第十一章 相关分析

1、职教学院 刘春雷E-mail：教育统计学12第十一章 相关分析第一节第一节 相关的意义相关的意义第二节第二节 积差相关积差相关第三节第三节 等级相关等级相关第四节第四节 质与量的相关质与量的相关第五节第五节 品质相关品质相关3第一节 相关的意义平均数、标准差是对平均数、标准差是对单变量单变量进行描述的特征量。进行描述的特征量。若对若对两个变量两个变量之间变化关系进行描述，需要用之间变化关系进行描述，需要用相关量相关量。例如：智力与学习成绩的关系；某一试题的得分与试卷总分例如：智力与学习成绩的关系；某一试题的得分与试卷总分之间的关系。之间的关系。4一、相关的概念一、相关的概念相关关系相关关系两个

2、变量之间两个变量之间不精确不精确、不稳定不稳定的变化关系称为相关关系。的变化关系称为相关关系。函数关系函数关系两个变量值是一一对应、精确稳定的变化关系。两个变量值是一一对应、精确稳定的变化关系。两个变量间的变化关系，表现在：两个变量间的变化关系，表现在：变化方向上变化方向上密切程度上密切程度上第一节 相关的意义5一、相关的概念一、相关的概念变化方向：变化方向：1、正相关正相关两个变量的变化两个变量的变化方向一致方向一致，即一个变量值变，即一个变量值变大（小）时，另一个变量值也随之变大（小）。大（小）时，另一个变量值也随之变大（小）。如：智商与学习成绩的关系（在非智力因素相同的情况下）。如：智商

3、与学习成绩的关系（在非智力因素相同的情况下）。2、负相关负相关两个变量的变化两个变量的变化方向相反方向相反，即一个变量值变，即一个变量值变大（小）时，另一个变量值也随之变小（大）。大（小）时，另一个变量值也随之变小（大）。如：解题能力与解题时间长短的关系。如：解题能力与解题时间长短的关系。3、零相关零相关（无相关）（无相关）两个变量值变化方向无一定规律，两个变量值变化方向无一定规律，即一个变量值变大时，另一个变量值可能变大也可能变小，即一个变量值变大时，另一个变量值可能变大也可能变小，并且变大、变小的机会趋于相等。并且变大、变小的机会趋于相等。第一节 相关的意义6一、相关的概念一、相关的概念密

4、切程度密切程度无论两个变量的变化方向是否一致无论两个变量的变化方向是否一致1、强相关（高度相关）、强相关（高度相关）密切程度高；密切程度高；2、中度相关、中度相关密切程度一般；密切程度一般；3、弱相关或低度相关、弱相关或低度相关密切程度弱。密切程度弱。第一节 相关的意义7二、相关系数二、相关系数用来描述两个变量之间变化用来描述两个变量之间变化方向方向及及密切密切程度的数字特征程度的数字特征量称为量称为相关系数相关系数。用。用r表示。表示。取值范围取值范围 -1到到+1之间，即之间，即0|r|1。正负号及绝对值的大小正负号及绝对值的大小表明两个变量之间变化的表明两个变量之间变化的方向方向及及密切

5、程度密切程度。r=1 完全正相关完全正相关r=-1完全负相关。完全负相关。第一节 相关的意义8二、相关系数二、相关系数相关系数的值，仅仅是一个相关系数的值，仅仅是一个比值比值。不是由相等单位度量而来，即不是由相等单位度量而来，即不等距不等距，也不是百分比，也不是百分比，因此，因此，不能不能直接作加、减、乘、除运算。直接作加、减、乘、除运算。相关系数只能描述两个变量之间的变化相关系数只能描述两个变量之间的变化方向方向及及密切密切程度，程度，并并不能不能揭示两者之间的内在揭示两者之间的内在本质联系本质联系。存在相关的两个变量，也存在相关的两个变量，也不一定不一定存在因果关系。存在因果关系。第一节

6、相关的意义9一、概念及其适用范围一、概念及其适用范围1、积差相关的概念、积差相关的概念当两个变量都是当两个变量都是正态连续正态连续变量，而且两者之间呈变量，而且两者之间呈线性线性关关系时，表示这两个变量之间的相关称为系时，表示这两个变量之间的相关称为积差相关积差相关。2、积差相关的适用条件、积差相关的适用条件第一，两个变量第一，两个变量都都是由测量获得的是由测量获得的连续连续性数据。性数据。第二，两个变量的总体第二，两个变量的总体都都呈呈正态正态分布，或接近正态分布，至分布，或接近正态分布，至少是单峰对称的分布（判断总体是否呈正态分布可用卡方检少是单峰对称的分布（判断总体是否呈正态分布可用卡方

7、检验）。验）。第二节 积差相关102、积差相关的适用条件、积差相关的适用条件第三，必须是第三，必须是成对成对数据，而且数据，而且每对每对数据之间相互数据之间相互独立独立。第四，两个数据之间呈第四，两个数据之间呈线性线性关系（可由相关散布图的关系（可由相关散布图的形状形状来来决定）。决定）。第五，要第五，要排除共变因素排除共变因素的影响。例如，不能用智力不同的学的影响。例如，不能用智力不同的学生的学习成绩来考查两门学科之间的相关情况。生的学习成绩来考查两门学科之间的相关情况。第六，样本容量第六，样本容量n30，计算出的积差相关系数才具有有效意，计算出的积差相关系数才具有有效意义。义。第二节 积差

8、相关11一、概念及其适用范围一、概念及其适用范围3、积差相关系数的定义公式、积差相关系数的定义公式协方差协方差是两个变量离差乘积之和除以是两个变量离差乘积之和除以n所得之商。所得之商。第二节 积差相关nYYXXCOV协方差是积差相关系数的基础。协方差是积差相关系数的基础。离差乘积之和的大小，能反映两个变量之间的关系。离差乘积之和的大小，能反映两个变量之间的关系。两个离差乘积和为两个离差乘积和为正正，且数值较大，说明两个变量的，且数值较大，说明两个变量的变化方向一致，且关系密切；变化方向一致，且关系密切；两个离差乘积和为两个离差乘积和为负负，且数值较大，说明两个变量的，且数值较大，说明两个变量的

9、变化方向相反，但关系密切；变化方向相反，但关系密切；两个离差乘积和趋于两个离差乘积和趋于0 0，说明，说明无相关无相关。12一、概念及其适用范围一、概念及其适用范围3、积差相关系数的定义公式、积差相关系数的定义公式但但协方差协方差是带有具体单位的是带有具体单位的绝对绝对数量，数量，不能与单位不同的资料相比较。不能与单位不同的资料相比较。为使协方差变成为使协方差变成相对相对数，数，可将两个离差除以相应的可将两个离差除以相应的标准差标准差，使之变成两个使之变成两个标准分标准分数，数，然后将两个标准分数的乘积之和除以然后将两个标准分数的乘积之和除以n，便为积差相关，便为积差相关系数系数r。第二节 积

10、差相关13一、概念及其适用范围一、概念及其适用范围3、积差相关系数的定义公式、积差相关系数的定义公式积差相关系数积差相关系数就是两个变量就是两个变量标准分数标准分数乘积之和除以乘积之和除以n所得之商。所得之商。第二节 积差相关YXYXnYYXXnYYXXrX XX X变量的样本标准差变量的样本标准差Y YY Y变量的样本标准差变量的样本标准差14二、积差相关系数的计算方法二、积差相关系数的计算方法1、用原始数据计算、用原始数据计算第二节 积差相关nYYnXXnYXXY/r2222XYXYX X与与Y Y两个变量每对观察值的乘积之和两个变量每对观察值的乘积之和X XX X变量的观察值的总和变量的

11、观察值的总和Y YY Y变量的观察值的总和变量的观察值的总和X X2 2X X变量的观察值平方之和变量的观察值平方之和Y Y2 2Y Y变量的观察值平方之和变量的观察值平方之和15表表11.4 10个学生初一（个学生初一（X）与初二（）与初二（Y）数学分数积差相关系数计算表）数学分数积差相关系数计算表第二节 积差相关序号序号XYX2Y2XY174767427627476271757127527175372717227127271468706827026870576767627627676673797327927379767656726526765870777027727077965626526

12、2265621074727427227472总和总和71072350520525415146716第二节 积差相关780. 010/7235254110/7105052010/72371051467/r222222nYYnXXnYXXY二、积差相关系数的计算方法二、积差相关系数的计算方法1 1、用原始数据计算、用原始数据计算17三、相关系数的等距转换及其合并三、相关系数的等距转换及其合并相关系数相关系数不具有等距的单位不具有等距的单位，不可以直接相加减。，不可以直接相加减。但在研究中，常需要计算几个但在研究中，常需要计算几个相关系数相关系数的的平均数平均数。方法一方法一：将相关系数将相关系数r

13、转换成转换成等距等距单位的单位的Zr值，值，可用统计学家可用统计学家费舍费舍的的Zr转换法转换法，其转换公式为：其转换公式为：第二节 积差相关rrZrrZrr11lg1513. 111ln21或18三、相关系数的等距转换及其合并三、相关系数的等距转换及其合并方法二：方法二：不必计算，可直接查不必计算，可直接查r与与Zr转换表转换表。因因Zr的分布的分布无论总体相关系数无论总体相关系数的大小的大小及样本容量及样本容量n的大小，的大小，都近似都近似正态正态分布，故分布，故Zr是是等距等距的。的。第二节 积差相关19三、相关系数的等距转换及其合并三、相关系数的等距转换及其合并例如例如为了考察数学与物

14、理两门学科成绩的相关程度，从北京、上海、广州各为了考察数学与物理两门学科成绩的相关程度，从北京、上海、广州各随机抽取某年全国统一高考的随机抽取某年全国统一高考的数学数学与与物理物理试卷计算出的积差相关系数如试卷计算出的积差相关系数如表表11.5，求三个城市数学与物理高考成绩相关系数的平均数。，求三个城市数学与物理高考成绩相关系数的平均数。表表11.5 某年高考数学与物理成绩三个相关系数平均数计算表某年高考数学与物理成绩三个相关系数平均数计算表第二节 积差相关市别市别nn-3rZr(n-3)Zr北京北京113113-30.5150.570(113-3)0.570=62.70上海上海552552-

15、30.4980.546(552-3) 0.546=299.754广州广州8080-30.5630.637(80-3) 0.637=49049总和总和736411.50320三、相关系数的等距转换及其合并三、相关系数的等距转换及其合并（1）将各相关系数）将各相关系数r转换成转换成Zr即利用即利用r与与Zr转换表转换表根据根据r值寻找相应的值寻找相应的Zr值，如北京数学与值，如北京数学与物理高考成绩的相关系数物理高考成绩的相关系数r=0.515，其，其Zr=0.570。第二节 积差相关市别市别nn-3rZr(n-3)Zr北京北京113113-30.5150.570(113-3)0.570=62.7

16、0上海上海552552-30.4980.546(552-3) 0.546=299.754广州广州8080-30.5630.637(80-3) 0.637=49049总和总和736411.50321三、相关系数的等距转换及其合并三、相关系数的等距转换及其合并（2）求）求Zr的的平均数平均数Zr其计算其计算公式公式为为第二节 积差相关33nZnZrr559. 0736503.411rZ市别市别nn-3rZr(n-3)Zr北京北京113113-30.5150.570(113-3)0.570=62.70上海上海552552-30.4980.546(552-3) 0.546=299.754广州广州808

17、0-30.5630.637(80-3) 0.637=49049总和总和736411.50322三、相关系数的等距转换及其合并三、相关系数的等距转换及其合并（3）将）将Zr转换成转换成r仍用仍用r与与Zr转换表转换表，本例与本例与Zr=0.559相对应的相对应的r=0.507，即三个城市某年高考数学与物理成绩相关系数的即三个城市某年高考数学与物理成绩相关系数的平均数平均数是是0.507。第二节 积差相关23四、相关系数的显著性检验四、相关系数的显著性检验（一）相关系数的（一）相关系数的抽样分布抽样分布从两个从两个正态连续正态连续变量的总体中，随机抽取变量的总体中，随机抽取n对对数据，算数据，算得

18、一个样本相关系数得一个样本相关系数r值，随后将这些数据还回两个总体中值，随后将这些数据还回两个总体中去，去，再从中随机抽取再从中随机抽取n对对数据，又可以计算出数据，又可以计算出一个样本一个样本的的r值，值，这样反复抽下去，就会有这样反复抽下去，就会有一切可能一切可能个样本的个样本的r值，值，这一切可能个样本这一切可能个样本r值的值的频数分布频数分布，就构成一个实验性，就构成一个实验性的的相关系数相关系数r的抽样分布的抽样分布。第二节 积差相关24四、相关系数的显著性检验四、相关系数的显著性检验（一）相关系数的（一）相关系数的抽样分布抽样分布相关系数抽样分布的相关系数抽样分布的形态形态，随总体

19、随总体相关系数相关系数和样本和样本容量容量n的大小而变化。的大小而变化。当当=0时，样本时，样本r的抽样分布呈的抽样分布呈正态正态；当当0时，而时，而n相当大时（如相当大时（如n=50），），r的抽样分布接近于的抽样分布接近于正正态态。当当0时，而时，而n相当小时（如相当小时（如n=6），），r的抽样分布呈的抽样分布呈偏态偏态。当当很大时（如很大时（如=0.8），即使），即使n较大，较大，r的抽样分布也呈的抽样分布也呈偏态偏态。第二节 积差相关25四、相关系数的显著性检验四、相关系数的显著性检验（一）相关系数的（一）相关系数的抽样分布抽样分布根据根据样本样本相关系数相关系数r对对总体总体相关系

20、数相关系数进行进行推断推断是以是以r的抽样分布的抽样分布正态性正态性为转移的，为转移的，正态分布正态分布只有当总体相关系数为只有当总体相关系数为零零，或者接近于零，或者接近于零，样本样本容量容量n相当大（相当大（n50或或n30）时，）时，r的抽样分布才接近于的抽样分布才接近于正态正态分布。分布。第二节 积差相关26四、相关系数的显著性检验四、相关系数的显著性检验（二）相关系数显著性检验的（二）相关系数显著性检验的基本原理基本原理根据根据样本样本数据计算出来的相关系数数据计算出来的相关系数r，存在，存在抽样误差抽样误差。因此，还因此，还不能不能根据根据|r|的大小，对的大小，对X与与Y之间关系

21、的密切程度作之间关系的密切程度作出判断，出判断，还要看还要看r在以在以=0为中心的为中心的抽样分布抽样分布上出现的上出现的概率概率如何。如何。第二节 积差相关27（二）相关系数显著性检验的基本（二）相关系数显著性检验的基本原理原理如果从如果从=0的总体中，随机抽取的的总体中，随机抽取的r在抽样分布上出现的概率在抽样分布上出现的概率较较大大，则则r和和=0的的无显著性差异无显著性差异。这时，即使。这时，即使|r|较大，也不能较大，也不能认为认为X与与Y是相关的；是相关的；反之，如果从反之，如果从=0的总体中，随机抽取的的总体中，随机抽取的r在抽样分布上出现在抽样分布上出现的概率较的概率较小小，则

22、则r和和=0有有显著性差异显著性差异。这时，即使。这时，即使|r|较小，也应认为较小，也应认为X与与Y是相关的；是相关的；这时才能根据样本这时才能根据样本|r|的大小来说明的大小来说明X与与Y相关关系的密切相关关系的密切程度如何。程度如何。第二节 积差相关28（三）相关系数显著性检验的（三）相关系数显著性检验的步骤及方法步骤及方法1、H0：=0条件下，相关系数的显著性检验条件下，相关系数的显著性检验对于总体相关系数对于总体相关系数=0的零假设进行显著性检验时，又可分的零假设进行显著性检验时，又可分为两种情况：为两种情况：1）当）当n50的情况的情况当当n50时，时，r的抽样分布接近于的抽样分布

23、接近于正态正态分布，其分布，其标准误标准误为：为：第二节 积差相关112nrSrr r两个变量的积差相关系数；两个变量的积差相关系数；n n样本的容量样本的容量29（三）相关系数显著性检验的步骤及方法（三）相关系数显著性检验的步骤及方法1、H0：=0条件下，相关系数的显著性检验条件下，相关系数的显著性检验1）当）当n50的情况的情况例如例如150个个6岁男童体重和屈臂悬体的相关系数为岁男童体重和屈臂悬体的相关系数为r=-0.35，问从，问从总体来说，总体来说，6岁男童体重和屈臂悬体之间是否存在相关？岁男童体重和屈臂悬体之间是否存在相关？检验的步骤：检验的步骤：（1）提出假设）提出假设H0：=0

24、 H1：0第二节 积差相关30检验的步骤：检验的步骤：（2）选择检验统计量并计算其值）选择检验统计量并计算其值由于由于n=15050，r的抽样分布接近于的抽样分布接近于正态正态，则检验统计量为：，则检验统计量为：第二节 积差相关2221111011rnrnrrnrrZ87. 435. 01115035. 02Z31检验的步骤：检验的步骤：（3）确定检验的形式）确定检验的形式进行双侧检验。进行双侧检验。（4）统计决断）统计决断根据双侧根据双侧Z检验统计决断规则，检验统计决断规则，由于由于|Z|=4.87*2.58=Z0.01，则，则P0.01，于是在于是在0.01显著性水平上拒绝显著性水平上拒绝

25、H0而接受而接受H1。其结论：样本相关系数其结论：样本相关系数r=-0.35与总体零相关与总体零相关有极其显著性差有极其显著性差异异。或者说，。或者说，r=-0.35的样本不是来自于的样本不是来自于=0的总体。从而说，的总体。从而说，6岁男童体重与屈臂悬体之间存在着岁男童体重与屈臂悬体之间存在着负相关负相关。第二节 积差相关32（三）相关系数显著性检验的步骤及方法（三）相关系数显著性检验的步骤及方法1、H0：=0条件下，相关系数的显著性检验条件下，相关系数的显著性检验1）当）当n50的情况的情况2）当）当n50的情况的情况当当n50时，关于时，关于=0的零假设，可用的零假设，可用费舍费舍提出的

26、提出的t统计量来统计量来检验相关系数的显著性。检验相关系数的显著性。第二节 积差相关)2(122ndfrnrt33例如：本章表例如：本章表11.1的资料，的资料，10个学生初一数学分数与初二数个学生初一数学分数与初二数学分数的相关系数学分数的相关系数r=0.78，问从总体上来说，初一与初二数，问从总体上来说，初一与初二数学分数是否存在相关？学分数是否存在相关？检验的步骤：检验的步骤：（1）提出假设）提出假设H0：=0 H1：0（2）选择检验统计量并计算其值）选择检验统计量并计算其值由于由于n=103.355=t(8)0.01，则，则P0.765=r(8)0.01，则，则P0.01，于，于是在是

27、在0.01显著性水平上拒绝显著性水平上拒绝H0，而接受，而接受H1。第二节 积差相关36表表11.6 相关系数相关系数显著性统计决断规则（显著性统计决断规则（单侧或双侧单侧或双侧）第二节 积差相关|r|与临界值的比较与临界值的比较P值值检验结果检验结果显著性显著性|r|r(df)0.05P0.05保留H0接受H1不显著r(df)0.05|r|r(df)0.010.01P0.05在0.05显著性水平上拒绝H0接受H1显著（*）|r|r(df)0.01P0.01在0.01显著性水平上拒绝H0接受H1极其显著（*）37（三）相关系数显著性检验的步骤及方法（三）相关系数显著性检验的步骤及方法1、H0：

28、=0条件下，相关系数的显著性检验条件下，相关系数的显著性检验1）当）当n50的情况的情况2）当）当n50的情况的情况2、H0：=0条件下，相关系数的显著性检验条件下，相关系数的显著性检验当当0时，时，r的抽样分布不呈正态而呈的抽样分布不呈正态而呈偏态偏态。可查可查r与与Zr转换表转换表，将，将r转换成转换成Zr，而而Zr的分布无论的分布无论的大小的大小及及n的大小的大小都近似于都近似于正态正态。第二节 积差相关38（三）相关系数显著性检验的步骤及方法（三）相关系数显著性检验的步骤及方法2、H0：=0条件下，相关系数的显著性检验条件下，相关系数的显著性检验例如：例如：29个学生几何期中与期末考试

29、成绩的个学生几何期中与期末考试成绩的r=0.30，问全年级几何，问全年级几何期中与期末考试成绩的相关系数是否为期中与期末考试成绩的相关系数是否为0.64？检验步骤：检验步骤：（1）提出假设）提出假设H0：=0.64 H1：0.64（2）将）将r转换成转换成Zr ，转换成转换成Z查表，与查表，与r=0.300相对应的相对应的Zr=0.310， 与与=0.64相对应的相对应的Z=0.758。第二节 积差相关39检验步骤：检验步骤：（3）选择检验统计量并计算其值）选择检验统计量并计算其值由于由于Zr的抽样分布呈的抽样分布呈正态正态分布，则检验统计量为分布，则检验统计量为第二节 积差相关331nZZn

30、ZZZrr代入数据，则代入数据，则Z=-2.2840检验步骤：检验步骤：（4）确定检验形式）确定检验形式采用双侧检验。采用双侧检验。（5）统计决断）统计决断根据双侧根据双侧Z检验统计决断规则，检验统计决断规则，由于由于Z0.05=1.962.28*2.58=Z0.01，则，则0.01P0.05P0.05，根据双侧，根据双侧Z Z检验统检验统计决断规则，应保留计决断规则，应保留H H0而拒绝而拒绝H H1。其结论为：甲乙两班语文和英语两个相关系数样本相关系其结论为：甲乙两班语文和英语两个相关系数样本相关系数数r r1与与r r2没有显著性差异没有显著性差异。或者说，。或者说，r r1与与r r2

31、来自于同一个来自于同一个总体。总体。45等级相关等级相关是指以是指以等级次序排列等级次序排列或以等级次序表示的变量或以等级次序表示的变量之间的相关。之间的相关。主要包括主要包括斯皮尔曼斯皮尔曼二列二列等级相关；肯德尔和谐系数等级相关；肯德尔和谐系数多列多列等级相关。等级相关。第三节 等级相关46一、斯皮尔曼等级相关一、斯皮尔曼等级相关（一）概念及其适用范围（一）概念及其适用范围等级相关等级相关当两个变量值以当两个变量值以等级次序等级次序排列或以等级次序表排列或以等级次序表示时，两个相应总体并示时，两个相应总体并不一定不一定呈呈正态正态分布，样本分布，样本容量容量也也不一不一定定大于大于30，表

32、示这两个变量之间的相关，称为等级相关。，表示这两个变量之间的相关，称为等级相关。等级秩序性分数等级秩序性分数根据某种标准对某项成绩所评定的根据某种标准对某项成绩所评定的等级等级，或，或按某种指标的优劣程度所排列的按某种指标的优劣程度所排列的名次名次等，均属于等级秩等，均属于等级秩序性分数。序性分数。第三节 等级相关47计算等级相关系数计算等级相关系数不要求总体呈正态分布不要求总体呈正态分布也不要求也不要求n30，所以应用范围较，所以应用范围较广广。不适用不适用若两个变量的原始资料若两个变量的原始资料都都是是较精确较精确的度量资料（一般采的度量资料（一般采用积差相关）用积差相关）则则不不必化成必

33、化成较粗略较粗略的等级资料，否则会失掉很多信息。的等级资料，否则会失掉很多信息。适用于适用于原始资料本身就属于原始资料本身就属于等级等级资料，或者资料，或者难难以判断资料所属总体呈何种以判断资料所属总体呈何种分布分布形态。形态。第三节 等级相关48（二）相关系数的计算（二）相关系数的计算计算等级相关系数的公式为计算等级相关系数的公式为第三节 等级相关16122nnDrRr rR R 等级相关系数等级相关系数D D 两个变量两个变量每对每对数据等级（不是指原始的等级）之差数据等级（不是指原始的等级）之差N N 样本的容量样本的容量49例如：例如：10名高三学生是学习潜在能力（简称学能）测验名高三

34、学生是学习潜在能力（简称学能）测验(X)与自学能力测与自学能力测验成绩验成绩(Y)如表，问两者相关情况如何？如表，问两者相关情况如何？表表11.7 10名学生学习潜能与自学能力测验成绩等级相关计算表名学生学习潜能与自学能力测验成绩等级相关计算表第三节 等级相关学生学生序号序号学习潜能学习潜能自学能力自学能力等级差数等级差数D差数平方差数平方D2X等级等级Y等级等级190132-112842211137635300471575.5-0.50.25571587.5-2.56.2567156411769787.5-0.50.25868875.52.56.2596691010-111064109911

35、总和总和1850分析：分析：虽然虽然X变量可视为变量可视为正态连续正态连续变量，但变量，但Y变量是按某种标准评变量是按某种标准评定的定的等级等级（自学能力强，等级数越小），故两者之间的关系（自学能力强，等级数越小），故两者之间的关系只好用等级相关表示。等级相关系数的计算步骤如下：只好用等级相关表示。等级相关系数的计算步骤如下：第一步，赋予等级。第一步，赋予等级。分别将两个变量的成绩从优到劣分别将两个变量的成绩从优到劣赋予等级赋予等级，最优者赋予，最优者赋予1，或者最劣者赋予，或者最劣者赋予1。赋予等级时，两个变量赋予等级时，两个变量方向要一致方向要一致，中间依次递增。，中间依次递增。若有相同等

36、级分数时，可用它们若有相同等级分数时，可用它们所占等级位置的平均数所占等级位置的平均数作为它们的等级。如：作为它们的等级。如：3个个71分，所占等级位置数分别为分，所占等级位置数分别为4、5、6，其平均数为，其平均数为5，则它们的等级数均为，则它们的等级数均为5。第三节 等级相关51分析：分析：第一步，赋予等级。第一步，赋予等级。第二步，计算两个变量每对数据所赋予的第二步，计算两个变量每对数据所赋予的等级数之差等级数之差D，及，及差数的平方之和，即差数的平方之和，即D2。第三步，将有关数据代入等级相关的计算公式，则第三步，将有关数据代入等级相关的计算公式，则第三节 等级相关891. 01101

37、01861161222nnDrR52（三）相关系数的显著性检验（三）相关系数的显著性检验10个学生学习潜能在能力与自学能力测验成绩相关系数为个学生学习潜能在能力与自学能力测验成绩相关系数为0.891，问从总体上说，两者是否存在相关？，问从总体上说，两者是否存在相关？方法一：方法一：等级等级相关与相关与积差相关系数积差相关系数检验方法相同检验方法相同检验的步骤：检验的步骤：（1）提出假设）提出假设H0 0：=0 H1 1：0第三节 等级相关53检验的步骤：检验的步骤：（2）计算检验统计量的值）计算检验统计量的值由于由于n=103.355=t(8)0.01(8)0.01，则，则P0.765= r(

38、8)0.01(8)0.01，则，则P0.794= rR(10)0.01R(10)0.01，则，则P0.01，于是在于是在0.01显著性水平上拒绝显著性水平上拒绝H0 0而接受而接受H1 1 第三节 等级相关57二、肯德尔和谐系数二、肯德尔和谐系数（一）概念及其适用范围（一）概念及其适用范围肯德尔和谐系数肯德尔和谐系数当当多个多个（两个以上两个以上）变量值以等级次序）变量值以等级次序排列或以等级次序表示，描述这几个变量之间的排列或以等级次序表示，描述这几个变量之间的一致性一致性程度程度（即相关）的量，称为肯德尔和谐系数。（即相关）的量，称为肯德尔和谐系数。常用来表示常用来表示几个评定者几个评定者

39、对同一组学生学习成绩评定的一对同一组学生学习成绩评定的一致性程度，致性程度，或同一个评定者对同一组学生的学习成绩用等级或同一个评定者对同一组学生的学习成绩用等级先后先后评评定定多次多次之间的一致性程度。之间的一致性程度。第三节 等级相关58二、肯德尔和谐系数二、肯德尔和谐系数（一）概念及其适用范围（一）概念及其适用范围（二）相关系数的计算（二）相关系数的计算1、无相同等级无相同等级的情况的情况当同一位评定者对所有被评事物的评定当同一位评定者对所有被评事物的评定无无相同等级时，其肯相同等级时，其肯德尔和谐系数的计算公式为德尔和谐系数的计算公式为第三节 等级相关nnKSSrRW32121rW W肯

40、德尔和谐系数K评定者的人数；或同一评定者对同一组被评事物先后评定次数n被评定事物的个数RK个评定者对同一被评事物所给予的等级之和SSR RR的离差平方和， 即SSR=R2-(R)2/n59例如：例如：4位教师对位教师对6个学生作为竞赛的名次排列次序如表个学生作为竞赛的名次排列次序如表11.8所示，问评定的一致性程度如何？所示，问评定的一致性程度如何？表表11.8 4位教师对位教师对6个学生作文竞赛名次排列的肯德尔和谐系数计算表个学生作文竞赛名次排列的肯德尔和谐系数计算表第三节 等级相关学生学生n=6评定者评定者K=4RR2123413421101022431311112321341010246

41、56522222512429926565622222总和总和841370SSR R=R2-(R)2/n=1370-842/6=194将有关数据代入公式，于是将有关数据代入公式，于是4 4位评分者位评分者对对6 6个学生作为竞赛等级评定的相关程个学生作为竞赛等级评定的相关程度为：度为： 693. 06641211941212232nnKSSrRW60二、肯德尔和谐系数二、肯德尔和谐系数（二）相关系数的计算（二）相关系数的计算2、有相同等级有相同等级的情况的情况当同一位评定者对所有被评事物的评定当同一位评定者对所有被评事物的评定有有相同等级时，可对相同等级时，可对肯德尔和谐系数进行肯德尔和谐系数进行校正校正，校正公式为：，校正公式为：第三节 等级相关T=(m3-m)/12m相同等级的个数TKnnKSSrRW3212161例例2同一位教师对同一位教师对5份研究生入学考试政治试卷根据标准先后份研究生入学考试政治试卷根据标准先后3次等级评定结果如表次等级评定结果如表1