第四章弯曲内力

1、弯曲内力第四章第四章4-1 概念及工程实例4-2 梁的对称弯曲及计算简图4-3 梁的剪力、弯矩、剪力图和弯矩图4-4 弯矩、剪力和荷载集度间的微分关系4-5 叠加法作弯矩图 4-6 平面刚架和曲杆的内力主要内容【学 时】10（其中习题课2）【基本要求】 1理解弯曲、平面弯曲、对称弯曲的概念及区别。 2会列剪力方程和弯矩方程。 3掌握剪力图和弯矩图的绘制。 4了解叠加法作弯矩图。 5. 掌握用微分关系绘制剪力和弯矩图。 6. 掌握平面刚架和曲杆内力图的绘制。【重点】梁在任一指定截面处的剪力和弯矩值的计算； 列剪力方程和弯矩方程；绘剪力图和弯矩图。【难点】弯矩、剪力和荷载集度间的微分关系。 4-1

2、4-1 概念及工程实例一.工程中的受弯构件1.桥式起重机的主梁q各类桥面2.各种横梁3. 各类桥面5.火车轮轴三. 变形特征l杆件的轴线由原来的直线变为曲线l垂直于轴线的横截面绕垂直于轴线的某一轴作相对转动4-24-2梁的对称弯曲梁的对称弯曲及计算简图及计算简图设l梁的任一横截面具 有对称轴一一. .对称弯曲对称弯曲二二.梁的计算简图梁的计算简图1.载荷简化：载荷简化：作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷 2.2.构件本身的简化：构件本身的简化：通常取梁的轴线来代替梁。 3.3.梁支座形式的简化和支反力梁支座形式的简化和支反力 根据约束的特性，平面弯曲梁

3、的支座可简化为以下三种基本形式l这种支座使梁的端面既不能移动，也不能转动l限制移动的约束反力水平支反力FRx 和垂直支反力 FRyl限制转动的约束反力支反力偶MRLFRyFRxMR FRyMRFRx1)固定端（3个约束，0个自由度） 2)固定铰支端（l这种支座使梁的端面不能移动，但可以自由转动l限制移动的约束反力水平支反力 FRx和垂直支反力FRy FRyFRxFRyFRxFRyFRx 2个约束，1个自由度） 3)可动铰支端l这种支座使梁的端面不能沿轴线的垂直方向移动，但端面可沿轴线自由移动和转动l限制梁沿轴线垂直方向移动的约束支反力垂直支反力 FRyFRyFRy FRy FRy（1个约束，2

4、个自由度）。 4.工程中常用静定梁的三种基本形式 简支梁 悬臂梁 外伸梁4-3 4-3 梁的剪力、弯矩、剪力图和弯矩图梁的剪力、弯矩、剪力图和弯矩图l横截面上的内力是该截面上 应力向截面形心简化所得的主矢量和主矩l当静定梁上的外力（主动力和约束反力）确定后，可利用截面法确定梁任意横截面上的内力： ABCabFAyFByxcPcFMmFFYAyCAys , 0 , 0 所以梁弯曲时，横截面上有两种形式的内力： 剪力 Fs 横截面上其作用线平行于截面的内力 弯矩 M横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩。 l实际上，梁截面左、右两端的内力是大小相等，方向相反的。这是因为它们是一对作用力与反作用力l为

5、了截取左端梁计算所得的内力与截取右端梁计算所得的内力相同之目的，于是结合梁的变形，对梁内力的符号作了如下规定。l内力的符号规定 剪力 : 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之 弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩； 使梁变成凸形的为负弯矩。 为负。M(+) M(+) M() M() l举例举例 例例1 1 计算图示梁C处横截面的剪力和弯矩。FAy0)(, 0, 0PabaFMPFFYByAByAyPbaaFPbabFByAy, ABCabFAyFByxcP0, 00, 0ScFMMFFYAyCAyPbabccFMPbabFFAyAy,SFAyFByxc ABCabP0)()(, 00, 0ScbaFca

6、PMMPFFYByCBy ABCabFAyFByxcPPbabcMPbabF,S说明：截取左端梁计算所得的内力与截取右端梁 计算所得的内力相同例2 求图示梁指定截面上的剪力和弯矩。02 .232aaqMFaaqFFByByAyqaFqaFByAy, qM=qa2aABaa123DDFAyFByx2211S212120qaqaMFaMqaFFAyAy222S,qaqaMFMqaFFByAyDD qM=qa2aABaa123DDFAyFByx2/2/2233SDDDDDDqqaqFMqaqFqFByBy222S,qaMqaF033SMqaF qM=qa2aABaa123DDFAyFByx已求出：用

7、截面法求剪力和弯矩时应注意： 1.应先设截面上的剪力和弯矩为正。这样，如 果所求得的剪力和弯矩为正号，不仅说明原假 设方向正确，同时也说明了剪力和弯矩的符号 为正；如果求得的剪力和弯矩为负，则说明剪 力和弯矩与原设方向相反，同时说明剪力和弯 矩的符号为负。2.要注意内力正负号与写平衡方程时有关力和力 矩正负号的区别。前者是根据变形定正负号， 后者是根据力和力矩在坐标系中的方向和转向 规定正负号。思考题 在求梁横截面上的剪力和弯矩时，为什么可直接由该横截面任一侧梁上的外力来计算？这是否说明该截面上的剪力和弯矩与另一侧梁上的外力无关呢？作业题 4-1 (a),(d),(e),(f) 剪力图和弯矩图

8、l通常，梁截面上的剪力、弯矩是截面位置x的函数，可表示为 FS= FS(x)，M=M(x) 分别称之为剪力方程和弯矩方程l以梁横截面沿轴线的位置x为横坐标，纵坐标表示梁横截面上的剪力和弯矩的图分别称之为剪力图和弯矩图 剪力图和弯矩图l按一定比例将剪力的正值画在x轴的上侧，负值画在x轴的下侧l按一定比例将弯矩的正值画在x轴的下侧，负值画在x轴的上侧（正弯矩画在梁的受拉侧，负弯矩画在梁的受压侧）l绘制剪力图和弯矩图的基本方法是：v首先得到梁的剪力方程和弯矩方程 FS= FS(x)，M =M(x)v其次，画出相应的剪力图和弯矩图例 绘出如图所示简支梁的剪力和弯矩图。 ABCabP解：解：1 1确定约

9、束力确定约束力baaPFbabPFByAy,FAyFByxxx3.3.依方程画剪力图和弯矩图依方程画剪力图和弯矩图 ABCabPFAyFByxx Pb/(a+b)Pa/(a+b)xFS)(,SxlbaPaxbaPbMbaPabaPbFxM Pab/(a+b) ABCabM例 绘出如图所示简支梁的剪力和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力baMFbaMFByAy,xbaMxFMbaMFFAyAy,S)()(,SxlbaMxlFMbaMFFByByFAyFByxx2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程xM/(a+b)xFS ABCabM Mb/(a+b)Ma/(a+b)Mx3. 3. 依

10、方程画出剪力图和弯矩图。依方程画出剪力图和弯矩图。例 求图示简支梁截面上的剪力和弯矩。qlFFByAy21 qlABFAyFByx)(2121),2(2SxlqxqxxFMxlqqxFFAyAyql/2FSx ql/2ql2/8 xM1 1确定约束力确定约束力2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程3. 3. 依方程画内力图依方程画内力图例 求图示悬臂梁截面上的剪力和弯矩。2S)(21),(xlqMxlqFqxx ql2/2解：解：任选一截面任选一截面x x ，写出，写出 剪力和弯矩方程剪力和弯矩方程依方程画出剪力依方程画出剪力图图和弯矩和弯矩图图由剪力图、弯矩图可见。由剪力图、弯矩图可见。

11、最大剪力和弯矩分别为最大剪力和弯矩分别为qlMxxsF 考虑图示平面弯曲梁，坐标系及分布载荷的方向如图所示4-4弯矩弯矩、剪力和荷载集度间的微分关系剪力和荷载集度间的微分关系任取一微梁段dx，其受力为0)(d)(d)()(, 0SSSxFxFxxqxFY)(d)(dSxqxxF0d)(d21d)()()(d)(, 0SxxqxxxFxMxMxMMC0d)(21d)()(d2SxxqxxFxM 略去dx2高阶项，得:)(d)(dSxFxxM)(d)(d22xqxxM)(d)(d)(d)(dSSxFxxMxqxxF其几何意义分别为：剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小；弯矩图上某点处的

12、切线斜率等于该点处剪力的大小；弯矩图上凸，弯矩图下凸。根据荷载分布特性，利用剪力、弯矩和分布载 荷的这些关系，l当q = 0时lFS(x)=常数，剪力图为一水平直线段lM(x)为一次函数，弯曲图为一斜直线段l当q =常数时（均布载荷）lFS(x)为一次函数， 剪力图为一斜直线段l 当q 0 时（分布载荷向上），单调上升l 当q 0 时（分布载荷向上），抛物线上凸l 当q 0 时，弯矩为递增函数l当FS(x) 0 时，弯矩为递减函数l集中载荷作用处，剪力有突变，弯矩连续，但呈现一个尖点l集中力偶作用处，弯矩有突变，剪力连续).(d)(d),(d)(d),(d)(d22SSxqxxMxFxxMxq

13、xxFl利用微分关系，可以不必给出具体的剪力和弯矩方程而得到剪力图和弯矩图。其一般过程如下v求支座反力v在载荷不连续（分布载荷两端、集中载荷、集中力偶）处、及支座处及梁的自然端点处分段v利用截面法求出各分段点处横截面上的剪力和弯矩值（左右两端）v利用微分关系，确定各段剪力图、弯矩图的几何特征v结合各段内力图的几何特征，连接分结合各段内力图的几何特征，连接分 段点处的内力值，段点处的内力值，绘出剪力图和弯矩图绘出剪力图和弯矩图例 给出如图所示的简支梁的剪力图和弯矩图。 qaABaaCDM=qa2P=qaFAyFDyxqaFqaFDyAy21,21解：解：1 1确定约束力确定约束力2 2确定分段点

14、，并分段确定分段点，并分段 3. 3. 应用截面法求截面应用截面法求截面A A、B B、 C C和和D D上的内力上的内力2SqaFB22qaMB2SqaFB22qaMB2SqaFA0AMqaFqaFDyAy21,21 qaABaaCDM=qa2P=qaFAyFDyx2SqaFD0DM2SqaFC22qaMC（3）截面C上的内力qaFqaFDyAy21,212SqaFC22qaMC qaABaaCDM=qa2P=qaFAyFDyxqaFqaFDyAy21,214. 4. 根据微分关系，分析得出各段剪力图和弯矩图根据微分关系，分析得出各段剪力图和弯矩图的几何特征的几何特征5.结合各段内力图的几何

15、特征，结合各段内力图的几何特征，连接分段点处的内力值，连接分段点处的内力值，绘出绘出 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图qa/2-qa/2 qaABaaCDM=qa2P=qaFAyFDyxqa2/2-qa2/2-qa2/2qa/2-qa/2-qa/2例 利用微分关系，绘出图示梁的剪力和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力kN5,kN7ByAyFFkN5,kN7ByAyFF2 2确定分段点，并分段确定分段点，并分段3. 应用截面法求应用截面法求的剪力和弯矩的剪力和弯矩值（左右两端），列表如下值（左右两端），列表如下4. 4. 根据微分关系，分析得出各段剪力图和弯矩图根据微分关系，分析得出各段剪力

16、图和弯矩图 的几何特征，见下表的几何特征，见下表段ACCDDBBE截面A+C-C+D-D+B-B+E-剪力FS (kN)731-3-3-322斜直线斜直线直线直线弯矩M (kNm)02020166-6-60抛物线下凸抛物线下凸斜直线斜直线分段点处的剪力和弯矩值5.5.结合各段剪力图和弯矩图的几何特征，连接分段结合各段剪力图和弯矩图的几何特征，连接分段点处的内力值，绘出点处的内力值，绘出 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图例 绘出如图所示连续梁的剪力和弯矩图。2 2确定分段点，并分段确定分段点，并分段3. 应用截面法求应用截面法求的内力值（左右两端）的内力值（左右两端）2/,2qaFaMA2/FFsB

17、qaFFsA2/2/,FaMB2/FFsC0,CM2/, 2/FFFFsDsD2/,FaMD0,EM2/FFsE5.5.结合各段内力图的几何特征，结合各段内力图的几何特征，连接分段点处的内力值，连接分段点处的内力值，绘出绘出 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图4. 4. 根据微分关系，分析得出各段剪力图和弯矩图根据微分关系，分析得出各段剪力图和弯矩图 的几何特征的几何特征 4-5 4-5 叠加法作弯矩图叠加法作弯矩图 叠加原理：当所求参数（内力、应力或位移）与梁上荷载为线性关系时，由几项荷载共同作用时所引起的某一参数，就等于每项荷载单独作用时所引起的该参数值的叠加。 当梁在荷载作用下为微小变形时，其

18、跨长的改变可略去不计，因而在求梁的支反力、剪力和弯矩时，均可按其原始尺寸进行计算，而所得到的结果均与梁上荷载成线性关系。因此，可用叠加原理求弯矩，即当梁上受几项荷载共同作用时，某一横截面上的弯矩就等于梁在各项荷载单独作用下同一横截面上弯矩的代数和。 由于弯矩可以叠加，故表达弯矩沿梁长度变化情况的弯矩图也可以叠加，即可分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图，然后将其相应的纵坐标叠加，即得梁在所有荷载共同作用下的弯矩图。 )(xM 例 试用叠加原理求图示梁的弯矩 解：在距左端为x的任意横截面上的弯矩就等于集中荷载F和均布荷载q单独作用时，该截面上的弯矩和的代数和。即)(xlF)(xM2/)(2xlq

19、2/)()()(2xlqxlFxM 4-64-6 平面刚架和曲杆的内力平面刚架和曲杆的内力刚架的概念刚架的概念l折杆中两杆之间坚固、不变形的接头称之为刚性接头l刚性接头处，相连杆件的夹角不会改变l刚性接头不仅能传力、而且能传递力矩l刚架截面上的内力包括：轴力、剪力、弯矩l由刚性接头连接各杆件而组成的结构称为刚架结构（刚架）l有一纵向对称面，轴线为平面折线的刚架称为平面刚架l有一纵向对称面，轴线为平面曲线的曲杆称为平面曲杆或平面曲梁l当外载荷作用于纵向对称面时，平面刚架和平面曲杆的轴线变形仍在纵向对称面内。此时，平面刚架和平面曲杆发生平面变形q工程实例工程实例刚架及曲杆的内力图刚架及曲杆的内力图l轴力图和剪力图可画在刚架轴线的任一侧，必须标明正负号。通常正值画在刚架（曲杆）的外侧l弯矩图画在杆件受拉一侧，可以不标明正负号举例0)(1xFNqlFxFs)