[高考]08年--12年5年高考文科数学试题及答案详解全国卷

1、20082008 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试文科数学文科数学( (必修必修+ +选修选修 I)I)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分第卷 1 至 2 页第卷 3 至 10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第第卷卷注意事项：1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号不能答在试题卷上3本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的参考公式：参考公式：如果事件互斥，那么 球的

2、表面积公式AB， ()( )( )P ABP AP B24SR如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径AB，R 球的体积公式()( )( )P A BP A P B如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 Ap343VR次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径nAkR( )(1)(012)kkn kknP kC ppkn，一、选择题一、选择题1若且是，则是（ ）sin0tan0A第一象限角B 第二象限角C 第三象限角D 第四象限角2设集合，（ ）| 32Mmm Z| 13NnnMNZ则，AB CD 01 ，101 ，012，1012 ，3原点到直线的距离为（ ）052yxA1B C

3、2 D354函数的图像关于（ ）1( )f xxxA轴对称 B 直线对称 yxyC 坐标原点对称 D 直线对称xy 5若，则（ ）13(1)ln2lnlnxeaxbxcx，ABC D 1321( )(1)4243f xxa xaxa ()讨论 f(x)的单调性;()若当 x0 时，f(x)0 恒成立，求 a 的取值范围。 （22） （本小题满分 12 分）已知椭圆 C: 的离心率为 ，过右焦点 F 的直线 l 与 C 相22221(0)xyabab33交于 A、B 两点，当 l 的斜率为 1 时，坐标原点 O 到 l 的距离为.22（）求 a,b 的值；（）C 上是否存在点 P，使得当 l 绕

4、 F 转到某一位置时，有成立？OPOAOB 若存在，求出所有的 P 的坐标与 l 的方程；若不存在，说明理由。 2009 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）文科数学参考答案（1）C （2）B （3）A （4）D （5）C （6）C（7）B （8）A （9）D （10）C （11）D （12）B （13）3 （14）6 （15）254（16）81已知全集 U=1，2，3，4，5，6，7，8，M=1，3，5，7，N=5，6，7则UCMN（）A 5，7 B 2，4 C 2,4,8 D 1,3,5,7解析：集合的并补运算答案：C2函数的反函数是(0)yx x A B C D 2(0)yxx2(0

5、)yxx 2(0)yxx2(0)yxx 解析：反函数概念答案：B3函数的图像22log2xyx A 关于原点对称 B 关于直线对称 C 关于轴对称 D 关于直线对称yx yyx 解析：函数奇偶性及对数式定义域及运算 答案：AABC 中，cotA=,则 cosA=125（A） （B） （C） (D)12135135131213解析：同角三角函数基本关系并注意所在象限的符号答案：D5已知正四棱柱中，E 为中点，则异面直线 BE 与1111ABCDABC D12AAAB1AA 所成角的余弦值为1CD（A） (B) (C) (D) 1010153 101035解析：平移成三角形用余弦定理解，或建立坐标

6、系解，注意线线角不大于 900答案：C6已知向量，,则(2,1)a 10a b| 5 2abb （A） (B) (C) 5 (D) 25510答案：C解析：将平方即可| 5 2ab7，则2lg ,(lg ) ,lgae bece(A) (B) (C) (D) abcacbcabcba解析：将判断即可lglg20.3e看作答案：B8双曲线的渐近线与圆相切，则 r=22163xy222(3)(0)xyrr A B 2 C 3 D 63 解析：联立消 y 得 x 的一元二次方程，由判别式为 0，得 r=3 答案：A9若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数tan()(0)4yx6的图像重合，则的最

7、小值为tan()6yx（A） (B) (C) (D) 16141312解析：由可得646xxk（）答案：D10甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有 （A）6 种 （B）12 种 （C）30 种 （D）36 种解析：由得222444c cc答案：C11已知直线与抛物线相交于 A、B 两点，F 为 C 的焦点，(2)(0)yk xk2:8C yx若,则 k=（A） (B) (C) (D) 2FAFB1323232 23解析：由一元二次根系关系出，由抛物线定义出，三式1212,xxx x1222(2)xx联立得 k答案：D12纸制的正方体的六个

8、面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标的面的方位是“”（A）南 （B）北 （C）西 （D）解析：空间想象几何体还原能力答案：B13设等比数列的前项和为.若 . nanns163,41,4aSS则a 解析：由条件得 q3=3，所以41 33a 答案：3 14的展开式中的系数为 .4()xyy x33x y解析：224( 1) c答案：6 15已知圆 O：和点 A（1，2） ，过点 A 且与圆 O 相切的直线与两坐标轴围225xy成的三角形的面积为 解析：由切线方程 得横、纵截距分别为 5 和，得面积为5215255

9、224 答案：25416设 OA 是球 O 的半径,M 是 OA 的中点,过 M 且与 OA 成,则球 O 的表面积等于 .4574解析：由小圆面积得小圆的，由得，所以274r 222()2()2RRr22R 248SR答案：817 解：设 na的公差为d，则 11112616350adadadad 即22111812164adadad 解得118,82,2aadd 或因此819819nnSnn nn nSnn nn n ，或（18）解：由 cos（AC）+cosB=32及 B=（A+C）得 cos（AC）cos（A+C）=32， cosAcosC+sinAsinC（cosAcosCsinAs

10、inC）=32, sinAsinC=34.又由2b=ac 及正弦定理得 2sinsinsin,BAC故 23sin4B ， 3sin2B 或 3sin2B （舍去） ，于是 B=3 或 B=23.又由 2bac知ab 或cb 所以 B=3。 （19）解法一：（）取 BC 中点 F，连接 EF，则 EF121B B，从而 EFDA。连接 AF，则 ADEF 为平行四边形，从而 AF/DE。又 DE平面1BCC，故 AF平面1BCC，从而 AFBC，即 AF 为 BC 的垂直平分线，所以AB=AC。（）作 AGBD，垂足为 G，连接 CG。由三垂线定理知 CGBD，故AGC 为二面角 A-BD-C

11、 的平面角。由题设知，AGC=600. 设 AC=2，则 AG=23。又 AB=2，BC=2 2，故 AF=2。由AB ADAG BD得 2AD=222.23AD ，解得 AD=2。故 AD=AF。又 ADAF，所以四边形 ADEF 为正方形。因为 BCAF，BCAD，AFAD=A，故 BC平面 DEF，因此平面 BCD平面 DEF。连接 AE、DF，设 AEDF=H，则 EHDF，EH平面 BCD。连接 CH，则ECH 为1BC与平面 BCD 所成的角。 因 ADEF 为正方形，AD=2，故 EH=1，又 EC=112BC=2，所以ECH=300，即1BC与平面 BCD 所成的角为 300.

12、解法二：（）以 A 为坐标原点，射线 AB 为 x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系 Axyz。设 B（1，0，0） ，C（0，b，0） ，D（0，0，c） ，则1B（1，0，2c）,E（12，2b，c）.于是DE=（12，2b，0） ，BC=（-1，b,0）.由 DE平面1BCC知 DEBC， DE BC=0，求得 b=1，所以 AB=AC。（）设平面 BCD 的法向量( , , ),ANx y z则0,0.AN BCAN BD又BC=（-1，1，0） ，BD=（-1，0，c）,故00 xyxcz 令 x=1, 则 y=1, z=1c,AN=(1,1, 1c).又平面ABD的法向量AC=

13、（0，1，0）由二面角CBDA为 60知，ACAN，=60，故 60cosACANACAN，求得21c 于是 ），（211AN ， ），211 (1CB21cos111CBANCBANCBAN， 601CBAN，所以CB1与平面BCD所成的角为 30（20）解：（I）由于甲、乙两组各有 10 名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4 名工人进行技术考核，则从每组各抽取 2 名工人。（II）记A表示事件：从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人，则 158)(2101614CCCAP （III）iA表示事件：从甲组抽取的 2 名工人中恰有i名男工人，210 ，i jB表示事件：从乙组抽取的

14、 2 名工人中恰有j名男工人，210j， B表示事件：抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人。 iA与jB独立，210 ， ji ，且021120BABABAB故 )()(021120BABABAPBP )()()()()()(021120BPAPBPAPBPAP 210262102628141621016142102421024CCCCCCCCCCCCCC 7531（21）解： （I）)2)(2(4)1 (2)(2axxaxaxxf 由1a知，当2x时，0)( xf，故)(xf在区间)2 ,(是增函数； 当ax22时，0)( xf，故)(xf在区间)2 , 2(a是减函数； 当ax2时，0)

15、( xf，故)(xf在区间),2(a是增函数。 综上，当1a时，)(xf在区间)2 ,(和),2(a是增函数，在区间)2 , 2(a是减函数。 （II）由（I）知，当0 x时，)(xf在ax2或0 x处取得最小值。 aaaaaaaf2424)2)(1 ()2(31)2(23 aaa2443423 af24)0(由假设知, 0)0(, 0)2(1fafa 即. 024, 0)6)(3(34, 1aaaaa 解得 1a6故a的取值范围是（1，6） .（22）解：（）设,0 , cF 当l的斜率为 1 时，其方程为Ocyx, 0到l的距离为 2200cc 故 222c， 1c 由 33ace 得 3

16、a，22cab=2（）C 上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OBOAOP成立。由 （）知 C 的方程为22x+23y=6. 设).,(),(2211yxByxA () ) 1( xkylxl的方程为轴时，设不垂直当C OBOAOPP使上的点成立的充要条件是）点的坐标为（2121,yyxxP， 且6)(3)(2221221yyxx整理得 6643232212122222121yyxxyxyx632 , 63222222121yxyxCBA上，即在、又故 03322121yyxx 将 并化简得代入, 632) 1(22yxxky0636)32(2222kxkxk于是 2221326kkxx

17、, 21xx=223263kk, 2221221324)2)(1(kkxxkyy 代入解得，22k，此时2321 xx于是)2(2121xxkyy=2k， 即)2,23(kP 因此， 当2k时，)22,23(P， 022 yxl的方程为；当2k时，)22,23(P， 022 yxl的方程为。（）当l垂直于x轴时，由)0 , 2(OBOA知，C 上不存在点 P 使OBOAOP成立。综上，C 上存在点)22,23(P使OBOAOP成立，此时l的方程为022 yx 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）文科数学文科数学本试卷分第卷(选择题)和第卷（非

18、选择题）两部分 第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 4 页。考试结束后，将本试卷降答题卡一同交回，满分 150 分，考试用时 120 分钟注意事项：1 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号答题卡上填写清楚，并认真找准条形码上的准考证号，姓名、考、谁座位号填写在规定的位置贴好条形码。2 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷的答案无效。第第卷卷 （选择题（选择题 共共 5050 分）分）选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在，每小题给出的四个选项中，参考公式：如

19、果事件 A、B 互斥，那么 球的表面积公式P（A+B）=P(A)+P(B) S=4R2如果事件 A、B 相互独立，那么P（A-B）=P(A)-P(B)一、选择题二、设全集 U=xN+ |x1)的反函数是（A）y=1xe-1(x0) (B) y=1xe+1(x0) (C) y=1xe-1(x R) (D）y=1xe+1 (x R)【解析解析】D】D：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，函数函数 Y=1+LNY=1+LN（X-1X-1）(X1)(X1)， 11ln(1)1,1,1yxxyxeye (5)若变量 x,y 满足约束条件1325xyxxy 则

20、 z=2x+y 的最大值为（A）1 (B)2 (C)3 (D)4【解析解析】C】C：本题考查了线性规划的知识。：本题考查了线性规划的知识。 作出可行域，作出目标函数线，可得直线与作出可行域，作出目标函数线，可得直线与yx 与与325xy的交点为最优解点，的交点为最优解点，即为（即为（1 1，1 1） ，当，当1,1xy时时max3z(6)如果等差数列 na中，3a+4a+5a=12，那么1a+2a+7a=（A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35【解析解析】C】C：本题考查了数列的基础知识。：本题考查了数列的基础知识。 34512aaa， 44a 12717417 ()7282aaa

21、aaa （7）若曲线2yxaxb在点(0, )b处的切线方程是10 xy ，则（A）1,1ab (B) 1,1ab (C) 1,1ab (D) 1,1ab 【解析解析】A】A：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程 02xyxaa ， 1a ，(0, )b在切线在切线10 xy ， 1b （8）已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于 2 的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（A） 34 (B) 54(C) 74 (D) 34【解析解析】D】D：本题考查了立体几何的线与面、面与面

22、位置关系及直线与平面所成角。：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。过过 A A 作作 AEAE 垂直于垂直于 BCBC 交交 BCBC 于于 E E，连结，连结 SESE，过，过 A A 作作 AFAF 垂直于垂直于 SESE 交交SESE 于于 F F，连，连 BFBF，正三角形正三角形 ABCABC， E E 为为 BCBC 中点，中点， BCAEBCAE，SABCSABC， BCBC面面 SAESAE， BCAFBCAF，AFSEAFSE， AFAF面面 SBCSBC，ABFABF 为直线为直线 ABAB 与面与面 SBCSBC 所成角，由正三角形边长所成角，由

23、正三角形边长3 3， 3AE ，AS=3AS=3， SE=SE=2 3，AF=AF=32， 3sin4ABF（9）将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A） 12 种 (B) 18 种 (C) 36 种 (D) 54 种【解析解析】B】B：本题考查了排列组合的知识：本题考查了排列组合的知识先从先从 3 3 个信封中选一个放个信封中选一个放 1 1，2 2 有有 3 3 种不同的选法，再从剩下的种不同的选法，再从剩下的 4 4 个数中选两个放一个信个数中选两个放一个信封有封有246

24、C ，余下放入最后一个信封，余下放入最后一个信封，共有共有24318C （10）ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分ACB，若CB = a , CA = b , a= 1 ，b= 2, 则CD =（A）13a + 23b （B）23a +13b （C）35a +45b （D）45a +35b【解析解析】B】B：本题考查了平面向量的基础知识：本题考查了平面向量的基础知识 CDCD 为角平分线，为角平分线， 12BDBCADAC， ABCBCAab ， 222333ADABab ， 22213333CDCAADbabab （11）与正方体 ABCDA1B1C1D1的三条棱 AB、CC1、

25、A1D1所在直线的距离相等的点（A）有且只有 1 个 （B）有且只有 2 个（C）有且只有 3 个 （D）有无数个【解析解析】D】D：本题考查了空间想象能力：本题考查了空间想象能力到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，三个圆柱面有无数个交点，三个圆柱面有无数个交点，（12）已知椭圆 C：22221xyab（ab0）的离心率为32，过右焦点 F 且斜率为k（k0）的直线于 C 相交于 A、B 两点，若3AFFB 。则 k =（A）1 （B）2 （C）3 （D）2（13）已知 是第

26、二象限的角,tan=1/2，则 cos=_ABCSEF【解析解析】2 55 ：本题考查了同角三角函数的基础知识：本题考查了同角三角函数的基础知识 1tan2 ，2 5cos5 (14)(x+1/x)9的展开式中，x3的系数是_【解析解析】84】84：本题考查了二项展开式定理的基础知识：本题考查了二项展开式定理的基础知识 9191( )rrrrTC xx， 923,3rr， 3984C (15)已知抛物线 C：y2=2px（p0）的准线 l，过 M（1,0）且斜率为的直线与 l 相交于 A，与 C 的一个交点为 B，若，则 p=_【解析解析】2】2：本题考查了抛物线的几何性质：本题考查了抛物线的

27、几何性质设直线设直线 ABAB：33yx，代入，代入22ypx得得23( 62 )30 xp x ，又，又 AMMB ， 122xp，解得，解得24120pP，解得，解得2,6pp （舍去）（舍去）（16）已知球O的半径为 4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，4AB ，若3OMON，则两圆圆心的距离MN 。【解析解析】3】3：本题考查球、直线与圆的基础知识：本题考查球、直线与圆的基础知识 ON=3ON=3，球半径为，球半径为 4 4，小圆小圆 N N 的半径为的半径为7，小圆小圆 N N中弦长中弦长 AB=4AB=4，作，作 NENE 垂直于垂直于 ABAB， NE=NE

28、=3，同理可得，同理可得3ME ，在直角三角形，在直角三角形 ONEONE 中，中， NE=NE=3，ON=3ON=3， 6EON， 3MON， MN=3MN=3三、解答题；本大题共三、解答题；本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17） （本小题满分 10 分）ABC 中，D为边BC上的一点，33BD ，5sin13B ，3cos5ADC，求AD。OMNEAB【解析解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。由由A

29、DC与与B的差求出的差求出BAD，根据同角关系及差角公式求出，根据同角关系及差角公式求出BAD的正弦，在三角的正弦，在三角形形 ABDABD 中，由正弦定理可求得中，由正弦定理可求得 ADAD。（18） （本小题满分 12 分）已知na是各项均为正数的等比数列，且1212112()aaaa，34534511164()aaaaaa（）求na的通项公式；（）设21()nnnbaa，求数列 nb的前n项和nT。【解析解析】本题考查了数列通项、前本题考查了数列通项、前n项和及方程与方程组的基础知识。项和及方程与方程组的基础知识。（1 1）设出公比根据条件列出关于）设出公比根据条件列出关于1a与与d的方

30、程求得的方程求得1a与与d，可求得数列的通项公式。，可求得数列的通项公式。（2 2）由（）由（1 1）中求得数列通项公式，可求出）中求得数列通项公式，可求出 BNBN 的通项公式，由其通项公式化可知其和可分的通项公式，由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。成两个等比数列分别求和即可求得。（19） （本小题满分 12 分） 如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AC=BC， AA1=AB，D 为 BB1的中点，E 为 AB1上的一点，AE=3 EB1 （）证明：DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线； （）设异面直线 AB1与 CD 的夹角为 45,求二面角 A1-A

31、C1-B1的大小.【解析解析】本题考查了立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基本题考查了立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基础知识。础知识。（1 1）要证明）要证明 DEDE 为为 AB1AB1 与与 CDCD 的公垂线，即证明的公垂线，即证明 DEDE 与它们都垂直，由与它们都垂直，由 AE=3EB1AE=3EB1，有，有 DEDE 与与BA1BA1 平行，由平行，由 A1ABB1A1ABB1 为正方形，可证得，证明为正方形，可证得，证明 CDCD 与与 DEDE 垂直，取垂直，取 ABAB 中点中点 F F。连结。连结DFDF、FCFC，证明，

32、证明 DEDE 与平面与平面 CFDCFD 垂直即可证明垂直即可证明 DEDE 与与 CDCD 垂直。垂直。（2 2）由条件将异面直线）由条件将异面直线 AB1AB1，CDCD 所成角找出即为所成角找出即为FDCFDC，设出，设出 ABAB 连长，求出所有能求出连长，求出所有能求出的边长，再作出二面角的平面角，根据所求的边长可通过解三角形求得。的边长，再作出二面角的平面角，根据所求的边长可通过解三角形求得。（20） （本小题满分 12 分） 如图，由 M 到 N 的电路中有 4 个元件，分别标为 T1，T2，T3，T4，电源能通过T1，T2，T3的概率都是 P，电源能通过 T4的概率是 0.9

33、，电源能否通过各元件相互独立。已知 T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为 0.999。（）求 P；（）求电流能在 M 与 N 之间通过的概率。【解析解析】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，（1 1）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将 T1T1，T2T2，T3T3 至少有一个能通过至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得电流用基本事件表示并求出概率即可求得 P P。（2 2）将）将 MNMN 之间能通过电流用基本事件表示出来，由互斥事件与独立

34、事件的概率求得。之间能通过电流用基本事件表示出来，由互斥事件与独立事件的概率求得。（21） （本小题满分 12 分） 已知函数 f（x）=x3-3ax2+3x+1。（）设 a=2，求 f（x）的单调期间；（）设 f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求 a 的取值范围。【解析解析】本题考查了导数在函数性质中的应用，主要考查了用导数研究函数的单调区间、本题考查了导数在函数性质中的应用，主要考查了用导数研究函数的单调区间、极值及函数与方程的知识。极值及函数与方程的知识。（1 1）求出函数的导数，由导数大于）求出函数的导数，由导数大于 0 0，可求得增区间，由导数小于，可求得增区间，由导数小于

35、 0 0，可求得减区间。，可求得减区间。（2 2）求出函数的导数）求出函数的导数( )fx，在（，在（2 2，3 3）内有极值，即为）内有极值，即为( )fx在（在（2 2，3 3）内有一个零点，）内有一个零点，即可根据即可根据(2)(3)0ff，即可求出，即可求出 A A 的取值范围。的取值范围。（22） （本小题满分 12 分）已知斜率为 1 的直线 1 与双曲线 C：22221(0,0)xyabab相交于 B、D 两点，且 BD的中点为 M（1.3）（）求 C 的离心率；（）设 C 的右顶点为 A，右焦点为 F，|DF|BF|=17 证明：过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切。【解析解

36、析】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力。本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力。（1 1）由直线过点（）由直线过点（1 1，3 3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于 BDBD 两点的中点为两点的中点为（1 1，3 3） ，可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出，可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出 A,BA,B 的关系式即求得离心率。的关系式即求得离心率。（2 2）利用离心率将条件）利用离心率将条件|FA|FB|=17|FA|FB|=17，用含，用含 A A 的代数式表示

37、，即可求得的代数式表示，即可求得 A A，则，则 A A 点坐标可点坐标可得（得（1 1，0 0） ，由于，由于 A A 在在 X X 轴上所以，只要证明轴上所以，只要证明 2AM=BD2AM=BD 即证得。即证得。绝密绝密启用前启用前2011 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学( (必修必修+ +选选修修 I)I) 本试卷分第本试卷分第卷卷( (选择题选择题) )和第和第卷卷( (非选择题非选择题) )两部分。第两部分。第卷卷 1 1 至至 2 2 页。第页。第卷卷 3 3 至至4 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第第卷卷注意事项：注

38、意事项：1答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目. 2每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效.3第卷共 l2 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.一、选择题一、选择题(1)设集合U=U=, ,则则1,2,3,41,2,3 ,M 2,3,4 ,N U=（M N ）I（A A） （B B） （C C） （D D） 12， 2 3，2

39、，41，4【答案】D【命题意图】本题主要考查集合交并补运算.【解析】2,3,()1,4UMNMNQII(2)函数的反函数为2(0)yx x（A A） （B B）2()4xyxR2(0)4xyx（C C） （D D）24yx()xR24(0)yxx【答案】B【命题意图】本题主要考查反函数的求法.【解析】由原函数反解得,又原函数的值域为,所以函数24yx 0y 的反函数为.2(0)yx x2(0)4xyx(3)设向量满足,则, a b | | 1ab12a b r r2ab（A） （B） （C） （D）2357【答案】B【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法.【解析】,所以222

40、1|2 |44|14 ()432abaa bb rrrr ru r23abrr(4)若变量 x，y 满足约束条件，则的最小值为63-21xyxyx=23zxy（A）17 （B）14 （C）5 （D）3【答案】C【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.【解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线过直线 x=1 与=23zxyx-3y=-2 的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为 5.(5)下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是ab（A A） （B B） （C C） （D D）1ab1ab22ab33ab【答案】A【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.【解析】即寻找命

41、题,使,且推不出,逐项验证知可选 A.PPababP(6)设为等差数列的前项和，若，公差，nS nan11a 2d 224kkSS则 k （A A）8 （B B）7 （C C）6 （D D）5【答案】D【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用.【解析】解法一，解得2(2)(1)(1)(2) 12 12442422kkkkk kSSkkk .5k 解法二: ，解得.2211 (1) 2(12)4424kkkkSSaakkk5k (7)设函数，将的图像向右平移个单位长度后，( )cos(0)f xx( )yf x3所得的图像与原图像重合，则的最小值等于（A A） （B B） （C C） （

42、D D）13369【答案】C【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系.【解析】由题意将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，( )yf x3说明了是此函数周期的整数倍,得,解得,又,令,32()3kkZ6k01k 得.min6ClABD(8)已知直二面角,点，,为垂足,，,为垂l AAClCBBDlD足,若，则2,1ABACBDCD （A） 2 （B） （C） （D）132【答案】C【命题意图】本题主要考查二面角的平面角及解三角形.【解析】因为是直二面角, ,平面,l AClAC ACBC,又,3BCBDl2CD(9) 4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课

43、程中选修 1 门，则恰有 2 人选修课程甲的不同选法共有(A) 12 种 (B) 24 种 (C) 30 种 (D)36 种【答案】B【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】第一步选出 2 人选修课程甲有种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中246C 各选 1 门课程有种选法，根据分步计数原理，有种选法.2 26 424(10) 设是周期为 2 的奇函数，当时，,则( )f x01x( )f x 2 (1)xx5()2f (A)(A) - - (B)(B) (C)(C) (D)(D)121 41412【答案】A【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶

44、性求函数值的方法. 关键是把通过周期性和奇偶性把自变量转化到区间0,1上进行求值.52【解析】由是周期为 2 的奇函数,利用周期性和奇偶性得: ( )f x5511111()(2)()( )2(1)2222222ffff (11)设两圆、都和两坐标轴相切，且都过点（4，1） ，则两圆心的距离=1C2C12C C (A)4 (B) (C)8 (D) 4 28 2【答案】C 【命题意图】本题主要考查圆的方程与两点间的距离公式.【解析】由题意知圆心在直线 y=x 上并且在第一象限,设圆心坐标为,则( , )(0)a a a ,即,所以由两点间的距离公式可求出22(4)(1)aaa210170aa.2

45、1212122()42 (1004 17)8C Caaa a (12)已知平面截一球面得圆，过圆心且与成二面角的平面截该球MM060面得圆. .若该球面的半径为 4，圆的面积为 4，则圆的面积为NMN (A)(A)7 (B)(B)9 (C)(C)11 (D)(D)13【答案】D【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.【解析】如图所示,由圆的面积为 4知球心到圆的距离MOM,在中, ,故圆2 3OM Rt OMN30OMN132ONOM的半径,圆的面积为. N2213rRONN213Sr第第卷卷注意事项：注意事项：1 答题前，考生先在答题卡上用直径 05 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、

46、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目。2 第卷共2 页，请用直径 05 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷在试题卷上作答无效上作答无效。3 第卷共 l0 小题，共 90 分。线上线上. . ( (注意注意：在试卷上作答无效：在试卷上作答无效) )(13)的二项展开式中，的系数与的系数之差为 .10(1)xx9x【答案】0【命题意图】本题主要考查二项展开式的通项公式和组合数的性质.【解析】由得的系数为,的系数为,11010()( 1)rrrrrrTCxC x x109x91010C 所以的系数与的系数之差为 0.x9x(14)已知

47、,则 .3( ,)2tan2cos【答案】55【命题意图】本题主要考查同角三角函数的基本关系式. 要注意角的范围，进而确定值的符号.【解析】,则.3( ,)2tan2cos55(15)已知正方体中，E 为的中点，则异面直线 AE 与 BC 所成角的1111ABCDABC D11C D余弦值为 .【答案】23【命题意图】本题主要考查正方体中异面直线 AE 与 BC 所成的角.【解析】取 A1B1的中点 M 连接 EM，AM，AE，则就是异面直线 AE 与 BC 所成的角。AEM在中，.AEM222352cos2 2 33AEM (16)已知、分别为双曲线: 的左、右焦点，点，点的1F2FC221

48、927xyACM坐标为(2，0)，为的平分线则 .AM12F AF2|AF 【答案】6【命题意图】本题主要考查三角形的内角平分线定理，双曲线的第一定义和性质.【解析】为的平分线， QAM12F AF2211|41|82AFMFAFMF12| 2|AFAF又点，由双曲线的第一定义得AC.12222| 2| | 26AFAFAFAFAFa三解答题：本大题共三解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤算步骤.(17)(本小题满分本小题满分 l0 分分)(注意：在试题卷上作答无效注意：在试题卷上作答无效)设等比数列的前n项

49、和为.已知求和. nanS26,a 13630,aananS【思路点拨】解决本题的突破口是利用方程的思想建立关于 a1和公比 q 的方程，求出 a1和 q，然后利用等比数列的通项公式及前 n 项和公式求解即可。【解析】设的公比为 q,由题设得 na 3 分1116630a qaa q解得或， 6 分132aq123aq当时，；13,2aq13 2,3 (21)nnnnaS 当时， 10 分12,3aq12 3,31nnnnaS(18)(本小题满分本小题满分 12 分分)(注意：在试题卷上作答无效注意：在试题卷上作答无效). .sincsin2 sinsinaACaCbB ()()求求 B B；

50、（）若）若. .075 ,2,Abac求，【思路点拨】第（I）问由正弦定理把正弦转化为边，然后再利用余弦定理即可解决。（II）在（I）问的基础上知道两角一边可以直接利用正弦定理求解.【解析】(I)由正弦定理得3 分2222acacb由余弦定理得.2222cosbacacB故，因此 .6 分2cos2B 45B （II）sinsin(3045 )A sin30 cos45cos30 sin45 8 分264故 sin2613sin2AabB .12 分sinsin6026sinsin45CcbB(19)(本小题满分 l2 分)(注意：在试题卷上作答无效)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概

51、率为 0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3.设各车主购买保险相互独立. (I)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率； (II)求该地 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.【命题意图】本题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及次独立重复试验发生 k 次的概率，考查考生分析问题、解决问题的能力.【解析】记 A 表示事件：该地的 1 位车主购买甲种保险：B 表示事件：该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险。C 表示事件：该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种；D 表示事件：该地的 1 位车主甲、乙两种

52、保险都不购买；E 表示事件：该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买.(I), , 3 分( )0.5P A ( )0.3P B CAB 6 分( )()( )( )0.8P CP ABP AP B(II)D=,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2, 9 分CP(E)=. 12 分2230.2 0.80.384C (20）(本小题满分 l2 分)(注意：在试题卷上作答无效)如图，四棱锥中， ,，侧SABCDABCDBCCD面为等边三角形. SAB2,1ABBCCDSD(I)证明：SDSAB 平平(II)求 AB 与平面 SBC 所成角的大小。【分析】第（I）问的证明的突

53、破口是利用等边三角形 SAB 这个条件，找出 AB 的中点 E，连结 SE，DE，就做出了解决这个问题的关键辅助线。(II)本题直接找线面角不易找出，要找到与 AB 平行的其它线进行转移求解。【命题意图】以四棱锥为载体考查线面垂直证明和线面角的计算，注重与平面几何的综合.解法一：()取中点，连结，则四边形ABEDE为矩形，连结，则BCDE2DECBSE，.SEAB3SE 又,故,1SD 222EDSESD所以为直角. 3 分DSEDCASBEFGHDCASB由,得平面,所以.ABDEABSEDESEEIAB SDEABSD与两条相交直线、都垂直.SDABSE所以平面. 6 分SD SAB另解:

54、由已知易求得,于是.可知,1,5,2SDADSA222SASDADSDSA同理可得,又.所以平面. 6 分SDSBSASBSISD SAB()由平面知，平面平面.AB SDEABCD SDE作,垂足为,则平面 ABCD,.SFDEFSF 32SDSESFDE作,垂足为,则.FGBCG1FGDC连结.则.SGSGBC又,故平面,平面平面.9 分,BCFG SGFGGIBC SFGSBC SFG作,为垂足,则平面.FHSGHFH SBC,即到平面的距离为.37SFFGFHSGFSBC217由于,所以平面,到平面的距离也为./ /EDBC/ /EDSBCESBCd217设与平面所成的角为,则,.12

55、 分ABSBC21sin7dEB21arcsin7解法二：以为原点,射线为轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系CCDx.Cxyz设,则、.(1,0,0)D(2,2,0)A(0,2,0)B又设,则.( , , )S x y z0,0,0 xyz(),(2,2, ),( ,2, ),(1, , )ASxyz BSx yz DSxy zuuruu ruu u r由得| |ASBSuuruu r,222222(2)(2)(2)xyzxyz故.1x 由得,| 1DS uu u r221yz又由得,| 2BS uu r222(2)4xyz即,故. 3 分22410yzy 13,22yz于是,13333

56、313(1,),( 1,),(1,),(0,)22222222SASBSDS uuruu ruu u r.0,0DS ASDS BSuu u r uuruu u r uu r故,又,DSAS DSBSASBSSI所以平面. 6 分SD SAB()设平面的法向量,SBC( , , )am n pr则.,0,0aBS aCB a BSa CBruu r ruur r uu rr uur又,33(1,),(0,2,0)22BSCBuu ruur故 9 分330,2220mnpn取得,又2p (3,0,2)a r( 2,0,0),AB uu u r.21cos,7| |AB aAB aABauu u

57、r ruu u r ruu u rr故与平面所成的角为. 12 分ABSBC21arcsin7(21)(本小题满分本小题满分 l2 分分)(注意：在试题卷上作答无效注意：在试题卷上作答无效)已知函数32( )3(36 ) +124f xxaxa xaaR()证明：曲线( )0yf xx在处的切线过点（2，2）；（）若求 a 的取值范围.00( )f xxxx在处取得最小值，（1，3），【分析】第(I)问直接利用导数的几何意义，求出切线的斜率，然后易写出切线方程.(II)第（II）问是含参问题，关键是抓住方程的判别式进行分类讨论.( )0fx解：（I） .2 分2( )3636fxxaxa 由得

58、曲线在 x=0 处的切线方程为(0)124,(0)36fafa( )yf x (36 )124ya xa由此知曲线在 x=0 处的切线过点（2，2） .6 分( )yf x（II）由得.( )0fx221 20 xaxa （i）当时，没有极小值； .8 分2121a ( )f x(ii)当或时，由得21a 21a ( )0fx221221,21xaaaxaaa 故.由题设知，02xx21213aaa 当时，不等式无解；21a 21213aaa 当时，解不等式得21a 21213aaa 5212a 综合(i)(ii)得的取值范围是 .12 分a5(,21)2(22)(本小题满分本小题满分 l2

59、分分)(注意：在试题卷上作答无效注意：在试题卷上作答无效)已知为坐标原点，为椭圆：在轴正半轴上的焦点，过OFC2212yx y且斜率为的直线 与交与、两点，点满F2lCABP足.0OAOBOPuuruu u ruu u rr(I)证明：点在上；PC(II)设点关于点的对称点为，证明：、POQAPB四点在同一圆上.Q【命题意图】本题考查直线方程、平面向量的坐标运算、点与曲线的位置关系、曲线交点坐标求法及四点共圆的条件。【分析】方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本思路，注意把用坐标表示后求出 P 点的坐标，然后再结合直线方程把 P 点的纵坐标0.OAOBOP 也用 A、B 两点的横坐标表示出来

60、.从而求出点 P 的坐标代入椭圆方程验证即可证明点 P 在C 上;(II)此问题证明有两种思路：思路一：关键是证明互补.通过证明这,APBAQB两个角的正切值互补即可，再求正切值时要注意利用到角公式.思路二：根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上，所以根据两条弦的垂直平分线的交点找出圆心 N，然后证明 N 到四个点 A、B、P、Q 的距离相等即可.【解析】(I), 的方程为,代入并化简得(0,1)Fl21yx 2212yx . 2 分242 210 xx 设,112233( ,), (,), (,)A x yB xyP xy则122626,44xx1212122,2()21,2xxyyxx