MATLAB论文12010245221韩雪峰资料

1、MATLAB在数学建模中的应用（姓名：韩雪峰 学号：12010245221）摘要：数学作为现代科学的一种工具和手段，要了解什么是数学模型和数学建模，了解数学建模一般方法及步骤，而MATLAB在数学建模中会起很大的作用关键词：数学模型、数学建模、实际问题，MATLAB一、问题的提出数学模型是对于现实世界的一个特定对象,一个特定目的,根据特有的内在规律,做出一些必要的假设,运用适当的数学工具,得到一个数学结构.我们如何让才能运用MATLAB语言处理一些实际的数学问题呢？二、基金最佳使用方案的规划模型 本文通过分析，把求基金最佳使用方案问题转化为求n 年中所得利息最大时的基金配置问题。在求最大利息的

2、过程中，我们将存入不同存期的基金看成不同的投资项目，收益高的优先得到资金。因此，在满足每年都能发下相同奖学金的前提下，应将尽可能多的基金存入尽可能长的时间。根据这种思想建立了目标函数。在目标函数的求解过程中，存在不同存款方式的组合，我们通过分析计算得出存期在1 到10 年中的最佳组合方式，并分别求出所有存期在1 到10 年之间的最佳年均利率。存期在10 年以上时，最佳的存款组合方式为若干10年存期与一个1 到10 年间存期的组合。对第1 题，我们计算出M =5000 万元，n=10 年时基金的最佳配置方案，并计算出此种情况下每年发放的奖学金金额为109.8169（万元）。对第2 题，我们通过对

3、1981 年以来国库券发行情况的分析，巧妙的假设了国库券的发行情况, 计算出M =5000 万元，n=10 年时基金的最佳配置方案，并计算出此种情况下每年发放的奖学金金额为133.1944 （万元）。通过对第1、2 题计算结果的比较，得知既存款又买国库券的情况下年均利息更高，故第2 题的情况同样适用于第3 题，通过计算得此种情况下,除第3 年外每年发放的奖学金金额为130.4105 （万元），第3 年发放奖学金金额为156.4926（万元）。（一）问题的重述某校基金会有一笔数额为M 元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。当前银行存款及各期国库券的利率见下表。假设国库券每年至少发行一次，发行时

4、间不定。取款政策参考银行的现行政策。校基金会计划在n 年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额。校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对M =5000 万元，n=10 年给出具体结果：只存款不购买国库券；可存款也可购国库券。3学校在基金到位后的第3 年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多20%。银行存款税后年利率（%） 国库券年利率（%）活期 0.792半年期 1.664一年期 1.800二年期 1.944 2.55三年期 2.160 2.89五年期 2.304 3.14

5、（二）合理假设及说明1 年份n 为自然数；2 基金于某年的1 月1 日到位，该日即为n 年的第一天；3 奖学金每年定时发放，每年发放金额相同（第3 题第三年例外）。4 参考现行储蓄政策，定期存款及国库券利息按单利计算；5 通过对1981 年以来国债发行情况的分析，我们假定国债每次发行均包括两年期、三年期、五年期三种国债，即三种国债在同一天发行，且每年的第一期国债在该年的7 月1 日之前发行，并可在发行后半年内任意购买；6 国库券在发行期数量足够多；7 国库券不能流通。（三）符号约定M 基金总额； i D 投资i 年的年平均利率；i S 第i 年发下的奖金数额（i=1,2,3(n-1),n）(除

6、第3 题第三年外，其余均表示为S)；i P 基金M 分成n 份后其中的第i 份； f n 年所的利息之和； X 取整，等于X 的整数部分； mod(Y，Z) 取余，等于Y 除以Z 的余数；半C 半年定期存款的年利率； i C i 年定期存款的年利率（i=1,2,3,5）；i T i 年期国库券的年利（i=2,3,5）。（四）问题的分析及模型的建立基金到位时金额为M ，n 年后基金金额仍为M ，则n 年中发放的奖学金之和数值上等于n年中所得的利息之和，利息越高，每年发放的奖学金金额越高；且利息的高低与存款配置方案有关，故将求基金最优使用方案的问题转化为求n 年中所得利息最大时的基金配置问题 。由

7、于基金到位时间与奖学金第一次发放时间可能存在时间差，可利用这段时间差来升值基金以提高奖学金的金额。所以我们将第一次奖学金发放日设定为基金到位次年的1 月1 日，即每年的奖学金均在次年的1 月1 日发放。在此我们将M 分成n 份依次记为1 P ， 2 P ， 3 P ， 4 P .(n1) P , n P 。由以上分析我们得到目标函数 = + nif Pi i Di M1max (1 * )又每年必须发放奖学金， i P (1+i i D ) i S(2)而存入不同利率的几笔钱可看成不同的独立投资项目，收益高的优先得到资金。因为钱存至第n 次发放奖学金时存期最长，收益最大，所以应在满足每年发下奖

8、学金的前提下将尽可能多的钱存至第n 次发放奖学金之时。由此目标函数可简化为：f P iD M inii + = =max (1 )1(3)i P (1+i* i D )= i S (i=1、2、3（n-2）,（n-1）) (4)i P (1+i* i D )= i S +M (i=n) (5)(五)模型的求解不同存款方式 对应的年平均利率一年期 一年定期1 D = 1 C =1.8000%两年期 两年定期 2 D = 2 C =1.944%三年期 三年定期 3 D = 3 C =2.160%四年期 一年定期+三年定期 4 D =（1+3 3 C ）(1+ 1 C )-1）/4=2.09916%

9、五年期 五年定期 5 D = 5 C =2.304%六年期 一年定期+五年定期 6 D =（1+5 5 C ）(1+ 1 C )-1）/6=2.25456%七年期 两年定期+五年定期 7 D =（(1+5 5 C )(1+2 2 C )-1）/7=2.265128%八年期 三年定期+五年定期 8 D =（(1+5 5 C )(1+3 3 C )-1）/8=2.343312%九年期 三年定期+五年定期+一年定期 9 D =（(1+5 5 C )(1+ 3 C )（1+ 1 C ）-1）/9=2.32043668%十年期 五年定期+五年定期 10 D =（(1+5 5 C )2-1）/10=2.3

10、04%1.只存款不买国库券。由目标函数（3），（4）,(5)得i P (1+i* i D )= i S (1i(n-1) (6)i P (1+I* i D )= i S +M (i=n) (7)当存款期限在1 到10 年时，部分存款的存期有不同的组合方式，例如6 年存期的组合方式有：存5 年定期与存一年定期的组合，存两个3 年定期的组合，存三个2 年定期的组合。经计算得知利息最大的组合方式存5 年定期与存1 年定期的组合。同样的我们对其他存期的组合方式进行计算比较，得到最佳组合方式为：表11由表11 知当存款在6 年以上时，先存 i/5 个5 年定期存款，然后再存一个mod ( i,5 )年定

11、期存款，这样所得利息最高。由此得n 年中获得最大利息时有关基金使用方案的方程：iiPi (1+ 5D ) (1+ mod(i,5) = S / 55 (1 i ( n-1)(8)i iii P (1+ 5D ) (1+ mod(i,5) *D ) = M + S mod( ,5) / 55 (n=i)(9)当M =5000 万元，n=10 年时，用matlab 计算，结果为：1 P =0.107875193420482 P =0.105707056543633 P =0.103133871996664 P =0.101310286833655 P =0.098472872042726 P =0

12、.096731701417217 P =0.094787534077728 P =0.092480157816239 P =0.0908449508491610 P =4.10865637500254 单位: (千万元)S =0.10981694690204 (千万元) 109.8169 (万元)2. 可存款也可购买国库券。在相同存期的条件下，国库券利率比定期存款利率高得多，故应优先选择国库券。因国库券每年的第一次发行时间在上半年，且发行后半年内均可购买，因而在每年的7 月1 日一定能购买到国库券。如果在第一年发行国库券后立即购买，则在发行国库券之前的时间里必须采取活期存款方式；当国库券到期之

13、时，该年的国库券可能尚未发行，故必须有一定时间的活期存款。如此下来，必将使活期存款的时间累加。而如果我们在第一年的年初先存半年的定期之后再买国库券，这在以后的( n-1 )年中每年均可在国库券到期之日立即购买新的国库券,而此时无活期存款的情况，因此利息最高。在存期大于等于四年时，部分存期存在不同存款方式的组合问题，例如存期为8 年的组合方式有：2 个半年定期、5 年国库券存期和2 年国库券存期的组合；2 个半年定期、3 年国库券存期和2 个2 年国库券存期的组合；2 个半年定期、2 个3 年国库券存期和1 年定期的组合。经计算得利息最大时的组合方式为：两个半年定期、两个三年期国库券和一个一年定

14、期的组合。我们将110 年的存期组合方式经计算比较，得到最佳组合方式如下：不同存款方式 对应的年平均利率 一年期 一年定期1 D = 1 C =1.8000%二年期 两年定期 2 D = 2 C =1.944%三年期 半年定期+两年期国库券+半年定期3 D =（(1+1/2 半C )2(1+2 2 T )-1）/ 3=2.28537976%四年期 半年定期+三年期国库券+半年定期4 D =（(1+1/2 半C )2(1+3 3 T )-1） / 4=2.621447780%五年期 半年定期+两年期国债+两年期国债+半年定期5 D =（(1+1/2 半C )2(1+2 2 T )2-1）/ 5=

15、2.461160475%六年期 半年定期+五年期国库券+半年定期6 D =（(1+1/2 半C )2(1+5 5 T )-1）/ 6=2.23904132%七年期. 半年定期+三年期国库券+三年期国库券+半年定期7 D =（(1+1/2 半C )2(1+3 3 T )2-1） / 7=2.86641561%八年期 半年定期+三年期国库券+三年期国库券+一年定期+半年定期8 D =（(1+1/2 半C )2(1+3 3 T )2(1+ 1 C )）-1/8=2.77825971%九年期 半年定期+三年期国库券+三年期国库券+两年期国库券+半年定期 9 D =（(1+1/2 半C )2(1+3 3

16、 T )2-1） / 9=2.9098021%十年期 半年定期+三年期国库券+三年期国库券+三年期国库券+半年定期 10 D =（(1+1/2 半C )2(1+3 3 T )3-1）/ 10=3.0474536%十一年期 半年定期+五年期国库券+五年期国库券+半年定期11 D =（(1+1/2 半C )2(1+5 5 T )2-1） / 11=3. 28197%当存款期限在10 年以上时，应先存足2*i/10个5 年国库券存期，然后再存一个mod ( i,5 )年存期的存款，此时利息最大。由此得关于基金最佳使用方案的方程如下：P D i D S iii (1+ 5 ) (1+ mod( ,10

17、) * ) = mod( ,10)2 /105 （1i( n-1 )） (10)P D i D M S iii (1+ 5 ) (1+ mod( ,10) * ) = + mod( ,10)2 /105 (i=n)(11)当M =5000 万元，n=10 年时，用matlab 计算，结果为：1 P =0.130839383640262 P =0.128209699431883 P =0.124648702173484 P =0.120553537891025 P =0.118600150968376 P =0.117420255431167 P =0.110935505281978 P =0.

18、108974300429529 P =0.1055522565071710 P =3.93426620824516 单位: (千万元)S =0.13319449254579 (千万元) 133.1944(万元)3 考虑百年校庆发放奖学金金额增加时资金使用方案由第1、2 题的运算结果可知，第2 题中每年发放的奖学金金额高于第1 题，因此有国库券参与的情况下基金使用方案最佳。而本题中第三年奖学金金额为 1.2S 由此得关于基金最佳使用方案的方程为：P D i D S iii (1+ 5 ) (1+ mod( ,10) * ) = mod( ,10)2 /105 ( 1i2 or 4i(n-1)(1

19、2)P D i D S iii (1 5 ) (1 mod( ,10) * ) 1.2 mod( ,10)2 /105 + + = (i=3)(13)P D i D M S iii (1+ 5 ) (1+ mod( ,10) * ) = + mod( ,10)2 /105 (i=n)(14)当M =5000 万元，n=10 年时，用Matlab 计算，结果为：1 P = 0.128104698536952 P =0.125529977582223 P =0.146452090837044 P =0.118033838125945 P =0.116121279109766 P =0.114966

20、044669697 P =0.108616832835788 P =0.106696619293039 P =0.1033460998022110 P =3.93213251920736 单位: (千万元)S =0.13041058311062 (千万元) 130.4105 (万元)第3 年要举行百年校庆所发放的奖学金1.2 S 为156.4926（万元）。六模型优缺点分析为了让基金能存入更长的时间以增高利息，在基金到位一年后才发放奖学金，这在现实中是有它的实际意义的。我们通过对近几年国库券发行情况的分析，做出了合理的假设，避免了活期存款的情况，简化了求解过程，这与现实情况难免有点不符，但因为

21、假设的合理性由此引起的与现实情况的差值并不会很大。在我们的模型中并没有涉及活期存款的情况，但在实际中活期存款的影响是不可忽略的，这是我们模型的不足之处。对于现实中活期存款的操作，我们提出以月为单位存取，实质上是以复利计息，这样可以提高活期存款的利息所得。附录：使用 Matlab 操作运算结果第1 题a =1.0180 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1.0000；0 1.0389 0 0 0 0 0 0 0 0-1.0000；0 0 1.0648 0 0 0 0 0 0 0-1.0000；0 0 0 1.0840 0 0 0 0 0 0-1.0000；0 0 0 0 1.1152 0 0

22、0 0 0-1.0000；0 0 0 0 0 1.1353 0 0 0 0-1.0000；0 0 0 0 0 0 1.1586 0 0 0-1.0000；0 0 0 0 0 0 0 1.1875 0 0-1.0000；0 0 0 0 0 0 0 0 1.2088 0-1.0000；0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.2437-1.0000；1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0；b=0 0 0 0 0 0 0 0 0 5000 5000;x=inv(a)*bx =1.0e+003 *0.

23、107875193420480.105707056543630.103133871996660.101310286833650.098472872042720.096731701417210.094787534077720.092480157816230.090844950849164.108656375002540.10981694690204第2 题a = 1.0180 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1；0 1.0389 0 0 0 0 0 0 0 0 -1；0 0 1.0686 0 0 0 0 0 0 0 -1；0 0 0 1.1049 0 0 0 0 0 0 -1；0 0 0

24、0 1.1231 0 0 0 0 0 -1；0 0 0 0 0 1.1343 0 0 0 0 -1；0 0 0 0 0 0 1.2006 0 0 0 -1；0 0 0 0 0 0 0 1.2223 0 0 -1；0 0 0 0 0 0 0 0 1.2619 0 -1；0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.3047 -1；1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0；b=0 0 0 0 0 0 0 0 0 5000 5000;x=inv(a)*b'x =1.0e+003 *0.130839383640260.128209699431880.124648702173480.12055353

25、7891020.118600150968370.117420255431160.110935505281970.108974300429520.105552256507173.934266208245160.13319449254579第3 题a = 1.0180 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1.0000；0 1.0389 0 0 0 0 0 0 0 0 -1.0000 ；0 0 1.0686 0 0 0 0 0 0 0 -1.2000；0 0 0 1.1049 0 0 0 0 0 0 -1.0000 ；0 0 0 0 1.1231 0 0 0 0 0 -1.0000 ；0 0 0

26、0 0 1.1343 0 0 0 0 -1.0000 ；0 0 0 0 0 0 1.2006 0 0 0 -1.0000 ；0 0 0 0 0 0 0 1.2223 0 0 -1.0000 ；0 0 0 0 0 0 0 0 1.2619 0 -1.0000 ；0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.3047 -1.0000 ；1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 ；b=0 0 0 0 0 0 0 0 0 5000 5000 'x=inv(a)*b'x =1.0e+003 *

27、0.128104698536950.125529977582220.146452090837040.118033838125940.116121279109760.114966044669690.108616832835780.106696619293030.103346099802213.932132519207360.130410583110621.2*x(11)=1.0e+003 *0.15649269973274_三，关于公交车的调度问题该条公交线路上行方向共14站，下行方向共13站，第3-4页给出的是典型的一个工作日两个运行方向各站上下车的乘客数量统计。公交公司配给该线路同一型号的大

28、客车，每辆标准载客100 人，据统计客车在该线路上运行的平均速度为20公里/小时。运营调度要求，乘客候车时间一般不要超过10分钟，早高峰时一般不要超过5分钟，车辆满载率不应超过 120%，一般也不要低于50%。试根据这些资料和要求，为该线路设计一个便于操作的全天（工作日）的公交车调度方案，包括两个起点站的发车时刻表；一共需要多少辆车；这个方案以怎样的程度照顾到了乘客和公交公司双方的利益；等等。如何将这个调度问题抽象成一个明确、完整的数学模型，指出求解模型的方法；根据实际问题的要求，如果要设计更好的调度方案，应如何采集运营数据。基本假设1） 该公交路线不存在堵塞现象，且公共汽车之间依次行进，不存

29、在超车现象。2） 公共汽车满载后，乘客不能再上，只得等待下一辆车的到来。3） 上行、下行方向的头班车同时从起始站出发。4） 该公交路线上行方向共 14站，下行方向共 13站。5） 公交车均为同一型号，每辆标准载客 100名，车辆满载率不应超过 120%，一般也不要低于 50%。6） 客车在该路线上运行的平均速度为 20公里/小时，不考虑乘客上下车时间。7） 乘客侯车时间一般不超过 10分钟，早高峰时一般不超过 5分钟。8） 一开始从A出发的车辆，与一开始从 A出发的车辆不发生交替，两循环独立。9) 题目所给的数据具有一定的代表性,可以做为各种计算的依据。 符号说明N：从总站A 始发出的公交车的

30、总次数（上行方向）N：从总站A 始发出的公交车的总次数（下行方向）T：上行方向早高峰发车间隔时间T：上行方向平时发车间隔时间T：上行方向晚高峰发车间隔时间T：下行方向早高峰发车间隔时间T：下行方向平时发车间隔时间T：下行方向晚高峰发车间隔时间T（i，j）：第i 辆车到达第j 站的时刻N（i ，j）：在 j站离开第 i辆车的乘客数N（i ，j）：在 j站上第i 辆车的乘客数D（ j，j-1 ）：第j 站与第（j-1 ）站间距f（j ）：上行方向第j 站的上车乘客的密度函数g（ j）：上行方向第 j站的下车乘客的密度函数f（ j）：下行方向第 j站的上车乘客的密度函数g（ j）：下行方向第j 站的

31、下车乘客的密度函数G：一天内公交公司的总收入A：公交车出车一次的支出，为定值B：公交公司每天的固定支出，为定值：i=1,2,3,为一小概率事件的概率N（t ）：某车站全天的上（下）车乘客数q：第t 时间段此站的上（下）车人数Q（i ，j）：第i 辆车到达第 j站时的车上人数建模前的准备：1） 对问题的初步分析我们考虑三组相关的因素：公共汽车，汽车站与乘客对模型的影响。） 与公共汽车有关的因素：离开公共汽车总站的时间，到达每一站的时间，在每一站下车的乘客数，在每一站的停留时间，载客总数，行进速度等。） 与车站有关的因素：线路上汽车的位置，车站间距，乘客到来的函数表示，等车的乘客数，上一辆车离开车

32、站过去的时间等。） 与乘客有关的因素：到达某一车站的时间，乘车距离（站数），侯车时间等。2） 曲线的拟合分析样本数据，可知对于某车站全天的上（下）车乘客数 N（t ）是时间t 的递增函数，N（t ）=N（t-1）+ q，其中q 为第t 时间内此站的上（下）车人数，我们可以由此来拟合其分布函数。由样本数据知每一车站每天有两次波峰，故根据最小二乘法将分布函数拟合为关于t的五次多项式。分析与建模分析样本数据，在上行方向 22：00 23：00 和下行方向5 ：00 6：00 的上、下车人数较其它时段偏小，为使模型更好地体现普遍性，我们单独讨论上面的两个时段。易知各站只需一辆车就可以满足需求。由题设要

33、求可知，所求方案须兼顾乘客和公交公司的利益，但实际上，不可能同时使双方都达到最优值。因此我们将公司利益作为目标函数，将乘客利益作为约束条件。公司利益Z=G-( N+N)*A-B（其中G为总收入，因样本数据为典型工作日，因而可以看作定值，( N+N)*A+B 为支出。） N=+ N=+乘客的利益在此处即为侯车时间，由于乘客侯车时间带有随机性，不可能总小于（或大于）某个定值，因而可用概率来描述乘客的利益，得如下模型： I：maxZ= G-( N+N)*A-B s.t. P等待时间t>10分钟的人< P Q（i ，j）+ N（i ，j） N（i ，j）>120<P Q（i ，

34、j）+ N（i ，j） N（i ，j）<50<或 P等待时间t>5分钟的人< P Q（i ，j）+ N（i ，j） N（i ，j）>120<P Q（i ，j）+ N（i ，j） N（i ，j）<50<模型的简化与求解：对于原模型，由于约束条件难以表示为明确的函数表达式，给实际求解过程中带来相当大的困难，因而对其简化。1） 发生间距时间的求解分析原目标值 Z，易知maxZ ómaxT其中T 为发车间距时间，它因不同的时间段而不同。下面我们就以每小时为一时间段来求解，且假设乘客上下车瞬间完成，即不考虑上下车时间。应题设要求，乘客侯车时间一般

35、不超过 10分钟，早高峰时一般不超过5 分钟。我们引进概率参数，用以控制侯车时间超过10分钟（或5分钟）的人数在总侯车人数的比重。对于满载率不低于50% ，由于目标值为maxZ ，则可以忽略不考虑，可得如下模型：: maxT=ts.t. Q(i,j)+ -120或Q(i,j)+ -120t>0, i=1,2分析样本数据可以发现：） 对于上行车道，A，A，A，A，A的上车人数>下车人数，对于其余站点则相反；） 对于下行车道，A，A，A，A的上车人数>下车人数，而其余站点则相反；因而对于约束条件，只需取前5个（或4个），对于模型，我们可以根据拟合分布函数F，G将约束条件转化为T的

36、函数，利用Matlab软件容易求解。分析所得结果，易知在高峰时间段中，结果T有较大误差，是由于拟合函数的误差而引起的。为了减小误差，可以分段拟合分布函数F，G 。为计算方便，可以认为在每小时内，每站的到达人数与时间成正比，每站的下车人数亦与时间成正比，即F（t）=k*t ，G（t）=p*t, k, p为斜率，令=5% ，于是将模型简化为：maxT=ts.t. 19t-2000(或19t-1000) k*t-1200 k*t+ k*t - p*t- 1200 k*t+ k*t - p*t + k*t - p*t -1200 k*t+ k*t - p*t + k*t - p*t +k*t - p*

37、t -1200 k*t+ k*t - p*t + k*t - p*t +k*t - p*t+ k*t - p*t -1200 t>0 （平时及晚高峰取19t-2000，早高峰取19t-1000）当上行时，取所有约束条件，下行时取前5个约束条件。模型为线性规划，利用Matlab求解，结果如下：发车间距时间表（单位皆为分钟）时段566778899101011111212131314上行10.522.451.4342.8485.49626.03525.31375.64796.9231下行/6.9292.6162.23393.9516.58747.30228.67478.08时段14151516

38、1617171818191920202121222223上行8.17258.26643.37552.59748.026810.52610.52610.526/下行7.0795.533.27871.99342.97896.59959.2199.302310.5263对模型、进行误差分析在上文中，我们已提及到模型的误差，究其原因主要是由于拟合函数的误差引起的。如上行方向A站7：008：00 ，发车间距T=5.26分，显然此时的T无法使3626名乘客正常运行，而此时由拟合函数算出来的乘客总数为2023。误差=3626-2023=1603(人）。为使误差减小，因而可以对函数进行分段拟合。如模型中，以每

39、小时为一段。此时求解的结果，能很好的使样本数据的乘客正常运行。当然此时的解亦有误差 ，因而T可有一波动范围。在此解的情况下，容易知道客车满载率120%（约束条件）。乘客等待时间过长的概率5%。空载情形，大部分只有在最后一站方出现空载情形（满载率50% ）。2） 对无滞留乘客条件下的最小配车数初步求解我们对数据作进一步的处理，估算出每一段上、下行所需的最小配车数，从而得出一天内所需配备的最小车辆数。为最小配车数的求解找到一个参照值。我们首先考虑以一小时为时间间距来考查一天的最小配车数（即设公交车在各车站所停的时间为一定值）。分析数据可知满足各站均无滞留乘客，各发车时刻均有车可发的最小配车数应为6

40、5辆车。这只是一个初步解，为得到进一步的精确解，我们考虑以44分为一时间间距，通过拟合的分布函数得到各车满载时各时段的所需最小配车数。满足各站无滞留乘客，各发车时刻均有车可发的最小配车数为43辆。3） 公交公司调度方案模型的建立与求解） 我们制订调度方案，应使公交公司和乘客双方的利益达到均衡。一方面公交公司希望配置尽可能少的汽车以降低固定成本，又要在保证接送全部乘客的前提下尽可能减小出车次数，以降低可变成本；另一方面，应实现乘客满意，即规定发车时段必定有车可乘，尽可能缩短等车时间。)制订调度方案时，我们发现有下难点：A）一方车站到了发车时间但没有车可发，另一方面却有囤积。此问题有两种解法：一是

41、购置新车，二是调节班次。前者使成本变高，后者引起连锁反应，使整个计算量变大且有可能求不出最优解。B） 若迫不得已要改变总车配置数，必须调动各个时间间隔使车优化配置，全局最优化。这是一个最优问题。C） 总配置数一定，调节总车班次使总车次数增加越少，总车班次数越小，则求得的解越优。这又是一个极值优化问题。为解决以上难点，我们建立了一个线性规划模型，用Maple优化软件求解。设某j时间段发车数为X，车站内车辆总数为C。i= m为总配置数， z为总班次min z=s.t. C+C=m X=C- X0 X=C- X0 X= C+-0 X= C+-0=1） 60分120人调度方案模型若考虑到各站点乘客上下

42、车时间相等，总行程总需耗时60分，每辆车都载120人。在初步解的模型中，配置最小车辆为60，用Maple软件包开始搜索优化选择，j=2，318。搜索出整体最优解为：C=62，C=4，m=66，z=476。2）44分 120人调度方案模型考虑乘客上下车瞬间完成，公交车驶完全程需44分。每辆车均载120人，此模型中步长为44分钟，所考虑时段的乘客数均由拟合函数给出，初始值为43辆，由Maple软件包优化选择，得到：C=42，C=6，m=48，z=590。模型的推广与改进在设计公交车调度方案时，并未充分考虑乘客利益，在进行改进时，可以试着想其它办法找到一些更好的规则来进行对比与评价，从而得到更加优化

43、的方案，使双方利益达到充分均衡，这是模型改进的方向。另外，模型求得的数据相对精确度较高，在现实生活中不太实用。问题的关键是所给的数据太少，所得到的调度方案稳定性很差，灵敏度较高，可以试着找其它方法解决，从而求解。我们建立了一个调度方案的一般模型，并提出了一个较普遍与实用的方法，故此模型可用于现实生活中其它运输业的调配，类似交通运输之类的调配问题，从而达到资源的优化配置。模型的自我评价：我们通过一些合理的假设，针对公交车调度问题建立了一般模型。先对模型进行了简化，采用由简单到复杂，逐步深入的方法，充分利用Maple优化软件包进行搜索，优化求解，从而得到一个整体最优解。在求解（2）小题时，提出一个

44、方法，即每次都从每段时间的起点均有车发出，到最后一班车持续等时段发出，最后剩余小段时间丢去不予考虑。列出了不同时段的公交车调度时刻表。同时引入概率来刻划顾客利益，从而可以使抽象概念定性分析定量化，也是本模型的一大优点。但本题中因只给了某一个工作日的数据样本，具有典型性，得出的结果在长时间内可行性较差，其次设计调度方案时着重考虑公司利益与大部分顾客利益，使双方利益趋于均衡，并未同时达到双方满意，这是我们模型的缺点所在。附录 :程序1 -上行方向 A13车站全天的上车乘客数拟合为关于t的五次多项式a=371,1990,3626,2064,1186,923,957,837,779,625,635,4493,2011,691,350,304,209,19;for i=1:18 b(i)=sum(a(1:i)endx=1:18aa=polyfit(x,b,5);y=polyval(aa,x);plot(x,b,x,y)站名A13A12A11A10A95:00