北京科技大学线性代数课件ch33

1、线性代数3-313.1 3.1 向量空间的概念向量空间的概念3.2 3.2 向量的线性关系向量的线性关系3.3 3.3 向量组的秩向量组的秩3.5 3.5 矩阵的秩矩阵的秩线性代数3-32(1)向量与向量组的关系：向量与向量组的关系：复习复习12:,mA ，nR 1122mmkkk ()span A (2)两个向量组的关系：两个向量组的关系：12:,;mA 12:,sB 等价等价 1212span,=span,ms (3)向量组的线性相关：向量组的线性相关：12:, ,mA 若存在一组若存在一组不全为零不全为零的数的数12,mk kk使得使得1122. 0mmkkk 线性无关线性无关:三种向量

2、的线性关系：三种向量的线性关系：11220mmkkk 120.mkkk 线性代数3-33定理定理3.3向量向量 b 可由可由A: 12,m 线性表示线性表示1122mmxxxb 有解有解.方程组方程组复习复习AB 行行初初等等变变换换定理定理3.5A与与B的的行行向量组等价向量组等价定理定理3.712,s 线性相关线性相关1 1220ssxxx 有有非零解非零解. 线性无关线性无关只有只有零解零解. 定理定理3.9 向量组向量组线性无关线性无关, 添加分量添加分量所得向量组所得向量组向量组向量组线性相关线性相关, 减少分量减少分量所得向量组所得向量组定理定理3.8 部分组部分组 整个组整个组1

3、2:,mA 定理定理3.10线性线性无关无关, 线性线性相关相关, 则向量则向量 必可由必可由 A线性表示线性表示, 且且表示法惟一表示法惟一. ,:21mB相关相关无关无关相关相关无关无关线性无关线性无关线性相关线性相关线性代数3-34若向量组若向量组(1) 线性无关线性无关, 则则两个两个等价线性无关等价线性无关向量组向量组定理定理3.11复习复习推论推论1 1.rs 推论推论2 2推论推论3 3任意任意 n+1 个个 n 维向量均维向量均12,),(1r 12,),(2s (1)可由可由(2)线性表示线性表示,若若r s , 则向量组则向量组(1)线性相关线性相关.所含向量的所含向量的个

4、数相同个数相同. 线性相关线性相关. 线性代数3-35向量组向量组 112111,naaa 122222,naaa 12,sssnsaaa 111212122212ssnnnsaaaaaaAaaa 0,A 当当0,A 当当A 行行变变换换(1) 当当 n s, 非零行数非零行数r(A)= s, 线性无关线性无关.非零行数非零行数r(A) s , 则则(1)线性相关线性相关.(1)可由可由(2)线性表示线性表示,线性代数3-319由极大无关组的定义可得以下由极大无关组的定义可得以下三个结论三个结论:(2) 012:,rA (1) 向量组向量组 A 与它的极大无关组与它的极大无关组 A0 等价等价

5、.是向量组是向量组 A 的极大无关组的极大无关组,则则 A 中任意中任意 r+1 个向量线性相关个向量线性相关. (3) A 组的极大无关组不惟一组的极大无关组不惟一, 但但 A 组的所有极大组的所有极大无关组是无关组是等价等价的的.若若 A1 是是 A 的一个极大无关组的一个极大无关组, 则则 A 与与 A1 等价等价;A2 也是也是 A 的一个极大无关组的一个极大无关组, 则则 A 与与 A2 等价等价;故故 A1 与与 A2 等价等价.证明证明:线性代数3-320若向量组若向量组(1) 线性无关线性无关, 则则两个两个等价线性无关等价线性无关向量组所含向量的向量组所含向量的个数相同个数相

6、同. 定理定理3.11小结小结推论推论1 1.rs 推论推论2 2推论推论3 3任意任意 n+1 个个 n 维向量均维向量均线性相关线性相关. 12,),(1r 12,),(2s (1)可由可由(2)线性表示线性表示,若若r s , 则向量组则向量组(1)线性相关线性相关.(2) 012:,rA (1) 向量组向量组 A 与它的极大无关组与它的极大无关组 A0 等价等价.是向量组是向量组 A 的极大无关组的极大无关组,则则 A 中任意中任意 r+1 个向量线性相关个向量线性相关. (3) A 组的极大无关组不惟一组的极大无关组不惟一, 但所有极大无关组但所有极大无关组等价等价极大无关组的极大无

7、关组的若干结论若干结论:线性代数3-321第三章第三章 向量空间向量空间n向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组n向量组的秩向量组的秩n向量空间的基向量空间的基 维数维数 坐标坐标n基变换与坐标变换基变换与坐标变换n欧氏空间欧氏空间3.3 3.3 向量组的秩向量组的秩线性代数3-322向量组的极大线性无关组不惟一向量组的极大线性无关组不惟一, 但有如下定理但有如下定理: 定理定理3.12向量组的极大线性无关组所含向量的向量组的极大线性无关组所含向量的个数相同个数相同.证明证明根据定理根据定理3.11推论推论2可知可知: s = t.即两个极大无关组所含向量的个数相同即两个极大无关组所含向

8、量的个数相同.设向量组设向量组12I :,s 12II :,t 都是向量组都是向量组 A 的极大无关组的极大无关组,由于一个向量组的任何由于一个向量组的任何两个极大无关组等价两个极大无关组等价, 故向量组故向量组I与与II等价等价.2.2.向量组的秩向量组的秩推论推论2 2 两个两个等价线性无关等价线性无关向量向量组所含向量的组所含向量的个数相同个数相同. 线性代数3-323小结小结(2) 012:,rA (1) 向量组向量组 A 与它的极大无关组与它的极大无关组 A0 等价等价.是向量组是向量组 A 的极大无关组的极大无关组,则则 A 中任意中任意 r+1 个向量线性相关个向量线性相关. (

9、3) A 组的极大无关组不惟一组的极大无关组不惟一, 但但 所有极大无关组所有极大无关组等价等价极大无关组的极大无关组的若干结论若干结论:(4) 向量组的极大无关组所含向量的向量组的极大无关组所含向量的个数相同个数相同.线性代数3-324称为称为向量组的秩向量组的秩向量组极大无关组所含向量的个数向量组极大无关组所含向量的个数定义定义3.17如如: : 全体全体 n 维向量构成的向量组维向量构成的向量组 的秩为的秩为 n.nR 121,0,0,0,1,0,0,0,1TTTn ，Rn的的n维单位坐标向量组：维单位坐标向量组： 是是Rn的极大无关向量组，所以的极大无关向量组，所以Rn的秩是的秩是n全

10、体全体 3 维向量构成的向量组维向量构成的向量组 的秩为的秩为 3.3R线性代数3-325(1)向量与向量组的关系：向量与向量组的关系：小结小结12:,mA ，nR 1122mmkkk ()span A (2)两个向量组的关系：两个向量组的关系：12:,;mA 12:,sB 等价等价 1212span,=span,ms (3)向量组的线性相关：向量组的线性相关：12:, ,mA 若存在一组若存在一组不全为零不全为零的数的数12,mk kk使得使得1122. 0mmkkk 线性无关线性无关:三种向量的线性关系：三种向量的线性关系：11220mmkkk 120.mkkk 向量组的极大无关组：向量组

11、的极大无关组：iA 线性无关线性无关可由可由A0线性表示线性表示0A1212:,rrrmA 0span=spanAA向量组的秩：向量组的秩： 向量组极大无关组所含向量的个数向量组极大无关组所含向量的个数线性代数3-326称为称为向量组的秩向量组的秩向量组的极大无关组所含的向量的个数向量组的极大无关组所含的向量的个数定义定义3.17向量组线性无关向量组线性无关 其其秩秩等于向量组所含等于向量组所含定理定理3.13向量向量的的个数个数.证明证明设向量组设向量组12,s 线性无关线性无关, 则该向量组的极大无关组就是其本身则该向量组的极大无关组就是其本身, 故向量组的秩为故向量组的秩为s, 即为向量

12、个数即为向量个数. 若向量组若向量组 12,s 的秩等于向量的个数的秩等于向量的个数s, 则该向量组的极大无关组由则该向量组的极大无关组由 s 个向量构成个向量构成, 故为其本身故为其本身, 从而向量组从而向量组 12,s 线性无关线性无关.线性代数3-327称为称为向量组的秩向量组的秩向量组的极大无关组所含的向量的个数向量组的极大无关组所含的向量的个数定义定义3.17向量组线性相关向量组线性相关 其其秩秩小于小于向量组所含向量组所含推论推论向量的个数向量的个数.向量组线性无关向量组线性无关 其其秩秩等于向量组所含等于向量组所含定理定理3.13向量的个数向量的个数.线性代数3-328定理定理3

13、.3向量向量 b 可由可由A: 12,m 线性表示线性表示1122mmxxxb 有解有解.方程组方程组定理小结定理小结AB 行行初初等等变变换换定理定理3.5A与与B的的行行向量组等价向量组等价定理定理3.712,s 线性相关线性相关1 1220ssxxx 有有非零解非零解. 线性无关线性无关只有只有零解零解. 定理定理3.8 部分组相关部分组相关(无关无关) 整体组相关整体组相关(无关无关)定理定理3.9 向量组线性向量组线性无关无关, 添加分量添加分量所得向量组仍线性所得向量组仍线性无关无关,向量组线性向量组线性相关相关, 减少分量减少分量所得向量组仍线性所得向量组仍线性相关相关.12:,

14、mA 定理定理3.10线性线性无关无关, 线性线性相关相关, 则向量则向量 必可由必可由 A线性表示线性表示, 且且表示法惟一表示法惟一. ,:21mB定理定理3.133.1312,s 线性无关线性无关12(,)srs 线性相关线性相关12(,)srs 线性代数3-329例例1 1 若向量组若向量组 A 的秩为的秩为 r, 12,r 是向量组是向量组 A 中中 r 个个线性无关线性无关的向量的向量, 则则 12,r 的极大的极大线性无关组线性无关组 .是向量组是向量组 A证明证明 由于向量组由于向量组 A 的秩为的秩为 r,故对向量组故对向量组 A 中任意向量中任意向量 , 12,r 必线性相

15、关必线性相关.r+1 个向量个向量又又12,r 线性无关线性无关,从而从而 必可由必可由12,r 线性表示线性表示.故故12,r 是向量组是向量组 A 的极大无关组的极大无关组. 结论：结论： 若向量组的秩是若向量组的秩是 r , 则任意则任意 r 个线性无关的个线性无关的向量都是向量组的极大无关组。向量都是向量组的极大无关组。线性代数3-330若向量组若向量组(1) 线性无关线性无关, 则则两个两个等价线性无关等价线性无关向量组所含向量的向量组所含向量的个数相同个数相同. 定理定理3.11小结小结推论推论1 1.rs 推论推论2 2推论推论3 3任意任意 n+1 个个 n 维向量均维向量均线

16、性相关线性相关. 12,),(1r 12,),(2s (1)可由可由(2)线性表示线性表示,若若r s , 则向量组则向量组(1)线性相关线性相关.(2) (1) 向量组向量组 A 与它的极大无关组与它的极大无关组 A0 等价等价.则则 任意任意 r+1 个向量线性相关个向量线性相关. (3) A 组的极大无关组不惟一组的极大无关组不惟一, 但所有极大无关组但所有极大无关组等价等价极大无关组的极大无关组的若干结论若干结论:(4) 向量组的极大无关组所含向量的向量组的极大无关组所含向量的个数相同个数相同.(5) 若向量组的秩是若向量组的秩是 r , 则任意则任意 r 个线性无关的个线性无关的向量

17、都是极大无向量都是极大无关组。关组。若向量组的秩是若向量组的秩是 r , 线性代数3-331定理定理3.14 若向量组若向量组 A 可由向量组可由向量组 B 线性表示线性表示, 向量组向量组 A 的秩为的秩为 r, B 的秩为的秩为 s , 则则.rs 设向量组设向量组 A 的极大无关组为的极大无关组为 证明证明12,r 向量组向量组 B 的极大无关组为的极大无关组为 12,s A B12,r 12,s 从而从而12,r 可由可由12,s 线性表示线性表示.又又12,r 线性无关线性无关,由定理由定理3.11推论推论1可知可知:rs 推论推论 等价的向量组有相同的秩等价的向量组有相同的秩.(1

18、) 线线性无关性无关, 则则推论推论1 112,),(1r 12,),(2s (1)可由可由(2)线性表示线性表示,线性代数3-332若向量组若向量组(1) 线性无关线性无关, 则则两个两个等价线性无关等价线性无关向量组所含向量的向量组所含向量的个数相同个数相同. 定理定理3.11小结小结推论推论1 1.rs 推论推论2 2推论推论3 3任意任意 n+1 个个 n 维向量均维向量均线性相关线性相关. 12,),(1r 12,),(2s (1)可由可由(2)线性表示线性表示,若若r s , 则向量组则向量组(1)线性相关线性相关.定理定理3.14 若向量组若向量组 A 可由向量组可由向量组 B

19、线性表示线性表示, 则则( )( )Arr B 推论推论等价的向量组有相同的秩等价的向量组有相同的秩.线性代数3-333若两个向量组有相同的秩，若两个向量组有相同的秩，例如：例如： 向量组向量组(I) 110 ,0 201 ,0 向量组向量组(II) 101 ,0 200 ,1 向量组向量组(I)和和(II)的秩均为的秩均为2, 但这两个向量组不等价但这两个向量组不等价.则它们则它们不一定等价不一定等价.两个向量组的两个向量组的秩相等秩相等,它们满足什么条件它们满足什么条件等价等价?注释：注释：定理定理 若向量组若向量组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示线性表示, 秩相等秩相等, 则向量

20、组则向量组 A 与与 B 等价等价.线性代数3-334第三章第三章 向量空间向量空间n向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组n向量组的秩向量组的秩n向量空间的基向量空间的基 维数维数 坐标坐标n基变换与坐标变换基变换与坐标变换n欧氏空间欧氏空间3.33.3向量组的秩向量组的秩线性代数3-3353.3.向量空间的基向量空间的基 维数维数 坐标坐标向量组向量组极大无关组极大无关组秩秩向量空间向量空间基基维数维数定义定义3.183.18若若 V 中向量组中向量组 12,m 满足满足 ：(1)12,m 线性无关线性无关;(2) V 中任意向量均可由中任意向量均可由12,m 线性表示线性表示.则称

21、则称12,m 为为V 的的基基, 基中所含向基中所含向量的个数量的个数记为记为dim (V ) = m.m 称为称为V 的的维数维数,设设 V 为实数域上的向量空间为实数域上的向量空间,线性代数3-3为为 在基在基 下的下的坐标坐标 .363.3.向量空间的基向量空间的基 维数维数 坐标坐标定义定义3.183.18若若 V 中向量组中向量组 12,m 满足满足 ：(1)12,m 线性无关线性无关;(2) V 中任意向量均可由中任意向量均可由12,m 线性表示线性表示.则称则称12,m 为为V 的的基基,设设 V 为实数域上的向量空间为实数域上的向量空间,对对 V 中任意向量中任意向量 , 存在

22、一组数存在一组数 使得使得12,mk kk1122,mmkkk称称12,mk kk12,m 记为记为dim (V ) = m.m 称为称为V 的的维数维数,基中所含向基中所含向量的个数量的个数线性代数3-3称称 为为3维维向量空间向量空间.37123(1,0,0) ,(0,1,0) ,(0,0,1)TTT123, 求向量空间求向量空间 的维数的维数3R123,a a a就是就是 在基在基 下的坐标下的坐标.123, 是向量空间是向量空间 R3 的基的基,维数维数是是3.(任意任意3个线性无关的个线性无关的3维向量组也是维向量组也是 R3 的基的基)例例23R对任意对任意3123(,),Ta a

23、 aR 有有112233,aaa解：解：线性无关线性无关线性代数3-338nR12,n 对任意对任意12(,),Tnna aaR 有有1122,nnaaa12,na aa就是就是 在基在基 下的下的坐标坐标.12,n n维向量的全体维向量的全体是一个向量空间是一个向量空间,故故 称为称为 n 维维向量空间向量空间. nR是向量空间是向量空间 的基的基,nR数数n 称为向量空间称为向量空间 的的维数维数.nR(任意任意 n 个线性无关的个线性无关的n 维向量组都是维向量组都是 的基的基)nR向量空间中基的作用：向量空间中基的作用：同理：同理：线性代数3-339由向量组由向量组12,m 所生成的向

24、量空间所生成的向量空间112212,mmmVR 12,m 12,m 的的秩秩 r 就是就是V 的的维数维数.的极大无关组的极大无关组 就是就是V 的的一个基一个基.12,r 则则V 可以表示为可以表示为112212,rrrkkkk kkR求：求：向量空间向量空间V 的基与维数的基与维数解：解：例例31122,rrrm 12122121rrrrmrmrV 112122,rrrrmVspanspan 线性代数3-340(1) 只含只含零向量零向量的向量空间称为的向量空间称为 0 维维向量空间向量空间,注释：注释：(2) 若把向量空间若把向量空间 V 看作看作向量组向量组,(3) 向量空间向量空间V

25、 的的基不惟一基不惟一, 但所有的基都等价但所有的基都等价.因此它没有基因此它没有基那末那末V 的的基基 就是该向就是该向量组的量组的极大无关组极大无关组, V 的的维数维数就是该向量组的就是该向量组的秩秩.(4) 注意区分注意区分向量空间向量空间V 的维数的维数与与V 中中向量的维数向量的维数.线性代数3-341例例4 4 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组 0377023520432143214321xxxxxxxxxxxx解解11111 02 73 725320 15 74 777310 000A , 2)( Ar通解：通解：x3x4x1x2自由变量个数自由变量个数 = n - r(A

26、) = 211221231422 73 75 74 7xccxccxcxc 1342342 73 75 74 7xxxxxx 1212342 73 75 74 71001xxccxx 线性代数3-342例例4 4 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组 0377023520432143214321xxxxxxxxxxxx解解111125327731A , 2)( Ar通解：通解：自由变量个数自由变量个数 = n - r(A) = 21234(,)0TSxx xxxAx解空间：解空间：2 1 解空间解空间S 的基为：的基为：1 2 解空间解空间S 的维数为：的维数为： 2解空间解空间S 中解向量维

27、数为：中解向量维数为：4自由变量个数自由变量个数1212342 73 75 74 71001xxccxx 线性代数3-343(1) 只含只含零向量零向量的向量空间称为的向量空间称为 0 维维向量空间向量空间,注释：注释：(2) 若把向量空间若把向量空间 V 看作看作向量组向量组,因此它没有基因此它没有基那末那末V 的的基基 就是该向就是该向量组的量组的极大无关组极大无关组, V 的的维数维数就是该向量组的就是该向量组的秩秩.(4) 注意区分注意区分向量空间向量空间V 的维数的维数与与V 中中向量的维数向量的维数.(5) 若若 dimV = r, 则则V 中任意中任意 r+1 个向量均线性相关，

28、个向量均线性相关，(6) 若若 W 为为V 的子空间的子空间, 则有则有dimdim.WV 任意任意 r 个个线性无关的线性无关的向量都是一组基向量都是一组基.(3) 向量空间向量空间V 的的基不惟一基不惟一, 但所有的基都等价但所有的基都等价.线性代数3-34412(1,0,0) ,(0,1,0) ,TT例如：例如：12span, 则则 xoy 是是 R3 的的子空间子空间, 12, 是是xoy 的一个基的一个基,dim (xoy) = 2xyzxoy (6) 若若 W 为为V 的子空间的子空间, 则有则有dimdim.WV s , 则向量组则向量组(1)线性相关线性相关.所含向量的所含向量

29、的个数相同个数相同. 线性相关线性相关. (2) (1) 向量组向量组 A 与它的极大无关组与它的极大无关组 A0(3) A 组的极大无关组不惟一组的极大无关组不惟一, 但但 所有极大无关组所有极大无关组极大无关组的极大无关组的若干结论若干结论: 等价等价.线性相关线性相关. 等价等价.(4) 向量组的极大无关组所含向量的个数向量组的极大无关组所含向量的个数(5) 若向量组的秩是若向量组的秩是 r , 则任意则任意 r 个线性无关的个线性无关的向量都是向量都是 相同相同. 极大无关组极大无关组.若向量组的秩是若向量组的秩是 r,则则 A 中任意中任意 r+1 个向量个向量线性代数3-350小结

30、小结定理定理3.14 若向量组若向量组 A 可由向量组可由向量组 B 线性表示线性表示, 则则( )( )Arr B 推论推论等价的向量组有相同等价的向量组有相同的秩的秩.线性代数3-3找找V中的一个基：中的一个基： 则则513.3 3.3 向量组的秩向量组的秩3.1 3.1 向量空间的概念：向量空间的概念：向量空间向量空间V(对加法，数乘封闭对加法，数乘封闭)1)向量空间向量空间V中向量的表示方法：中向量的表示方法：12,r V 1212 rraaa 基基 维数维数 坐标坐标 基基 不唯一，等价不唯一，等价 1212 ,rrP 基变换公式：基变换公式： 12121,rrTTy yyx xPx

31、 坐标变换公式：坐标变换公式：2)同一向量在不同基下坐标的关系：同一向量在不同基下坐标的关系：小结小结向量空间：向量空间：线性代数3-352第三章第三章 向量空间向量空间n向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组n向量组的秩向量组的秩n向量空间的基向量空间的基 维数维数 坐标坐标n基变换与坐标变换基变换与坐标变换n欧氏空间欧氏空间3.33.3向量组的秩向量组的秩线性代数3-353123 ,例例512(1,0,0) ,(0,1,0) ,TT(1,5, 2) ,T 123, 15( 2) 123(1,1,0) ,(1,0,1) ,(0,1,1)TTT123(,) 2 123, 123, 3(0

32、,0,1)T 123, 又设又设110101011 是是 R3 的基的基, 且且所以所以 在基在基下的坐标为下的坐标为1,5, 2. 线性无关线性无关,也是也是 R3 的基的基.下面求下面求 在基在基下的坐标下的坐标123,.,x xx 问题的提出问题的提出线性代数3-354112233 xxx1234,3,1xxx 123(1,1,0) ,(1,0,1) ,(0,1,1)TTT(1,5, 2) ,T 4, 3,1. 问题：问题：同一向量在不同基下坐标不同同一向量在不同基下坐标不同. 它们是什么关系？它们是什么关系？123, 下面求下面求 在基在基下的坐标下的坐标123,.,x xx123,

33、故故 在基在基下的坐标为下的坐标为 251110101011321xxx1,5, 2. 在基在基下的坐标为下的坐标为123, 112323 ()xxx 413512110101011 P线性代数3-355123(1,1,0) ,(1,0,1) ,(0,1,1)TTT(1,5, 2) ,T 4, 3,1. 问题：问题：同一向量在不同基下坐标不同同一向量在不同基下坐标不同. 它们是什么关系？它们是什么关系？123, 在基在基下的坐标为下的坐标为1,5, 2. 在基在基下的坐标为下的坐标为123, 123123110(,)(,) 101011 1234 (,)31 123 43123110(,) 1

34、01011431 123152(,) 123 52413512110101011 基变换公式基变换公式 过渡矩阵过渡矩阵PP4135121 1 01 0 10 1 1 线性代数3-356同一个同一个向量在向量在不同不同的基下的坐标有什么关系的基下的坐标有什么关系都可以作为都可以作为V 的一个基的一个基在在 n 维向量空间维向量空间V 中，中，问题：问题：对于对于不同不同的基的基, 同一个同一个向量的向量的坐标是坐标是不同不同的的任意任意n 个线性无关的向量个线性无关的向量即随着即随着基基的的改变改变,向量的向量的坐标坐标如何改变如何改变4.4.基变换与坐标变换基变换与坐标变换线性代数3-3 1

35、1121211,22,112222,nnnnnnnnppppppppp 设设 及及 是向量空间是向量空间5712,n PnR的两个基的两个基, 且有且有 1212 ,nnP 基变换公式基变换公式 的的过渡矩阵过渡矩阵.n ,21矩阵矩阵P 称为从基称为从基到基到基n ,21(1)(1)基变换基变换12,n 线性代数3-358当然也存在当然也存在 n 阶方阵阶方阵 Q, 使得使得 1112121122211222,nnnnnnnnqqqqqqqqq 的的过渡矩阵过渡矩阵.n ,21n ,21矩阵矩阵Q 称为从基称为从基到基到基Q同理：同理： 12,n 12,nP 12,nQP 1212 ,nnQ

36、 基变换公式基变换公式 设设 及及 是向量空间是向量空间 的两个基的两个基,12,n nR12,n 线性代数3-359 12,n 证明：证明：是可逆矩阵是可逆矩阵.是向量空间是向量空间nR的一个基的一个基,12,n 因为因为所以所以 12,0n 所以所以 12,n 是可逆矩阵是可逆矩阵.所以所以12,n 线性无关线性无关设设 及及 是向量空间是向量空间 的两个基的两个基,12,n nR12,n 线性代数3-360当然也存在当然也存在 n 阶方阵阶方阵 Q, 使得使得 1112121122211222,nnnnnnnnqqqqqqqqq 的的过渡矩阵过渡矩阵.n ,21n ,21矩阵矩阵Q 称为

37、从基称为从基到基到基Q1212,nn 及及设设是向量空间是向量空间nR的两个基的两个基,同理：同理： 12,n 12,nP 12,nQP nQPE 即过渡矩阵即过渡矩阵P 、Q是是可逆的可逆的 1212 ,nnP 1212 ,nnQ 基变换公式基变换公式 线性代数3-361若两个基满足若两个基满足 1212,nnP 则有则有坐标变换公式坐标变换公式:1122,nnPxxxyyy 21121.nnPxxyxyy 或或12 , ,nx xx12,nyyy12,n 12,n 设设 中的向量中的向量 , 下的坐标为下的坐标为在基在基下的坐标为下的坐标为在基在基nR线性代数3-32211 .nnPyyy

38、xxx 62证明：证明： 12,n 1212.,nnyyyP 1212,nnxxx 12,n 12nxxx12nyyy由于在确定的基下由于在确定的基下, 坐标是惟一的，所以坐标是惟一的，所以12 , ,nx xx12,nyyy12,n 12,n 下的坐标为下的坐标为在基在基下的坐标为下的坐标为在基在基 1212,nnP 线性代数3-363若两个基满足若两个基满足 1212,nnP 则有则有坐标变换公式坐标变换公式:1122,nnPxxxyyy 21121.nnPxxyxyy 或或12 , ,nx xx12,nyyy12,n 12,n 设设 中的向量中的向量 , 下的坐标为下的坐标为在基在基下的

39、坐标为下的坐标为在基在基nR线性代数3-364例例6 6 在在 R4 中取两个基中取两个基1(1,2, 1,0) ,T 2(1, 1,1,1) ,T 3( 1,2,1,1) ,T 4( 1, 1,0,1)T 及及1(2,1,0,1) ,T 2(0,1,2,2) ,T 3( 2,1,1,2) ,T 4(1,3,1,2) ,T 求求坐标变换公式坐标变换公式.解解1234(,)P 1234 (,) A 1210 1111 1211 1101 B 210101222112 1312PA B1 PB A11 BAP 线性代数3-365( )B A 210101222112 13121210 1111 1

40、211 1101 初等行变换初等行变换1 0 0 0 011 10 1 0 01 1000 0 1 0 00010 0 0 1 11 11 1B A 1234yyyy1234xxxx0111110000011111 故坐标变换公式为故坐标变换公式为线性代数3-366第三章第三章 向量空间向量空间n向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组n向量组的秩向量组的秩n向量空间的基向量空间的基 维数维数 坐标坐标n基变换与坐标变换基变换与坐标变换n欧氏空间欧氏空间3.3 3.3 向量组的秩向量组的秩线性代数3-367第三章第三章 向量空间向量空间n向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组n向量组

41、的秩向量组的秩n向量空间的基向量空间的基 维数维数 坐标坐标n基变换与坐标变换基变换与坐标变换n欧氏空间欧氏空间3.3 3.3 向量组的秩向量组的秩线性代数3-368 向量空间中基的作用是用基中有限个向量的线性向量空间中基的作用是用基中有限个向量的线性组合表示向量空间中任意一个向量。而向量空间的组合表示向量空间中任意一个向量。而向量空间的基是不唯一，基与基是等价关系。基是不唯一，基与基是等价关系。问题：问题：什么样的基用起来最方便什么样的基用起来最方便问题的提出：问题的提出：线性代数3-369例例512(1,0,0) ,(0,1,0) ,TT(1,5, 2) ,T 123(1,1,0) ,(1

42、,0,1) ,(0,1,1)TTT123(,) 2 123, 3(0,0,1)T 110101011 是是 R3 的基的基, 线性无关线性无关,也是也是 R3 的基的基.1,5, 2. 在基在基下的坐标为下的坐标为123, 4, 3,1. 123, 在基在基下的坐标为下的坐标为 112233 xxx1234,3,1xxx 251110101011321xxx结论：结论：123, 比比123, 用起来方便。用起来方便。123 43123 52线性代数3-370例例512(1,0,0) ,(0,1,0) ,TT(1,5, 2) ,T 123(1,1,0) ,(1,0,1) ,(0,1,1)TTT1

43、23(,) 2 123, 3(0,0,1)T 110101011 是是 R3 的基的基, 线性无关线性无关,也是也是 R3 的基的基.1,5, 2. 在基在基下的坐标为下的坐标为123, 4, 3,1. 123, 在基在基下的坐标为下的坐标为 标准正交基标准正交基 123 43123 521 2 03 3Ro1 2 3 3R123, 互相垂直互相垂直单位向量单位向量 123, 线性无关线性无关不共面不共面线性代数3-371 向量空间中基的作用是用基中有限个向量的线性向量空间中基的作用是用基中有限个向量的线性组合表示向量空间中任意一个向量。而向量空间的组合表示向量空间中任意一个向量。而向量空间的

44、基是不唯一，基与基是等价关系。基是不唯一，基与基是等价关系。问题：问题：什么样的基用起来最方便什么样的基用起来最方便问题的提出：问题的提出：待解决的问题：待解决的问题： 如何找到一个向量空间的标准正交基？如何找到一个向量空间的标准正交基？结论：结论：标准正交基用起来最方便。标准正交基用起来最方便。线性代数3-372第三章第三章 向量空间向量空间5.5.欧氏空间欧氏空间线性代数3-373几何空间几何空间R3： axxxbyyy123123,， ， ， ， ，点积点积：a b332211yxyxyx 长度长度:夹角夹角：| aa a222123xxx cos | |a bab abO 5.5.欧氏

45、空间欧氏空间 cosba x yx yx yxxxyyy112233222222123123 复习复习线性代数3-374定义定义3.191122,nnxyxyxyxy( , )x y 称为向量称为向量 x 与与 y 的的内积内积.Tx y 1122nnx yx yx yTy x 设有设有 n 维向量维向量内积的运算性质内积的运算性质(1) ( , )x y (2),x y (3),xy z 0(4) ,x x ;( , )y x ,x y ;,xy ,;x zy z(以下以下x, y, z为为n 维向量维向量, 为实数为实数)(分配律分配律)(对称性对称性)当当x = 0时时, 有有(x, x

46、) = 0;(正定性正定性)且当且当x 0时时, 有有(x, x) 0;线性代数3-375第三章第三章 向量空间向量空间5.5.欧氏空间欧氏空间线性代数3-376|( , )xx x 定义定义 令令 22212,nxxx称称 |x| 为为 n 维向量维向量 x 的的模模(或或长度长度).向量长度的性质：向量长度的性质：| |;|xx ( ,|)| xx x 0 |,xxx |.x 22212()()()nxxx 当当x 0时时, 有有|x| 0; 当当x = 0时时, 有有|x| = 0.1) 非负性非负性2) 齐次性齐次性长度长度:| aa a222123xxx 线性代数3-377|( ,

47、)xx x 定义定义 令令 22212,nxxx称称 |x| 为为 n 维向量维向量 x 的的模模(或或长度长度).向量长度的性质：向量长度的性质：| |;|xx ( ,|)| xx x 0 当当x 0时时, 有有|x| 0; 当当x = 0时时, 有有|x| = 0.1) 非负性非负性2) 齐次性齐次性|.|xyxy 4) Cauchy-Schwarz不等式不等式|( , )| |x yxy 3) 三角不等式三角不等式( (证明略证明略) )xyxy 线性代数3-378下面证明三角形不等式下面证明三角形不等式|.|xyxy2|xy (,)xy xy(, )(, )xy xxy y( , )2

48、( , )( , )x xy xy y|( , )| | ,| |x yxy22 |2| |xxyy2(|)xy| |.xyxy2|xy 证明：证明：线性代数3-379单位向量：单位向量：| 1.x 若若0, 则则| 0, 且且1| 是单位向量是单位向量.定义定义3.20 定义了定义了内积运算内积运算的实数域上的向量空间的实数域上的向量空间称为称为欧氏空间欧氏空间(Euclid 空间空间)Rn 的子空间在的子空间在内积运算下内积运算下, 均成为欧氏空间均成为欧氏空间. 向量单位化：向量单位化：线性代数3-380第三章第三章 向量空间向量空间5.5.欧氏空间欧氏空间线性代数3-381|( ,)|

49、 |, ( ,)1| ( , )arccos| 0,0当当时时 记作记作, 0, . 定义定义3.210,0当当时时,称为称为n维向量维向量 与与 的的夹角夹角.记为记为 . 定义定义3.22 当当( , ) = 0时时, 称向量称向量 与与 正交正交, 即即零向量零向量与任何向量都正交与任何向量都正交.若若 = 0, 则则( , ) = 0.注：注： T1,2,2,3 解解(,c s|o,)| 18 4., 22 3 2 6例例7 7 求向量求向量与与的夹角的夹角. T3,1,5,1 夹角夹角：cos| |a bab ( , )cos02| 线性代数3-382第三章第三章 向量空间向量空间5

50、.5.欧氏空间欧氏空间线性代数3-383定定义义3.23 若若n 阶方阵阶方阵 A, 满足满足 则称则称 A为为正交矩阵正交矩阵. 正交矩阵的性质正交矩阵的性质: :1A 1. (1) n 阶正交矩阵阶正交矩阵 A 可逆可逆, 且且(2) n 阶正交矩阵阶正交矩阵 A 的行列式的行列式 |A|(3) n 阶正交矩阵阶正交矩阵A的的行、列行、列具有如下性质具有如下性质:.TA 定理定理都都是单位向量且两两正交是单位向量且两两正交A为正交矩阵为正交矩阵 A的的列列(行行)向量组中的向量向量组中的向量,TA AE ( (书上例题书上例题) )线性代数3-384定理定理证明证明,TA AE .E 12

51、TTTn 12,n 12,n ，Tij 1, ij 当当0, ij 当当i jn ( ,1,2,)单位向量且两两正交单位向量且两两正交.都都是单位向量且两两正交是单位向量且两两正交A为正交矩阵为正交矩阵 A的的列列(行行)向量组中的向量向量组中的向量设设 A由由得得 11T 12T 1 Tn 21T 22T 2 Tn 1Tn 2Tn Tnn 即方阵即方阵A为正交矩阵为正交矩阵 A的的列列向量组中的向量都是向量组中的向量都是线性代数3-3851(2) ;TAA 1); (TAAE A为正交矩阵的为正交矩阵的充要条件充要条件是下列条件之一成立：是下列条件之一成立： 同理可证：同理可证：正交矩阵的正

52、交矩阵的行向量行向量都是单位向量且两两正交都是单位向量且两两正交(3) A的的列向量列向量都是单位向量且两两正交都是单位向量且两两正交.(4) A的的行向量行向量都是单位向量且两两正交都是单位向量且两两正交.线性代数3-386例例8 8 判别下列矩阵是否为正交矩阵判别下列矩阵是否为正交矩阵11 21 3(1)1 211 2 ,1 31 21 A= 184999814(2).999447999 B= 解解 (1) 2221111,23 所以它不是正交矩阵所以它不是正交矩阵考察矩阵考察矩阵 A 的第一列的第一列由于由于(2) 由于由于B 的每列分量平方和是的每列分量平方和是1，每两列对应分量乘积之

53、和为每两列对应分量乘积之和为0，所以它是正交矩阵所以它是正交矩阵1(2) ;TAA 1); (TAAE (3) A的的列向量列向量都是单位向量且两两正交都是单位向量且两两正交.线性代数3-387第三章第三章 向量空间向量空间5.5.欧氏空间欧氏空间线性代数3-388是一组非零的是一组非零的 n 维向量维向量, 且两两正交且两两正交, 12:,mA 则称向量组则称向量组 A为为正交向量组正交向量组.设设定义定义3.24例例1010 向量组向量组 A: = 0 与与 0, 问问 A: , 是否为正交是否为正交向量组向量组? (不是不是)正交向量组的性质正交向量组的性质:正交向量组必线性无关正交向量

54、组必线性无关.定理定理3.16线性代数3-389正交向量组必线性无关正交向量组必线性无关.定理定理3.16证明证明1:,irA1,ir,110,iirr 两边与两边与 作内积作内积i 11(,)(,0),iiirri 11(,)i (,0,)iii 2(,) |, 0iii 0i 0 ,i 120r 12 ,r (,)iii (,)0rir 1,2, .ir 设设为正交向量组为正交向量组,并设有数并设有数使得使得线性无关线性无关.线性代数3-3则称则称 是向量空间是向量空间V 的的标准正交基标准正交基.90 标准正交基标准正交基(规范正交基规范正交基)12,re ee12,re ee定义定义3

55、.25设设nR 是向量空间是向量空间V的一个基的一个基,若若12,re ee两两正交两两正交, 且都是且都是单位向量单位向量,(1) 标准正交基唯一吗标准正交基唯一吗(2) 引入标准正交基的作用是什么引入标准正交基的作用是什么问题：问题：,)0 , 0 , 1(1T ,)0 , 1 , 0(2T (0,0,1) .Tn 例：例：Rn 的标准正交基的标准正交基:线性代数3-391例如：例如：1234:,A ,1,2,3,4.i j 1,2,3,4.i 123410000100,0010000.1 向量空间向量空间 R4 的一个基为的一个基为 A:(1) 对任意对任意 ij, 有有,ij (2)

56、对任意对任意 i, 有有|1,|i 是向量空间是向量空间 R4 的一个标准正交基的一个标准正交基.线性代数3-39211212,00e 21212,00e 300,1212e 4001212e 1234,:e e eBe,1,2,3,4.i j 1,2,3,4.i (1) 对任意对任意 ij, 有有,ijee (2) 对任意对任意 i, 有有|1,|ie 也是向量空间也是向量空间 R4 的一个标准正交基的一个标准正交基.故标准正交基不惟一故标准正交基不惟一.向量空间向量空间 R4 的另一个基的另一个基 B:线性代数3-393,nR ,nR( ,)ie ( ,)iiie e 故故1122( ,)

57、( ,)( ,).nne ee ee e1 122(,)iinnieeee ei 标准正交基的作用：标准正交基的作用：对于向量空间对于向量空间设设 是是 的一个的一个12:,nE e eenR标准正交基标准正交基, 则对则对 可由可由 线性线性12,ne ee表示表示, 且表示法惟一且表示法惟一.设设于是于是 在标准正交基在标准正交基 下的下的坐标坐标为为12:,nE e ee12( ,),( ,),( ,).neee1 122iinneeee避免求解非齐次方程组避免求解非齐次方程组.1212(,)nnxxe eex 线性代数3-394123100(1)0 ,1 ,0001 123110(2)

58、1 ,0 ,1011 1 2 03 3Ro1 2 3 3R是是 的一个基的一个基.3R也是也是 的一个基的一个基.3R1101012011 线性无关线性无关123, 3R标准正交基标准正交基但不是但不是标准正交基标准正交基例例5线性代数3-395123 ,例例5(1,5, 2) ,T 123, 15( 2) 对于对于所以所以 在基在基下的坐标为下的坐标为1,5, 2. 123100(1)0 ,1 ,0001 是是 的一个基的一个基.3R标准正交基标准正交基112233( ,)( ,)( ,). 15( 2) 110051051( 2) 02001 线性代数3-396例例5123, 求求 在基在

59、基下的坐标下的坐标123,.,x xx123110(2)1 ,0 ,1011 也是也是 的一个基的一个基.3R但不是但不是标准正交基标准正交基(1,5, 2)T 112233 xxx1234,3,1xxx 4, 3,1. 123, 故故 在基在基下的坐标为下的坐标为 251110101011321xxx112323 ()xxx 线性代数3-397第三章第三章 向量空间向量空间5.5.欧氏空间欧氏空间线性代数3-398标准正交基比一般的基好标准正交基比一般的基好,一般的基一般的基标准正交基标准正交基导出导出?线性代数3-399求标准正交基的方法求标准正交基的方法12,r r ,211.1.正交化

60、：正交化：2.2.单位化：单位化：r ,21施密特正施密特正交化方法交化方法12,r 12,r 121212,|rrreee12,re ee设设是向量空间是向量空间V 的一个基的一个基,（正交基）（正交基）与与等价等价是向量空间是向量空间V 的一个的一个标准正交基标准正交基.重点重点线性代数3-3100定理定理3.17 若向量组若向量组 12,r 线性无关线性无关, 正交向量组正交向量组 则存在则存在12,r 使使12,i 与与12,i 等价等价 (1,2, ).ir 证明证明 取取11 1222111(,), 注释注释12, 12, 12, 120(,) 由由1211(,)(,),k 121