数值分析习题课

1、数值计算方法数值计算方法（数值分析）（数值分析）课程复习与习题讲解课程复习与习题讲解课程考察范围n1、引论n2、插值法n3、数值积分n4、解线性方程组直接法n5、解线性方程组迭代法n6、非线性方程组数值解法n7、常微分方程初值问题数值解法（注：每个章节均有重点内容）试题构成n填空题5小题，共计10分。n计算题6小题，每题15分，共计90分。n各章均占15%左右权重。n各章重点方法和公式要求掌握。n（注1：试题总体难度等级简单）n（注2：试题有一定的计算量，希望复习作业熟练掌握本课程重点方法计算过程）n（注3：考试需携带计算器）1、引论n误差与有效数字（重）p6：例1,2n数值运算的误差估计n算

2、法稳定性与病态条件数 p11：例6-8作业作业1、课本（清华版）、课本（清华版）p19，习题，习题3、4.2、知近似值、知近似值x1=1.42，x2=-0.0184，x3=184*10-4的绝对误差限均为的绝对误差限均为0.5*10-2，问他们各有几位有效，问他们各有几位有效数字。数字。（参见书后答案和课件例题！自己对照！）记住：准确到某位记住：准确到某位-误差限是该位的半个单位！误差限是该位的半个单位！n是圆周率真实值的近似值 ，其有 3 位有效数字。n根据误差稳定性原则 ，在计算等 式时应转变成 计算。3.14159265xxy1xxy11历年试题分析2、插值法n线性插值（重）p28：例2

3、n抛物线插值n拉格朗日插值多项式n均差（重）p31：均差表，p32：例题4n均差与牛顿插值（重）n诶尔米特插值n分段线性插值n三次样条插值（重）p44：例：例7与课件中例题的区别与课件中例题的区别复习题n1、已知 ，求f(x)的二次拉格朗日插值多项式，并利用该多项式计算的值。（保留三位有效数字）n2、已知函数的观测数据为如下表： x 123 y0-53 求Lagrange插值多项式为：1.构造拉格朗日多项式构造拉格朗日多项式p(x)逼近逼近f(x)=x3，要求：，要求：（1）节点）节点x为为-1,1，做线性插值。，做线性插值。（2）节点）节点x为为-1,0,1，做抛物插值。，做抛物插值。（3）

4、节点）节点x为为-1,0,1,2，做三次插值。，做三次插值。历年考题( 1)2,(1)1,(2)1fff复习题2.给定函数f(x)=x3-4x，试建立关于xi=i+1（i=1.5）的差商表,并列出关于x0,x1,x2,x3的插值多项式p(x)。历年考题n1、设，取x0=4,x1=9,x2=6.25,则差商 -0.0080808 。（结果保留5位有效数字）n2、给定如下数据：n 试列出三阶差商表，求出f(x)的三次牛顿插值多项式，并利用该多项式计算f(0)的值。（保留三位有效数字） 12340563iixf x112123,10255361243951kkkkkkkkkkkxfxf xxf xx

5、xf xxxx 332351 +21 (2)1234+303NxxxxxxxxxN 复习题作业题9、构造适合系列数据的三次样条S(x)。 x -1 0 1 3 y -1 1 3 5 y 6课件例4 已知的函数值如下： x 1 2 4 5 f (x) 1 3 4 2在区间1,5上求三次样条插值函数S(x),使它满足边界条件 0)5(, 0) 1 ( SS3、数值积分n数值积分基本思想n代数精度（重）p100：例1n插值型求积公式n牛顿-科特斯公式（重：辛普森公式。p104）n复合求积公式（重：复合辛普森。p108：例3）n龙贝格求积公式（重：p110，例5-p112，例6）n高斯求积公式（重：p

6、120，例9）历年考题n1、求积公式 的代数精度为 3 次。n2、使用梯形公式 计算积分时截断误差为 n 0.6796 。（结果保留4位有效数字）n3、所有牛顿柯特斯求积公式的系数和均为1。 （）11 -) 1 ()0(4)-1(31)(fffdxxf211dxex 例例 依次用依次用n=8n=8的复合梯形公式、的复合梯形公式、n=4n=4的复合的复合 辛卜生公式计算定积分辛卜生公式计算定积分 10dsinxxxI解解: :首先计算出所需各节点的函数值首先计算出所需各节点的函数值,n=8,n=8时，时， 125. 081h由复合梯形公式可得如下计算公式：由复合梯形公式可得如下计算公式： 945

7、6909. 0) 1 ()875. 0(2)75. 0(2)625. 0(2) 5 . 0(2)375. 0(2)25. 0(2)125. 0(2) 0(1618fffffffffT由复合辛卜生公式可得如下计算公式由复合辛卜生公式可得如下计算公式9460832.0)875.0()625.0()375.0()125.0(4) )75.0()5 .0()25.0(2)1 ()0(2414fffffffffS（积分准确值（积分准确值I=0.9460831I=0.9460831） 这两种方法都需要提供这两种方法都需要提供9 9个点上的函数值，计个点上的函数值，计算量基本相同，然而精度却差别较大，同积分

8、的准算量基本相同，然而精度却差别较大，同积分的准确值（是指每一位数字都是有效数字的积分值）比确值（是指每一位数字都是有效数字的积分值）比较，复合梯形法只有两位有效数字较，复合梯形法只有两位有效数字(T(T8 8=0.9456909),=0.9456909),而复合辛卜生法却有六位有效数而复合辛卜生法却有六位有效数字。字。龙贝格求积计算步骤 解决用梯形公式计算积分近似值解决用梯形公式计算积分近似值 按变步长梯形公式计算积分近似值按变步长梯形公式计算积分近似值 将区间逐次分半将区间逐次分半, ,令区间长度令区间长度 )()(21bfafabT), 2 , 1 , 0(2kabhk102)(2221

9、nkknnxfhTT计算计算)2(kn 按加速公式求加速值按加速公式求加速值 322nnnnTTTS1522nnnnSSSC6322nnnnCCCR梯形加速公式：梯形加速公式： 辛卜生加速公式：辛卜生加速公式： 龙贝格求积公式：龙贝格求积公式： 精度控制；直到相邻两次积分值精度控制；直到相邻两次积分值 nnRR2（其中（其中为允许的误差限）则终止计算并取为允许的误差限）则终止计算并取R Rn n请参见请参见P112P112教材说明，加深理解！教材说明，加深理解！T1T2S1T4S2C1T8S4C2R1T16S8C4R2例例 用龙贝格算法计算定积分用龙贝格算法计算定积分 要求相邻两次龙贝格值的偏

10、差不超过要求相邻两次龙贝格值的偏差不超过解解: :由题意由题意 102d14xxI510214)(, 1, 0 xxfba3)24(21) 1 ()0(211ffT1 . 351621321)(21212112fTT13118. 3)56. 2764. 3(411 . 321)()(4121434124ffTT13899. 3)()()()(81218785838148ffffTT14094. 3)()()()()()()()(16121161516131611169167165163161816ffffffffTT1333.33134121TTS14157. 33134242TTS14159

11、.33134484TTS14159.331348168TTS14212. 31511516121SSC14159. 31511516242SSC14159. 31511516484SSC14158. 36316364121CCR14159. 36316364242CCR由于由于 ，于是有，于是有 00001. 012RR14159. 3d14102xxI4、解线性方程组直接法n高斯消去法（重：p143，例2）n列主消元法（重：p148，例4）nLU分解n平方根法n追赶法n向量和矩阵范数（重）n矩阵的条件数（重）历年考题n1、 给定下述线性方程组nnn用列主元高斯消去法求解该方程组（保留3位有效数字）。（10分）n2、123246349251134xxx n3、给定下述线性方程组nn试分别用（1）选列主元高斯消去法 （保留3位有效数字）（7分）n （2）采用Doolittle（杜利特尔）法进行LU分解，（保留3位有效数字）（7分）n求解该方程组。历年考题123223347712457xxx5、解线性方程组迭代法n迭代法思想n迭代法收敛性（迭代矩阵谱范数r)xt=(a+b)/2;k=k+1;if fx(a)*fx(xt)r)x0=x1;x1=fx(x0);