(完整版)关于板壳单元的基本理论

1、1.1关于板壳单元板壳结构在工程上应用十分广泛。例如，航天航空工程中的飞机、火箭、宇宙飞船，石油化工业的罐体容器，工程机械起重设备的箱体、臂架结构等。在设计分析中采用板壳单元进行结构分析，可以得到足够的精度和良好的效果。111板壳结构板壳结构是指板的厚度t与其它两个方向的尺寸相比小得多。与平面问题的平板不同，板壳结构的板可以是平板也可以是单曲面或双曲面板，同时可以承受任意方向上的载荷，也就是既有作用在平面内的载荷，又作用有垂直于平面的载荷。一般板壳结构处于三维应力状态。结构是否为板壳问题，需要确定厚度与其它方位尺寸的比值，若l/80WtWl/10可以归结为板(薄壳)问题，若介于1/101/5之

2、间属于厚壳问题，若大于1/5则不属于板壳结构问题。板壳单元的力学模型取为结构单元的中性面，即以各中性面来代表为不同厚度的板或壳单元的组合体，以此来模拟结构体。在工程有限单元法软件设计中，常常将板壳结构划分成膜、板以及壳单元。其物理特性如下。膜单元，属于平面应力单元。仅仅能够承受作用于平面内的载荷，不能够承受其它载荷。假设z方向上的位移w=0,每一结点仅存在沿x轴和y轴的位移vt。膜单元的应力状态如图1-7c所示。板弯曲单元，仅仅承受弯曲载荷，其受力状态见图1-20a,图中阴影部分为中性面。此类单元只有沿坐标Z方向的位移L99，见图1-20b。xy壳单元，即可以承受作用于平面内的载荷，又可以承受

3、弯曲载荷，可以看成是膜单元和板弯曲单元的组合，每一结点的位移为Uvw99】，其力学特征见图1-21。其中：xyM、M为弯曲力矩，M、M为扭曲力矩，Q、Q为侧向力，N、N为轴向力，Nxyxyyxxyxyxy为剪力。值得注意的是在分析壳单元的计算结果时，其计算结果对于该单元的顶面，中性面或底面是不同的。如图1-21所示，b、b、b分别为板壳结构的顶面、中性面及底x,tx,mx,b面应力。(a)板弯曲单元受力状态简图(b)板弯曲单元位移状态简图X图1-20四结点板弯曲单元示意图图1-21壳单元单元示意图图1-22壳单元单元定义示意图112板壳结构假设传统小变形的板壳理论有如下的假设：板壳厚度t远远小

4、于其他尺寸，例如t<<R、R,R、R为壳中性面的曲率半xyxy径，如图1-22所示。(2)垂直于中性面的法线在变形后，仍为直线且垂直于中性面。应力、应变足够小，可忽略二次或高次微分项，仅考虑一次微分项。法向方向上的正向应力与其他方向正向应力相比很小可不计，即b二0。113板壳结构有限单元法简介1.1.3.1壳单元的位移函数如上所诉，壳单元能够承受作用于其平面内的力与弯曲力，表征其具有膜单元与板弯曲单元组合的物理、力学特性，受外力作用后产生x轴、y轴及z轴方向的位移u、v与w，以及对x轴与y轴的旋转角0与0，即每个结点有5个位移分量。以三节点三角形壳单元y为例，见图1-23。对于结点

5、i有Ii对于结点j有imvIvjvw0ixiw0jxjw00,yi0,yjmmxmym9(188)C2y+xy2Lcx3+cy3789；2+2xy人3cy2(189)Gxy+y2)-3cx28图1-23三角形壳单元三个结点i，j，m共有15个自由度的。三节点三角形壳单元的位移函数如下。u=a+ax+ay123v=b+bx+by123w=c+cx+cy+cxy+cx2+cy2+c12負4560=c+cx+2cy+cxxQy34670=-色=-c-cy-2cx-c(yQx2457(188)式为膜单元的位移函数，(189)式为板弯曲单元的位移函数。1132壳单元的应变关系式三角形壳单元的应变关系式为

6、：（190）由形函数得知，该三角形单元的位移为：w=In脸e=Innnnn12345N15uiviw9xi9yiujvjw9jxj9yjumvmwm9xm9ym（191）将上式代入（1-90）式中，并且整理得：d26x2Q26y262nNNN1234N115简化成：2dxdyuiviwi9xi9yiujvjw9j岸yjumvmwm9xmym（192）w二zb5其中：bL<d2dx2d2dy2d2>Dn1NN5NU152dxdy三角形壳单元的结点位移vw9iiixi9yi9xj9yjuvwmmm99】xmym1.1.3.3壳单元的刚度矩阵薄板材料的应变能为：U=J1lbjdV=J1tbKJdv=J1EtbldIBz2dVV2由最小势能原理得知V2V21-93)V=u-WU为弹性体的应变能，W为外载荷所作的功。dVc，可得知：W呷、0而=0頑-頑=0其中：fU='盼MBbdV-5式中V为弹性体位能，根据最小位能原理，即(194)(195)5Wf於