D77常系数齐次线性微分方程

1、目录 上页 下页 返回 结束 一阶微分方程一阶微分方程1.1.可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程xxfyygd)(d)(2、齐次方程、齐次方程形如形如)(ddxyxy的方程叫做的方程叫做齐次方程齐次方程 .令令,xyu ,xuy 则,ddddxuxuxy解法解法:代入原方程得代入原方程得)(dduxuxuxxuuud)(d两边积分两边积分, 得得xxuuud)(d积分后再用积分后再用xy代替代替 u, 便得原方程的通解便得原方程的通解.目录 上页 下页 返回 结束 3、一阶线性微分方程、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式（一阶线性微分方程标准形式（1）:)()(ddxQyxPxy0

2、)(ddyxPxy解齐次方程解齐次方程 通解为：通解为：xxPCyd)(e用用常数变易法常数变易法:,e)()()(xxPxuxyd则则作变换作变换CxxQuxxPde)(d)(故原方程的通解故原方程的通解CxxQyxxPxxPde)(ed)(d)(一阶线性微分方程标准形式（一阶线性微分方程标准形式（2）：）：)()(ddyQxyPyx通解：通解：CyyQxyyPyyPde)(ed)(d)(目录 上页 下页 返回 结束 二、可降阶高阶微分方程二、可降阶高阶微分方程 1、 型的微分方程型的微分方程 )()(xfyn),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 设设, )(xpy ,py 则原方程化为

3、一阶方程原方程化为一阶方程),(pxfp 设其通解为设其通解为),(1Cxp则得则得),(1Cxy再一次积分再一次积分, 得原方程的通解得原方程的通解21d),(CxCxy2、不含有不含有y目录 上页 下页 返回 结束 3、),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令令,py xpydd 则xyypddddyppdd故方程化为故方程化为),(ddpyfypp设其通解为设其通解为),(1Cyp即得即得),(1Cyy分离变量后积分分离变量后积分, 得原方程的通解得原方程的通解21),(dCxCyy不含有不含有x目录 上页 下页 返回 结束 常系数常系数 第七节第七节齐次线性微分方程齐次线性微分方程

4、 基本思路基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程求特征方程(代数方程代数方程)之根之根转化转化 第七章第七章 目录 上页 下页 返回 结束 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程:),(0为常数qpyqypy xrye和它的导数只差常数因子和它的导数只差常数因子,代入代入得得0e)(2xr qprr02qrpr称称为微分方程为微分方程的的特征方程特征方程,1. 当当042qp时时, 有两个相异实根有两个相异实根,21r ,r方程有两个线性无关的特解方程有两个线性无关的特解:,e11xry ,e22xry 因此方程的通解为因此方程的通解为xrx

5、rCCy21ee21( r 为待定常数为待定常数 ),xrre,函数为常数时因为所以令所以令的解为的解为 则微分则微分其根称为其根称为特征根特征根.目录 上页 下页 返回 结束 ),(0为常数qpyqypy 特征方程特征方程02qrpr2. 当当042qp时时, 特征方程有两个相等实根特征方程有两个相等实根21rr 则微分方程有一个特解则微分方程有一个特解)(12xuyy 设另一特解设另一特解( u (x) 待定待定)代入方程得代入方程得:e1xr)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根是特征方程的重根0 u取取 u = x , 则得则得,e12xrxy 因此原方程

6、的通解为因此原方程的通解为xrxCCy1e)(21,2p.e11xry )(e1xuxr0)()2(1211 uqrprupru0 yqypy目录 上页 下页 返回 结束 ),(0为常数qpyqypy 特征方程02qrpr3. 当042qp时, 特征方程有一对共轭复根i,i21rr这时原方程有两个复数解:xy)i(1e)sini(cosexxxxy)i(2e)sini(cosexxx 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:)(21211yyy)(21i212yyyxxcosexxsine因此原方程的通解为)sincos(e21xCxCyx目录 上页 下页 返回 结束 小结小结:),(0

7、为常数qpyqypy ,02qrpr特征方程:xrxrCCy21ee2121,:rr特征根21rr 实根 221prrxrxCCy1e)(21i21,r)sincos(e21xCxCyx特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .目录 上页 下页 返回 结束 若特征方程含若特征方程含 k 重复根重复根,ir若特征方程含若特征方程含 k 重实根重实根 r , 则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项xrkkxCxCCe)(121xxCxCCkkxcos)( e121sin)(121xxDxDDkk则其通解中必含则其通解中必含对应项对应项)(01) 1(1)(均为常数knnnnaya

8、yayay特征方程特征方程: 0111nnnnararar),(均为任意常数以上iiDC推广推广:目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 032 yyy求方程的通解的通解.解解: 特征方程特征方程, 0322rr特征根特征根:,3,121rr因此原方程的通解为因此原方程的通解为xxCCy321ee例例2. 求解初值问题求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解: 特征方程特征方程0122rr有重根有重根,121 rr因此原方程的通解为因此原方程的通解为ttCCse)(21利用初始条件得利用初始条件得, 41C于是所求初值问题的解为于是所求初值问题的解为ttse)24(2

9、2C目录 上页 下页 返回 结束 例例4.052)4( yyy求方程的通解的通解. 解解: 特征方程特征方程, 052234rrr特征根特征根:i21, 04,321rrr因此原方程通解为因此原方程通解为xCCy21)2sin2cos(e43xCxCx例例5.0)4()5( yy解方程解解: 特征方程特征方程:, 045rr特征根特征根 :1, 054321rrrrr原方程通解原方程通解:1CyxC223xC34xCxC e5目录 上页 下页 返回 结束 02)(22222rr例例6. . )0(0dd444wxw解方程解解: 特征方程特征方程:44r即即0)2)(2(2222rrrr其根为其

10、根为),i1(22,1r)i1(24,3r方程通解方程通解 :xw2e)2sin2cos(21xCxCx2e)2sin2cos(43xCxC目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结),(0为常数qpyqypy 特征根特征根:21, rr(1) 当当时时, 通解为通解为xrxrCCy21ee2121rr (2) 当当时时, 通解为通解为xrxCCy1e)(2121rr (3) 当当时时, 通解为通解为)sincos(e21xCxCyxi2, 1r可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .目录 上页 下页 返回 结束 1.02)4( yyy解方程思考与练习思

11、考与练习 052 的通解。的通解。求方程求方程 yyy23.02)4( yyy解方程 4 求方程求方程0 yay的通解的通解 .目录 上页 下页 返回 结束 解解 032 的通解。的通解。求方程求方程 yyy 032 2，特征方程特征方程 3 1 21，特征根特征根 321。所求通解为所求通解为xxeCeCy1.解解 052 的通解。的通解。求方程求方程 yyy 052 2，特征方程特征方程 i21 i21 21，特征根特征根 )2sin2cos( 21。所求通解为所求通解为xCxCeyx2目录 上页 下页 返回 结束 3.02)4( yyy解方程解解: 特征方程:01224rr0)1(22r即特征根为i,2,1ri4,3r则方程通解 :xxCCycos)(31xxCCsin)(42目录 上页 下页 返回 结束 4 求方程0 yay的通解 .答案答案:0a通解为xCCy21:0a通解为xaCxaCysincos21:0a通解为xaxaCCyee21目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P340 1 (3) , (6) , (10) ; 2 (2) , (3) , (6) ; 3目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回