根轨迹分析法参考答案

1、习题已知下列负反馈的开环传递函数，应画零度根轨迹的是：(A)DK*(1 s)A K*(2 s) bK*cs(s 1)s(s 1)(s 5)*Ks(s23s 1)s(2 s)若两个系统的根轨迹相冋，则有相冋的：(A)A闭环零点和极点B开环零点C闭环极点D阶跃响应己知单位负反馈控制系统的开环传递函数为*G(s)H(s)Ks(s6)( s3)绘制系统的根轨迹图（0 K*）;（2）求系统临界稳定时的 K*值与系统的闭环极点。解：系统有三个开环极点分别为p1 0、p23、p36。系统有3条根轨迹分支，分别起始于开环极点，并沿渐进线终止于无穷远。 实轴上的根轨迹区段为，6、3,0。根轨迹的渐近线与实轴交点

2、和夹角分别为3（k 0）362k 13a3 ,a(k 1)333 (k 2)求分离点方程为111门0dd3 d 6经整理得d2 6d 60,解方程得到d14.732、d21.268。显然分离点位于实轴上3,0间，故取d21.268。求根轨迹与虚轴交点，系统闭环特征方程为D(s)s39s218s*K 0令s j，然后代入特征方程中，令实部与虚部方程为零，则有Re G(j)H(j)192 *K 0Im G(j)H(j)1318 003.2解之得*、K0K162显然第一组解是根轨迹的起点，故舍去。根轨迹与虚轴的交点为s j3-. 2，对应的根轨迹增益K* 162为临界根轨迹增益。根轨迹与虚轴的交点为

3、临界稳定的 2个闭环极点，第 三个闭环极点可由根之和法则求得0 3 6,233 j3 2 j3.2解之得39。即当K*162时，闭环系统的3个特征根分别为 1 j3 2、2 j3 2、9。系统根轨迹如图所示。3R(s)系统结构如下图所示K值。绘制系统的根轨迹(0 K解：系统闭环传递函数为)，并确定系统欠阻尼状态下的9s s 29Kss s 2(s)s2 2s 9Ks 9 一o特征方程为s 2s 9Ks 9 0。9Ks2 。s 2s 9系统有2条根轨迹分支，起始于开环极点p,2另一条沿渐进线终止于无穷远。实轴上的根轨迹区段为,0。根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为1 j2.21 j2 .2等效

4、开环传递函数为G (s) H (s)j2. 2，1条终止于开环零点 z 0，1实轴上分离点方程为d s 2-9 0。解方程得到ds 9Ks4一K -。根轨迹与虚轴在有限范围内无交点，根轨迹如图所示。2k 10,did23(弃去)，对应2914由根轨迹可知当0 K -时，系统有两个闭环极点，为欠阻尼响应。9已知负反馈控制系统的闭环特征方程为2s 2)0* 2K (s 14)(s0.5的K值。(1) 绘制系统的根轨迹(0 K*)；(2) 确定使复数闭环主导极点的阻尼系数解：系统开环传递函数为G(s)H(s)(s 14)(s22s 2)14、P2,31 j。,14。开环极点为Pl实轴上根轨迹区段为根

5、轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为141 j 1 j35.3 ,2k 13 (k(k0)1)3 (k2)实轴上分离点方程为d 14求与虚轴交点，闭环特征方程为特征方程中，令实部与虚部方程为零，ReG(j )H(j ) 11d 1 jD(S)则有16 231 j(s280，解之得214)( s 2sIm G(j )H(j ) 1因cos 0.5，故 60，作过原点与负实轴夹角为60Q两点，如图所示。P点坐标为s 0.94 j1.62，则对应* (s 14) (s 0.94 j1.62)|(s 0.94j1.62)K302)。9.63。令s j ，然后代入5.4438.6 的直线，在s上半平面交P

6、、0.94 j1.62216已知单位反馈系统的开环传递函数为KG(s)H(s)s ss(25 1)(6 1)变化时系统的根轨迹(根轨迹的分离点、渐近线、与虚轴交点的数(1) 绘出K由0值要求精确算出)。(2) 用根轨迹法分析：能否通过调整K使系统的阶跃响应超调量%(3) 能否通过调整 K使系统的静态误差系数K 15，为什么*KG(s)H(s)s s咗 1)(6 1)解：系统开环传递函数为化成根轨迹形式为G (s) H (s)s(s 2.5)(s 6) P22.5、P22.5,0、, 6。(1)开环极点为P10、实轴上根轨迹区段为 根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为2.5631d 2.5求与虚

7、轴交点，闭环特征方程为D(S)实轴上分离点方程为 -d25%，为什么，其中K*15K。2.83，2k 1-(k3(k3(k0)1)2)，解出d1d 6K s(s 2.5)(s1.1、d24.56 (弃去)。6)令s j ，然后代入特征方程中，令实部与虚部方程为零，则有Re G(j )H(j )Im G(j )H(j )做出根轨迹如图所示。28.5 K315解得k3.87127.5 (2) 当 % e厂 25%时，即 0.403，或 ar cos 66.2。作过原点与负实轴夹角为 66.2的直线，与根轨迹有交点为P、Q两点，如图所示。 P点坐标为s 0.8 j1.7，使用幅值条件计算此点对应的K

8、*，即K*s|(s 2.5)|(s 6)|s 8j1.7 24.6 K K* 15 1.64(3) 从根轨迹曲线可知，当K* 127.5即K 8.54，系统是不稳定的，故无法通过调整 K使系统的静态误差系数K 15。应用根轨迹法确定下图所示系统在阶跃信号作用下无超调响应的K值范围。R(s)K(0.25s 旳 C(s) ” s(0.5s 1)解：系统开环传递函数为G(s)H(s) K(0.25s 1，化成根轨迹形式为s(0.5s 1)K* (s 4)廿出 *G(s)H (s)，其中 K 0.5K。s(s 2)系统开环极点为山0、P22，开环零点为z 4。实轴上根轨迹区段为2,0、, 4。示。渐近

9、线与实轴的夹角为实轴上分离点方程为 -d2k 12 1，解出d1d 41.172、d26.828，根轨迹如图所di1.172与会和点d26.828为临界点，需求出此两点所对应的K值。系统的特征方程为0.5s2(10.25K)s K 0分别将s di 1.172、s d26.828代入上式可解得Ki 0.686、K2 23.31。由此求得系统无超调响应的K值范围是0 K 0.686、23.31 K设正反馈系统的开环传递函数为G(s)H(s)K(s 2)2画出K变化时系统的根轨迹 解：开环极点为实轴上根轨迹区段为p1,22,j、P3,3 o3，开环零点为z渐近线与实轴的夹角为2k0,实轴上分离点方

10、程为dds2s 2解出di0.8、d2,32.35j0.77。(s 3)(s 2s 2)其中di0.8是根轨迹上的分离点。出射角方程为=045Pi zi9027PiP2PiP32di处的分离角方程为1d 12当 k 0, di 0 ;当 k 1,di处的会合角方程为1di 2_1272722kdi= i(2k即di处的分离角为0、dizidiS32k2kdiPidiP2diS3当 k0, d1 - ； 当 k 1,根轨迹与虚轴交点为di，即di处的会合角为-。20,根轨迹如图所示。Pl72072-1P24乙-K9*-3-2图题所示系统根轨迹图 设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)10(1 s

11、)(0.5s 1)(Ts1)画出T变化时系统的根轨迹。 解：系统的特征方程为对上式变换为 Ts(0.5s1) 10(1 s)0。等效闭环传递函数为(0.5s 1)(Ts1) 9.5s 11T*s(s 2)。(s) 1等效开环传递函数为G(s)H(s)11s9.5T*S(S 2)，其中11 s9.5T。2 9.5可知该系统根轨迹应使用0根轨迹绘制方法。渐近线与实轴的夹角为实轴上的根轨迹为2,0、2k1 21.16, 。，解之得0,分离点为方程为ds T s(s11s9.50 ,解之得d12)0.75、d23.07，代入到特征方程中得到T 1.71与T 38.76。由劳斯判据得到与虚轴交点为 如图

12、所示。0.5，2 9.5T*9.5。根轨迹TS,2j1.5，对应T由题所示的根轨迹求出系统处于临界稳定和临界阻尼时的 环系统的单位阶跃响应。;以及当T 20时，闭临界稳定点，即为根轨迹与虚轴交点，对应T*0.5，T 9.5。临界阻尼点，即为根轨迹的分离点与会和点，将d10.75、d2递函数后，使用幅值条件得T1*0.09、T2*2.04，对应T1 1.71、ET20时，系统的闭环传递函数为3.07代入等效开环传38.76。(S)10(1 s)C(s)(s)R(s)1(0.5s 1)(20 s 1) 10(110(1 s)s (0.5s 1)(20s 1) 10(1 s)s)1s s 10.5s

13、 1.1单位阶跃响应为10 5 25tc(s) 1.86e cos(0.908t240 )11证明题所作出的根轨迹为正圆。证明：题所示系统的等效开环传递函数为G(s)H(s)sT*s(s 2)11，使用0根轨迹绘制方法。令sj代入相角条件有1/9.52k变换为arcta n arcta n 2arctan952k1.1621.16整理为1.91为半径的圆。可以证明：有两个极点（或零点）和一个实数零点（或极点）构成的开环系统，只要零点 （或 极点）不在这两个极点（或零点）之间，则复平面上的根轨迹是一个以零点 （或极点）为圆心，零 点（或极点）到分离点的距离为半径的圆或圆弧。设单位反馈系统的开环传

14、递函数为21.91，即表示复平面上根轨迹是以极点s 1.16为圆心，以G（s）20s（s 1）（s 要求系统的闭环极点有一对共轭复极点，其阻尼比为， 解闭环系统特征方程为D（s）s3 5 s2 4s等效开环传递函数为G（s）- s开环极点为P1,2 j2、P3实轴上根轨迹区段为 5,0 。20 Ks5 s25，4s 20开环零点为渐近线与实轴的交点与夹角为出射角方程为1 180=18090P1P221.8904）20 Ks确定K值，并求出时域指标。20 2OKs 0PlK s25s 4s 200。P3158.2P1Z1因cosP、Q两点,2158.20.4 ,66.4，故作过原点与负实轴夹角为

15、66.4的直线，在如图所示。P点坐标为s 1.049 j2.406，则对应(s j2)(s j2)(s 5)s 1.049 j2.4068.9801解之得K0.449。20s上半平面交由于根据3Sjj 13pi ,求出第三个闭环极点&i 12.9021。闭环传递函数为20闭环主导极点为 点的传递函数为(s) (s 1.049j2.406)(s 1.049j2.406)(s 2.902)P点的一对复数极点，系统可以简化为二阶系统传递函数,闭环主导极因为 0.4 ,(s) (s2.62 贝 V6.891.049 j2.406)(s1.049 j2.406)ts厂30.4 2.6225%2.62sQ

16、点坐标为s2.1589 j4.9652，则对应(s j2)(s j2)(s 5)s 2.1589 j4.965228.260,第三个实数极点为(s)ss 0.6823，系统的主导极点是实数极点,20KK1.41320闭环传递函数为主导极点是s(s 2.1589 j4.9652)(s 2.1589 j4.9652)(s 0.6823)0.6823,于是(s)0.6823s 0.68231.46s 1ts 3T 4.39s 题所示系统根轨迹图图图题所示系统根轨迹图已知控制系统的开环传递函数为G(s)K3 小 2s 5s 2s 7s%绘制系统的根轨迹图%产生特征根矩阵%设置坐标范围% 画根轨迹图%加

17、网格线用MATLAB绘制此系统的根轨迹和根轨迹的渐进线。 解：程序一num=1;den=1 5 2 7 0; rlocus(num , den); title(Root-locus plot of G(s); xlabel(Re );ylabel(lm );程序二num=1;den=1 5 2 7 0;r,K=rlocus (nu m,de n); v=-10 10 -10 10;axis(v); plot(r,” grid on;title(Root-locus plot of G(s); xlabel(Re) ylabel(lm );系统的开环传递函数为G(s)K*(s 1) s2(s 9)试用MATLAB绘制该系统的根轨迹。num=1 0; den=1 9 0 0;%产生特征根矩阵%设置坐标范围% 画根轨迹图%加网格线r,K=rlocus (nu m,de n); v=-10 10 -10 10;axis(v); plot(r,” grid on;title(Root-locus plot of G(s); xlabel(Re) ylabel(lm )