第8章杆系结构的有限元法

1、结构几何构造的基本分类结构是用来承受和传递载荷的。结构是用来承受和传递载荷的。如果不计材料的应变，在其受到如果不计材料的应变，在其受到任意载荷作用时其形状和位置没有发生刚体位移时，称之为任意载荷作用时其形状和位置没有发生刚体位移时，称之为几何几何不变结构或几何稳定结构不变结构或几何稳定结构，反之则称为，反之则称为几何可变结构或几何不稳几何可变结构或几何不稳定结构定结构。几何可变结构不能承受和传递载荷。对结构进行几何构。几何可变结构不能承受和传递载荷。对结构进行几何构造分析也是能够对工程结构作有限单元法分析的必要条件。造分析也是能够对工程结构作有限单元法分析的必要条件。 造成几何可变的几种原因造

2、成几何可变的几种原因结构的计算简图（力学模型）实际结构总是很复杂的，完全按照结构的实际情况进行力学分析实际结构总是很复杂的，完全按照结构的实际情况进行力学分析是不可能的，也是不必要的，因此在对实际结构进行力学计算之是不可能的，也是不必要的，因此在对实际结构进行力学计算之前，必须将其作合理的简化，使之成为前，必须将其作合理的简化，使之成为既反映实际结构的受力状既反映实际结构的受力状态与特点，又便于计算的几何图形态与特点，又便于计算的几何图形。这种被抽象化了的简单的理。这种被抽象化了的简单的理想图形称之为想图形称之为结构的计算简图，有时也称为结构的力学模型结构的计算简图，有时也称为结构的力学模型。

3、结构计算所常用的结点和支座的简化形式结构计算所常用的结点和支座的简化形式: :（1 1）结点：）结点： 铰结点；铰结点； 刚结点；刚结点； 混合结点。混合结点。（2 2）支座：）支座： 活动铰支座；活动铰支座； 固定铰支座固定铰支座 ； 固定支座固定支座 ； 定向支座定向支座 。结构的分类与基本特征按结构在空间的位置分按结构在空间的位置分结构可分为结构可分为平面结构平面结构和和空间结构空间结构两大类两大类按结构元件的几何特征分按结构元件的几何特征分 杆系结构：杆系结构：梁、拱、桁架、刚架、桁构结构等梁、拱、桁架、刚架、桁构结构等 。 板壳结构板壳结构 实体结构：实体结构：长、宽、高三个尺寸都很

4、大，具有同一量级。长、宽、高三个尺寸都很大，具有同一量级。 混合结构混合结构 按结构的自由度分按结构的自由度分 静定结构静定结构自由度为零的几何不变结构。自由度为零的几何不变结构。 超静定结构超静定结构自由度小于零的几何不变结构。自由度小于零的几何不变结构。 结构的分类与基本特征静定结构的静定结构的特征特征a. a. 静定结构的内力及支座反力可全部由平衡方程式求出，并且解答是唯静定结构的内力及支座反力可全部由平衡方程式求出，并且解答是唯一的。一的。b. b. 静定结构的内力及支座反力与材料的性质和截面特征（几何尺寸，形静定结构的内力及支座反力与材料的性质和截面特征（几何尺寸，形状）无关。状）无

5、关。c. c. 静定结构上无外载荷作用时，其内力及支座反力全为零。静定结构上无外载荷作用时，其内力及支座反力全为零。d. d. 若静定结构在载荷作用下，若静定结构在载荷作用下， 结构中的某一部分能不依靠于其它部分，结构中的某一部分能不依靠于其它部分， 独立地与载荷保持平衡时，则其它部分的内力为零。独立地与载荷保持平衡时，则其它部分的内力为零。e. e. 当将一平衡力系作用于静定结构的一个几何不变部分时，结构的其余当将一平衡力系作用于静定结构的一个几何不变部分时，结构的其余部分都无内力产生。部分都无内力产生。 f. f. 当静定结构中的一个内部几何不变部分上的载荷作等效变换时，其余当静定结构中的

6、一个内部几何不变部分上的载荷作等效变换时，其余部分的内力不变。部分的内力不变。g. g. 当静定结构中的一个内部儿何不变部分作构造改变时，其余部分的内当静定结构中的一个内部儿何不变部分作构造改变时，其余部分的内力不变。力不变。 结构的分类与基本特征超静定结构的超静定结构的特征特征a. a. 超静定结构仅仅满足静力平衡条件的解有无穷多个，但同时满足结构超静定结构仅仅满足静力平衡条件的解有无穷多个，但同时满足结构变形协调条件的解仅有一个。变形协调条件的解仅有一个。 b. b. 超静定结构的内力及支反力不仅与载荷有关，而且与林料的力学性能超静定结构的内力及支反力不仅与载荷有关，而且与林料的力学性能和

7、截面尺寸有关。和截面尺寸有关。 c. c. 超静定结构在非载荷因素作用下，如温度变化、支座沉陷、制造误差超静定结构在非载荷因素作用下，如温度变化、支座沉陷、制造误差等而产生的位移会受到多余约束的限制，结构内必将产生内力。等而产生的位移会受到多余约束的限制，结构内必将产生内力。 d. d. 超静定结构中的多余约束破坏后，结构仍然保持几何不变性，因而仍超静定结构中的多余约束破坏后，结构仍然保持几何不变性，因而仍有一定的承载能力，有一定的承载能力， 不致整个结构遭受破坏。不致整个结构遭受破坏。 e. e. 超静定结构由于具有多余的约束，因而比相应的静定结构具有较大的超静定结构由于具有多余的约束，因而

8、比相应的静定结构具有较大的刚度和稳定性，刚度和稳定性， 在载荷作用下，内力分布也较均匀，且内力峰值也较静在载荷作用下，内力分布也较均匀，且内力峰值也较静定结构为小。定结构为小。结构的对称性及其利用对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生正对称的位对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称载荷下，对称轴截移，反对称的位移为零；对称结构在反对称载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位移为零。面上只有反对称的位移，正对称的位移为零。奇数跨的刚架奇数跨的刚架正对称荷载作用下的变形及分析简化正对称荷载作用下的变形及分析简化结构的对称性及其利用

9、奇数跨的刚架奇数跨的刚架反对称荷载作用下的变形及分析简化反对称荷载作用下的变形及分析简化结构的对称性及其利用偶数跨的刚架偶数跨的刚架正对称荷载作用下的变形及分析简化正对称荷载作用下的变形及分析简化结构的对称性及其利用偶数跨的刚架偶数跨的刚架反对称荷载作用下的变形及分析简化反对称荷载作用下的变形及分析简化结构的自由度及其计算自由度：自由度：指结构在所在空间运动时，可以独立改变的几何参数指结构在所在空间运动时，可以独立改变的几何参数的数目，也就是确定该结构位置时所需的独立参数的数目。的数目，也就是确定该结构位置时所需的独立参数的数目。约束：约束：指减少结构自由度的装置，即限制结构运动的装置。指减少

10、结构自由度的装置，即限制结构运动的装置。具体包括：具体包括：a. a. 支座链杆的约束；支座链杆的约束；b. b. 铰的约束铰的约束: : 单铰；单铰； 复铰；复铰； 完全铰与不完全铰。完全铰与不完全铰。桁架自由度计算公式桁架自由度计算公式桁架中的结点数为桁架中的结点数为j，杆件数为，杆件数为g，支座链杆数为，支座链杆数为z，则桁架的自由度则桁架的自由度W 为为平面桁架平面桁架空间桁架空间桁架结构的自由度及其计算平面混合结构的自由度计算平面混合结构的自由度计算其计算过程比较复杂，主要原因在于必须先进行一些构件的其计算过程比较复杂，主要原因在于必须先进行一些构件的拆分，拆分完毕之后计算方式与桁架

11、一致。拆分，拆分完毕之后计算方式与桁架一致。计算结果有三种可能：计算结果有三种可能：a. W0 表明结构缺少必要的约束，表明结构缺少必要的约束， 可运动，可运动， 故结构必定是几何可变体系。故结构必定是几何可变体系。b. W=0 表明结构具有保证几何不变所需的最少的约束数。表明结构具有保证几何不变所需的最少的约束数。c. W0 表明结构具有多余约束。表明结构具有多余约束。注意：结构的自由度注意：结构的自由度W0是组成几何不变体系的必要条件，是组成几何不变体系的必要条件，但不是充分条件。为什么？但不是充分条件。为什么？几何不变结构的组成规律几何不变结构的组成规律(1) (1) 二元体规则二元体规

12、则由两根不在同一条直线上的链杆联结一个新结点所组成的结由两根不在同一条直线上的链杆联结一个新结点所组成的结构称为二元体。构称为二元体。二元体规则是指在一个几何不变结构上，由二元体规则是指在一个几何不变结构上，由增加二元体而发展的结构，是一个几何不变结构。铰接三角增加二元体而发展的结构，是一个几何不变结构。铰接三角形是最简单的几何不变结构。形是最简单的几何不变结构。铰接三角形铰接三角形几何不变结构的组成规律几何不变结构的组成规律瞬变结构瞬变结构一个结构，当它受载荷作用时会产生微小的位移，但位移一一个结构，当它受载荷作用时会产生微小的位移，但位移一旦发生后，即转变成一几何不变结构，但结构的内力可能

13、为旦发生后，即转变成一几何不变结构，但结构的内力可能为无限大值或不定值，这样的结构称为瞬变结构。显然，瞬变无限大值或不定值，这样的结构称为瞬变结构。显然，瞬变结构在工程结构设计中应尽量避免。结构在工程结构设计中应尽量避免。 最简单的瞬变结构最简单的瞬变结构几何不变结构的组成规律几何不变结构的组成规律(2) (2) 两刚片规则两刚片规则两刚片用三根既不完全平行也不交于同一点的链杆相联，所两刚片用三根既不完全平行也不交于同一点的链杆相联，所得结构是几何不变结构。得结构是几何不变结构。两刚片连接规则两刚片连接规则瞬变结构瞬变结构常变结构常变结构几何不变结构的组成规律几何不变结构的组成规律(3) (3

14、) 三刚片规则三刚片规则三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相联，所得结构三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相联，所得结构是几何不变结构。是几何不变结构。基本三角形结构基本三角形结构三刚片规则示意图三刚片规则示意图几何不变结构的组成规律几何不变结构的组成规律结构几何构造分析示例结构几何构造分析示例如果用自由度公式计算：如果用自由度公式计算：结构示意图结构示意图j=6， g=8， z= 4自由度为零，应是几何不变结构。自由度为零，应是几何不变结构。刚片刚片和和间用杆件间用杆件DB、FE相联，虚铰位置相联，虚铰位置在此二平行杆件延长线的无穷远处；在此二平行杆件延长线的无穷远处；刚片刚片和和间

15、用杆件间用杆件DA及支座链杆及支座链杆相联，相联，虚铰位置在虚铰位置在F点；点；刚片刚片和和用杆件用杆件BA、支座链杆、支座链杆相联，相联， 虚铰位置在虚铰位置在C点。点。三铰可看成位于同一条直线上，三铰可看成位于同一条直线上，故此结构为几何瞬变结构。故此结构为几何瞬变结构。空间结构几何构造分析空间结构几何构造分析规律规律1 1空间中一点与一刚体用三根链杆相连且三链杆不在同一平空间中一点与一刚体用三根链杆相连且三链杆不在同一平面内，则组成几何不变的结构、且无多余约束。面内，则组成几何不变的结构、且无多余约束。 空间点与基础连接空间点与基础连接瞬变结构瞬变结构空间结构几何构造分析空间结构几何构造

16、分析规律规律2 2一个几何不变结构（或刚体）与基础用六根即不平行也不相一个几何不变结构（或刚体）与基础用六根即不平行也不相交于同一条直线的链杆相联，所组成的结构是几何不变的结交于同一条直线的链杆相联，所组成的结构是几何不变的结构，且无多余约束。构，且无多余约束。几何不变结构几何不变结构可变结构可变结构瞬变结构瞬变结构常变结构常变结构空间结构几何构造分析空间结构几何构造分析规律规律3 3一个几何不变结构（一个几何不变结构（ 或刚体或刚体 ）与另一个几何不变结构）与另一个几何不变结构（或刚体）用六根即不平行也不相交于同一条直线的链杆相（或刚体）用六根即不平行也不相交于同一条直线的链杆相联，所组成的

17、结构是几何不变的结构，且无多余约束。联，所组成的结构是几何不变的结构，且无多余约束。空间桁架结构空间桁架结构空间网状结构空间网状结构实际工程中的杆系结构工程上许多由金属构件所组成的结构，如塔式桁构支承架、起重工程上许多由金属构件所组成的结构，如塔式桁构支承架、起重机起重臂架、钢结构桥梁、钢结构建筑等可以归结为杆系结构。机起重臂架、钢结构桥梁、钢结构建筑等可以归结为杆系结构。杆系结构可按各杆轴线及外力作用线在空间的位置分为平面杆系杆系结构可按各杆轴线及外力作用线在空间的位置分为平面杆系和空间杆系结构，也可按各杆之间是铰接还是刚接分为桁架结构和空间杆系结构，也可按各杆之间是铰接还是刚接分为桁架结构

18、和刚架结构。和刚架结构。桁架和刚架的区别桁架结构桁架结构平面桁架平面桁架空间桁架空间桁架杆件与杆件间为铰接杆件与杆件间为铰接铰接点只传递力而不传递转矩铰接点只传递力而不传递转矩每根杆件均为二力杆每根杆件均为二力杆杆件不产生弯曲变形和弯曲应杆件不产生弯曲变形和弯曲应力力有限元计算采用杆元（杆单元：有限元计算采用杆元（杆单元：barbar）桁架和刚架的区别刚架结构刚架结构平面刚架平面刚架空间刚架空间刚架杆件与杆件间可理解为焊接杆件与杆件间可理解为焊接连接点可传递力也可传递转连接点可传递力也可传递转矩矩刚架有限元分析采用梁元刚架有限元分析采用梁元（beambeam）可当作刚架的常见结构：高可当作刚架

19、的常见结构：高压线塔；客车车身骨架；管压线塔；客车车身骨架；管式摩托车车架；自行车车架；式摩托车车架；自行车车架；长江大桥长江大桥杆系结构的离散由于杆系结构本身是由真实杆件联接而成，故离散化比较简单，由于杆系结构本身是由真实杆件联接而成，故离散化比较简单，一般将杆件或者杆件的一段一般将杆件或者杆件的一段( ( 一根杆又分为几个单元一根杆又分为几个单元 ) )作为一个作为一个单元，杆件与杆件相连接的交点称为结点。离散要点为：单元，杆件与杆件相连接的交点称为结点。离散要点为：a. a. 杆件的转折点、汇交点、自由端、集中载荷作用点、支承杆件的转折点、汇交点、自由端、集中载荷作用点、支承点以及沿杆长

20、截面突变处等均可设置成结点。这些结点都是根点以及沿杆长截面突变处等均可设置成结点。这些结点都是根据结构本身特点来确定的。据结构本身特点来确定的。b. b. 结构中两个结点间的每一个等截面直杆可以设置为一个单元。结构中两个结点间的每一个等截面直杆可以设置为一个单元。c. c. 变截面杆件可分段处理成多个单元，取各段中点处的截面变截面杆件可分段处理成多个单元，取各段中点处的截面近似作为该单元的截面，各单元仍按等截面杆进行计算。近似作为该单元的截面，各单元仍按等截面杆进行计算。杆系结构的离散d. d. 对曲杆组成的结构，可用多段折线代替，每端折线为一个对曲杆组成的结构，可用多段折线代替，每端折线为一

21、个单元。如若提高计算精度，也可以在杆件中间增加结点。单元。如若提高计算精度，也可以在杆件中间增加结点。e. e. 在有限元法计算中，载荷作用到结点上。当结构有非结点在有限元法计算中，载荷作用到结点上。当结构有非结点载荷作用时，应该按照静力等效的原则将其变换为作用在结点载荷作用时，应该按照静力等效的原则将其变换为作用在结点上的等效结点载荷。上的等效结点载荷。 杆系结构的离散及荷载等效杆系结构的离散及荷载等效杆系结构有限元中的坐标系为了建立结构的平衡条件，对结构进行整体分析，尚需要建立为了建立结构的平衡条件，对结构进行整体分析，尚需要建立一个对每个单元都适用的统一坐标系，即结构坐标系或称之为一个对

22、每个单元都适用的统一坐标系，即结构坐标系或称之为整体坐标系、总体坐标系。整体坐标系、总体坐标系。在进行有限元法计算中，由于涉及到对所有单元进行类似运算，在进行有限元法计算中，由于涉及到对所有单元进行类似运算，所以这些计算以单元自己的所以这些计算以单元自己的i-ji-j为基准建立的局部坐标系是会为基准建立的局部坐标系是会带来很大方便的。带来很大方便的。 整体坐标系与局部坐标系整体坐标系与局部坐标系杆系结构单元位移与载荷向量结点位移列向量为：结点位移列向量为：二维情况下单元的位移和载荷二维情况下单元的位移和载荷单元单元e结点位移列向量为结点位移列向量为 单元单元e结点力列向量为结点力列向量为当线位

23、移及相应力与坐标轴方向一致时为正，反之为负；转角位当线位移及相应力与坐标轴方向一致时为正，反之为负；转角位移和力矩，按右手法则定出的矢量方向若与坐标轴正向相一致时移和力矩，按右手法则定出的矢量方向若与坐标轴正向相一致时为正。对于任意方向的力学向量，应分解为沿坐标轴方向的分量。为正。对于任意方向的力学向量，应分解为沿坐标轴方向的分量。正负号规定：正负号规定：杆系结构单元的位移函数有限单元法分析中，虽然对不同结构可能会采取不同的单元类有限单元法分析中，虽然对不同结构可能会采取不同的单元类型，采用的单元的位移模式不同，但是构建的位移函数的数学型，采用的单元的位移模式不同，但是构建的位移函数的数学模型

24、的性能、能否真实反映真实结构的位移分布规律等，直接模型的性能、能否真实反映真实结构的位移分布规律等，直接影响计算结果的真实性、计算精度及解的收敛性。影响计算结果的真实性、计算精度及解的收敛性。为了保证解的收敛性，选用的位移函数应当满足下列要求为了保证解的收敛性，选用的位移函数应当满足下列要求: :a. a. 单元位移函数的项数，至少应等于单元的自由度数。它的阶单元位移函数的项数，至少应等于单元的自由度数。它的阶数至少包含常数项和一次项。至于高次项要选取多少项，则应数至少包含常数项和一次项。至于高次项要选取多少项，则应视单元的类型而定。视单元的类型而定。b. b. 单元的刚体位移状态和应变状态应

25、当全部包含在位移函数中。单元的刚体位移状态和应变状态应当全部包含在位移函数中。c. c. 单元的位移函数应保证在单元内连续，以及相邻单元之间的单元的位移函数应保证在单元内连续，以及相邻单元之间的位移协调性。位移协调性。杆系结构单元的位移函数桁架结构杆单元的位移函数桁架结构杆单元的位移函数由于每根杆件均为二力杆，事实上刚才的由于每根杆件均为二力杆，事实上刚才的由单元结点位移，确定待定系数项由单元结点位移，确定待定系数项上式不仅是桁架结构中杆单元的位移函数，对于杆系结构中单上式不仅是桁架结构中杆单元的位移函数，对于杆系结构中单元的轴向位移状态，都是采用这个位移函数进行表示的。元的轴向位移状态，都是

26、采用这个位移函数进行表示的。=0=0=0=0杆系结构单元的位移函数刚架结构梁单元的位移函数刚架结构梁单元的位移函数轴向位移状态的表达和前面一样，现在轴向位移状态的表达和前面一样，现在只考虑节点另外的四个位移分量，根据只考虑节点另外的四个位移分量，根据材料力学，沿梁长各截面的转角为材料力学，沿梁长各截面的转角为故梁单元平面弯曲的位移表达式可分为仅包含四个待定系数的故梁单元平面弯曲的位移表达式可分为仅包含四个待定系数的多项式：多项式：杆系结构单元的位移函数刚架结构梁单元的位移函数刚架结构梁单元的位移函数将其代回将其代回v(x)的表达式进行整理后的表达式进行整理后于是：于是：平面刚架梁单元的应力应变

27、在弹性范围内，并且不考虑剪力的影响时，平面刚架单元内任在弹性范围内，并且不考虑剪力的影响时，平面刚架单元内任一点的轴向线应变由两部分组成，即轴向应变与弯曲应变之和，一点的轴向线应变由两部分组成，即轴向应变与弯曲应变之和，其轴向应变与平面桁架轴向应变相同。其轴向应变与平面桁架轴向应变相同。轴向应变为轴向应变为弯曲应变为弯曲应变为y为梁单元任意截面上任意点至中性为梁单元任意截面上任意点至中性轴轴(x轴轴)的距离。的距离。弯曲应变计算示意图得出平面刚架单元应变得出平面刚架单元应变平面刚架梁单元的应力应变将刚才已经建立的位移函数代入，则应变为将刚才已经建立的位移函数代入，则应变为进一步的，应力为进一步

28、的，应力为其中，其中，B 称为平面刚架梁单元的应变转换矩阵。称为平面刚架梁单元的应变转换矩阵。 平面刚架梁单元的有限元方程采用虚功原理进行推导：采用虚功原理进行推导：假设梁单元的假设梁单元的i，j 结点发生虚位移为结点发生虚位移为那么单元内会发生相应的虚应变为：那么单元内会发生相应的虚应变为： 外力在虚位移上的功与内力在虚应变上的功相等：外力在虚位移上的功与内力在虚应变上的功相等： 上式为局部坐标下的平面刚架梁单元的有限元方程。上式为局部坐标下的平面刚架梁单元的有限元方程。平面刚架梁单元的刚度矩阵根据习惯，那么单元刚度为根据习惯，那么单元刚度为进行积分运算后得到进行积分运算后得到 A：杆的横截

29、面：杆的横截面面积；面积；I：杆的横截面：杆的横截面对主轴的惯性矩对主轴的惯性矩 桁架杆单元的刚度矩阵如果是桁架结构，那么矩阵形式将比较简单如果是桁架结构，那么矩阵形式将比较简单平面桁架杆单元，每个单元自由度平面桁架杆单元，每个单元自由度未知量未知量只有两个节点位移只有两个节点位移空间桁架杆单元，每个单元自由度空间桁架杆单元，每个单元自由度未知量也未知量也只有两个节点位移，只有两个节点位移，但是由于空间性，所以每个节点位移会表现为但是由于空间性，所以每个节点位移会表现为3 3个分量个分量空间刚架梁单元的刚度矩阵当刚架结构扩展到了空间状态，则每个结点有当刚架结构扩展到了空间状态，则每个结点有6

30、6个位移分量，个位移分量，其单元结点位移列向量其单元结点位移列向量 空间刚架局部坐标下的单元刚度矩阵是空间刚架局部坐标下的单元刚度矩阵是12121212的。的。 空间刚架梁单元的刚度矩阵杆系结构单元刚度矩阵的性质a.a. 单元刚度矩阵仅与单元的几何特征和材料性质有关。仅与单元刚度矩阵仅与单元的几何特征和材料性质有关。仅与单元的横截面积单元的横截面积A A、惯性矩、惯性矩I I、单元长度单元长度l l、单元的弹性模、单元的弹性模量量E E有关。有关。b. b. 单元刚度矩阵是一个对称阵。在单元刚度矩阵对角线两侧单元刚度矩阵是一个对称阵。在单元刚度矩阵对角线两侧对称位置上的两个元素数值相等，即，根

31、据是反力互等定对称位置上的两个元素数值相等，即，根据是反力互等定理。理。c. c. 单元刚度矩阵是一个奇异阵。单元刚度矩阵是一个奇异阵。d. d. 单元刚度矩阵可以分块矩阵的形式表示。具有确定的物理单元刚度矩阵可以分块矩阵的形式表示。具有确定的物理意义。意义。单元刚度矩阵的物理意义物理意义：物理意义：Kij代表在代表在i结点发生单位位移时，结点发生单位位移时，j结点需要施加的力。结点需要施加的力。整体坐标下的单元刚度矩阵在整体坐标系中单元结点力向量和结点位移列向量可分别表示成在整体坐标系中单元结点力向量和结点位移列向量可分别表示成向量转换于是于是整体坐标下的单元刚度矩阵那么就有那么就有一般简写

32、为一般简写为同样的道理同样的道理T：平面刚架梁单元的从局部：平面刚架梁单元的从局部坐标系向整体坐标系的转换矩阵。坐标系向整体坐标系的转换矩阵。 整体坐标下的单元刚度矩阵将坐标转换矩阵代入原有限元控制方程，则将坐标转换矩阵代入原有限元控制方程，则整体坐标下的单元刚度矩阵整体坐标下的单元刚度矩阵整体坐标下的单元刚度矩阵仍然为对称阵、奇异阵。整体坐标下的单元刚度矩阵仍然为对称阵、奇异阵。整体刚度矩阵的集成以下图所示的刚架结构为例以下图所示的刚架结构为例刚架实例其结点载荷列向量分别为其结点载荷列向量分别为结构载荷列向量：结构载荷列向量：结点位移列向量结点位移列向量整体刚度矩阵的集成以下图所示的刚架结构

33、为例以下图所示的刚架结构为例刚架实例其结点载荷列向量分别为其结点载荷列向量分别为结构载荷列向量：结构载荷列向量：结点位移列向量结点位移列向量整体刚度矩阵的集成其整体的平衡方程为其整体的平衡方程为简写为：简写为：整体刚度矩阵整体刚度矩阵整体刚度矩阵的性质1.仅与各单元的几何特性、材料特性，即仅与各单元的几何特性、材料特性，即A、I、l、E 等因素有关。等因素有关。2.为对称方阵为对称方阵3.为奇异矩阵，其逆矩阵不存在，因为建立整体刚度矩阵时没为奇异矩阵，其逆矩阵不存在，因为建立整体刚度矩阵时没有考虑结构的边界约束条件。有考虑结构的边界约束条件。4.为稀疏矩阵为稀疏矩阵约束的处理建立结构平衡方程式

34、建立结构平衡方程式时，并未考虑支承条件（约束），也就时，并未考虑支承条件（约束），也就是说，将原始结构处理成一个自由悬空的、存在刚体位移的是说，将原始结构处理成一个自由悬空的、存在刚体位移的几何可变结构。整体刚度矩阵是奇异矩阵，因此，无法求解。几何可变结构。整体刚度矩阵是奇异矩阵，因此，无法求解。约束处理常用方法有约束处理常用方法有划划0 0置置1 1法和乘大数法。法和乘大数法。（a）固定支座（b）支座发生位移对于如图对于如图 (a)(a)所示，结构约束（支座）位移全部为零，此时做约束处理时，所示，结构约束（支座）位移全部为零，此时做约束处理时，采用填采用填0 0置置1 1法比较适宜。对于如图法比较适宜。对于如图 (b)(b)所示，某约束（支座）位移为给定所示，某约束（支座）位移为给定的强迫值，此时做约束处理时，采用乘大数法比较适宜。的强