哈工大概率论论文-论随机变量分布函数

1、随机变量分布函数本文从随机变量分布函数最基本的的定义和性质谈起，探讨了二元联合分布函数的两种估计方法，并介绍了概率密度函数的一个应用瑞利概率密度分布函数在电信用户预测中的运用。综合了课内所学与查阅课外资料文献所得，更深入透彻地理解了随机变量分布函数和概率密度分布函数，并通过实际生活中的应用感知到了它们的重要性。Part.1定义及性质对于离散型随机变量可以用分布律全面地描述它。但对于非离散型随机变量，由于其取值不能一一列出，因而就不能像离散型随机变量那样可以用分布律来描述它。另外，我们通常遇到的非离散型随机变量取任一指定的实数的概率都等于零，而且，在实际问题中我们并不单一地关注随机变量取某一值的

2、概率，相反，我们更多的是关注随机变量落在某个区间内的概率，即P(x1 X x2 ) 。但注意到，所以我们只需要知道和就可以了，这就是引入了分布函数的概念。分布函数的引入可以对离散型的和非离散型的随机变量给出一种统一的描述方法，进行统一的研究。一.随机变量分布函数的定义定义1. 设X是一个随机变量，是任意实数，称函数： 为X的分布函数。分布函数是个普通函数，它是实数的函数，有时也可用记号F X (x)来表示X的分布函数。正是通过分布函数，我们才能将数学分析的方法引入来研究随机变量。如果将X看作数轴上随机点的坐标，则分布函数F X (x)的值就表示X落在区间上的概率。对任意的实数，有：从分布函数的

3、定义可见，任一随机变量（离散的或连续的）都有一个分布函数，有了分布函数就可据此算得与随机变量X有关事件的概率。下面先介绍分布函数的三个基本性质。二.随机变量分布函数的性质性质1 （单调性）F(x)是定义在整个实数轴(,+)上的的单调非减的函数。即对任意的x1 x 2，, 有：F(x1) F(x2)性质2 （有界性）对任意的，有0F(x)1，且：证明： 因为0F(x)1 ，且由F(x)单调性可知，对任意整数m，n ,有：又由概率的可列可加性得：由此可得：性质3 （右连续性）F(x)是的右连续函数。即对任意的x0,有：证明：因为F (x)是单调有界非减函数，所以其任一点x0的右极限(Fx0+0)必

4、存在。为证明右连续，只要对单调下降的数列当时证明成立即可。 因为 ：所以得：性质1至性质3是分布函数必须具有的性质。反过来还可以证明：任一满足这三个性质的函数，一定可以成为某个随机变量的。因此，满足这三个性质的函数通常都称为分布函数。有了随机变量X的分布函数，那么有关X的各钟事件的概率都能方便地用分布函数来表示。例如，对任意的实数a,b，有：特别，当F(x)在a与b点连续时，有：例1设有一反正切函数它在整个数轴上是连续、单调严格递增的函数，且：所以此函数满足分布函数的三条基本性质，故F(x)是随机变量X的一个分布函数。称这个分布函数为柯西分布函数。若随机变量X服从柯西分布，则：三. 离散型随机

5、变量的分布函数定义2。若离散型随机变量X的分布律为: ， k=1,2则其分布函数为:这里和式是对于所有满足xkx的求和。分布函数F(x)在x= x k( k=1,2)处有跳跃，其跳跃值为。其图形是个阶梯形图形： 图1. 离散型随机变量的分布函数在离散型随机变量中要特别注意端点的计算，这也是离散型随机变量与连续型随机变量的一个区别之处。值得一提的是：离散型随机变量的分布函数一般为阶梯跳跃函数，且在每个间断点处仅右连续。但也有分布函数不是阶梯函数的离散型随机变量。例如，记(0,1)区间中的全体有理数为且x1,x2，且, 则X为离散型随机变量，而此时的X分布函数非阶梯形。Part.2 二元联合分布函

6、数的两种估计方法一、 copula函数估计方法又Sklar定理知如果边缘分布是连续的，则存在唯一的copula函数来描述这两个随机变量的相关结构。但现实应用中，我们遇到的边缘分布函数经常是不连续的，如经验分布函数，此时两个随机变量的copula函数就不唯一了。同时，相同的边缘分布函数，不同的copula函数构造的联合分布函数也是不同的。从上文知，选择合适的copula函数对减小估计的误差是很重要的。下面将分三步说明如何利用copula函数来构造二维随机变量的联合分布函数。（1） 采用非参数核密度估计去估计两随机变量X和Y的边缘分布函数，先估计其分布函数，如下所示：其中Xi是与X独立同分布的样本

7、，Yi是与Y独立同分布的样本。显然，X和Y的边缘分布函数很易求得，有如下形式：（2） 用二元核密度估计方法估计二维随机变量的联合分布函数，先估计F（x,y）的密度函数，有：同理，Xi,Yi是分别于X,Y独立同分布的样本。则F(x,y)的估计量有：（3） 四种备选的copula函数分别作为X和Y的结构函数，与X，Y的边缘分布函数估计量构造联合分布函数的四种估计。计算出四种估计量在密度集中点上与二元核密度估计的联合分布误差，取绝对误差均值最小者作为两随机变量相应的copula函数，若绝对误差的均值相同，则取方差最小者。二、 乘积公式估计方法由乘积公式F(x, y) = F(x).F(y| x)可知

8、，若想估计出联合分布函数，必然要估计出一变量的边缘分布函数及一变量在另一变量下的条件分布函数。鉴于此，分三步来处理该问题。（1） 先估计变量X的边缘分布函数，与copula函数估计方法中X完全相似。（2） 条件分布函数没有公式可用，因,故条件分布函数可以用Xi上的的回归来估计。一个简单的非参数估计量就是局部线性光滑估计量：其中：（3） 利用乘积公式将两者结合，即可得到二维随机变量的联合分布函数的估计量：以上两种估计方法中，都涉及了核k(.)及带宽的选择，本文中的核k(.)都选用经常用到的高斯和。由于作者知识水平有限，故在此不作更详细的介绍。Part.3瑞利概率密度分布函数在电信用户预测中的运用

9、瑞利概率密度分布函数的表达式如下取0x可作出瑞利概率密度分布函数的曲线如图所示分析图可以看到 瑞利概率密度分布函数和人均收入有极其相似的地方。这种相似性表现在：人群中收入中等程度的人占总人数的大部分， 而低收入人群和高收入人群占总人数的比例为少数。以图为例收入为5000元的人数比例大约为1.21875x10-4，即为0.0121875%而收入为10000元的人参数作为门限值也利于进一步的分析工作。数比例略低于0.00563%。 对瑞利概率密度分布函数进行积分（0x）结果为1，表示瑞利概率密度分布函数若用于表示人群的收入情况，则函数囊括所有收入的人群。由于人群收入服从瑞利概率密度分布函数，因此从

10、人均收入出发，可以利用瑞利概率密分布函数来预测潜在用户的数量。其基本原理是：通信交流是人们的基本需求当人们的收入达到一定水，有能力支付通信费用时，这些人就成为电信运营商的潜在用户，通过宣传、广告等手段就可能将这些潜在用户群发展成为实际用户。 现在的问题是如何确定人群进入通信网络的(门槛)即收入在多少以上的人才拥有能力支付通信费用成为潜在的用户群。收入可以是月收入或年收入，为了与统计资料保持一致，通常情况下取年收入。市场调查结果发现，家庭消费支出中通信费用占5%15%被认为是可以接受的。从通信运营商的角度出发，各运营商也有一个可以接受的最低每用户平均收入（ARPU）值，只有所有用户的平均通信消费

11、支出高于期待的最低ARPU值，投入的资金才能在规定的时间内收回，否则将使资金积压投资回报率低下。可以把期望的年ARPU值作为门限值。假设年ARPU值为a对瑞利函数进行积分：表达式中a为门限值，定义为家庭年平均消费性支出。则对瑞利函数进行积分的意义可以解释为：在家庭年平均消费性支出为的情况下，有能力每年支付a元以上作为通信费用的人占总人数的比例，该比例也即是潜在用户的比例，或称之为“渗透率”。分析目前的各种通信业务，除业务内容的区别外，对用户来讲，另外一个重要的区别在于通信费用的区别。不同类型的业务其一次性投入和每月的支出是不一样的。通过设定不同的门限值就可以实现对不同类型业务潜在用户比例的预测。因此，瑞利概率密度分布函数可以