向量与三角形四心(教师版)

1、向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）是的重心.证法1：设是的重心.证法2：如图三点共线，且分为2：1是的重心(2)若O是的重心，则（3）为的垂心.证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.同理，为的垂心(4) O是ABC所在平面内一点则O是ABC的垂心证明：由，得，所以

2、。同理可证。容易得到由以上结论知O为ABC的垂心。(5) 设，则向量必垂直于边BC，该向量必通过ABC的垂心（6） 若H是ABC(非直角三角形)的垂心，则SBHC：SAHC：SAHB=tanA：tanB：tanC 故tanA·+tanB·+tanC·=（7）若点O为ABC所在的平面内一点，满足 ，则点O为ABC的外心。证明：因为，所以同理得由题意得，所以，得。故点O为ABC的外心。（8）两点分别是的边上的中点,且（9）若O是ABC的外心，则SBOC：SAOC：SAOB=sinBOC：sinAOC：sinAOB=sin2A：sin2B：sin2C 故sin2A

3、83;+sin2B·+sin2C·=（10）设,是三角形的三条边长，O是ABC的内心为的内心.证明：分别为方向上的单位向量，平分,)，令（)化简得（11）设，则向量必平分BAC，该向量必通过ABC的内心; 设，则向量必平分BAC的邻补角 （12）O是ABC的内心充要条件是 （13）若O是ABC的内心，则SBOC：SAOC：SAOB=a：b：c故a·+b·+c·=或sinA·+sinB·+sinC·=; （14）设为ABC所在平面内任意一点，I为ABC的内心， * 内心I（，）证明：由是的内心。(其中是三边)（见内心

4、的充要条件的证明）, I（，）.（15）为的外心。与三角形“四心”相关的向量结论 随着新课程对平面几何推理与证明的引入，三角形的相关问题在高考中的比重有所增加。平面向量作为平面几何的解题工具之一，与三角形的结合就显得尤为自然，因此对三角形的相关性质的向量形式进行探讨，就显得很有必要。本文通过对一道高考模拟题的思考和探究，得到了与三角形“四心”相关的向量结论。希望在得出结论的同时，能引起一些启示。 结论： 设点在内部，若，则证明： 已知点在内部，且 设：，则点为DEF的重心， 又， 说明: 此结论说明当点在内部时，点把所分成的三个小三角形的面积之比等于从此点出发分别指向与三个小三角形相对应的顶点

5、的三个向量所组成的线性关系式前面的系数之比。应用举例：设点在内部，且，则的面积与的面积之比是： A2：1 B3：1 C4：3 D3：2 分析：由上述结论易得：，所以，故选D 当把这些点特定为三角形的“四心”时，我们就能得到有关三角形“四心”的一组统一的向量形式。引申：设点在内部，且角所对应的边分别为 结论1：若为重心，则 分析：重心在三角形的内部，且重心把的面积三等分.结论2 ：为内心，则 分析：内心在三角形的内部，且易证SBOC：SCOA：SAOB=结论3： 为的外心，则 分析： 易证SBOC：SCOA：SAOB=sin2A：sin2B：sin2C. 由结论3及结论：为的外心，为的垂心，则可

6、得结论4。 结论4：若为垂心，则 即 证明：对任意有，其中为外心，为垂心， ， 则由平面向量基本定理得：存在唯一的一组不全为0的实数，使得， 即，由结论3得： 所以有：， 所以可得： 化简后可得： 应用举例：例1：已知为的内心，且，则角的余弦值为 。分析：由结论2可得，所以由余弦定理可得：例2：已知的三边长为，设的外心为，若， 求实数的值。分析： ，整理后即得：. 由结论3可得：，又易得， . 点评：此题的通用解法应该是构造与基底相关的如下方程组： 解方程组可得结果。 例3：设是的垂心，当时，求实数的值. 分析： 由结论4可得：. 而，整理后得： 由，可得， .而， 解得，. 点评：此题的通用

7、解法应该是仿例2的点评，构造与基底相关的方程组。 通过这样的思考、探究，不仅得到了与三角形的“四心”相关的有用结论，更为重要的是对提高发现问题和解决问题的能力有很大帮助，正契合了新课标对学生能力的要求。所以在平时的教学中要注意引导学生经常做一些类似的思考与探究，将极大地提高学生的数学素质及思维能力。典型例题：例1：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ C ）A外心 B内心 C重心 D垂心分析：如图所示，分别为边的中点./点的轨迹一定通过的重心，即选.例2：（03全国理4）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ B ）

8、A外心 B内心 C重心 D垂心分析：分别为方向上的单位向量，平分,点的轨迹一定通过的内心，即选例3：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ D ）A外心 B内心 C重心 D垂心 分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足.=+=0点的轨迹一定通过的垂心，即选.课后练习：1已知三个顶点及平面内一点，满足，若实数满足：，则的值为（ C ）A2 B C3 D62若的外接圆的圆心为O，半径为1，则( D )A B0 C1 D3点在内部且满足，则面积与凹四边形面积之比是（ C ）A0 B C D4的外接圆的圆心为O，若，则是的（ D ）A外心 B内心 C重心 D垂心 5是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，若，则是的（ D ）A外心 B内心 C重心 D垂心6的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m =