连续函数空间上的线性变换

1、该论文为学士毕业论文 仅供参考 版权所有 不可大量复制 违者必究连续函数空间上的线性变换重庆XX大学 金融数学 08级2班 XXX指导老师 X院长摘要：连续函数是数学分析研究的主要内容，初等函数都是连续函数，其他函数都可以由连续函数逼近。数学分析中研究的连续函数是单个单个的研究，团结就是力量，本文就想将连续函数组成一个团队，从整体上去研究连续函数，还可以研究函数的函数，即连续函数空间上的线性变换。通过研究连续函数空间上的线性泛函了解函数的函数的性质。通过研究连续函数空间上的积分、求导、乘法变换了解连续函数空间上的线性变换。最后研究了连续函数空间上的一些子空间，得出了一些性质。连续函数在生活中很

2、常见，例如平常温度变化等等。本文所研究的函数都是实值的函数。最后本文通过研究连续函数空间上的线性变换可以用新的比数学分析和高等代数更高观点看问题运用泛函分析。关键字 连续函数 线性变换 线性泛函 实值Abstract Continuous function is a mathematical analysis of the main contents of elementary functions are continuous functions, other functions are continuous function approximation.Continuous function

3、 of research in the mathematical analysis is the study of a singleindividual, unity is strength, this article wanted to be a continuous function as a team, upfrom the overall continuous function can also be a function of the function, namely, thelinear transformation on the continuous function space

4、 . Understand the nature of thefunctionals by linear functionals on the study of continuous function space. The continuous function space integral derivation, multiplication transform linear transformation on thecontinuous function space. The final study on the subspace of the continuous function sp

5、ace, obtained some properties. Continuous function in life is very common, such asnormal temperature. Function studied in this paper are real-valued function. Finally, thecontinuous function space, linear transformations can be used than the higher point of view of mathematical analysis and higher a

6、lgebra - the use of functional analysis.keyword continuous function real value of the linear transformation linear functionals目 录引言3第一章 闭区间上的连续函数空间31.1 连续函数空间是一个线性空间31.2 连续函数空间是一个度量空间51.3 连续函数空间成为赋范空间 81.4 连续函数空间中序列的收敛性9第二章 连续函数空间上的线性泛函102.1线性泛函102.2计值线性泛函11 2.3定积分成为有界的线性泛函12第三章 连续函数空间上的线性变换123.1一般的

7、赋范空间上的线性变换123.2 连续函数空间上的积分13 3.3 连续函数空间上的导数143.4 连续函数空间上的乘法变换14第4章 连续函数的一些子空间154.1 子空间定义154.2 多项式函数构成的子空间154.3 无限次可维函数全体16致谢16参考文献17引 言在从19世纪向20世纪转折的时期，分析数学中出现了抽象化的趋势，探求其中结论与方法的一般性和统一性是它的突出特点，泛函分析就是在这一进程中应运而生的。这一趋势的出现并不是偶然的，一方面它反映了数学中累积的素材已经足够丰富，而且不同学科（包括经典分析、变分学、积分方程等）的某些对象之间显示了思想上和方法上的相似之处，需要加以归纳、

8、整理和总结。另一方面它反映了一种愿望：建立一套理论，能够对已有的或将要出现的同种类型的对象应用统一的方法去处理。现在我们将通过研究函数的函数即连续函数空间来对泛函分析有深层次了解。第一章 闭区间上的连续函数空间1.1.连续函数空间是一个线性空间1.线性空间定义 设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两元素与，在V中都有唯一的一个元素与它们对应，称为与的和，记为=+。在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域P中任一数k与V中任一元素，在V中都有唯一的一个元素与它们对应，称为k与的

9、数量乘积，记为=k。如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V称为数域P上的线性空间。加法满足下面四条规则：1).;2）.；3）.在V中每一个元素0，对于V中任一元素都有0+=（具有这个性质的元素0称为V的零元素）；4）.对于V中每一个元素，都有V种元素，使得(称为的负元素) 数量乘法满足下面两条规则： 5）1= 6）k(l)=(kl)数量乘法与加法满足下面两条规则：7).（k+l）=k+l;8).K(+)=k+k.在以上规则中，k,l等表示数域P中的任意数；，等表示集合V中任意元素。例1 元素数域数域P的mn矩阵，按矩阵的加法和矩阵与数的数量乘法，构成数域P上的一个线性空间，用表示。2. 连续函

10、数空间加法、乘法满足上面规则.常值函数、初等函数都在中。是一个无穷集合。线性相关，存在不全为零的常数a,b使得定义1 如果向量组中有一个向量可以由其余的向量线性表出，那么向量组称为线性相关的。定义 向量组称为线性相关，如果有数域P中不全为零的数使 线性无关 定义2 一向量组不线性相关，即没有不全为零的数使就称为线性无关；或者说，一向量组称为线性无关，如果由可以推出。1.2.连续函数空间是一个度量空间1. 度量空间定义 若X是非空集合，是满足下面条件的实值函数，对于任意，有非负性当且仅当；对称性； 三角不等式.则称d为X上的度量，称（D，d）为度量空间或者距离空间。明显地，由可知，故由可知，因此

11、d是一个非负函数。若X是一个度量空间，E是X一个非空子集，则也是度量空间，则为的度量子空间。例1 若R是实数集，定义，则容易看出是度量空间例2 对于任意一个非空集合X，只需定义则是一个度量空间，称d为X上的平凡度量或者离散度量. 例3 对于，可以定义几种不同的度量，对于，有， ， 容易验证和都是度量空间，一般称为欧几里得空间。例4 如果用s记所有实数列形成的集合，对于任意，定义.容易知道d满足度量定义中的和，由函数在是单调增加的可知，对于，有.令，则可得到，所以是一个度量空间。常见的实序列空间还有如下几个空间：例5 ，对于任意的，定义，即为所有有界数列形成的空间，如，但.例6 ，对于任意的，定

12、义，即为所有收敛于0的数列所成的空间，如，但定义2 设是度量空间，若，则称序列按度量d收敛于，记为，此时称为收敛点列，称为的极限.由数学分析可知，若数列是收敛的，则其极限是唯一的.类似地，在度量空间也有下面的结论：定理1 在度量空间中，若是收敛点列，则的极限一定唯一证明 用反证法.假设有，使得，但，则由可知.又由于，因此，但这与假设矛盾，所以由反证法可知的极限唯一.另外，容易看出，在度量空间中，若是收敛点列，则的任意子列也是收敛点列，并且极限是一样的。定理2 若则，即是x和y的二元连续函数。证明 由于 因此 同样地，有 .因而 所以2.连续函数空间成为度量空间1)，这个最大值一定可以取到，因为

13、闭区间上的连续函数能够取到最大值。是区间上定义的连续函数全体，对于，规定则是上的度量函数。实际上容易验证显然 =2）设表示上p方可积的所有函数的全体，即.，定义，则是距离空间，常称为p方可积的空间。特别的，当p=2时，称为平方可积的空间。比较大小 Minkowski不等式. .其中上可积分，1.3.连续函数空间成为赋范空间定义 设K是实数域R或复数域C，X是数域K上的线性空间，若是X到R的映射，且满足下列条件：；，对任意.则称为X上的范数，而称为x的范数，这时称为赋范线性空间. 明显地，若为赋范线性空间，则对任意，定义时，为度量空间，但对一般的度量空间，当X为线性空间时，若定义，则不一定就是X

14、上的范数.例1 设s实数列全体，则明显地，s为线性空间，对任意的，定义则但取，则，而，因此，所以，不是s上的范数.定理 设X是线性空间，d是X上的度量，在X上规定，则X成为赋范线性空间的条件是 ，对任意； ，对任意和任意.根据距离空间可得：.1.4 连续函数空间中序列的收敛性距离空间中一般序列的收敛性定义。 2.中序列按第一种距离的收敛性按第一种距离收敛于在上一致收敛于一致收敛：设函数列与函数定义在同一数集D上，若对任给正数，总存在某一正整数N，使得当nN时，对一切，都有，则称函数列在D上一致收敛于，记作 ,由定义看到，如果函数列在D上一致收敛，那么对于所给的，不管D是哪一点，总存在公共的（即

15、N的选取仅与有关，与的取值无关），只要，都有，由此看到函数列在D上一致收敛，必在D上没一点都收敛。反之，在D上没一点都收敛的函数列，在D上不一定一致收敛。3. 中按序列第二种距离的收敛性 按第二种距离收敛一致有界且几乎每个点都有 （点点收敛） 如果按照第二种距离是一个柯西序列存在，但是不一定连续。第2章 连续函数空间上的线性泛函2.1 线性泛函 定义 设为赋范线性空间，f为X到K的映射，K为复数集且对于任意及，有则称f为X的线性泛函.例 在上，若定义，则f为上的线性泛函.由于线性泛函具有可加性，因此，线性泛函的连续性比较容易刻画.定理 设f是赋范线性空间上的线性泛函，且f在某一点上连续，则f在

16、X上每一点都连续.证明 对于任意，若，则由f在点的连续性，因此，所以，即f在x点连续. 这个定理说明，要验证线性泛函f的连续性，只需验证f在X上某一点的连续性即可.有界的线性泛函 设f为赋范线性空间上的线性泛函，则f是有界的当且仅当存在M0，使证明 若存在M0，使得对任意，则对于X中的任意有界集F，有r0,使得对任意，因此，对所有成立，所以为K上的有界集，即f为有界线性泛函.反之，若f为有界线性泛函，则f把X的单位球面映为K的有界集，因此存在M0，使得对一切，有，故对任意，有，所以.2.2 计值线性泛函计值泛函：对让验证上的有界线性泛函:1) .2)3) .综上所述：上的有界线性泛函。例 ；。

17、2.3 定积分成为有界的线性泛函 ，定义由积分的线性知，是到空间中的线性算子。若令则是上的线性泛函。1).2).3).所以T有界，故定积分是有界的线性泛函。第3章 连续函数空间上的线性变换3.1 一般的赋范空间上的线性变换定义定义 设X，Y是线性空间，T：是一映射. 1)称T是线性算子(线性映射)，若，. 2）当时，1)中的线性算子T称为X上的线性泛函.关于线性算子T：，以下事实应该注意：1)T0=0.记，容易验证N(T)是X的线性子空间，称N(T)是T的零空间.2）若可推出，则称T是一一的(单射).容易知道T是一一的当且仅当N(T)=0.若T是一一映射，则对于每个是X中唯一的元素.此时称映射

18、（其中）是T的逆映射.所以一一映射又称为可逆的.3）记R(T)=T(X)，可以验证R(T)是Y的线性子空间，称R(T)是T的值空间.若R(T)=Y，称T是到上的（满射）.既是满射又是单射的映射又称为双射.例1.设.对于每个阶矩阵，定义使得， j=1,.,m,容易验证T时线性算子.若用矩阵表示，式即这是在线性代数中研究的线性算子.3.2 连续函数空间上的积分设是两个赋范线性空间，是从的子空间到中的线性映射，则是连续的充要条件是是有界，定义由积分的线性知，是到空间中的线性算子。若令 则是上的线性泛函.验证.当连续，则也连续且可导，不是满射.T是线性变换，T有界3.3 连续函数空间上的导数 T的定义

19、域不是全部当。也是线性变换，但不是有界的例 不存在常数C使得对任意常数，都存在.3.4连续函数空间上乘法变换T：取定一个函数.对，令验证T是上的一个有界线性变换.因为是取定函数，所以故T是上的一个有界线性变换第4章 连续函数空间的一些子空间4.1子空间定义 数域P上线性空间V的一个非空子集合W称为V的一个线性子空间（或简称子空间），如果W对于V的两种运算也构成数域P上的线性空间.即 1).若向量X,Y数域W，则X+Y也属于W； 2).任意k属于P，若X属于W，则属于W。子空间的两种运算如果,是线性空间V的子空间，那么它们的交也是V的子空间如果,是线性空间V的子空间，那么它们的和也是V的子空间子空间的直和定义：设,是线性空间V的子空间，如果和中每个向量的分解式， ,是唯一的，这个和就称为直和，记为定理：和是直和的充分必要条件是等式， 只有在全为零向量时才成立4.2 多项式函数构成的子空间 次数的多项式全体 的维数是有限维，上的线性变换矩阵.多项式序列满足柯西收敛准则条件.当时，对任意p推出，存在.是闭的。 所有多项式中的点列取极限后的函数是连续的，但不一定是多项式例 ，任何一个连续函数都是的点点极限(泰勒公