非线性振动绪论

1、非线性振动东北大学应用力学所 李 东绪绪 论论0-1 非线性振动问题非线性振动问题 工程技术与自然界中的振动问题及现象，绝大多数属于非线性的，线性工程技术与自然界中的振动问题及现象，绝大多数属于非线性的，线性振动系统往往是对非线性系统进行简化与近似的结果。振动系统往往是对非线性系统进行简化与近似的结果。 例0-1 数学单摆 小摆幅时其中 线性振动微分方程 解为 大摆幅时非线性微分方程，没有封闭解析解200 +=& &20gl=00000sincostt=+&20sin0+=& &非线性振动方程的一般形式非线性振动方程的一般形式 线性振动方程)(tfkxx

2、cxm ),(),(),(),(txxxfxxxfxxxfxxxfkcm 非线性振动方程 变质量 惯性力非线性阻尼力非线性恢复力非线性激振力非线性系统的基本形式：（1 1）几何非线性）几何非线性 单摆大摆幅，设 取前两项，并令 有称为自治Duffing方程 ! 7! 5! 3sin7536200320 20sin0+=& &（2）物理非线性）物理非线性非线性恢复力非线性恢复力 对于具有恢复力的振动系统，如图所示的单自由度弹簧振子系统，其振动微分方程为： 0)(xfx 当变形增加，恢复力与变形之比，即弹性系数逐渐变小，称为非线性恢复力的软特性;反之，当变形增加，恢复力与变形之比逐

3、渐变大，称为非线性恢复力的硬特性。 （3）分段线性非线性例0-2 减振装置ekkkk exexkxkexexkxkexexkxf )(2 )(2- 2)(xf x( )ee exexkxkexexkxkexexkxf )(2 )(2- 2)(分段线性非线性（4）惯性引起的非线性例0-3：半径为R圆环绕z轴转动，角速度为，圆环上套一个小球M，质量为m，分析小球的运动。Rz解：本题是质点相对运动的问题。RzgmNeFraea不在分析平面上gcgerFFGNam22sincossinrmamRmgsin2RmFgergcvmF 2质点相对运动微分方程：2222sincossinsinsincos0m

4、RmRmggR这就是含惯性非线性项的非线性振动系统 (5) 非线性阻尼力非线性阻尼力 例0-4 干摩擦振动微分方程干摩擦阻尼力 -摩擦系数，N正压力，Sign符号函数 )()(xxfxm )()(xNsignx0 10 1)(xxxsign(6) 滞后（回）非线性滞后（回）非线性-物理非线性物理非线性 例0-5 Bouc-Wen 模型广泛存在于机械、土木和材料等学科与工程中 2212(1)( )nnxxzxu tzAxx z zx z -+-=-& &l 振动系统类型振动系统类型自治系统1 按是否显含时间t分类)dd,(dd22txxftx),dd,(dd22ttxxftx非自

5、治系统小参数自治系统小参数非自治系统)dd,(dd22txxftx),dd,(dd22ttxxftx2 按能量变化特性分类保守系统)(dd22xftx)(dd22xftx耗散系统)dd,(dd22txxftx)dd,(dd22txxftx自激振动22202ddd() 0dddxxxABxttt2202dd()0ddxxfxtt3 常见（非）线性微分方程1) 数学摆02022xdtxd02022xdtdxcdtxd2) Duffing方程032022xxdtxd032022xxdtdxcdtxd3)库仑摩擦d xdtfG signdxdtf x220()( )4)流体阻尼d xdtfdxdtdx

6、dtf x220|()( )5)Van Del Pol 方程22202(1)d xdxxxdtdt6) 参数激振d xdtABdxdtdxdtp x222020() Hill 方程7) 慢变参数系统方程ddtmdxdtpxfxdxdttddtv ( )( )( , , ,),( ) 0.2 非线性振动问题的主要特点非线性振动问题的主要特点 (1) 非线性振动系统的频率与系统响应的振幅和初始条件有关非线性振动系统的频率与系统响应的振幅和初始条件有关 线性振动系统的振动周期不随振幅大小而变化 非线性自治的Duffing方程的振动频率： 2318a=+(2) 对于非线性振动系统对于非线性振动系统,叠

7、加原理不适用叠加原理不适用 对于线性微分方程 对于非线性系统nnnnnntxtxtxxdddddd2121()212ddxxt+()2222121212d 2dddddddddx xxxxxttttt=+(3) 非线性振动系统的共振曲线不同于线性振动系统，存非线性振动系统的共振曲线不同于线性振动系统，存在跳跃和滞后现象在跳跃和滞后现象 (4) 某些有阻尼的非线性振动系统会出现自激振动，振幅不某些有阻尼的非线性振动系统会出现自激振动，振幅不衰减衰减 线性系统中自由振动总是衰减的 esin()ntxAt(5) 强迫振动系统有超谐波响应和次谐波响应成分强迫振动系统有超谐波响应和次谐波响应成分 简谐激

8、振力作用下的非线性系统 响应波形除了与激振力频率相同的谐波外,还含有频率为激振频率的几分之一,即频率为 的次谐波响应及频率为激振频率的整数倍,即频率为 的超谐波响应(n,m为正整数) 由于存在次谐波与超谐波振动,非线性系统共振频率的数目将多于系统的自由度 / nm(6) 多个简谐激振力作用下的组合振动多个简谐激振力作用下的组合振动 如激励为 响应中的频率含 mnn m12 , 为正整数FtFt1122coscos和(7) 存在频率俘获现象存在频率俘获现象 在非线性振动系统 中，当系统以 振动，受到另一 激励时，系统可能以其中之一的频率振动，即频率俘获频率俘获12（8）在一定条件会出现分叉现象与

9、混沌运动）在一定条件会出现分叉现象与混沌运动 DuffingDuffing方程的倍周期分叉现象与混沌运动方程的倍周期分叉现象与混沌运动 0.3 非线性振动问题的研究方法非线性振动问题的研究方法等价线性化法谐波平衡法伽辽金法多尺度法渐进法（平均法）（小参数法摄动法（近似法）解析法：跌代法胞映射法直接点映射法边值法（法）初值法（如数值解法：定量方法局性态。环、特殊轨线，解的全情况；确定奇点、极限在相平面上分布衡点的性质，即相轨迹在相平面上研究解或平空间平面法）定性方法（几何法或相分析方法：结合计算机处理数据实物或模型实验实验方法： Mothed) Shootingkutta Rouge 0.4 非

10、线性振动的主要研究问题非线性振动的主要研究问题 (1) 确定平衡点及周期解；（系统响应） (2) 研究平衡点及周期解的稳定性；（局部性态） (3) 研究方程参数变化时，平衡点及周期解个数的变化及形态（稳定性）变化，即分岔与混沌运动； (4) 研究在一定初始条件下系统长期发展的结果。（解的全局形态）0.5当前研究的主要问题与方向当前研究的主要问题与方向 (1) 多自由度系统的非线性振动问题； (2) 连续体的非线性振动问题； (3) 多频激励下非线性系统特性； (4) 强非线性振动求解方法及解的性态； (5) 分叉、突变、混沌特性和机理； (6) 工程非线性振动问题，如非线性振动系统的控制等 参

11、考书目参考书目 1 冯登泰. 应用非线性振动力学应用非线性振动力学. .北京：中国铁道出版社，北京：中国铁道出版社，198219822 2 A H 奈弗著，. .摄动方法摄动方法. .上海：上海科技出版社，上海：上海科技出版社，19841984年年3 A H 3 A H 奈弗著，奈弗著，. .非线性振动非线性振动. . 北京：高等教育出版社，北京：高等教育出版社，19841984年年4 4 高为炳高为炳. .运动稳定性基础运动稳定性基础. . 北京：高等教育出版社，北京：高等教育出版社，198719875 5 周纪卿，朱因远周纪卿，朱因远. .非线性振动非线性振动. . 西安交通大学出版社，西安交通大学出版社，19981998年年6 6 闻邦椿等闻邦椿等. .非线性振动理论中的解析方法及工程应用非线性振动理论中的解析方法及工程应用. . 东北大学出版社，东北大学出版社，20012001年年7 7 刘延柱，