第二章 伪随机码.

1、第二章第二章 伪随机码伪随机码 主讲：侯春燕主讲：侯春燕# 2主要内容主要内容n2.1 伪随机码的概念n2.2 m序列n2.3 Gold序列n2.4 M序列2.1 伪随机码的概念伪随机码的概念n伪随机码伪随机码（Pseudo Random Code，Pseudo Noise Code，PN码，伪噪声码）是一种具有类似白噪声性质的码， 也称为伪随机(伪噪声)序列。n白噪声白噪声是随机过程，瞬时值服从正态分布，功率谱在很宽的频带内都是均匀的；具有优良的相关特性，白噪声的自相关函数类似于函数。但无法实现对其进行放大、调制、检测、同步及控制等操作。n大部分伪随机码都是周期码，可以人为地加以产生与复制，

2、通常由二进制移位寄存器来产生。 # 32.1 伪随机码的概念伪随机码的概念 伪随机码特点伪随机码特点n伪随机信号必须具有尖锐的自相关函数，而互相关函数值应接近0值；n有足够长的码周期，以确保抗侦破与抗干扰的要求；n码的数量足够多，用来作为独立的地址，以实现码分多址的要求；n工程上易于产生、加工、复制与控制。# 42.1 伪随机码的概念伪随机码的概念n讨论仅限于等长二进制码，即码字长度(周期)相等，且码元都是集合 +1，-1的元素。 n设ai与bi是周期为N的两个码序列，即aN+i=ai，bN+i=bi 。n互相关函数n若 ，则ai 与bi 正交。n自相关函数# 5NiiiabbaNR11)(N

3、iiiaaaNR11)(0)(abR2.1 伪随机码的概念伪随机码的概念 对于二元域0，1的码序列ai ，令 可将二元域0，1映射为集合-1，+1 。 二元域与集合的映射# 6iiab21二元域集合0，1+1，-11-10+1模2加法普通乘法自相关函数也可表示为( )ADADR ADN其中：A是对应码元相同的数目(同为元素1或同为元素0的数目)，D是对应码元不相同的数目。2.1 伪随机码的概念伪随机码的概念 狭义伪随机码狭义伪随机码n若码长为N的周期序列 的自相关函数具有 广义伪随机码广义伪随机码n若码长为N的周期序列 的自相关函数具有# 7111( )0, 1,2,1Naii imNR a

4、amNmNN ia ia111( )0, 1 , 2,1Nai i i m NR aam m NN 2.1 伪随机码的概念伪随机码的概念 例2-1：求伪随机码序列 自相关函数？# 82.2 m序列序列nm序列是一种伪随机序列，有优良的自相关函数，是狭义伪随机序列。nm序列易于产生与复制，在扩频技术中得到广泛应用，并且在m序列基础上还能构成其他的码序列。直接序列扩频系统中，用于扩展基带信号；频率跳变系统中，用来控制频率合成器，组成跳频图案。nm序列是最长线性移位寄存器序列，是由移位寄存器加反馈后形成的。# 92.2 m序列序列线性线性移位寄存器移位寄存器 寄存器的状态。 第i位寄存器的反馈系统。

5、 表示无反馈 ； 表示有反馈。 当一个时钟脉冲到来时，各级状态自左向右至下一级，末级输出，同时，模2加法器输出反馈到第一级，形成新状态。# 10i raic0ic 1ic 01rcc2.2 m序列序列线性线性移位寄存器移位寄存器 动态线性移位寄存器反馈逻辑表示方式反馈逻辑表示方式n特征多项式n递归关系式r级线性反馈移位寄存器的特征多项式为动态线性移位寄存器的递归关系式# 112012( )0, 1rrif xccx c xcxc1, 02211iririiicacacaca2.2 m序列序列线性线性移位寄存器移位寄存器 例2-2：如图四级线性移位寄存器，设寄存器的初始状态为 ，求移位寄存器的产

6、生序列？ 当初始状态为 ，求移位寄存器的产生序列？ 当初始状态为 ，求移位寄存器的产生序列？# 12 0123, ,1,0,0,0a a a a0123,0,1,1,0a a a a 0123,0,0,0,0a a a a2.2 m序列序列线性线性移位寄存器移位寄存器 例2-3：如图四级线性移位寄存器，设寄存器的初始状态为 ，求移位寄存器的产生序列？ 当初始状态为 ，求移位寄存器的产生序列？# 13 0123, ,1,0,0,0a a a a 0123, ,1,0,1,1a a a a2.2 m序列序列线性线性移位寄存器移位寄存器 结论：结论：n移位寄存器产生序列具有周期性，且周期为 。n级数

7、相同的线性移位寄存器的输出序列和反馈逻辑有关。n同一个线性移位寄存器的输出序列还和起始状态有关。n当初始状态是0状态时，移位寄存器的输出是0序列。n对于级数为r的线性移位，当周期 时，改变移位寄存器初始状态只改变序列的初相。这样的序列称为最大长度序列或m序列。# 1421rN 21rN 2.2 m序列序列m序列的产生序列的产生n m序列序列 r级线性移位寄存器，除去0状态输出序列外，能产生的序列的最大可能周期 ，把这样具有最大长度周期的线性移位寄存器序列称为最大(最长)周期的r级线性移位寄存器序列，简称m序列。# 1521rN 2.2 m序列序列m序列的产生序列的产生n本原多项式本原多项式 若

8、由r次特征多项式f(x)所产生的序列是m序列，则称f(x)为r次本原多项式本原多项式。 式中 仅指明其系数（1或0）代表 的值，x本身的取值并无实际意义，也不需要去计算x的值。 r 级线性移位寄存器是否产生m序列，与特征多项式有密切关系，由反馈系数决定的。# 162012( )0, 1rrif xccx c xcxcixic2.2 m序列序列m序列的产生序列的产生 部分部分m序列反馈系数表序列反馈系数表# 17级数r周期N反馈系数ci（八进制）37134152353145,67,75663103,147,1557127203,211,217,235,277,313，325,345,367825

9、5435,453,537,543,545,551,703,74795111021,1055,1131,1157,1167,11751010232011,2033,2157,2443,2745,34712.2 m序列序列m序列的产生序列的产生 例2-4：由表查出级数r4的反馈系数为23,求其本原多项式，并试画出m序列发生器的结构图。# 182.2 m序列序列m序列的产生序列的产生 例2-5：由表查出级数r5的反馈系数为45和67,求其本原多项式，并试分别画出m序列发生器的结构图。# 192.2 m序列序列m序列的产生序列的产生n问题问题 在某些情况下，我们并不关心产生m序列移位寄存器的具体结构，

10、而只关心m序列 ，即移位寄存器的输出序列。n 解决方法解决方法 可以通过求解输出序列多项式 的方法得到。输出序列多项式 的系数系数就是所要求的输出序列。 多项式 称为序列 的生成多项式生成多项式或序列多项式序列多项式。 事实上，在给定特征多项式特征多项式与移位寄存器初始状态移位寄存器初始状态的情况下，移位寄存器的输出序列被唯一确定输出序列被唯一确定。# 20 ia)(xG)(xG)(xGia2.2 m序列序列m序列的产生序列的产生 【在初始状态为在初始状态为0001的条件下的条件下】，线性移位寄存器的序列多项式 与特征多项式 关系为 求输出序列步骤求输出序列步骤：1. 根据给定的移位寄存器结构

11、，给出特征多项式f(x)。2. 利用G(x)=1/f(x)进行长除运算，且只计算到余数为 ，其中N为序列周期，长除运算中模2减按模2加运算进行。3. 根据G(x)与 之间的对应关系，求得线性移位寄存器序列。# 21)(xG)(xf)(1)(xfxGNx ja2.2 m序列序列m序列的产生序列的产生 例2-6：由表查出级数r3的反馈系数为13,求其生成的m序列# 222.2 m序列序列m序列的产生序列的产生 例2-7：由表查出级数r4的反馈系数为23,求其生成的m序列。# 232.2 m序列序列m序列的产生序列的产生 例2-8：由表查出级数r5的反馈系数为75,求其生成的m序列。# 242.2

12、m序列序列m序列的性质序列的性质 (1) m序列的随机特性n 在一个周期N=2r-1内，元素0出现 次，元素1出现 次，元素1比元素0多出现一次。例如：3级移位寄存器生成的m序列 11101004级移位寄存器生成的m序列 100110101111000# 251(1)/221rN1(1)/22rN2.2 m序列序列m序列的性质序列的性质 例2-9：在周期为N=211-1的m序列中，元素0出现多少次？元素1出现多少次？# 262.2 m序列序列m序列的性质序列的性质n游程游程：是指在一个序列周期中连续排列的且取值相同的码元的合称。在一个游程中码元的个数称为游程长度。n在一个周期N=2r-1 内，

13、共有2r-1个元素游程。其中：长度为k (1 kr-2)的元素游程占游程总数的2-k；长度为 r-1的元素游程只有一个，为元素0的游程；长度为r的元素游程只有一个，为元素1的游程。 也就是说：也就是说： m序列中，一个周期内长度为1（单个“0”或单个“1”）的游程占总游程数的一半，长度为2的游程（即“00”或“11”连符）占总游程数的1/4，长度为3 （即“000”或“111”连符）占总游程数的1/8只有一个包含r个“1”的游程，也只有一个包含r-1个“0”的游程。# 272.2 m序列序列m序列的性质序列的性质 例2-10：表中列出了长度为15（r=4）的m序列游程分布。 m序列=11110

14、1011001000# 28游程长度游程数目比特数“1”“0”1224211430134104游程总数为82.2 m序列序列m序列的性质序列的性质 例2-11：在周期为N=213-1的m序列中，共有多少个元素游程？有多少个长度为3的1元素游程？有多少个长度为4的0元素的游程？有多少个长度为12的1元素的游程？# 292.2 m序列序列m序列的性质序列的性质nm序列 与其位移序列 的模2加序列仍是该m序列的另一位移序列 ，即例如：m序列=111101011001000# 30 iaiaia iiiaaa1111010110010000011110101100101100100011110102.

15、2 m序列序列m序列的性质序列的性质 (2) m码序列的自相关函数 m序列的自相关是指m序列与逐位移位后序列相似性的一种度量。 m序列的自相关函数为nA：对应位码元相同的数目，或两序列模2加后0的个数，nD：对应位码元不同的数目，或两序列模2加后1的个数，nN：码序列中的码元数，对于m序列， # 31 ADADRNAD21rN 121rA12rD2.2 m序列序列m序列的性质序列的性质 m序列自相关函数序列自相关函数m序列序列与m码码 将m序列的每一比特变换为宽度为 、幅度为1的波形函数。当m序列为0元素时，波形函数取正极性；否则取负极性。变换后，周期为N的m序列就变为码元宽度为 、周期为 的

16、m码。# 321( )0, 1, 2,1mNR mmNN (1/)cccT TRcTcNT2.2 m序列序列m序列的性质序列的性质 m码的自相关函数码的自相关函数：在 区间(一个周期 )内m码的自相关函数可表示为 # 3311( )1ccNcNTNTRTNccTNT) 1(cNT2.2 m序列序列m序列的性质序列的性质 注意：n周期为 的m码的自相关函数是一周期函数（ ）。n自相关函数= =高度为( (N N+1)/+1)/N N的周期三角形脉冲 幅度为1/1/N N的直流分量。n码元宽度Tc越小，周期N越大，m序列的自相关特性就越好。nm序列的自相关函数具有理想的双值特性双值特性。# 34c

17、NTcNT2.2 m序列序列m序列的性质序列的性质 例2-12：求r=9级线性移位寄存器生成的m序列的自相关函数？# 352.2 m序列序列m序列的性质序列的性质 (3) m序列的功率谱密度函数nm序列的功率谱密度 为其自相关函数 的傅里叶变换。n对信号功率谱成分的分析，可以了解线性系统输入波形所引起的畸变。n信号的功率谱决定通信系统的带宽。n从信道中信号功率谱的分析中了解信号之间的互干扰。# 36 R G f2220sin 11()()ckcckfTNkG f ffNNfTNT2.2 m序列序列m序列的性质序列的性质# 372.2 m序列序列m序列的性质序列的性质 m码功率谱的特点：码功率谱

18、的特点：nm码的功率谱是离散离散( (线状线状) )谱谱，谱线间隔为 ，m码的功率谱由基波与各次谐波组成，基波频率为 ，是m码时钟频率(位同步频率或称为码速率)的1/N 倍。# 38)/(1cNT)/(10cNTf 2.2 m序列序列m序列的性质序列的性质nm码的功率谱密度函数具有抽样函数(sinx/x)2的包络，第一个零点在k=N处，即f=1/Tc，第二个零点在k=2N处，即f=2/Tc，以此类推，若n为整数时，有G(n/Tc)=0 。# 392.2 m序列序列m序列的性质序列的性质nm码的功率谱的带宽(通常定义为第一个零点处的频率)由码元持续时间Tc决定，带宽B=1/Tc(单边)，与码的长

19、度N无关。# 402.2 m序列序列m序列的性质序列的性质nm码的直流分量与直流分量与N2成反比成反比。当m序列的长度N时，直流分量0，谱线间隔1/(NTc)0，m码的功率谱由离散谱向连续谱过渡，伪随机码过渡为随机码随机码。# 412.2 m序列序列m序列的性质序列的性质 (3) m序列的互相关函数 指长度相同长度相同而序列结构不同结构不同的两个m序列之间的相关函数。 注意：n当使用m序列作为区分地址时，必须选择m序列互相关函数值很小的码，以避免用户之间互相干扰。nm序列互相关函数是多值函数多值函数。nm序列互相关函数值不具有简明解析公式不具有简明解析公式，只有统计特性。# 422.2 m序列

20、序列m序列的性质序列的性质 两个两个m序列的互相关函数序列的互相关函数nA:两序列对应位相同的个数，即模2加后“0”的个数。nD:两序列对应位不同的个数，即模2加后“1”的个数。# 43 abADRN2.2 m序列序列m序列的性质序列的性质 例2-13：求r=5，反馈系数为45的m序列和r=5，反馈系数为75m序列的互相关函数。# 44习题习题 1、若m序列的特征多项式 , 试求出该m序列及其自相关函数。 2、由表查出级数r9的反馈系数为1131和1175, 试分别画出m序列发生器的结构图。# 45 521f xxx2.3 Gold序列序列 m序列序列 具有优良的双值自相关特性，但互相关特性不

21、是很好互相关特性不是很好。作为CDMA通信地址码时，由于互相关特性不理想，使得系统内多址干扰影响增大多址干扰影响增大，且可用地址码数量较少地址码数量较少。 复合序列复合序列 在某些应用场合，利用狭义伪随机序列复合而成复合序列更为有利。这是因为通过适当方法构造的复合序列具有某些特殊性质。 Gold序列序列 具有良好的自相关与互相关特性良好的自相关与互相关特性，地址码数量远大于地址码数量远大于m序列序列，且易于实现、结构简单，在工程上得到广泛应用。# 462.3 Gold序列序列m序列优选对序列优选对 在m序列集中，其互相关函数互相关函数绝对值的最大值(称为峰值互相关函数) 最接近或达到互相关值下

22、限(最小值)的一对m序列。 设ai是对应于r次本原多项式f1(x)所产生的m序列， bi 是另一r次本原多项式f2(x)产生的m序列，峰值互相关函数峰值互相关函数满足 则m序列ai与bi构成m序列优选对序列优选对。# 47max)(R12max2221( )214rabrrRr为奇数为偶数但不是 的整倍数2.3 Gold序列序列m序列优选对序列优选对 例2-14：r=6本原多项式# 4861( )1f xxx6522( )1fxxxxx ia ib26 222max( )17212117rabR max( )2317acR61( )1f xxx ia ic65323( )1fxxxxx2.3

23、Gold序列序列部分部分优选对码表优选对码表级数基准本原多项式配对本原多项式7211217,235,277,325,203,357,301,323217211,235,277,325,213,271,357,323235211,217,277,325,313,221,361,357236277,203,313,345,221,361,271,375910211131,133311311021,1055,1225,172514611743,1541,18531024152011,3515,317726412517,2218,30451144454005,5205,5337,52694215457

24、7,5747,6765,4563# 492.3 Gold序列序列Gold序列族序列族n1967年，RGold指出：“给定移位寄存器级数r时，总可找到一对互相关函数值是最小的码序列，采用移位相加方法构成新码组，其互相关旁瓣都很小，且自相关函数和互相关函数均有界”。这样生成的序列称为Gold码码。nGold码构成Gold序列是m序列的复合序列序列的复合序列，由两个码长相等码长相等、码时钟速码时钟速率相同率相同的m序列优选对优选对的模模2和和序列构成。nGold码数量 每改变两个m序列相对位移就可得到一个新的Gold序列。当相对位移1，2，2r-1个比特时，就可得到一族2r-1个Gold序列，加上原

25、来的两个m序列，共有2r+1个Gold序列，即# 5021rrG 2.3 Gold序列序列Gold序列族序列族 Gold序列构成示意图# 512.3 Gold序列序列Gold序列族序列族 复码的周期是组成复码的子码周期的最小公倍数复码的周期是组成复码的子码周期的最小公倍数。由于组成复码Gold序列的子码的周期都是N=2r-1，故Gold序列的周期是N=2r-1。 Gold族中2r-1个序列不再是不再是m序列序列，不再具有m序列的特性。任意两序列之间的互相关函数满足 该码族中任一码序列都可作为地址码。地址数大大超过用m序列作地址码数量。因此，Gold序列在多址技术中得到广泛序列在多址技术中得到广

26、泛应用应用。# 5212max2221( )214rabrrRr为奇数为偶数但不是 的整倍数2.3 Gold序列序列Gold序列族序列族 Gold码序列具有三值互相关函数三值互相关函数的特性。n当r为奇数时，码族中约有50%的码序列有很低的互相关函数值(-1)（非归一化）；n当r为偶数但不是4的整倍数时，码族中约有75%的码序列有很低的互相关函数值(-1) （非归一化）。# 532.3 Gold序列序列平衡平衡Gold序列序列n平衡码序列 在一周期内，平衡码序列中1码元与0码元的个数之差为1。n非平衡码序列 在一周期内，非平衡码中1码元与0码元的个数之差多于1。# 542.3 Gold序列序列

27、平衡平衡Gold序列序列# 552.3 Gold序列序列平衡平衡Gold序列序列 扩频通信中，扩频码平衡性(序列中0与1的均匀性均匀性)影响系统质量，平衡码具有更好的频谱特性。 在直接序列系统中码的平衡性与载波抑制度有密切关系。码码不平衡时直接序列系统的载波泄漏增大不平衡时直接序列系统的载波泄漏增大，从而破坏扩频通信系统的保密性、抗干扰与抗侦破能力。 下表给出918级Gold码对载波抑制度的影响。非平衡码使载波抑制性能下降一半(分贝数)，增加码长对载波抑制性能改善不是十分明显。在直接序列系统中应选用平衡应选用平衡Gold码码。# 562.3 Gold序列序列平衡平衡Gold序列序列# 572.

28、3 Gold序列序列平衡平衡Gold序列序列 特征相位特征相位 为寻找平衡码，RGold给出特征相位描述：每一个最大长度序列都具有特征相位（序列的初始状态序列的初始状态），当序列处于特征相位时，具有每隔一位抽样与原序列一样的特性。 设序列 的特征多项式 是一个r次本原多项式，其特征相位由 之比来确定。 特征相位多项式特征相位多项式定义为# 58 ia( )afx( )/( )aagxfx( )( )( )aagxG xfx2.3 Gold序列序列平衡平衡Gold序列序列 是生成函数生成函数，其次数等于或小于r，求取算法# 59( )agx的倍数为偶数但不是为奇数4d)(d)(d)(d)(rxx

29、xfxfrxxxfxgaaaa2.3 Gold序列序列平衡平衡Gold序列序列 例2-15：求级数r3, 反馈系数为13的m序列的特征相位.# 602.3 Gold序列序列平衡平衡Gold序列序列 例2-16：求级数r9, 反馈系数为1021的m序列的特征相位.# 612.3 Gold序列序列平衡平衡Gold序列序列 截止目前，我们得到了处于特征相位的m序列优选对。为了为了得到平衡得到平衡Gold码，还需要确定码，还需要确定m序列优选对间的相位关系序列优选对间的相位关系。 若序列 、 是处于特征相位上的m序列优选对。当r为奇数时，其特征相位多项式只有取 的阶数为r ， 的阶数小于r。进行长除后

30、的结果将是 ，这样处于特征相位的序列的第一位必处于特征相位的序列的第一位必定是定是“1 1”。# 62 ia ib1( )( )1( )c xG xd x( )d x( )c x2121d xd x2.3 Gold序列序列平衡平衡Gold序列序列 对于处于特征相位上的 与 序列的移位寄存器，以 序列为参考序列，移动 序列，使之第一位为“0”，对应于 序列的第一位“1”，此时两序列模2和就可得到平衡序列。 # 63 ia ib ia ia ib2.3 Gold序列序列平衡平衡Gold序列序列 例2-17：r=3，m序列优选对的本原多项式分别为 求生成的平衡GOLD码。 解：# 64 31afxx

31、x 231bfxxx 2431241aad xfxd xxxgxxxdxx 342321 341bbd xfxd xxxgxxxxdxdx 2.3 Gold序列序列平衡平衡Gold序列序列 特征相位 序列为# 65 241aaagxGxxxxfx 3561bbbgxGxxxxfx 1110100a 1001011b 2.3 Gold序列序列平衡平衡Gold序列序列 将b序列分别左移1、2、4位，使它的第一位为“0”。然后与a序列模2加。 得到平衡GOLD码。# 662.3 Gold序列序列平衡平衡Gold序列序列 例2-18：已知级数r5的m序列优选对的反馈系数为67和45，求生成的平衡GOL

32、D码。# 672.3 Gold序列序列平衡平衡Gold序列序列 特征相位由 长除得到# 6824524d1( )1daxxxxxgxxxx252d1( )1dbxxxgxxx( )( )/( )G xg xf x27232018161510985421)(xxxxxxxxxxxxxxGa252221201918141311109751)(xxxxxxxxxxxxxxGb2.3 Gold序列序列平衡平衡Gold序列序列 状态为 当以ai为基准，其特征相位为11101(r=5)。移动bi序列，使第一个0对准序列ai的第一个1，则序列bi的初始状态为00001，此时符合相对相位要求，能产生平衡Gol

33、d码bi的状态为# 69 1001000110000110101110110011ia 10101110110001111100110100ib000012.3 Gold序列序列平衡平衡Gold序列序列 根据上面所求的 的特征相位，每一个特征相位对应的序列 与序列 模2和可产生15个平衡Gold序列，加上m序列 与 ，r=5 的平衡Gold序列共有17个。# 70 ib ia ib ib ia2.3 Gold序列序列平衡平衡Gold序列序列 由此我们可以总结出产生平衡Gold码的一般步骤为: (1) 选一参考序列, 其本原多项式为 , 求出生成多项式 。 (2) 由 求出序列多项式, 使得序列

34、a处于特征相位上。 (3) 求位移序列b, 使位移序列的初始状态的第一位“0”, 即处于相对相位, 对应于a的第一位“1”。 (4) 将处于特征相位的a序列与处于相位的b序列模2加, 就可得到平衡Gold码序列。# 71( )afx( )agx ( )( )aaaGxgxfx2.3 Gold序列序列平衡平衡Gold序列序列 例2-19：构成r11的平衡Gold码序列产生器，已知m序列的优选对为4005和7335。# 722.3 M序列序列M序列的产生序列的产生 定义定义：nM序列是最长非线性移位寄存器序列最长非线性移位寄存器序列。它是由r级非线性移位寄存器产生的码长为N2r的周期序列。M序列已

35、达到r级移位寄存器所能达到的最大周期，故又称为全长序列全长序列。 产生：产生：n可在可在m序列基础上实现序列基础上实现。因为m序列已包含了2r1 个非0状态，只是缺少一个由r个0组成的全零状态。n由m序列构成M序列时，只要在适当位置插入一个0状态，即可使由码长为2r1的m序列增长为码长为2r的M序列。n显然，0状态应插入在状态1000之后，还必须使0状态的后续为0001状态，即状态的转移应为 1000 0000 0001 # 732.3 M序列序列M序列的产生序列的产生 用m序列产生M序列，需要对状态的前r-1位进行全“0”检测，即 为“000”，加入反馈逻辑项后，特征多项式为 其中： 为原m序列的特征多项式# 7401112310011(,)(,)rrrf a aaa a aaf a aa0011(,)rf a aa1231ra a aa2.3 M序列序列M序列的产生序列的产生 例2-20：对于特征多项式 产生的m序列加长为2r 的M序列。此时，反馈逻辑函数为 设初始状态为(0100)，其状态转移流程为 0100(初始状态）10000000000100110111 1111 01111101 1010 0101 1011 0110 1100 1001 00100100(初始状态)# 754( )1f xxx400123123(,)1f a a a aa a