第1讲运动学.

1、高中物理竞赛系列讲座高中物理竞赛系列讲座知识要点和能力考查知识要点和能力考查 运动学的矢量描述运动学的矢量描述 简单的求导运算简单的求导运算速度的相关联关系速度的相关联关系几何约束条件几何约束条件 运动的相对性描述运动的相对性描述绝对（加）速度绝对（加）速度 牵连牵连（加）速度（加）速度 相对（加）速度相对（加）速度 实际上往往还实际上往往还是归结到矢量加法和求导运算是归结到矢量加法和求导运算1 1 运动学基本概念运动学基本概念1.位矢位矢 (position vector)OxzyrP(x,y,z)r位矢位矢ktzjtyitxtr)()()()( 运动方程运动方程 or or 运动函数运动函

2、数e.g.jgttvi tvtryx)()(22100 抛体运动：抛体运动：2.位移位移 (displacement)()(trttrr t t+ t 内的位移内的位移ktj titr2)( 则在则在 t=0 1s 内的位移内的位移)0()1(rrr mkj XYZorS P1)(tr P2)(ttre.g.3.速度速度 (velocity)Average velocity：trv rr)(tr)(ttrSInstantaneous velocity：trvt 0limdtrd In curvilinear motion, the velocity vector is tangential t

3、o the curve.v4.加速度加速度 (acceleration)Average acceleration：tva Instantaneous acceleration：tvat 0limdtvd 22dtrd The components of acceleration：直角坐标系直角坐标系.,22yxxadtxddtdva自然坐标系自然坐标系 vv dtdvdtdvdtvddtvdtvat )(lim0ndd d dnvnndtddtd 自然坐标系自然坐标系avan a naaan dtdvtvat 0lim 2van yy 232)1( 曲率半径的一般数学表达式曲率半径的一般数学表

4、达式注：在物理竞赛中，曲率半径多以物理方法求得注：在物理竞赛中，曲率半径多以物理方法求得圆周运动即为曲率半径不变的曲线运动圆周运动即为曲率半径不变的曲线运动平面极坐标系平面极坐标系 r vr rr dtddtrdrdtd 0)(12 dtmrvdrrdtdra 有心力场有心力场 )2( )(222rdtdrrrdtrda dtdrrdtdrvrvvr 从数学上讲，无非就是就是一个微积分的运算从数学上讲，无非就是就是一个微积分的运算)()(tvtr( (求导求导) )()()0(tvtav( (积分积分) )(ta)()0(trr不做数学的奴隶，要做数学的主人不做数学的奴隶，要做数学的主人数学是

5、大自然的语言，物理是用这种语言写成数学是大自然的语言，物理是用这种语言写成的一首诗的一首诗例例1、有一质点沿、有一质点沿x轴作直线运动，轴作直线运动，t时刻时刻的坐标为的坐标为x（t）=4.5t2 2t3，上式中，上式中t以以s作作单位，单位，x以以m作单位。试求：作单位。试求：（1）质点在第）质点在第2s内的位移；内的位移；（2）第）第2s内的平均速度；内的平均速度；（3）第）第2s末的瞬时速度；末的瞬时速度；（4）质点在第）质点在第2s内通过的路程。内通过的路程。1.已知一质点做变加速直线运动，初速度为已知一质点做变加速直线运动，初速度为 v0，其加速度其加速度a随位移随位移x线性减小，即

6、线性减小，即 a=a0 kx，式中，式中a0、k为常量，试求当位移为为常量，试求当位移为x0时质点的瞬时速时质点的瞬时速度。度。V0-(2a0-kx0)/22.一条猎狗追赶一只沿直线匀速奔跑的狐狸，一条猎狗追赶一只沿直线匀速奔跑的狐狸，狐狸奔跑的速度为狐狸奔跑的速度为v1，猎狗追赶的速度为，猎狗追赶的速度为v2（v2v1），其大小为一恒量，而方向始终对着），其大小为一恒量，而方向始终对着狐狸，当速度狐狸，当速度v1和和v2互相垂直时，狐狸和猎狗互相垂直时，狐狸和猎狗之间的距离为之间的距离为d，求在这一瞬间猎狗运动的加，求在这一瞬间猎狗运动的加速度和运动的曲率半径速度和运动的曲率半径.例例2、走

7、私犯的船沿与笔直的海岸线的垂直方向、走私犯的船沿与笔直的海岸线的垂直方向以恒定的速度以恒定的速度v出发，海岸警卫队的快艇在距离出发，海岸警卫队的快艇在距离走私船走私船d处同时离开海岸。快艇始终以恒定的速处同时离开海岸。快艇始终以恒定的速率朝走私船驶去，最终在距离海岸线率朝走私船驶去，最终在距离海岸线d处抓住罪处抓住罪犯。请回答海岸警卫队快艇速度是走私船速度犯。请回答海岸警卫队快艇速度是走私船速度的几倍？不计海水的速度。的几倍？不计海水的速度。设快艇的速度为设快艇的速度为kv，如图所示，任意时刻，如图所示，任意时刻t快艇快艇的速度与海岸线夹角为的速度与海岸线夹角为 ，此时，两船之间的距，此时，两

8、船之间的距离为离为r1 ；在；在tt+ t时刻，两船之间的距离为时刻，两船之间的距离为r2，两船距离的减小量为两船距离的减小量为r1 （r2+kv t）=v t sin r=r1 r2=k v t+ v t sin 快艇在垂直海岸线方向上距离增加快艇在垂直海岸线方向上距离增加tkvy sin对上面两个式子累加，并对上面两个式子累加，并注意到注意到 dtvyr618. 1251012 kkk3.如图所示，用绳牵引小船靠岸，岸高如图所示，用绳牵引小船靠岸，岸高h，若，若收绳的速度为收绳的速度为v0，求船在任意位置，求船在任意位置x处的速度处的速度和加速度。和加速度。0/vdtdl 设在任意位置设在

9、任意位置x处，绳长为处，绳长为lhOx0vx22hlx 方法方法1：数学：数学方法方法dtdxv dtdva dtdlhll 222220)(1xhv dtdxvxhxhxh 20)(12)( 223202xvh 方法方法2：物理方法：物理方法1. 1. 平动（平动（n=3=3）刚体内任一直线在运动过程中始终保持平行。刚体内任一直线在运动过程中始终保持平行。刚体内各质点在任一时刻具有相同的速度和加速度。刚体内各质点在任一时刻具有相同的速度和加速度。 可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。2 2 刚体运动学刚体运动学2.定轴转动（定轴转动（n=1

10、） 刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴。种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴。zO特点：刚体内所有的点具有相同的角位移、角速度特点：刚体内所有的点具有相同的角位移、角速度和角加速度。和角加速度。刚体上任一点作圆周运动的规律刚体上任一点作圆周运动的规律即代表了刚体定轴转动的规律即代表了刚体定轴转动的规律刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述 角位置：角位置： )(t 角位移：角位移： )()(ttt 角速度：角速度：dtd 角加速度：角加速度： 22dtddtd 角速度和角加速度均为矢量，角速度和角加速度均为矢量

11、，定轴转动中方向沿转轴的方定轴转动中方向沿转轴的方向。角速度方向并满足右手向。角速度方向并满足右手螺旋定则。螺旋定则。角量和线量的关系角量和线量的关系rv 2raran对于匀角加速转动，对于匀角加速转动，t 02021tt 2202 式中：式中： 0 是是 t =0 时刻的角速度时刻的角速度说明：作定轴转动时，刚体内各点具有相同的角量，说明：作定轴转动时，刚体内各点具有相同的角量，但不同位置的质点具有不同的线量。但不同位置的质点具有不同的线量。匀加速直线运动：匀加速直线运动：axvvattvxatvv221202200 例、例、 一条缆索绕过一定滑轮拉动一升降机一条缆索绕过一定滑轮拉动一升降机

12、,滑轮半径为滑轮半径为 0.5m, 如果升降机从静止开始以如果升降机从静止开始以a=0.4m/s2的加速度匀的加速度匀加速上升，在运动过程中，假设绳子与滑轮不打滑。试加速上升，在运动过程中，假设绳子与滑轮不打滑。试求：求：(1) 滑轮的角加速度；滑轮的角加速度；(2) 开始上升后开始上升后,5 秒末滑轮的角速度；秒末滑轮的角速度；(3) 在这在这5 秒内滑轮转过的圈数；秒内滑轮转过的圈数；(4) 开始上升后开始上升后,1 s末滑轮边缘上一点的加速度。末滑轮边缘上一点的加速度。ar4/s0.8/s25/0.51m/s23.平面平行运动平面平行运动 刚体运动时刚体运动时, , 各点始终和某一平面保

13、持一定各点始终和某一平面保持一定的距离的距离, , 或者说刚体中各点都平行于某一平面或者说刚体中各点都平行于某一平面而运动而运动ABv刚体刚体平面平行运动平面平行运动的自由度为两个平动自的自由度为两个平动自由度加一个转动自由度由度加一个转动自由度刚体刚体平面平行运动平面平行运动的两种基本描述的两种基本描述第一：基点法第一：基点法将平面平行运动分解为以刚体上（或其延拓空间上）将平面平行运动分解为以刚体上（或其延拓空间上）任意选定的参考点（称为基点）为代表的平动和刚体任意选定的参考点（称为基点）为代表的平动和刚体绕此参考点的转动。因此，刚体上任意一点的速度公绕此参考点的转动。因此，刚体上任意一点的

14、速度公式为式为rvvB 其中，其中， 代表基点的平动速度，代表基点的平动速度， 刚体绕基点的角速刚体绕基点的角速度，度， 代表该点到基点的位置矢径。代表该点到基点的位置矢径。Bv r 注意，在讨论刚体平面平行运动中的转动分运动时，注意，在讨论刚体平面平行运动中的转动分运动时，刚体上其它质点相对于基点作圆周运动。基点可以不刚体上其它质点相对于基点作圆周运动。基点可以不相同，但相对于不同基点的转动角速度是相同的。相同，但相对于不同基点的转动角速度是相同的。 补充说明，在讨论刚体的运动学问题时，基点的选择补充说明，在讨论刚体的运动学问题时，基点的选择以方便讨论问题为宜；若讨论刚体的动力学问题时，以方

15、便讨论问题为宜；若讨论刚体的动力学问题时，一般以质心为基点为宜（原因见后面的内容）。一般以质心为基点为宜（原因见后面的内容）。 第二：速度瞬心法第二：速度瞬心法将平面平行运动看成是绕速度瞬心的瞬时定轴转动。将平面平行运动看成是绕速度瞬心的瞬时定轴转动。因为对于做平面平行运动的刚体，在运动过程中的任因为对于做平面平行运动的刚体，在运动过程中的任一时刻，在刚体上（或其延拓空间上）一定存在一个一时刻，在刚体上（或其延拓空间上）一定存在一个速度为零的点，以该点为基点，刚体上任意点的速度速度为零的点，以该点为基点，刚体上任意点的速度为为 rv 于是，可将刚体看成在该瞬时绕该基点作定轴转动，这于是，可将刚

16、体看成在该瞬时绕该基点作定轴转动，这个瞬时速度为零的基点称为速度瞬心，过速度瞬心垂直个瞬时速度为零的基点称为速度瞬心，过速度瞬心垂直运动平面的转轴称为刚体的瞬时转动轴。运动平面的转轴称为刚体的瞬时转动轴。 由速度矢量图确定瞬心由速度矢量图确定瞬心BAS(1) 如果刚体上如果刚体上A与与B两点的速两点的速度方向已知，但不平行，那度方向已知，但不平行，那么过么过A与与B两点作垂直各自速两点作垂直各自速度矢量的直线，它们的交点度矢量的直线，它们的交点为该瞬时的速度瞬心为该瞬时的速度瞬心 ABSSAB(2) 如果刚体上如果刚体上A与与B两点的速度大小已知，相互平行两点的速度大小已知，相互平行且垂直与且

17、垂直与A、B两点的连线，则速度矢量端点的连线与两点的连线，则速度矢量端点的连线与A、B连线的交点为该瞬时的速度瞬心连线的交点为该瞬时的速度瞬心 AB问题：平动刚体的速度瞬心在哪里？问题：平动刚体的速度瞬心在哪里？ 4、一轻质细杆、一轻质细杆AB的长度为的长度为l，A、B两端分别靠在竖直墙两端分别靠在竖直墙壁和地面上，杆上的壁和地面上，杆上的P点距点距B点的距离为杆长的点的距离为杆长的 倍倍（0 1）。）。A端沿墙壁向下运动，端沿墙壁向下运动，B端沿地面向右运动。端沿地面向右运动。ABvP（1）确定）确定P点的运动轨迹：点的运动轨迹：（2）若杆在如图所示的）若杆在如图所示的角位置时，角位置时，B

18、端的速度大小为端的速度大小为v，方向水平向左，方向水平向左，求此时求此时P点运动速度的水平和竖直分点运动速度的水平和竖直分量。量。1)()1(2222 lylx vvvPx)1(sin cotvvPy vQP ）OrRC5、如图所示，半径为、如图所示，半径为r的小圆柱同心地固连于半径为的小圆柱同心地固连于半径为R的圆柱上，形成一个轮轴。缠绕在轴上的细线绕过滑的圆柱上，形成一个轮轴。缠绕在轴上的细线绕过滑轮轮Q后，以一定的速度后，以一定的速度v拉线的一端，同时轮轴在水平拉线的一端，同时轮轴在水平地面上作无滑动的滚动。运动过程中线段地面上作无滑动的滚动。运动过程中线段PQ与水平方与水平方向的夹角为

19、向的夹角为，求轮轴中心，求轮轴中心O点的速率随点的速率随角变化的关系角变化的关系式。式。rRRvv cos06、一个圆盘形刚体在直线轨道做纯滚动，圆盘、一个圆盘形刚体在直线轨道做纯滚动，圆盘上任一点（圆盘中心除外）所形成的运动轨迹称上任一点（圆盘中心除外）所形成的运动轨迹称为涡轮线（又称为摆线）。试求：为涡轮线（又称为摆线）。试求：（1）涡轮线的轨迹方程，设所求点的半径为）涡轮线的轨迹方程，设所求点的半径为R，以滚过的角度以滚过的角度 为参量；为参量；（2）涡轮线上各点的曲率半径。）涡轮线上各点的曲率半径。3 3 相对运动相对运动ABBABAvvvv对对对对 CBBACAvvv对对对对对对 设

20、两个参考系设两个参考系 S和和 S ，若，若 S是静止参考系，是静止参考系， S 相对相对S 的速度为的速度为u ，称为牵连速度；，称为牵连速度； S 系中物体系中物体 的速度为的速度为 v ，称为相对速度；相对，称为相对速度；相对 S系的速度为系的速度为 v，称为绝对，称为绝对速度，则速度，则uvv Aaa 7、一个沿水平方向以加速度、一个沿水平方向以加速度a0做匀加速直线运做匀加速直线运动的半径为动的半径为R的半圆柱体，在半圆柱面上搁着一的半圆柱体，在半圆柱面上搁着一根只能在竖直方向上运动的直杆，在半圆柱体根只能在竖直方向上运动的直杆，在半圆柱体速度为速度为v0时，杆与半圆柱体接触点的角位

21、置为时，杆与半圆柱体接触点的角位置为，如图所示，求此时竖直杆的速度和加速度分别如图所示，求此时竖直杆的速度和加速度分别为多少？为多少？v0 tan0vv 3200costanRvaa 8如图所示，两质点如图所示，两质点A和和B分别沿半径为分别沿半径为a和和b的同心圆做同方向的匀速圆周运动，两质点的的同心圆做同方向的匀速圆周运动，两质点的速率与半径成反比，求当两质点的相对速度方速率与半径成反比，求当两质点的相对速度方向与它们的连线平行时，两质点与圆心连线的向与它们的连线平行时，两质点与圆心连线的夹角夹角 。 aBAbO杆或（张紧的）绳约束物系各点速度的相关特征是：杆或（张紧的）绳约束物系各点速度

22、的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆、绳方向的分速度在同一时刻必具有相同的沿杆、绳方向的分速度. .接触物系接触点速度的相关特征是：接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同速度在无相对滑动时相同. .线状相交物系交叉点的速度是线状相交物系交叉点的速度是:相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和. .4 4 刚体系速度关联问题刚体系速度关联问题实际上就是运动的几何约束实际上就是运动的几何约束 9、如图所示，、如图所示，AB杆的杆的A端以匀速端以匀速v运动，

23、在运运动，在运动时杆恒与一半圆周相切，半圆周的半径为动时杆恒与一半圆周相切，半圆周的半径为R，当杆与水平线的交角为当杆与水平线的交角为时，求杆的角速度时，求杆的角速度及杆及杆上与半圆相切点上与半圆相切点C的速度的速度 vCBRA这是杆约束相关速度问题这是杆约束相关速度问题考察杆切点考察杆切点C,由于半圆由于半圆静止静止,C点速度必沿杆点速度必沿杆!vCBRAv1v2vc已知杆已知杆A A点速度沿水平点速度沿水平以以C为基点分解为基点分解v:由杆约束相关关系由杆约束相关关系: :1cvv cosv v2是是A点对点对C点的转动速度点的转动速度,故故sincotvR 2sincosvR 10、在如

24、图所示的结构中，、在如图所示的结构中，OA杆杆AB杆组成连杆组成连杆系统，杆系统，OA杆绕杆绕O点做定轴转动，点做定轴转动，OA=AB=a，滑块滑块C以恒定的速度以恒定的速度v沿沿O1O2杆滑动。当杆滑动。当OA杆杆与与AB杆垂直时，求杆垂直时，求OA杆与杆与AB杆的角速度和角杆的角速度和角加速度。加速度。 OO1O2ACvBOA杆绕杆绕O点做定轴转动，点做定轴转动，AB杆做平面平行运动。显然当两杆垂杆做平面平行运动。显然当两杆垂直时，直时，B点的瞬时速度大小为点的瞬时速度大小为v，方向水平向右，根据速度的关，方向水平向右，根据速度的关联关系，联关系，A点沿点沿AB杆的速度分量等于零（实际上杆

25、的速度分量等于零（实际上A点的速度就等点的速度就等于零），因此将于零），因此将A点做为该时刻点做为该时刻AB杆的速度瞬心，于是此刻杆的速度瞬心，于是此刻AB杆的角速度为杆的角速度为 OO1O2ACvBavAB 又因为又因为A点的速度为零，因此点的速度为零，因此A点的法点的法向加速度等于零，只有沿向加速度等于零，只有沿AB杆的切向杆的切向加速度，由于加速度，由于B点加速度为零，即点加速度为零，即0 AABBaaa0 OA OO1O2ACvB0 AABBaaa该矢量式在水平和竖直方向上的分该矢量式在水平和竖直方向上的分量式量式00 BAa 02 AOaav 0 BA 22avAO 11、图中所示为

26、用三角形刚性细杆、图中所示为用三角形刚性细杆AB、BC、CD连成连成的平面连杆结构图。的平面连杆结构图。AB和和CD杆可分别绕过杆可分别绕过A、D的垂的垂直于纸面的固定轴转动，直于纸面的固定轴转动，A、D两点位于同一水平线上。两点位于同一水平线上。BC杆的两端分别与杆的两端分别与AB杆和杆和CD杆相连，可绕连接处转动杆相连，可绕连接处转动（类似铰链）。当（类似铰链）。当AB杆绕杆绕A轴以恒定的角速度轴以恒定的角速度 转到图转到图中所示的位置时，中所示的位置时，AB杆处于竖直位置。杆处于竖直位置。BC杆与杆与CD杆都杆都与水平方向成与水平方向成45角，已知角，已知AB杆的长度为杆的长度为l，BC

27、杆和杆和CD杆的长度由图给定。求此时杆的长度由图给定。求此时C点加速度的大小和方向点加速度的大小和方向（用与（用与CD杆之间的夹角表示）杆之间的夹角表示）llACDB4545 ）（12、有四根长度均为、有四根长度均为l的细杆，用铰链首尾相接，的细杆，用铰链首尾相接，组成一个菱形组成一个菱形ABCD，放在水平面上，如图所示。，放在水平面上，如图所示。现将现将A端固定，端固定，C端沿着端沿着AC的连线运动，当的连线运动，当 A=90 时，时，C端的速度为端的速度为v，加速度为，加速度为a，求此时，求此时B端的速度和加速度的大小。端的速度和加速度的大小。BACDa vCDBxyvB建立直角坐标系，根

28、建立直角坐标系，根据速度关联求据速度关联求B的速的速度大小度大小vvB22 根据根据B点的横坐标与点的横坐标与C点坐点坐标的关系，可得标的关系，可得CBxx21 vvvCxBx2121 aaaCxBx2121 本题关键是求本题关键是求aBy由于由于AB是定轴转动，则是定轴转动，则B点向心加速度为点向心加速度为lvlvaBBn222 aBnCDBxyvBaBn而而B点在直角坐标系中的加点在直角坐标系中的加速度分量速度分量aBx、 aBy与其在内与其在内禀坐标系的向心（法向）禀坐标系的向心（法向）加速度加速度aBn的关系为的关系为aBxaBy0045sin45cosBxByBnaaa 于是，可以求出于是，可以求出aBy，进而求出，进而求出aB。介绍本题的一般情况的解介绍本题的一般情况的解法（仅供参考）：建立直法（仅供参考）：建立直角坐标系，设角坐标系，设C点坐标为点坐标为x，则则B、C两点的坐标、速两点的坐标、速度和加速度为度和加速度为CDBxyxxB21 xxC vvBx21 aaBx21 sinlyB d