

1、市直中学 赵 书 晓一、一、2012年数学中招考试命题要求年数学中招考试命题要求命题理念命题理念：加强与社会实际和学生生活实际的联系，重视考查学生运用基础加强与社会实际和学生生活实际的联系，重视考查学生运用基础知识分析问题、解决问题的能力，切实体现素质教育的要求；知识分析问题、解决问题的能力，切实体现素质教育的要求； 设计一定的结合现实情境的问题，设计一定的结合现实情境的问题， 鼓励学生提出自己的见解，培养学生的创新精神，注意考查具有鼓励学生提出自己的见解，培养学生的创新精神，注意考查具有综合性和实践性的内容。综合性和实践性的内容。适当增加开放性和探究性题目适当增加开放性和探究性题目命题内容与

2、要求命题内容与要求： 主要考查的方面包括：基础知识与基本技能主要考查的方面包括：基础知识与基本技能; ;数学活动过程数学活动过程; ;数学思考数学思考; ;解决问题的能力解决问题的能力; ;对数学的基本认识等。对数学的基本认识等。 设计一定的设计一定的结合实际情境的问题和开放性问题，加强创新意识、数学思维能结合实际情境的问题和开放性问题，加强创新意识、数学思维能力及数学应用能力的考查。注重通性、通法，不追求解法技巧，力及数学应用能力的考查。注重通性、通法，不追求解法技巧，适当控制运算量。适当控制运算量。 着重考查学生的基础知识、解决问题的能力和对数学的基本认识，着重考查学生的基础知识、解决问题

3、的能力和对数学的基本认识，关注学生对符号感、空间观念、统计观念、应用意识、推理能力关注学生对符号感、空间观念、统计观念、应用意识、推理能力等核心内容的考查，渗透数学思想方法的考查。等核心内容的考查，渗透数学思想方法的考查。 （2012河南）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整原题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G若 =3，求 的值(1)尝试探究在图1中，过点E作EHAB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是 ，CG和EH的数量关系是 ， 的值是 ， (2)类比延伸如图2，在

4、原题的条件下，若 =m（m0），则 的值是 （用含有m的代数式表示），试写出解答过程CGCDCGCDEFAFCGCDEFAF原题再现（3）拓展迁移如图3，梯形ABCD中，DCAB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F若 =a， =b，（a0，b0），则 的值是 （用含a、b的代数式表示）CDABBEBCEFAF在 ABC中，AB=AC=6,D是BC边上任意一点，过D分别作DE AB,DF AC,分别交AB、AC与E、F,已知三角形的面积为9，则DE+DF= 3什么是特殊化思想什么是特殊化思想对于某个一般性的数学问题，如果一时难以解决，那么可以先解决它的特殊情况，即从研究对象的全体转

5、变为研究属于这个全体中的一个对象或部分对象，然后再把解决特殊情况的方法或结论应用或者推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解答，这种用来指导解决问题的思想称之为特殊化思想.（2012河南）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整原题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G若 =3，求 的值(1)尝试探究在图1中，过点E作EHAB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是 ，CG和EH的数量关系是 ， 的值是 ， CGCDCGCDEFAFABFEHF = =3EHABEFAFAB=3EHB

6、EHBCG CG=2EHCGCDCGABEHEH2323 = = =AB=3EHCG=2EH23(2)类比延伸如图2，在原题的条件下，若 =m（m0），则 的值是 （用含有m的代数式表示），试写出解答过程EFAFCGCDABFEHF = =mEHABEFAFAB=mEHBEHBCG CG=2EH = = CGCDEHmEH22m2m（3）拓展迁移如图3，梯形ABCD中，DCAB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F若 =a， =b，（a0，b0），则 的值是 （用含a、b的代数式表示）过点E作EHAB交BD的延长线于点H，则有EHABCDCDABBEBCEFAF = =bEHCDB

7、EBC =a CDAB = = =abEFAFEHABEHabEHEHCD，BCDBEH，CD=bEHAB=aCD=abEHEHAB，ABFEHF，H本题的设计独具匠心：由平行四边形中的一个特殊本题的设计独具匠心：由平行四边形中的一个特殊的例子出发（第的例子出发（第1 1问），推广到平行四边形中的一问），推广到平行四边形中的一般情形（第般情形（第2 2问），最后再通过类比、转化到梯形问），最后再通过类比、转化到梯形中去（第中去（第3 3问）各种图形虽然形式不一，但运用问）各种图形虽然形式不一，但运用的解题思想与解题方法却是一以贯之：即通过构造的解题思想与解题方法却是一以贯之：即通过构造相似三角

8、形，得到线段之间的比例关系，这个比例相似三角形，得到线段之间的比例关系，这个比例关系均统一用同一条线段来表达，这样就可以方便关系均统一用同一条线段来表达，这样就可以方便地求出线段的比值本题体现了初中数学的地求出线段的比值本题体现了初中数学的类比、类比、转化、从特殊到一般转化、从特殊到一般等思想方法，有利于学生触类等思想方法，有利于学生触类旁通、举一反三旁通、举一反三本题点评本题点评再如（2012盐城）25、如图所示,已知A、B为直线上两点,点C为直线上方一动点,连接AC、BC,分别以AC、BC为边向外作正方形CADF和正方形CBEG,过D点作 于 点,过E点作 于 点. (1)如图,当E点恰好

9、在直线 上时(此时E与 重合),试说明 (2)在图中,当D、E两点都在直线的上方时,试探求三条线段 、 、 之间的数量关系,并说明理由；(3)如图,当E点在直线的下方时,请直接写出三条线段 、 、 之间的数量关系.(不需要证明) 1DDl1D1EEl1El1DDAB1DD1EEAB1DDAB1EE1E(1)如图如图,当当E点恰好在直线点恰好在直线 上时上时(此时此时E与与 重合重合),试说明试说明 l1DDAB 1ADDCAB1DDAB1E(2)在图在图中中,当当D、E两点都在直线的上方时两点都在直线的上方时,试试探求三条线段探求三条线段 、 、 之间的数量关系之间的数量关系,并说明理由；并说

10、明理由；1DD1EEAB过C点作 ，垂足为 H,CHl ， CBH1ADDCAH1BEE1DDAH1EEBH11DDEEAHBHAB关键：运用第关键：运用第问解决特殊问题问解决特殊问题的方法会添加合的方法会添加合适的辅助线，将适的辅助线，将此问题转化为特此问题转化为特殊情形下的问题殊情形下的问题去解决。去解决。H(3)如图如图,当当E点在直线的下方时点在直线的下方时,请直接写出三条请直接写出三条线段线段 、 、 之间的数量关系之间的数量关系.(不需要证明不需要证明) 1DD1EEAB11DDEEAB 1DD=AH1EE=BHAB=AH-BHH归纳总结结归纳总结结首先，端正做题态度。很多同学一看

11、到这种图形变化首先，端正做题态度。很多同学一看到这种图形变化的问题，认为是难题，便无从下手，认为自己一定不会的问题，认为是难题，便无从下手，认为自己一定不会做，就轻易放弃。其实这种问题并不是深不可测，这种问做，就轻易放弃。其实这种问题并不是深不可测，这种问题解决起来实际很简单，只要我们题解决起来实际很简单，只要我们认真审题，认真思考认真审题，认真思考，相信自己一定是会做的，从心理上战胜它。相信自己一定是会做的，从心理上战胜它。其次，我们教育孩子充分去利用题目中给我们提供的特殊其次，我们教育孩子充分去利用题目中给我们提供的特殊条件，联系我们学过的知识，很容易就可以解决这道题中条件，联系我们学过的

12、知识，很容易就可以解决这道题中的特殊问题。比如例一告诉我们的特殊问题。比如例一告诉我们线段的比线段的比，我们马上就可以，我们马上就可以想到想到三角形相似三角形相似，例二中看到，例二中看到求证两条线段相等求证两条线段相等，马上就，马上就可以想到可以想到利用两条线段所在的三角形全等利用两条线段所在的三角形全等，就可以解决问，就可以解决问题题。解决此类问题的方法：解决此类问题的方法：对于一般情况下的结论的求解或证明，对于一般情况下的结论的求解或证明，往往都是借助于特殊条件下的方法或者往往都是借助于特殊条件下的方法或者结论来解决一般条件下的问题，原来是结论来解决一般条件下的问题，原来是相似还用相似，原

13、来是全等那么本问还相似还用相似，原来是全等那么本问还是用全等，甚至原来怎么作辅助线现在是用全等，甚至原来怎么作辅助线现在还怎么做辅助线，或者原来没有辅助线，还怎么做辅助线，或者原来没有辅助线，现在需要你通过作辅助线来构造原似或现在需要你通过作辅助线来构造原似或全等，或许全等或相似的字母都不会变。全等，或许全等或相似的字母都不会变。练习一：（练习一：（2012，烟台市），烟台市）25.（本题满分（本题满分10分）分）（1）问题探究）问题探究如图如图1，分别以，分别以ABC的边的边AC与边与边BC为边，向为边，向ABC外作正方形外作正方形ACD1E1和正方形和正方形BCD2E2，过点，过点C作直线

14、作直线KH交直线交直线AB于点于点H，使，使AHK=ACD1作作D1MKH，D2NKH，垂足分别为点，垂足分别为点M，N.试探究线段试探究线段D1M与线段与线段D2N的数量关系，并加以证明的数量关系，并加以证明.（2）拓展延伸）拓展延伸如图如图2，若将，若将“问题探究问题探究”中的正方形改为正三角形，过点中的正方形改为正三角形，过点C作直线作直线K1H1，K2H2，分别交直线，分别交直线AB于点于点H1，H2，使，使AH1K1=BH2K2=ACD1.作作D1MK1H1，D2NK2H2，垂足分别为点，垂足分别为点M，N.D1M=D2N是否仍成立？是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由若

15、成立，给出证明；若不成立，说明理由.如图如图3，若将，若将中的中的“正三角形正三角形”改为改为“正五边形正五边形”，其他条件不变，其他条件不变.D1M=D2N是否仍成立？（要求：在图是否仍成立？（要求：在图3中补全图形，注明字母，直接写出结论，中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明不需证明）练习二：练习二： （2012，河北）如图，河北）如图1，点，点E是线段是线段BC的中点，分别以的中点，分别以B，C为为直角顶点的直角顶点的EAB和和EDC均是等腰直角三角形，且在均是等腰直角三角形，且在BC的同侧的同侧（1）AE和和ED的数量关系为的数量关系为 ， AE和和ED的位置关系为的位置关系为 ；（2）在图）在图1中，以点中，以点E为位似中心，作为位似中心，作EGF与与EAB位似，点位似，点H是是BC所在直线上的一点，连所在直线上的一点，连接接GH，HD，