线性规划习题解答

1、第一章 习题课2A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8 需需 要要 量量 （根）（根） 钢钢 管管 数数 （根）（根）2. 9211100001002. 1021032101001. 510130234100料头长度（米）料头长度（米） 0. 1 0. 3 0. 901. 1 0. 2 0. 8 1. 4某工厂某工厂准备做准备做100100套钢架，每套钢架均由长套钢架，每套钢架均由长为为2.92.9米、米、2.12.1米和米和1.51.5米米的钢管各一根所组成，已知原料长的钢管各一根所组成，已知原料长7.47.4米，如何下米，如何下料方能使原料最省？料方能使原料最省？原料的下料方式如

2、下表。原料的下料方式如下表。1、套裁、套裁下料问题下料问题38, 2, 1, 2, 1, 010043231002321002min87643176532432187654321jxxxxxxxxxxxxxxxxtsxxxxxxxxzj利用WinQSB软件求解综合报告见图由图可以看出，模型有多重最优解，其中一个最优解为： 1.6 下表是某求极大化线性规划问题计算得到的单纯形表。表中无人工变量， ， 为待定常数。试说明这些常数分别取何值时，以下结论成立。(1)表中解为唯一最优解；(2)表中解为最优解，但存在无穷多最优解；(3)该线性规划问题具有无界解；(4)表中解非最优，为对解改进，换入变量为，

3、换出变量为(2)当解为最优解，但存在无穷多最优解,必有(3)当该线性规划问题具有无界解时，必有(4)当解非最优，为对解改进，换入变量为，换出变量为.0,021cc.0,0,0或0,0,02121ccdccd.0且0,0,0121accd必有.43,0，且,0,033211daacccd1.7 某昼夜服务的公交线路每天各时间区段内所需司机和乘务人员数见下表。设司机和乘务人员分别在各时间区段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路至少配备多少名司机和乘务人员。，有班次开始上班。由题意名司机和乘务人员第表示)6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1(设解kxkxkk0,302050607060.min6

4、54321655443322116654321xxxxxxxxxxxxxxxxxxtsxxxxxxz82 2、 载货问题：载货问题：有一艘货轮，分有一艘货轮，分前、中、后前、中、后三个舱位，它三个舱位，它们的容积与最大允许载重量如下面表所示们的容积与最大允许载重量如下面表所示。（习题。（习题1.91.9）前舱前舱中舱中舱后舱后舱最大允许载重量最大允许载重量(t)(t)200020003000300015001500容积容积(m(m3 3) )400040005400540015001500现有三种货物待运，已知有关数据列于下面表。现有三种货物待运，已知有关数据列于下面表。商品商品 数量（件）数

5、量（件） 每件体积（每件体积（m m3 3/ /件）件）每件重量每件重量（t/t/件）件）运价（元运价（元/ /件）件）A A60060010108 810001000B B100010005 56 6700700C C8008007 75 5600600 为了航运安全，要求前、中、后舱在实际载重量上大为了航运安全，要求前、中、后舱在实际载重量上大体保持各舱最大允许载重量的比例关系。具体要求体保持各舱最大允许载重量的比例关系。具体要求前、后前、后舱分别与中舱之间载重量比例上偏差不超过舱分别与中舱之间载重量比例上偏差不超过 15%15%，前、后，前、后舱之间不超过舱之间不超过 10%10%。问该

6、货轮应装载问该货轮应装载 A A、B B、C C各多少件，各多少件，运费收入为最大？运费收入为最大？ 9 (2) (2) 确定目标函数确定目标函数 商品商品 A A 的件数为：的件数为：x x1111 + + x x1212 + + x x1313，即装于货轮前、中、，即装于货轮前、中、后舱商品后舱商品 A A 的件数之和；的件数之和； 商品商品 B B 的件数为：的件数为：x x2121 + + x x2222 + + x x2323，即装于货轮前、中、，即装于货轮前、中、后舱商品后舱商品 B B 的件数之和；的件数之和； 商品商品 C C 的件数为：的件数为：x x3131 + + x x

7、3232 + + x x3333，即装于货轮前、中、，即装于货轮前、中、后舱商品后舱商品 C C 的件数之和。的件数之和。 为使运费总收入最大，目标函数为为使运费总收入最大，目标函数为 max max Z Z = 1000( = 1000(x x1111 + + x x1212 + + x x1313) ) + 700( + 700(x x2121 + + x x2222 + + x x2323) ) + 600( + 600(x x3131 + + x x3232 + + x x3333) )解：解：(1) (1) 确定决策变量确定决策变量 因为因为A A、B B、C C三种商品在货轮的前、

8、中、后舱均可装载，三种商品在货轮的前、中、后舱均可装载，令令 i i = 1, 2, 3 = 1, 2, 3 分别代表商品分别代表商品 A A、B B、C C，用，用 j j = 1, 2, 3 = 1, 2, 3 分别代表前、中、后舱。设决策变量分别代表前、中、后舱。设决策变量 x xijij 为装于为装于 j j 舱位的舱位的第第 i i 种商品的数量（件）。种商品的数量（件）。 10 (3) (3) 确定约束条件确定约束条件 A A、B B、C C 三种商品数量限制为：三种商品数量限制为： x x1111 + + x x1212 + + x x1313 600 600 x x2121 +

9、 + x x2222 + + x x2323 1000 1000 x x3131 + + x x3232 + + x x3333 800 800前、中、后舱位体积限制为：前、中、后舱位体积限制为： 1010 x x1111 + 5 + 5x x2121 + + 7 7x x3131 4000 4000 10 10 x x1212 + 5 + 5x x2222 + + 7 7x x3232 5400 5400 10 10 x x1313 + 6 + 6x x2323 + + 7 7x x3333 1500 1500 前、中、后舱位载重量限制为：前、中、后舱位载重量限制为： 8 8x x1111

10、+ 6 + 6x x2121 + + 5 5x x3131 2000 2000 8 8x x1212 + 6 + 6x x2222 + + 5 5x x3232 3000 3000 8 8x x1313 + 6 + 6x x2323 + + 5 5x x3333 1500 1500 11 x xijij 0 0，i i = 1, 2, 3 = 1, 2, 3，j j = 1, 2, 3 = 1, 2, 3。 综上所述，该问题的线性规划模型如下：综上所述，该问题的线性规划模型如下： )10. 01 (34568568)10. 01 (34)15. 01 (21568568)15. 01 (213

11、32313312111322212332313xxxxxxxxxxxx)15. 01 (32568568)15. 01 (32322212312111xxxxxx 根据各舱实际载重量大体应保持各舱最大允许载重根据各舱实际载重量大体应保持各舱最大允许载重量的比例关系，且量的比例关系，且前、后舱分别与中舱之间载重量比例前、后舱分别与中舱之间载重量比例上偏差不超过上偏差不超过 15%15%，前、后舱之间不超过，前、后舱之间不超过 10%10%，可得舱可得舱体平衡条件为：体平衡条件为： 1213最后解得最后解得： x11 = 206.7722，x12 = 318.2278， x13 = 75， x21

12、 = 0， x22 = 0， x23 = 150， x31 = 69.1646， x32 = 90.8354， x33 = 0；总费用为：总费用为：8.01 105。 143 3、生产存贮生产存贮问题（习题问题（习题1.101.10） 一个合资食品企业面临某种食品一至四月的生产计划问题。四一个合资食品企业面临某种食品一至四月的生产计划问题。四个月的需求分别为个月的需求分别为45004500吨、吨、30003000吨、吨、55005500吨、吨、40004000吨。目前（一月吨。目前（一月初）该企业有初）该企业有100100个熟练工人，正常工作时每人每月可以完成个熟练工人，正常工作时每人每月可以

13、完成4040吨，吨，每吨成本每吨成本200200元。由于市场需求浮动较大，该企业可通过以下方法元。由于市场需求浮动较大，该企业可通过以下方法调节生产：调节生产： （1 1）利用加班增加生产，但加班生产每人每月不能超过）利用加班增加生产，但加班生产每人每月不能超过1010吨，吨，其成本为其成本为300300元元/ /吨。吨。 （2 2）利用库存来调节，库存费用为）利用库存来调节，库存费用为6060元元/ /吨吨/ /月，最大库存能月，最大库存能力为力为10001000吨。吨。 请为该企业构造一个线性规划模型，在满足需求的前提下使四请为该企业构造一个线性规划模型，在满足需求的前提下使四个月总费用为最小。个月总费用为最小。 假定该企业在一月初的库存为假定该企业在一月初的库存为0 0，要求四月底库存为，要求四月底库存为500500吨。吨。15164：库存库存问题（习题问题（习题1.11） 某公司在今后四个月内需租用仓库堆放物资。已知各月所需仓库面积如下：某公司在今后四个月内需租用仓库堆放物资。已知各月所需仓库面积如下： 该厂