第九章 方差分析.

1、第九章第九章 方差分析方差分析李金德李金德第一节第一节 方差分析的基本原理和步骤方差分析的基本原理和步骤n思考：思考：n1.如果想要分析如果想要分析A总体和总体和B总体平均数的差异，可以总体平均数的差异，可以用什么方法来检验？用什么方法来检验？n2.如果想要分析如果想要分析A、B、C三个总体平均数的差异，又三个总体平均数的差异，又该用什么方法来证明？该用什么方法来证明？n如果是两个总体，用如果是两个总体，用Z和和t检验。检验。n那是不是三个总体那是不是三个总体A、B、C的比较就是拿的比较就是拿A和和B做比做比较，然后那较，然后那A与与C做比较，然后再拿做比较，然后再拿B和和C做比较？做比较？一

2、、方差分析的基本原理：综合的一、方差分析的基本原理：综合的F检验检验n方差分析主要处理两个以上的平均数之间的差异检查方差分析主要处理两个以上的平均数之间的差异检查问题，需要检验的虚无假设就是问题，需要检验的虚无假设就是“任何一对任何一对平均数平均数”之间是否有显著性差异，因此虚无假设为，样本所属之间是否有显著性差异，因此虚无假设为，样本所属的所有总体的平均数都相等。的所有总体的平均数都相等。n一般把这个假设称为一般把这个假设称为“综合虚无假设综合虚无假设“,表达式为：表达式为：n方差分析最关键的步骤就是变异的分解。方差分析最关键的步骤就是变异的分解。3210:H看一个例子看一个例子9-1：不同

3、噪音强度下解数学题犯错频次：不同噪音强度下解数学题犯错频次噪音（分贝）噪音（分贝）K=3强（强（100（A)中（中（50）（）（B） 无（无（C）1641n=41452125210631352jX67. 6tX图图9-1 数据变异示意图数据变异示意图强噪音组强噪音组 中噪音组中噪音组 无噪音组无噪音组 13jX5jX2jX67. 6tX（一）数据变异文字层面上的分解（一）数据变异文字层面上的分解n从数据可知：不仅组与组之间数据存在不同，而且同从数据可知：不仅组与组之间数据存在不同，而且同一组被试内部也存在着不同。一组被试内部也存在着不同。n1.前者称前者称组间变异，因听了不同的噪音而不同。组间

4、变异，因听了不同的噪音而不同。n2.后者称后者称组内变异，因个案本身的不同而造成的不同。组内变异，因个案本身的不同而造成的不同。n3.而每个数据之间的差异叫做而每个数据之间的差异叫做总变异。总变异。n可以知道：总变异可以知道：总变异=组间变异组间变异+组内变异组内变异n一般而言一般而言:n1.组间变异是我们想要的结果，即实验条件产生了作组间变异是我们想要的结果，即实验条件产生了作用才会令各组之间的数值存在差异。用才会令各组之间的数值存在差异。它越大越好！它越大越好！n2.组内变异不是我们研究的目的，但是需要分解它，组内变异不是我们研究的目的，但是需要分解它，借助它分析实验是否成功。组内变异其实

5、是实验的误借助它分析实验是否成功。组内变异其实是实验的误差。差。它越小越好！它越小越好！n3.问题来了：问题来了：组间差异多大，组内差异多小才好？组间差异多大，组内差异多小才好？（二）数据变异的数学层面的分解（二）数据变异的数学层面的分解n1.数学上如何表示变异？数学上如何表示变异？n总变异的数学意义是每一原始分数（总变异的数学意义是每一原始分数（ ）与总平均数）与总平均数（ ）的离差，记为：）的离差，记为：n组间变异的数学意义是每一组的平均数（组间变异的数学意义是每一组的平均数（ ）与总平）与总平均数的离差，记为：均数的离差，记为：n组内变异的数学意义是每一组内部的原始分数与其组组内变异的数

6、学意义是每一组内部的原始分数与其组平均数（平均数（ ）的离差，记为：）的离差，记为：tXijXjXjXjijXXtjXX)(tijXXn2. 先看某一个数据的情况先看某一个数据的情况 n分析可知，分析可知，任一个数据（任一个数据（ ）与总平均数的差异等）与总平均数的差异等于他与本组平均数（于他与本组平均数（ ）之差加上小组平均数与总）之差加上小组平均数与总平均数（平均数（ ）的差。即）的差。即：n例如：例如：jXtXtjjijtijXXXXXX）（）（代入公式7.66-1313-107.66-10,67.6,13,1041tjXXXijXn3.再看总变异的分解及计算再看总变异的分解及计算n根据

7、变异的可加性，任何一个原始分数都有：根据变异的可加性，任何一个原始分数都有：n对容量为对容量为n的某一小组而言，则有：的某一小组而言，则有：n为了使平方和不为为了使平方和不为0，须做代数的处理，即有：，须做代数的处理，即有：tjjijtijXXXXXXnitjjijnitijXXXXXX112121nitjjijnitijXXXXXXn对公式做整理对公式做整理n利用平均数离差和等于零，上式可以简化为利用平均数离差和等于零，上式可以简化为n对于对于K组数据，把开组相加，可得：组数据，把开组相加，可得： 2121nitjjijnitijXXXXXX21221tjnijijnitijXXnXXXX

8、kjtjkjnijijkjnitijXXnXXXX12112121nSS表示平方和，表示平方和，SST表示总平方和，指实验产生的表示总平方和，指实验产生的总变异；总变异；SSB表示组间平方和，指不同实验处理造成表示组间平方和，指不同实验处理造成的变异；的变异；SSW表示组内平方和，指实验误差（个体表示组内平方和，指实验误差（个体差异）造成的误差。差异）造成的误差。WBTkjtjBkjnijijWkjnitijTSSSSSSXXnSSXXSSXXSS 则令令12112121;n在在SST一定的情况下，一定的情况下，SSB所占比例越大，则所占比例越大，则SSW的的值就越小，值就越小，相应的相应的S

9、SB与与SSW的比值就会越大，的比值就会越大，如果如果足够大到某个临界值的话我们就可以认为总平方和足够大到某个临界值的话我们就可以认为总平方和SST的变异主要是来自的变异主要是来自SSB，即组间变异。，即组间变异。n如果变异主要来自组间，则可以认为实验条件的不同如果变异主要来自组间，则可以认为实验条件的不同确实造成了被试错误的频次的不同。这就是方差分析确实造成了被试错误的频次的不同。这就是方差分析的基本原理。的基本原理。n4.如何检验比值的差异（如何检验比值的差异（F）n方差分析中组内方差和组间方差分别可以表示为：方差分析中组内方差和组间方差分别可以表示为：n MSB=SSB/dfBn MSw

10、=SSw/dfwn其中：其中：dfB为组间自由度为组间自由度=k-1n dfw为组内自由度为组内自由度=k(N-1)n dfT=dfB+dfwn因为主要关心因为主要关心MSB是否显著大于是否显著大于MSW，当当MSB小于小于MSW时，无需检验。因此总是将组间方差放在分子位时，无需检验。因此总是将组间方差放在分子位置，进行置，进行单侧检验单侧检验，即：，即：n F= MSB / MSWnF1, 且落入到临界区域，说明组间方差够大了。且落入到临界区域，说明组间方差够大了。二、方差分析的基本过程与步骤二、方差分析的基本过程与步骤n（一）求平方和（一）求平方和n（二）计算自由度（二）计算自由度n（三）

11、计算均方（方差）（三）计算均方（方差）n（四）计算（四）计算F值值n（五）查（五）查F表进行表进行F检验并做决断检验并做决断n（六）列方差分析表（六）列方差分析表以表以表9-1为例为例n（一）求平方和（一）求平方和n总平方和：总平方和：n组间平方和：组间平方和：n组内平方和：组内平方和：nkXXXXSSkjnitijT22121 nkXnXXXnSSkjtjB2212 nXXSSSSXXSSBTkjnijijW22112表格表格9-1的计算的计算噪音噪音k=3强强中中无无XX2XX2XX21625641611n=41419652524121445252410100636395269620102

12、8182704400642X以表以表9-1为例为例67.282126400816128081643)82052()18102619(2222 nkXXSST67.25812640079243)82052()464440042704(222nkXnXSSB2479281622 nXXSSWn（二）自由度的分解（二）自由度的分解n总自由度为总容量减去总自由度为总容量减去1。本例有。本例有12个数据，所以：个数据，所以：n dfT=12-1=11n组间自由度为组数（组间自由度为组数（k）减）减1，本例有，本例有3个组，所以：个组，所以：n dfB=3-1=2n组内自由度为总容量减组数或用总自由度减去

13、组间自组内自由度为总容量减组数或用总自由度减去组间自由度，即有：由度，即有：dfW=dfT-dfB=11-2=9n（三）计算均方（三）计算均方n均方是平方和除以自由度均方是平方和除以自由度n组间均方：组间均方：MSB=SSB/dfB=258.67 / 2=129.34n组内均分：组内均分：MSw=SSw/dfw=24 / 9=2.67n（四）计算（四）计算F值值nF= MSB / MSW=129.34 / 2.67=48.44n（五）查（五）查F分布临界值做出判断分布临界值做出判断n当当dfB=2, dfW=9，设定，设定p=0.01，n查表查表F0.01（2,9）=8.02，检验值是，检验值

14、是F=48.448.02F0.01（2,9）=8.02n（六）陈列方差分析表（六）陈列方差分析表变异来源变异来源平方和平方和自由度自由度均方均方Fp组间组间258.672129.3448.440.01组内组内2492.67总变异总变异282.6711课堂练习课堂练习ABC355236147n1.计算计算SST，SSB，SSWn2.计算计算MSB，MSWn3.检验检验F三、方差分析的基本假定三、方差分析的基本假定1.总体正态分布总体正态分布2.变异的相互独立性变异的相互独立性3.各实验处理内方差要一致（最重要）各实验处理内方差要一致（最重要）四、方差分析中的方差齐性检验四、方差分析中的方差齐性检

15、验n方差齐性检验就是检验各总体方差是否一致的统计方方差齐性检验就是检验各总体方差是否一致的统计方法。其虚无假设是假设各个总体的方差相等（即无显法。其虚无假设是假设各个总体的方差相等（即无显著差异）或是各个样本方差来自相同的总体，其表达著差异）或是各个样本方差来自相同的总体，其表达方式记为：方式记为：22322210:nHn方差齐性检验的方法方差齐性检验的方法哈特莱（哈特莱（Hartley）检验法）检验法2max2maxmaxSSF1max ndfn对表对表9-1的方差齐性的检验的方差齐性的检验1建立假设建立假设2322210:H存在差异至少有两个总体的方差:1Hn2.计算各组的方差计算各组的方

16、差5144/5269622AS66. 0144/2010222BS66. 0144/81822CSn3.计算计算Fmax的值和决策的值和决策，即方差齐性。接受虚无假设时的值，因为附表没有取查附表因为两组样本相同）当）（）（0,3df4df5 .155( 31, 3k5 . 766. 0505. 0maxmax05. 0maxmaxHFFFndfF第二节第二节 完全随机设计的方差分析完全随机设计的方差分析n简介：简介：n完全随机设计方差分析就是对单因素组间设计的方差完全随机设计方差分析就是对单因素组间设计的方差分析。分析。n在这种实验设计中，只有一个实验变量，这个实验变在这种实验设计中，只有一个

17、实验变量，这个实验变量有多个水平，每个被试只接受一种实验处理。量有多个水平，每个被试只接受一种实验处理。一、各实验处理组样本容量相同一、各实验处理组样本容量相同n各个样本容量相等时意味着对于每一种实验处理它们各个样本容量相等时意味着对于每一种实验处理它们的被重复次数相同，或者说被试相同。的被重复次数相同，或者说被试相同。n如例如例9-1，每一种学习方法均重复了，每一种学习方法均重复了4次。次。例题：例题：9-2n有人研究自尊与对个人表现的反馈类型之间的关系。有人研究自尊与对个人表现的反馈类型之间的关系。让让15名被试参加一项知识测验，每组各名被试参加一项知识测验，每组各5个被试。在个被试。在积

18、极反馈组，不管被试在测验中实际表现如何，都告积极反馈组，不管被试在测验中实际表现如何，都告诉他们水平很高。对消极反馈组的被试，告诉他们表诉他们水平很高。对消极反馈组的被试，告诉他们表现很差。对控制组的被试，不管测验分数如何，都不现很差。对控制组的被试，不管测验分数如何，都不提供任何反馈信息。最后让所有的被试都参加一个自提供任何反馈信息。最后让所有的被试都参加一个自尊测验，测验总分为尊测验，测验总分为10分，得到的分数越高，表示自分，得到的分数越高，表示自尊心越强。实验结果如下表所示，试检验不同反馈类尊心越强。实验结果如下表所示，试检验不同反馈类型与自尊之间的关系如何？型与自尊之间的关系如何？(

19、p273)原始数据与计算的中间结果如下表原始数据与计算的中间结果如下表n1.计算平方和计算平方和 3033.4333.733000.52555533.4367.48100.52567.481555222222 SSSSSSXXSSXXSSXXSSBWWBTTnnknnk或者n2.计算自由度计算自由度n3.计算均方计算均方12)15(3)1(21311151nkkNdfdfdfWBT50.21200.3067.21233.43dfSSMSdfSSMSwwwbbbn5.列出方差分析表列出方差分析表二、各实验处理组样本容量不相同二、各实验处理组样本容量不相同n例例9-3：n用不同强度的光做视觉反应时

20、（毫秒）实验，光照强用不同强度的光做视觉反应时（毫秒）实验，光照强度分别为度分别为1、2、3三个等级，被试随机分成三组，随三个等级，被试随机分成三组，随机分配分别做某一种光强的反应时实验。由于某些原机分配分别做某一种光强的反应时实验。由于某些原因，各组人数没能相同。下表是不同光强被试视反应因，各组人数没能相同。下表是不同光强被试视反应时测试结果。试问从表中结果能否得出不同强度光的时测试结果。试问从表中结果能否得出不同强度光的反应时有显著不同？反应时有显著不同？(p275)n解：建立虚无假设和备择假设解：建立虚无假设和备择假设32113210:HH下表是原始数据及计算的中间结果：下表是原始数据及

21、计算的中间结果：光强等级光强等级1 光强等级光强等级2 光强等级光强等级3 C C X2 X X2 X X2 150 22500 190 36100 200 40000 220 48400 230 52900 240 57600 190 36100 170 28900 260 67600 170 28900 260 67600 180 32400 240 57600 250 62500 190 36100 200 40000 170 28900 280 78400 180 32400 280 78400 190 36100 220 48400 S S 1350 265900 19600 439

22、800 1350 312100 n 7 9 6 X2 1822500 3841600 1822500 n1.计算平方和计算平方和58.99095130375044.42684414.26035761822500938416007182250073.987072224660135019601350101780031210043980026590022224660 nXXXiNX 27.3072773.987072101780042.2684858.990951101780085.387873.98707258.990951222222 NNXXSSnXXSSXnXSStiwibn2.计算自由度计

23、算自由度n3.计算均方计算均方1922121122213dfdfdfdfdfbtwtb08.14131942.2684843.1839285.3878dfSSMSdfSSMSwwwbbbn4.计算计算F值值n5.统计决策统计决策n查查F值表，值表， ，计算得到的，计算得到的F值小于值小于0.05水水平的临界值，平的临界值，p0.05。接受。接受H0，说明三种光强下的，说明三种光强下的视觉反应时没有显著差异。视觉反应时没有显著差异。 37.108.141343.1939MSMSwbF52.3)19,2(05.0F课堂练习课堂练习n在一项记忆实验中，研究者将实验对象分为三组分别在一项记忆实验中，研

24、究者将实验对象分为三组分别用不同的记忆方式记忆英语单词，实验结果如下表所用不同的记忆方式记忆英语单词，实验结果如下表所示。试问三种记忆方法有无显著不同？示。试问三种记忆方法有无显著不同？记忆方法记忆方法N英语单词记忆量英语单词记忆量A4261916B62527251823C523252826解：解：n1.建立虚无假设和备择假设建立虚无假设和备择假设32113210:HHn2.求平方和求平方和nXXSSt226 .2291535485842nXnXSSb2265.7915354513361384832222btwSSSSSS95.14965.7968.229n3.求自由度求自由度n总自由度：总自

25、由度：n组间自由度：组间自由度：n组内自由度：组内自由度： 141151ndft2131 kdfb12315kndfwn4.求均方：求均方：n组间均方：组间均方：n组内均方：组内均方：825.39265.79bbbdfSSMS50.121295.149wwwdfSSMSn5.求求F值并决策值并决策n查表的查表的 ，3.195.10，接受，接受H0，三，三种方法无差异。种方法无差异。19. 350.12825.39wbMSMSF10. 52/05. 012, 2F19.350.12825.39wbMSMSF3比较与决策当处理自由度为2，误差自由度为12时， 10. 52/05. 012, 2F。 因为， 19. 3F10. 52/05. 012, 2Fp， 0.05，差异不显著，接受虚无假设，拒绝研究假设。三、利用样本统计量进行方差分析三、利用样本统计量进行方差分析n有时只有各组的平均数、方差和样本量等特征值，没有时只有各组的平均数、方差和样本量等特征值，没有原始数据。有原始数据。n