人教版-高中数学选修2-3_11_分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1、1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理计数原理2008年年29届夏季奥运会在北京举行奥运会足届夏季奥运会在北京举行奥运会足球赛共有个队参赛它们先分成个小组球赛共有个队参赛它们先分成个小组进行循环赛，决出强，这个队按确定的程进行循环赛，决出强，这个队按确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外还决序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外还决出了第三、第四名问一共安排了多少场比赛？出了第三、第四名问一共安排了多少场比赛？ 要回答这个问题，就要用到排列、组合的知要回答这个问题，就要用到排列、组合的知识识在运用排列、组合方法时，经常要用到在运用排列、组合方法时，经常

2、要用到问题问题2 2 秋天到了，学校举行秋天到了，学校举行“全民健身全民健身”登登山活动山活动, ,山的南面有山的南面有3 3条登山路线条登山路线, ,山的北面山的北面有有2 2条登山路线条登山路线, ,要登上山顶要登上山顶, ,问共有多少种问共有多少种不同的路线？不同的路线？问题问题1 1 某班级有某班级有3434位男生位男生,15,15位女生位女生, ,现现要选一位同学参加演讲比赛要选一位同学参加演讲比赛, ,则有多少种不则有多少种不同的选法？同的选法？探究探究1 1：你能说说以上两个问题的共同特征吗？：你能说说以上两个问题的共同特征吗？分类加法计数原理分类加法计数原理 完成一件事有两类不

3、同方案，在第完成一件事有两类不同方案，在第1 1类类方案中有方案中有m m种不同的方法种不同的方法, ,在第在第2 2类方案中有类方案中有n n种不同的方法种不同的方法. .那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m+nN=m+n种不同的方法种不同的方法. .问题问题2 2 秋天到了，学校举行秋天到了，学校举行“全民健身全民健身”登山活动登山活动, ,山山的南面有的南面有3 3条登山路线条登山路线, ,山的北面有山的北面有2 2条登山路线条登山路线, ,要登上要登上山顶山顶, ,问共有多少种不同的路线？问共有多少种不同的路线？问题问题1 1 我们班级有我们班级有3434位男生位男生,15,1

4、5位女生位女生, ,现要选一位同学现要选一位同学参加演讲比赛参加演讲比赛, ,则有多少种不同的选法？则有多少种不同的选法？ , ,在第在第1 1类方案中类方案中有有m m种不同的方法种不同的方法, ,在第在第2 2类方案中有类方案中有n n种不同的方法种不同的方法. .那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m+nN=m+n种不同的方法种不同的方法. .完成一件事完成一件事有两类不同方案有两类不同方案例例1 1：在填写高考志愿表时在填写高考志愿表时, ,一名高中毕业生了一名高中毕业生了解到解到,A,B,A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：

5、专业，具体情况如下： A A大学大学 B B大学大学 生物学生物学 数学数学 化学化学 会计学会计学 医学医学 信息技术学信息技术学 物理学物理学 法学法学 工程学工程学如果这名同学只能选择一个专业如果这名同学只能选择一个专业, ,那么他共有多那么他共有多少种选择呢？少种选择呢？想一想想一想 在填写高考志愿表时在填写高考志愿表时, ,一名高中毕业一名高中毕业生了解到生了解到,A,B,C,A,B,C三所大学各有一些自己感兴趣三所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：的强项专业，具体情况如下：生物学生物学 数学数学 化学化学 会计学会计学 医学医学 信息技术学信息技术学 物理学物理学 法

6、学法学 工程学工程学如果这名同学只能选择一个专业如果这名同学只能选择一个专业, ,那么他共有多那么他共有多少种选择呢？少种选择呢？C C大学大学环境科学环境科学地质学地质学车辆工程车辆工程探究探究2 2：如果完成一件事有三类不同方案：如果完成一件事有三类不同方案, ,在第在第1 1类方案中有类方案中有m m1 1种不同的方法种不同的方法, ,在第在第2 2类类方案中有方案中有m m2 2种不同的方法，在第种不同的方法，在第3 3类方案中类方案中有有m m3 3种不同的方法种不同的方法, ,那么完成这件事共有多那么完成这件事共有多少种不同的方法？少种不同的方法？N=m1+m2+m3想一想：想一想

7、：如果完成一件事情有如果完成一件事情有n n类不同方案，类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？如何计数呢？ 一般归纳：一般归纳： 完成一件事情，有完成一件事情，有n类方案，在第类方案，在第1类办法中有类办法中有 种不同的方法，在第种不同的方法，在第2类方案中有类方案中有 种不同的方法种不同的方法在第在第n类方案中有类方案中有 种不同的方法种不同的方法.那么完成这件那么完成这件事共有事共有 种不同的方法种不同的方法.1m2mnm12nNmmm1 1、一件工作可以用一件工作可以用2 2种方法完成，有种方法完成，有5 5人会用第人会用第1

8、 1种种方法完成，另有方法完成，另有4 4人会用第人会用第2 2种方法完成，从中选出种方法完成，从中选出1 1人来完成这件工作，不同选法的种数是人来完成这件工作，不同选法的种数是 . .2 2、现有高中一年级的学生现有高中一年级的学生3 3名，高中二年级的学名，高中二年级的学生生5 5名，高中三年级的学生名，高中三年级的学生4 4名名. .从中任选从中任选1 1人参加人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？接待外宾的活动，有多少种不同的选法？3 3、用一个大写英文字母或一个阿拉伯数字给教室用一个大写英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？里的座位编号，总共能编

9、出多少种不同的号码？练习：练习：问题问题3 3 用前用前6 6个大写英文字母和个大写英文字母和1 19 9九个阿拉伯九个阿拉伯数字，以数字，以 , , ,， , , ,的方式给教室的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？1A2A1B2B问题问题4 4 某班级有某班级有3434位男生位男生,15,15位女生位女生, ,现要从中选现要从中选出男生、女生各一名同学参加演讲比赛出男生、女生各一名同学参加演讲比赛, ,则共有多则共有多少种不同的选法？少种不同的选法？探究探究3 3：你能说说以上两个问题的共同特征吗？：你能说说以上两个问题的共同特征吗

10、？探究探究4 4：你能试着解决这两个问题吗？：你能试着解决这两个问题吗？分步乘法计数原理分步乘法计数原理 完成一件事需要分二个步骤，在完成一件事需要分二个步骤，在第第1 1步中有步中有m m种不同的方法，在第种不同的方法，在第2 2步步中有中有n n种不同的方法种不同的方法. . 那么完成这件那么完成这件事共有事共有 N=N=m mx xn n 种不同的方法种不同的方法. .如果如果做一件事情，完成它需要做一件事情，完成它需要n n个个步步骤，在第一骤，在第一步步中有中有m m1 1种不同的方法，在第二种不同的方法，在第二步步中有中有m m2 2种不同的法，种不同的法， 在在第第n n步步中有

11、中有m mn n类不同的方法，那么完成这件事情有类不同的方法，那么完成这件事情有 N=mN=m1 1m m2 2m m3 3. .m mn n种不同的方法种不同的方法. .如果如果做一件事情，完成它需要三个步骤，在第一做一件事情，完成它需要三个步骤，在第一步步中中有有m m1 1种不同的方法，在第二种不同的方法，在第二步步中有中有m m2 2种不同的法，在第三种不同的法，在第三步步中有中有m m3 3类不同的方法，那么完成这件事情有类不同的方法，那么完成这件事情有 N=mN=m1 1m m2 2m m3 3种不同的方法种不同的方法. .分类计数原理与分步计数原理有什么异同？分类计数原理与分步计

12、数原理有什么异同？ 不同点：分类计数原理与不同点：分类计数原理与“分类分类”有关，各种有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与件事；分步计数原理与“分步分步”有关，各个步骤相有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成成 相同点：分类计数原理与分步计数原理都是涉及相同点：分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数的问题。完成一件事的不同方法的种数的问题。 书架的第书架的第1层放有层放有4本不同的计算机书，第本不同的计算机书，第2层放有层放有3

13、本不同的文艺书，第本不同的文艺书，第3层放有层放有2本不同的本不同的体育书体育书 （1）从书架上任取）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第）从书架的第1、2、3层各取层各取1本书，有多少种本书，有多少种不同的取法？不同的取法？例例3.要从甲、乙、丙要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出幅不同的画中选出2幅，幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？有多少种不同的挂法？解：第1步：从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法第2步：从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法根据分步乘法计数原理，不同

14、挂法的种数是N326 1 1、在由电键组在由电键组A、B组成的串联电路中，组成的串联电路中，如图，要接通电源，使电灯发光的方法如图，要接通电源，使电灯发光的方法有几种？有几种？练习：练习： 2、某学校的一个班级组织学生义务献血，在体、某学校的一个班级组织学生义务献血，在体检合格的学生中，是检合格的学生中，是o型血的有型血的有10人，人，A型血型血的有的有7人，人，B型血的有型血的有8人，人，AB型血的有型血的有5人，人，（1）从中任选）从中任选1名学生去献血，有多少种不同的名学生去献血，有多少种不同的选法？选法？练习：练习：（2）从四种血型的学生中各选）从四种血型的学生中各选1名学生去献血，名

15、学生去献血，有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？（3）从中任选）从中任选2名具有不同血型的学生去献血，名具有不同血型的学生去献血，有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？例例4、给程序模块命名，需要用、给程序模块命名，需要用3个字符，其中首个字符，其中首字符要求用字母字符要求用字母AG或或UZ，后两个要求用数字，后两个要求用数字19，问最多可以给多少个程序命名？，问最多可以给多少个程序命名？解：第解：第1步：选首字符，共有步：选首字符，共有7613种选法种选法第第2步：选中间字符，共有步：选中间字符，共有9种选法种选法第第3步，选最后一个字符，共有步，选最后一个字符，共有9种选法种选法根据

16、分步计数原理，最多可以有根据分步计数原理，最多可以有13991053个不同的名称个不同的名称 例例5 5 核糖核酸（核糖核酸（RNARNA）分子是在生物细胞中发现的化学）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个成分，一个RNARNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据所占据. .总共有总共有4 4种不同的碱基，分别用种不同的碱基，分别用A A，C C，G G，U U表示表示. .在一个在一个RNARNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以分子中，各种碱

17、基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关. .假设假设有一类有一类RNARNA分子由分子由100100个碱基组成，那么能有多少个不同的个碱基组成，那么能有多少个不同的RNARNA分子？分子？A AG GC CU UA AA AA AU U G GG GC CC C4 4100100个个 例例6 6 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态. .因此计因此计算机内部就采用了每一位只有算机内部就采用

18、了每一位只有0 0或或1 1两种数字的记数法，即两种数字的记数法，即二进制二进制. .为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8 8个二进个二进制位构成制位构成. .问：问：（1 1）一个字节（）一个字节（8 8位）最多可以表示多少个不同的字符？位）最多可以表示多少个不同的字符？（2 2）计算机汉字国际码（）计算机汉字国际码（GBGB码）包含了码）包含了6 7636 7

19、63个汉字，一个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？少要用多少个字节表示？ (1)256(1)256个个 (2)2(2)2个个 例例7 7 计算机编程人员在编写好程序以后需要对计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试，程序员需要知道到底有多少条执程序进行测试，程序员需要知道到底有多少条执行路径（即程序从开始到结束的路线），以便知行路径（即程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据道需要提供多少个测试数据. .一般地，一个程序模一般地，一个程序模块由许多子模块组成块由许多子模块组成

20、. .如图所示是一个具有许多执如图所示是一个具有许多执行路径的程序模块行路径的程序模块. .（1 1）这个程序模块有多少条执行路径；）这个程序模块有多少条执行路径；（2 2）为了减少测试时间，程序员需要设法减少测）为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数，你能帮助程序员设计一个测试方法，以试次数，你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？减少测试次数吗？开始开始子模块子模块1 11818条执行路径条执行路径子模块子模块5 54343条执行路径条执行路径子模块子模块4 43838条执行路径条执行路径子模块子模块3 32828条执行路径条执行路径子模块子模块2 24545条执行路径条执

21、行路径结束结束A A73717371条条178178次次 例例8 8 随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容. .交通管理部门出台交通管理部门出台了一种汽车牌照组成方法，每一个汽车牌照都必须有了一种汽车牌照组成方法，每一个汽车牌照都必须有3 3个个不重复的英文字母和不重复的英文字母和3 3个不重复的阿拉伯数字，并且个不重复的阿拉伯数字，并且3 3个字个字母必须合成一组出现，母必须合成一组出现，3 3个数字也必须合成一组出现个数字也必须合成一组出现. .那么那么这种办法共能给多少辆汽车上

22、牌照？这种办法共能给多少辆汽车上牌照？共能给共能给22 464 00022 464 000辆汽车上牌照辆汽车上牌照. . 用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析计算之前要进行仔细分析需要分类还是需要分步。需要分类还是需要分步。分类要做到分类要做到“不重不漏不重不漏”，分步要做到，分步要做到“步骤完整步骤完整” 要从甲、乙、丙要从甲、乙、丙3名工人中选出名工人中选出2名分别上日班和晚名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？班，有多少种不同的选法？ 练习：练习：从数字从数字1、2、3、4、5中任选三个数字中任选三个数字可以

23、组成多少个无重可以组成多少个无重复数字的三位数？复数字的三位数？2、乘积（乘积（a1+a2+a3 ）（）（b1+b2+b3+b4 ）（）（c1+c2+c3+c4+c5）展开后共有多少项？展开后共有多少项？4、由数字由数字0 0，1 1，2 2，3 3，4 4，5 5可以组成多少个有重复数字的三位数？可以组成多少个有重复数字的三位数？5 5、个班分别从个风景点中选择一处游览，不同选法的种数个班分别从个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是是还是还是？集合集合A=1,2,3,4,B=5,6,7, 从从A到到B的映射有多少个？的映射有多少个？某中学的一幢某中学的一幢5层教学楼共有层教学楼共有3处楼梯

24、，问从处楼梯，问从1楼到楼到5楼共楼共有多少种不同的走法？有多少种不同的走法？A AD DC CB B8、用用5 5种不同颜色给图中种不同颜色给图中A A，B B，C C，D D四个区域涂色，每个区域只四个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，相邻区域的颜色不同，求共有多少种不同的涂色方法？涂一种颜色，相邻区域的颜色不同，求共有多少种不同的涂色方法？9、如图，从甲地到乙地有如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有条路，从乙地到丁地有3条路；从条路；从甲地到丙地有甲地到丙地有4条路可以走，从丙地到丁地有条路可以走，从丙地到丁地有2条路。从甲地到条路。从甲地到丁地共有多少种不同地走法？丁地共有多少种不同地走法？甲地甲地丙地丙地丁地丁地乙地乙地 10、如图如图,该电路该电路,从从A到到B共有多少条不同的线路可通电？共有多少条不同的线路可通电？AB集合集合A=1,2,-3,B=-1,-2,3,4 从从A,B 中各取中各取1个元素作为个元素作为点点P(x,y) 的坐标的坐标（1）可以得到多少个不同的点？）可以得到多少个不同的