第3章 趋势外推预测法

1、第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 3.1 趋势外推预测法概述趋势外推预测法概述3.2 直线趋势外推预测法直线趋势外推预测法3.3 曲线趋势外推预测法曲线趋势外推预测法第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 3.1 趋势外推法预测概述 事物的发展过程，虽然有时可能出现某种跳跃，但主要还是渐进发展的。在这种情况下，趋势外推法就能为某些技术或经济的未来发展趋势与状况做出科学的预测。实际上,趋势外推法已成为科学技术发展渐进过程的一种主要预测方法，尤其是在技术预测领域中,其应用最为广泛。据统计,约有80的技术预测使用这种方法。这种方法的主要优点是,可以

2、揭示技术发展的未来趋势,并能够定量地估价某些功能特性。第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 趋势外推法是根据事物发展的特有规律，推测并着重研究其可能的发展趋势，故由此而得名。它根据变量（预测目标）的时间序列数据资料，提示其发展变化规律，并通过建立适当的预测模型，推断其未来变化的趋势。很多变量的发展变化与时间之间都存在一定的规律性，若能发现其规律，并用函数的形式加以量化，就可运用该函数关系去预测未来的变化趋势。1.概念 趋势外推法预测：当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降趋势，没有明显的季节变动，且能找到一个合适的函数曲线来反映这种趋势变化时，就可以用趋势外推法预测。第第3章章 趋势外推预

3、测法趋势外推预测法 2.基本思想 某些客观事物的发展变化相对于时间推移，常表现出一定的规律性：如：经济现象（指标）随着时间的推移呈现某种上升或下降趋势，这时，若作为预测对象的该经济现象（指标）变化又没有明显的季节性波动迹象，理论上就可以找到一条合适的函数曲线反映其变化趋势。可建其变化趋势模型（曲线方程）。 当有理由相信这种趋势可能会延伸到未来时，对于未来时点的某个值（经济指标未来值）就可由上述变化趋势模型（曲线方程）给出。这就是趋势外推的基本思想。第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 3.基本假设 趋势外推法的两个前提假设是： （1）假设事物的发展过程没有跳跃式发展。这一前提假设实际上是指

4、质的稳定性。 （2）假定事物的发展因素也决定事物未来的发展，这一前提假设实质上指其条件不变或变化不大。 趋势外推预测法是研究变量的发展变化相对于时间之间的函数关系。根据函数关系的形态不同，可分为直线趋势外推预测法、曲线趋势外推预测法。第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 3.2 直线趋势外推预测法 3.2.1 线性趋势时间序列的特点时间序列的变化趋势从图形上看,就是序列呈现某种增长或衰减的趋势,这种趋势是长期趋势。尽管时间序列的项值是各方面因素综合作用的结果,但序列呈现的线性趋势,说明其中有的因素是长期起决定作用而致。必须把这个长期趋势研究清楚,才能进行外推预测。 第第3章章 趋势外推预测

5、法趋势外推预测法 线性趋势预测的基本思想就是假定影响时间序列的项值的主要因素过去、现在和将来都大体相同,因而只要将其趋势直线加以延伸,便可预测未来的项值。一般而言,这种预测方法只适用于短期或经济平稳发展时期的预测。常用的预测方法有拟合直线方程法和加权拟合直线方程法（又称折扣最小平方法）。 3.2.2 拟合直线方程法1 拟合直线方程法的原理拟合直线方程法的原理就是最小二乘原理。它是依据时间序列数据拟合一条直线形态的趋势线,使该直线上的预测值与实际观察值之间的离差平方和为最小。第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 设有n个时间序列观察值(x1, y1), (x2, y2), , (xn, yn

6、),待求的拟合直线为AB,它使n个观察值对该直线的离差分别为e1, e2, , en。其中在AB直线上方一侧的离差为正离差,下方一侧为负离差。如果简单地以离差代数和 的大小来反映该直线是否是最佳拟合直线,则可能出现正、负离差的相互抵消使离差代数和变小甚至为0的情况,这说明 并不能真正反映拟合直线的优劣。因此,为了避免正、负离差的相互抵消,应采用离差平方和 来反映拟合直线的拟合效果。最小二乘法就是利用数学上的微分求极值原理,将离差平方和最小时的拟合直线作为最佳的一条预测直线方程,从而提高预测的精度。 nite1nite1nite12第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 2拟合直线方程法的数学

7、模型设拟合直线方程为 式中, 为第t期的预测值；xt为自变量,表示第t期的编号的取值；为趋势直线在y轴上的截距； 为趋势直线的斜率。假设yt为时间序列第t期实际观察值(t=1, 2, , n),为趋势直线的第t期预测值,et为第t期实际观察值与其预测值的离差, ttxbayty a ty bttttxbayyyte第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 假设Q为总离差平方和,则式中,yt、xt的取值均已确定; Q的大小实际上取决于待定系数 的取值,也就是说,Q实际上是以 为自变量的二元函数。所以,为使Q值为最小,可分别对 求偏导,并令之为0。 即 ntttntttnttxbayyyeQ121

8、212)()(ba , ba , ba , 0)(0)(1212nttinttixbaybbQxbayaaQ第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 将上两式联立求解,得式中 211121211111)()()()(11nttntttntntttntnttnttttttnttnttxxyyxxxxnyxyxnbxbyxnbynanttnttynyxnx111,1第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 例3.1 某家用电器厂19932003年利润额数据资料如下表所示。试预测2004、2005年该企业的利润。 年份19931994199519961997199819992000200120022

9、003利润额2003003504005006307007508509501020第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 年份年份利润利润额额ytxtxt2xt*yt预测值y199320011200191199430024600273.71995350391050356.419964004161600439.119975005252500521.819986306363780604.519997007494900687.220007508646000769.920018509817650852.62002950101009500935.32003102

10、0111211122010186650665064900011111221111()()()nnttttnnnttittttnnttttaybxnnnx yxybnxx108.3a 82.7b 108.382.7yx200412,1100.7xy年，200513,1183.4xy年，第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 3拟合直线方程法的特点拟合直线方程的一阶差分为一常数。直线方程为其一阶差分为直线趋势外推预测法只适用于时间序列数据呈直线趋势的上升（或下降）变化。直线趋势外推预测法对时间序列数据,不论其远近如何都一律同等看待。用最小二乘原理拟合的直线方程消除了不规则因素的影响,使趋势值都落

11、在拟合直线上,从而消除了不规则变动。 byyyttt1 第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 基本过程如图：根 据 模 型预 测求 解 模 型参 数 ， 确定 模 型模 型 检 验根 据 观 察的 历 史 数据 画 出 散点 图根据曲线形状选择模型(模 型 识 别）开 始拟合直线方程法预测步骤图第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 3.2.3 加权拟合直线方程法1 加权拟合直线方程法的原理上述拟合直线方程法是估计线性趋势预测模型的参数的常用方法。其基本思想就是要使预测结果与实际数据的误差的平方和达到最小。从结构上看,误差平方和 是每年的实际值yt与该年的预测值 的偏差值的平方和,这意味

12、着式 中的每一项都有同样的重要性,即不论这个误差是近期的或是远期的,都赋予同等的权数。 ntttyy12)(y ntttyy12)(第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 但事实上,对于预测精确度来说,近期的误差比远期误差更为重要。如一个经济现象,在预测期前的几期递增趋势明显且稳定,而远期的数量指标曾有过较大的跳动,按最小平方法,尽管时间序列后几期的误差平方都不大,但由于前面开始几期跳跃较大,也会使 较大。这就使得本来预测误差不大,精度较高的预测值也得承认有较大的误差。这是不合理的。 2.加权拟合直线方程法基本思想 （1）拟合直线方程时,要按照时间先后, 本着重近轻远的原则,对离差平方和进行

13、赋权,然后再按最小二乘原理,使离差平方和达到最小,求出加权拟合直线方程。ntttyy12)(第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 （2）假设由近及远的离差平方和的权重分别为0,1,2, , n-1,其中01,0=1,说明对最近期数据赋予最大权重为1,而后由近及远,按比例递减。各期权重衰减速度取决于的取值,取值越大（越接近于1）,衰减速度越慢；反之,的取值越小（越接近于0）,则衰减速度越快。若=1,就转化为如前述的拟合直线方程法。从该意义上说,加权拟合直线方程法是拟合直线方程法的改进和发展。 第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 3.加权拟合直线方程法的过程与模型ttya bx 设加权拟

14、合直线方程为：0121,n 由近及远的离差平方和的权重分别为：20211122222111)()()()(nnnnnnyyyyyyyy nttttnnttttnbxayyyQ1212)()( 第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 nttttnnttttnbxayyyQ1212)()( 0111 ntttnnttnntttnxbayaQ 01211 ntttntnttnnttttnxbxayxbQ 求导求导和和对对ba ba第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 例3.2 数据资料同上例,当=0.8时,试用加权拟合直线方程法预测2004年与2005年的利润额。解 (1) 列表，分别计算各年

15、的n-t, n-t, n-tyt,n-txtyt,n-txt，n-tx2t,并加总求和 第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 19932003年年利润及加权拟合直线法计算表：第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 05377.32936717971.3130207179.365705. 457.3536baba将所用到的数据代入公式求解，得：故预测模型为：y a =101.68,b=83.66=101.68+83.66tx第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 （2） 预测值：当 =12时， =101.6883.6612=1105.6(万元)当 =13时， =101.6883.6613

16、=1189.26(万元) 即该家用电器在2004、2005年的利润分别为1105.6、1189.26万元。tx2004 y2005 ytx第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 4 结论分析比较例3.1与例3.2的预测结果,可以发现,由于时间序列数据的线性趋势比较明显,又由于加权拟合直线法的加权系数取值比较大（=0.8）,使得加权与不加权两种拟合直线法的预测结果很接近。但就一般而言,由于加权拟合直线法按重近轻远的赋权原则,使其预测结果更接近于实际观察值。而且取值越小,对近期数据所赋权数就越大,因此近期预测值就越接近于实际观察值。但是,要选择一个比较合适的值也是一个比较困难的事,一般要经过若干

17、次试探,使得加权离差平方和 达到最小为好。nttttnyya12)(第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 3.2.4 拟合直线方程法的特殊运用 在现实生活中，我们常常会遇到比线性（直线）发展趋势更为复杂的问题。 某商品过去九年的市场总需求量时间（年）123456789总需求量（件） 165270 450 740 1220 2010 3120 54609000作图观察其变化趋势（图中公式为趋势线函数方程）：第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 010002000300040005000600070008000900010000012345678910某商品总需求量例1：某商品过去九年的市

18、场总需求量第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 例2:某公司19912003年销售额第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 上述特别的变化趋势在实际生活中，比线性发展趋势更为复杂。但在某些情况下，我们可以通过适当的变量变换，将变量间的关系式化为线性的形式。如：在满足 的变量关系中，a、b，均为与 t 无关的未知参数， 只要令 ，即可将其化为线性形式关系： 。sinttyabxsinttxx ttyabx第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 常用转化模型ta bxtyettyabx tbxtyaelnty tylnlntyatyattyabx变换变换第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预

19、测法 3.3 曲线趋势外推预测法当变量之间的关系由于受到众多因素的影响，其变动趋势并非总是一条直线方程形式，而往往会呈现出不同形态的曲线变动趋势。并且这种变动趋势曲线方程（模型）也很难化为线性形式。曲线趋势外推预测法： 根据时间序数据资料的散点图走向趋势，选择恰当的曲线方程，利用最小二乘法或拟合法（三点法、三和法）等来确定待定的参数，建立曲线预测模型，并用它进行预测的方法。第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 常见的曲线趋势外推预测法有二次曲线法、三次曲线法和生长曲线法。 假设曲线趋势外推预测模型为 式中， 为第t期某变量的预测值(因变量)； 为时间变量(自变量),t=1,2,n。 .43

20、2tttttxedxxcxbayty tx第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 (1) 当 时, , 即为线性趋势外推预测法的模型； (2)当 时, , 即为二次曲线外推预测法的模型。3.3.1 二次曲线趋势外推预测法 1 用最小二乘法确定待定参数 设 表示第t期的时间序列的观察值, 表示第t期的预测值, et表示第t期的离差, Q表示离差平方和。由二次曲线外推预测法的模型 , 有 0. dcttxbay0. ectttxcxbay2ty tttxcxbay2ty第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 与拟合直线外推预测法相同的原理,对式求 , 并分别令其等于0,则可得关于 的方程组：n

21、ttttnttttttttxcxbayeQxcxbayyye122122)(cQbQaQ/,/, /cba, 第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 由于xt表示时间序列的编号,如同拟合直线方程法一样,当时间序列观察期的项数为奇数时,令其中间项 的编号为0,则 式可简化为nttnttttntnttnttnttttnttntttxcxbayxxcxbxayxxcxbany121211312112122n,.,0, 0131nttnttxx第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 ntnttnttttntnttttntntttxcxayxxbyxxcany114122112112解上面的方程组,

22、可得第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 nttnttnttnttntttnttntttntntttntttnttnttnttxxnyxyxncxyxbxxyxxyxa1221211212121121241212114)()(第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 例3.3 某公司19952003年的商品销售收入如表所示,试预测该公司2004年的销售收入。第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 解 (1) 绘制散点图。(2) 根据观察值的散点图的变化趋势确定其属于二次曲线变化趋势后,列表计算二次曲线待定参数所需的数据。(3) 计算待定参数,建立预测模型,并计算预测值。利用表中的有关数据

23、,代如解式中，计算得该例的二次曲线的趋势外推预测模型为 67.14,53.199,29.1107cba)(89.24712567.14553.19929.11072004万元y第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 某公司商品销售收入额散点图420244006008001000120014001600180020002200销售额yt / 万元年度序号xt第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 某公司商品销售收入（单位：万元）及有关数据计算表 第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 2 用三点法确定待定参数1) 三点法确定待定参数的思路用三点法确定待定参数的思路是,在二次曲线模型上选取远

24、、中、近期三点坐标作为预测模型待定参数 的估计值。具体作法为,使时间序列的总项数n为奇数（若为偶数,可删去最初的一个观察期数据）；如果n15,则在时间序列的远、中、近三期各取5个数据项，用权数w=1,2,3,4,5由远及近分别赋权并进行加权平均；同理,如果9n15,则在时间序列的远、中、近三期各取3个数据项,用权数w=1,2,3由远及近分别赋权并进行加权平均。cba, 第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 以此三个加权平均值作为该二次曲线预测模型上远、中、近三点的纵坐标的数值。即假设远、中、近三期的坐标分别为M1(t1, R)、M2(t2, S)、M3(t3, T)；时间序列总项数n为奇数

25、,且中间项为d=(n+1)/2,则当n15时,取远期5个观察值y1, y2, y3, y4, y5, 其加权平均值为同理,取中期5个观察值yd-2、yd-1、yd、yd+1、yd+2, 其加权平均值为 54321543254321yyyyyd5432154322112dddddyyyyyS第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 (1)5432154321232nnnnnyyyyyT3254321) 2( 5) 1( 43) 1( 2) 2(31154321554433221121ddddddxx取近期5个观察值yn-4、yn-3、yn-2、yn-1、yn, 其加权平均值为另外,也要对远、中、

26、近三点的横坐标x1、x2、x3作权数（1,2,3,4,5）相同加权平均值。 第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 注意d=(n+1)/2,将其代入式(1)中,有于是,以5项观察值作加权平均后三点坐标分别为将以上三点代入二次曲线预测模型 中,有联立方程组： 34543215) 1(4)2( 3) 3(2)4(67332nnnnnnxnx),343(),673(),311(321TnMSnMRM2tttxcxbay第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 对式(2)联立求解,则有cnbnaTcnbnaScbaR)343(343)343(673)311(3112222)5()2(26735912

27、1113nSTRccnnRTbcbRa（3）（2）第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 依此类推,如果是用三项数进行加权平均,且权数由远及近取1、2、3,那么,远、中、近期三点的纵坐标分别为 )32(61)32(61)32(6112121321nnndddyyyTyyySyyyR (4) 第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 三点的横坐标分别为于是,以三项观察值作加权平均后的坐标分别为3233) 1()2(61653626)1( 32) 1(6137) 33221 (61321nnnnxnddddxx(5) ),323(),653(),37(321TnMSnMRM第第3章章 趋势外推预

28、测法趋势外推预测法 同理,将三点坐标值代入二次曲线预测模型,则有联立方程组： (6) cnbnaTcnbnaScbaR)323(353)353(653)37(3722第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 对式（6）联立求解,则有2) 3()2(2353394937nSTRccnnRTbcbRa(7) 第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 2) 关于三点法的几点说明(1) 三点法的特点是不需要数列的全部数据,计算相对而言比较简单。(2) 对选取的数据比较敏感,即便是取加权平均值,也会受到一定的影响。 (3) 一般而言,每一组里的数据相对较多时,模型可能更接近于实际。(4) 每一组里的数据

29、要求是奇数,是从方便计算的角度而言的。(5) 此种运算方法在生命曲线趋势预测法里将发挥更大的作用。 第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 3) 三点法的应用例3.4 试按三点法预测该公司2004年的销售收入。解 (1) 描绘散点图。观察其变化趋势,选择二次抛物线预测模型。(2) 列表计算待定参数xt所需的数据,建立数学模型并进行预测。 第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 表 某公司商品销售收入(单位： 万元）及三点法有关数据计算表 第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 由式（4）得由式(7)得 3 .194366420367215688 .11836396622149235 .6

30、86622921282545TSR06.48157.1494905.54375 .68605.5457.143593395 .6863 .194357.14) 39()8 .118323 .19435 .686(22abc第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 所以,用三点法建立的二次曲线预测模型为 (8) 将各年的xt值代入式(2)中,可得各年的内插值 ,并填入表中。3. 二次曲线外推预测法的特点二次曲线方程的二阶差分是一个常数。二次曲线趋势外推预测法适用于时间序列数据呈抛物线形状上升或下降,且曲线仅有一个极点（极大值点或极小值点）的情况下使用。257.1405.5406.481tttxx

31、yty 第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 3.3.2 生长曲线（S曲线）预测法 生物的生长过程一般经历发生、发展、成熟到衰老几个阶段，在不同的生长阶段，生物生长的速度也不一样。发生初期成长速度较慢，由慢到快；发展时期生长速度则较快；成熟时期，生长速度由达到最快而后逐渐变慢，到衰老生物的生长过程一般经历发生、发展、成熟到衰老几个阶段，在不同的生长阶段，生物生长的速度也不一样。发生初期成长速度较慢，由慢到快；发展时期生长速度则较快；成熟时期，生长速度由达到最快而后逐渐变慢，到衰老期则几乎停止生长。指数曲线模型不能预测接近极限值时生物生长的特性值，因为趋近极限值时，生物生长特性值已不按指数规

32、律增长。描述生物生长过程可以考虑运用形状近似于S型的曲线（称为S曲线）。应用较广生长曲线模型有皮尔模型、林诺德模型和龚帕兹模型。 第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 1. 皮尔（R.Pearl）模型皮尔生长曲线的一般模型为式中, K为常数（如某种耐用消费品饱和状态时的普及率）;f(x)=a0+a1x+a2x2+anxn常用的皮尔生长曲线模型为a0, b0 这时f(x)是x的线性函数,且具有负斜率。下图是皮尔曲线模型的图。 )(1xfeKyatbeKy1第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 图 皮尔生长曲线210121234xy第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 给定一个样本(x1, y1), (x2, y2), , (xn, yn),由这组数据求出皮尔模型式的参数a, b, K,从而得到拟合方程,并可用于预测。估算这三个参数的方法有两类,一类是先估算出a和K,然后推算b值；另一类则是同时估算出参数a, b, K。1）Fisher法这种方法属于第一类方法,它适用于xi之间等距离的情况。 第第3章章 趋势外推预测法趋势外推预测法 2） 倒数总和法这种方法属于第二类方法,其思想为,把给定的N个数据(