基于MATLAB在误差处理中的应用毕业设计(含源文件)

1、毕业论文任务书一、毕业论文题目 MATLAB在误差理论中的应用二、毕业论文工作自 年 月 日起至 年 月日止三、毕业论文进行地点 :四、毕业论文内容要求：传统的数据处理方法基于数理统计的理论， 计算量较大，数据繁多。MATLA晶序语 言是一种高性能的数值计算软件，将二者结合起来，研究MATLABE序语言在误差处理中的应用，研究 MATLABE序语言在误差处理中的优点，设计一个误差处理中粗大误差 的自动判断，在线剔除，随机误差的数据处理，试验结果的自动生成，回归方程的快速 建立的实用型软件。基于以上过程要求，提出以下毕业论文内容要求:1 .查找、搜集、整理、研究 MATLA程序语言的相关文献资料

2、，结合目前误差理论与数 据处理在实际使用中存在的问题，提出设计方案。2 .学习MATLABi序语言，熟悉其各项功能。进而查阅相关资料，获取目前MATLAB术在误差数据处理中应用的情况，提出设计方法。3 .设计完成误差处理中粗大误差的自动判断、在线剔除、随机误差的数据处理、试验 结果的自动生成的实用型软件，给出源程序，评价其优缺点。4 .完成“MATLABE误差理论中的应用”论文撰写。5 .完成一篇相关外文文献翻译（要求 4000字以上）。指导教师 系（教研室）系（教研室）主任签名 批准日期接受论文任务开始执行日期学生签名 MATLA衽误差理论中的应用摘要利用MATLAB1助教学手段，传统误差数

3、据处理要花费很长时间才能完成的处理仅仅几秒钟就可以得出其结果，且非常直观。这在实际误差数据处理中具有很高的使用价值，可以节约大量的时间，达到事半功倍的效果。另外，通过MATLAB虽大的图形功能以及GUI界面，不仅能方便地将数据图形化，还可以在误差处理的应用中创造一个 良好的人机界面。因此，MATLABE误差理论中的应用是一个非常值得研究的问题。关键词MATLAB GU促差 数据处理 人机界面Applicationof MATLAin Error TheoryMA KUI(Grade 08, Class 02,Major measurement control technology and in

4、struments,School Mechanical,ShaanxiUniversity of Technology,Hanzhong,723003,Shaanxi)tutor: JING MINAbstract: The traditional error data processing always takes quite a long time to complete ,but using MATLAB auxiliary teaching method the processing will only take a few seconds to get the results and

5、 ist very intuitive. In this paper ,the error data processing is with high value, and it can save a lot of time to achieve a multiplier effection. In addition, through the powerful graphics capabilities of MATLAB and GUI interface, graphical data can not only conveniently be got, but also for the er

6、ror data processing application to create a good man-machine interface. Therefore, the application for the MATLAB in the error theory is absolutely worth researching.Key words: MATLAB,GUI,error,data processing, man-machine interface1 .绪论 11.1 研究误差的意义1.1.2 误差的基本概念1.1.2.1 误差的定义及表示法1.1.2.2 误差来源3.1.2.3

7、误差分类4.1.3 MATLAB 软件介绍5.1.3.1 MATLAB软件的基本特点 5.1.3.2 MATLAB桌面平台 5.1.3.3 MATLAB标点的含义 5.1.3.4 MATLAB文件的类型 6.1.4 本文主要研究意义及内容7.2 . 误差的基本性质与处理92.1 随机误差 92.1.1 随机误差的产生原因9.2.1.2 正态分布9.2.1.3 算术平均值1.1.2.1.4 测量的标准差1.2.2.1.5 测量的极限误差1.7.2.2 系统误差1.9.2.2.1 系统误差产生的原因1.9.2.2.2 系统误差的分类和特征1.9.2.2.3 系统误差的发现方法2.0.2.2.4 系

8、统误差的减小和消除2.2.2.3 粗大误差2.4.2.3.1 粗大误差产生的原因2.4.2.3.2 判别粗大误差的准则2.4.2.3.3 粗大误差判别方法比较2.6.3.MATLAB 在误差处理中的程序设计273.1 随机误差的处理程序设计2.7.3.2 系统误差的程序设计2.7.3.2.1 线性系统误差的程序设计2.73.2.2 周期性系统误差的程序设计2.83.3 粗大误差程序的设计2.8.3.3.1 3 b法判断粗大误差程序设计 283.3.2 罗曼诺夫斯基准则判断粗大误差程序设计2.93.3.3 格罗布斯准则判断粗大误差3.03.3.4 根据测量个数自动对测量数据进行判断的程序设计：3

9、. 14 . MATLAB GUI 介绍 334.1 GUI 控件对象及其属性3.3.4.2 GUI 开发环境3.6.4.3 GUI 程序设计步骤3.8.5 .MATLAB 在误差处理中的GUI 设计 395.1 程序功能设计3.9.5.2 程序界面设计3.9.5.2.1 界面控件对象布置设计3.9.5.2.2 界面控件的属性设置4.1.5.2.3 界面美化4.1.5.3 控件代码程序设计4.3.5.3.1 openingFcn 程序设计 435.3.2 “选取文件”按钮的回调函数设计 4.45.3.3 “粗大误差方法选取”案板的选择函数程序代码设计 4. 85.3.4 “开始计算”按钮的回调

10、函数程序代码 5.05.3.5 下拉菜单的绘图选项的选取函数代码程序设计5. 15.3.6 “绘图”按钮的回调函数代码程序设计 5.25.3.7 对翻页按钮进行回调函数代码程序设计5.35.3.8 “剔除粗大误差”按钮的回调函数代码程序设计 5. 45.3.9 “退出”按钮的回调函数 5.65.4 GUI 界面的程序测试5.7.5.5 GUI转换成为可独立运行的 exe文件 64总结 67致谢 68参考文献 69外文原文及翻译附录A附录B1.绪论1.1 研究误差的意义人类为了认识自然与遵循其发展规律用于自然，需要不断地堆自然界的各种现象进 行测量和研究。由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境

11、的影响，以及受人们认识 能力所限等，测量和实验所得数据和被测量的真值之间，不可避免地存在着差异，这在 数值上即表现为误差。随着科学技术的日益发展和人们认识水平的不断提高，虽可将误 差控制得越来越小，但终究不能完全消除它。误差存在的必然性和普遍性，已为大量实 践所证明。为了充分认识并进而减小或消除误差，必须对测量过程和科学实验中始终存 在着得误差进行研究。研究误差的意义为1）正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差。2）正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于 真值的数据。3）正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，

12、得到理想的结果。1.2 误差的基本概念1.2.1 误差的定义及表示法所谓误差就是测得值与被测量的真值之间的差，可用下式表示：误差二测得值-真值（1.1）例如在长度计量测试中，被测量某一尺寸的误差公式具体形式为误差二测得尺寸-真实尺寸（1.2）测量误差可用绝对误差表示，也可用相对误差表示。一、绝对误差某量值的测得值和真值之差为绝对误差，通常简称为误差，即绝对误差=测得值-真值（1.3）由式（1.3）可知，绝对误差可能是正直或负值。所谓真值是指在观测一个量时，该量本身所具有的真实大小。量得真值是一个理想 的概念，一般是不知道的。但在某些特定情况下，真值又是可知的。例如：三角形三个 内角之和为180

13、° ; 一个整圆周角为360° ;按定义规定的国际千克基准的值可认为真 值是1kg等。为了使用上的需要，在实际测量中，常用被测得量得实际值来代替真值， 而实际值得定义是满足规定精确度得用来代替真值使用的量值。在实际工作中，经常使用修正值。为消除系统误差用代数法而加到测量结果上的值 称为修正值。将测得值加上修正值后可得近似的真值，即真值=测得值+修正值（1.4）由此得修正值=真值-测得值（1.5）修正值与误差的大小相等而符号相反，测得值加修正值后可以消除系统误差的影响。 但必须注意，一般情况下难以得到真值，因为修正值本身也有误差，修正后只能得到较 测得值更为准确的结果。二、相

14、对误差绝对误差与被测量的真值之比值称为相对误差。因测得值与真值接近，故也可近似 用绝对误差与测得值之比值作为相对误差，即相对误差=绝对误差/真值=绝对误差/测得值（1.6）由于绝对误差可能为正值或负值，因此相对误差也可能为正值或负值。相对误差是无名数，通常以百分数来表示。例如用水银温度计测得某一温度为20.3C,该温度用高一等级的温度计测得值为 20.2C,因后者精度高，故可认为 20.2C 更接近真实温度，而水银温度计测量的绝对误差为0.1 C,其相对误差为 0.1/20.2-0.1/20.3= 0.5%。对于相同的被测量，绝对误差可以评定其测量精度饿高低，但对于不同的被测量以 及不同的物理

15、量，绝对误差就难以评定其测量精度的高低，而采用相对误差来评定较为 确切。三、引用误差所谓引用误差指的是一种简化和使用方便的仪器表示值的相对误差，它是仪器仪表 某一刻度点的示值误差为分子，以测得范围上限值或全量程为分母，所得的比值称为引 用误差，即引用误差二示值误差/测量范围上限(1.7)例如测量范围上限为19600N的工作测力计，在标定示值为14700N处得实际作用力 为14778.4N,则此测力计在该刻度点的引用误差为(14700N-14778.4N)/19600N=-78.4/19600=-0.4%在仪器全量程范围内有多个刻度点，每个刻度都有相应的引用误差，其中绝对值最 大的引用误差称为仪

16、器的最大引用误差。1.2.2误差来源在测量过程中，误差产生的原因可归纳为以下几个方面：一、测量装置误差1 .标准量具误差以固定形式复现标准量值的器具，如标准量块、标准线纹尺、标准电池等等，它们 本身体现的量值，不可避免地都含有误差。2 .仪器误差凡用来直接或间接将被测量和已知量进行比较的器具设备，称为仪器或仪表，如阿 贝比较仪、天平比较仪器等等，它们本身都具有误差。3 .附件误差仪器的附件及附属工具，如测长仪的标准环规，千分尺的调整量棒等的误差，也会 引起测量误差。二、环境误差由于各种环境因素与规定的标准状态不一致而引起的测量装置和被测量本身的变化 所造成的误差，如温度、湿度、气压、振动、电磁

17、场等所引起的误差。通常仪器仪表在 规定的正常工作条件所具有的误差称为基本误差，而超出此条件时所增加的误差称为附 加误差。三、方法误差由于测量方法不完善所引起的误差，如采用近似的测量方法而造成的误差。例如用 钢卷尺测量大轴的圆周长s,再通过计算求出大轴的直径d=s/兀，因近似数冗取值的不同， 将会引起误差。四、人员误差由于测量者受分辨能力的限制，因工作疲劳引起的视觉器官的生理变化，固有习惯 引起的读数误差，以及精神上的因素产生的一时疏忽等所引起的误差。1.2.3误差分类按照误差的特点与性质，误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。一、系统误差在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持

18、不变，或在条件改变时， 按一定规律变化的误差称为系统误差。例如标准量值得不准确、仪器刻度的不准确而引 起的误差。系统误差又可按下列方法分类：(1)按对误差掌握的程度分已定系统误差，是指误差绝对值和符号已经确定的系统误差。未定系统误差，是指误差绝对值和符号未能确定的系统误差，但通常可估计出误差 范围。(2)按误差出现规律分不变系统误差，是指误差绝对值和符号固定的系统误差。变化系统误差，是指误差绝对值和符号变化的系统误差。按其变化规律，又可分为 线性系统误差、周期性系统误差和复杂规律系统误差等。二、随机误差在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误 差称为随机误差。例

19、如仪器仪表中传动部件的间隙和摩擦、连接件的弹性变形等引起的 示值不稳定。三、粗大误差超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差，或称“寄生误差”。此误差值较大，明 显歪曲测量结果，如测量时对错了标志、读错或记错了数、使用有缺陷的仪器以及在测 量时因操作不细心而引起的过失性误差等。1.3 MATLAB软件介绍1.3.1 MATLAB软件的基本特点MATLA B具备高性能的数值计算和可视化的科学工程计算功能，支持解释性语言输入，编程实现简单，具有丰富的数学函数功能支持。MATLAB允许与C、Fortran语言接口，具部件Simulink可以采用图形输入的方式来搭构所研究的系统。包含丰富的工具 包，在系

20、统仿真、数字信号处理、图形图像分析、数理统计、通信及自动控制领域得到 广泛的应用。1.3.2 MATLAB桌面平台一、主窗口整个大的窗口(其它几个窗口都包括在其中)。二、命令窗口( command window)1> I的运算提示符，表示 MATLAB在准备状态。当在提示符后输入一段运算式并 接回车键后，就给出计算结果。三、历史窗口 (command history)保留命令历史记录，这方便于使用者查询。双击历史窗口中的某一行命令，即可在 命令窗口中执行该命令。四、当前目录窗口( current directory)在当前目录窗口中可显示或改变当前目录，也可以显示当前目录下的文件，并提供

21、 搜索功能。五、工作间管理窗口( workspace)显示目前内存中所有的MATLAB变量的变量名、数学结构、字节数及其类型。1.3.3 MATLAB 标点的含义一、分号；区分行以及取消运行显示等。例：人=1,2;3,4与 A=1,2;3,4;的区别、逗号区分列及函数参数分隔符等。例：A=1,2;3,4B=1,4,3;3,2,1;4,5,6三、百分号 注释标记，该行以后的语句不执行。例：线性规划程序%a=0.5;b=sin(x);%正弦函数四、单引号 字符串表示符，单引号里面的内容为字符串。单引号一定在英文状态下输入。例：a='xingtai college'五、冒号 ：有多种

22、应用功能，学习过程中注意。如选取矩阵的所有行、歹I，矩阵定义。注意： 所有标点必需采用英文标点，否则出错！1.3.4 MATLAB文件的类型一、数据文件.matmat文件是MATLAB以标准二进制格式保存的数据文件，可将工作空间中有用的数 据保存下来。二、m文件m文件的语法类似于c语言，但又有其自身特点。它只是一个简单的ASCII码文本 文件，执行程序时逐行解释运行程序，MATLAB是解释性的编程语言。m文件有两类独立的m文件一称命令文件，可调用m文件一称函数文件。(1)命令文件一简单的m文件命令文件实际上是一串指令的集合，与在命令窗口逐行执行文件中的所有指令，其 结果是一样的。没有输入输出参

23、数。命令文件包括两部分：注释语句和程序语句MATLAB内置函数文件。MATLAB自定义的函数文件称内置函数文件。调用内置函数的方法：使用函数名 并给出相应的入口、出口参数即可。例如：sin.m函数用type sin查不到。调用格式：y=sin(2*x)实际应用中：x=0:2*pi/180:2*pi;y=sin(2*x)plot(x,y)(3)函数m文件一需要输入变量，返回输出变量MATLAB用户可以根据需要编辑自己的m文件，它们可以像库函数一样方便的调用，从而极大地扩展了 MATLAB的能力。函数m文件的格式：function返回变量二函数名(输入变量)注释说明语句段程序语句段特定规则：1、函

24、数m文件第一行必须以单词function作为引导词，必须遵循如下形式： function <因变量 >=< 函数名 >(< 自变量>)2、m文件的文件名必须是 <函数名>.m。3、程序中的变量均为局部变量，不保存在工作空间中。其变量只在函数运行期间有 效。(4)系统文件s函数用于描述系统运动的专用函数，是特殊的m文件。s函数有3类：中由simulink结构图自动创建k可用c语言程序设计mex文件直接定义九用函数m文件编写s函数一旦创建，即可在框图中使用，也可在文件中调用。1.4 本文主要研究意义及内容一、误差与数据处理的特点及应用中存在的问题误差

25、理论和数据处理是高等院校仪器仪表类及相关专业的一门专业基础课。通过该课程的学习，学生可以掌握误差、静态测量及精度、动态测量及精度、精度评定指 标及方法等基本概念，同时也能正确地进行设计实验和用合适的数据处理方法来对实验 结果进行科学的分析和处理、当今时代为信息时代，而且由于测量中误差存在的必然性 和普遍性，使得通过科学实验和工程实践获得的数据信息必须经过合理的数据处理，给 出科学评价，才有其实际价值。对于数据量比较大的问题进行处理时，由于传统误差处理需要花费很长时间才能 完成，并且计算量大，容易出现错误，结果也不直观，这给误差处理的方便性带来了严 重阻碍，因此，我们迫切希望找出可以解决该问题的

26、方法。二、MATLAB在误差处理中应用的引入MATLAB软件以其强大的矩阵计算、简洁的程序编写方法等特点,非常适合学生将 其作为一种辅助工具进行误差理论的学习与应用。利用MATLAB辅助教学手段，传统误差数据处理要花费很长时间才能完成的处理仅仅 几秒钟就可以得出其结果，且非常直观。这在实际误差数据处理中具有很高的使用价值， 可以节约大量的时间，达到事半功倍的效果。另外，通过 MATLAB强大的图形功能以 及GUI界面，我们不仅能方便地将数据图形化，还可以为我们的应用创造一个良好的人 机界面。因此，对于 MATLAB在误差理论中的应用，我们必须学以致用。三、研究MATLAB在误差理论中应用的意义

27、通过对MATLAB在误差理论应用中的研究，可以运用MATLAB语言以其自身强大的数 值、矩阵运算功能和图形表达功能，非常适合用于解决误差理论与数据处理方面的问题。 方便、直观、高效率、高正确率等特点，是 MATLAB在误差理论中应用的意义所在。四、本次设计的主要内容设计完成误差处理中粗大误差的自动判断，在线剔除，系统误差的判断与纠正，随 机误差的数据处理，试验结果的自动生成的实用型软件。我们将采用MATLAB GUI的设计配合误差处理的源程序设计出最终满意的实用型 软件。2.误差的基本性质与处理2.1 随机误差2.1.1随机误差的产生原因当对同一测量值进行多次等精度的重复测量时，得到一系列不同

28、的测量值(常称为 测量列)，每个测量值都含有误差，这些误差的出现没有确定的规律，即前一个数据出 现后，不能预测下一个数据的大小和方向。但就误差整体而言，却明显具有某种统计规 律。随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微小因素构成，主要有以下几方面：(1)测量装置方面的因素。(2)环境方面的因素。(3)人为方面的因素。2.1.2正态分布随机误差的分布可以是正态分布，也可以是非正态分布，而多数随机误差都服从正 态分布。我们首先来分析服从正态分布的随机误差的特性。设被测量值的真值为L。,一系列测得值为L,则测量列的随机误差却可表示为：(2.1)、i =L -L°i =1,2, ,n式中正

29、态分布的分布密度f仲)与分布函数F(6)为(2.2)f (.)=1 e-'E二 2 二(2.3)F(、六1,唾2二一式中：(T标准差(或均方根误差)e自然对数白底，其值为2.7182,(2.(4)(2.(5)(2.(6)(2.(7)它的数学期望为：E = 1fa)d。=0它的方差为：c-2 = :I2f(、加、.其平均误差为：1= i、. | f(、.)d、./二-512此外由nf(6)d6 =可解得或然误差为：P = 0.6745仃之一仃-23由式(2.2)可以推导出：f(±6)>0。(1)由f (十6) = f(6)可推知分布具有对称性，即绝对值相等的正误差与负误差

30、出现的次数相等，这称为误差的对称性；当6 =0时有fmax(6) = f (0),即f (±&) < f (0),可推知单峰性，即绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多，这称为误差的单峰性；(3)虽然函数f (6)的存在区间是-8,+8,但实际上，随机误差6只是出现在一个有 限的区间内，即-k*+k(d,称为误差的有界性；n、i(4)随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零：lim = 0这称为误n一；： n差的补偿性。服从正态分布的随机误差都具有的四个特征：对称性、单峰性、有界性、补偿性。由于多数随机误差都服从正态分布，因此正态分布在误差理论中占有十分重要

31、的地位。图2.1正态分布曲线图2.1为正态分布曲线以及各精度参数在图中的坐标。b值为曲线上拐点A的横坐标，8值为曲线右半部面积重心B的横坐标，p值的横坐标线则平分曲线右半部面积。2.1.3算术平均值对某量进行一系列等精度测量时，由于存在随机误差，因此其获得的测量值不完全 相同，此时应以算术平均值作为最后的测量结果。XJ121n设ll2，ln为n次测量所得的值，则算术平均值为：(2.8)1 /二" lin i i下面来证明当测量次数无限增加时，算术平均值必然趋近于真值Lo-i -li - Lo、12n =(1l 121n)-nLonn即 、；i ='、li -nLo i 1 i

32、 1 nn'、li ' i I _ y _ y Lo _n n nn、iJi由前面正态分布随机误差的第四特征可知lim卫一-30 ,因止匕x =卫一-Lonnn由此我们可得出结论：如果能够对某一量进行无限多次测量，就可得到不受随机误 差影响的测量值，或其影响很小，可以忽略。这就是当测量次数无限增大时，算术平均 值（数学上称之为最大或然值）被认为是最接近于真值的理论依据。但由于实际上都是 有限次测量，因此，我们只能把算术平均值近似地作为被测量的真值。(2.9)一般情况下，被测量的真值为未知，不可能按式（2.1）求得随机误差，这时可用算 术平均值代替被测量的真值进行计算。此时的随机

33、误差称为残余误差，简称残差：i =li -x此时可用更简便算法来求算术平均值。任选一个接近所有测得值的数作为参考值, 计算每个测得值li与lo的差值：li =li -loi =1,2, ,nnnnnJi ，（lo "i） v nlo- .Ji_X =-= -1=10= 10 +Ax。（2.10）nnnn式中的AX。为简单数值，很容易计算，因此按（2.10）求算术平均值比较简单。2.1.4测量的标准差一、均方根误差（标准偏差）（T为什么用来作为评定随机误差的尺度？可以从高斯 （正态）分布的分布密度f（6）推知：f （、.）=二（2二）一二 e"令h=- ,则有:.20f（S）

34、 =3exp-h12,高斯参数h为精密度。由于h值无法以实验中得到，故以值代之。由于6值反映了测量值或随机误差的散布程度，因此 6值可作为随机误差的评定尺度。值愈大，函数f（6）减小得越慢；值愈小，f（a）减小得愈快，即测量列的精密度愈高，如图2.2所示。图2.2标准差与概率密度的关系标准差6不是测量列中任何一个具体测量值的随机误差，的大小只说明，在一定条件下等精度测量列随机误差的概率分布情况。在该条件下，任一单次测得值的随机误 差6, 一般都不等于，但却认为这一系列测量列中所有测得值都属于同样一个标准差 6的概率分布。在不同条件下，对同一被测量进行两个系列的等精度测量，其标准差也不相同二、或

35、然误差P测量列的或然误差p,它将整个测量列的n个随机误差分为个数相等的两半。其中一半(n/2个)随机误差的数值落在-p +p范围内，而另一半随机误差的数值落在 -1p +p 范围以外：1 f(6)d5=,查 f(z)表，得到 f(z) = 0.5时，z=0.6745,-：22故有 P = z仃=0.6745仃 &-CT 0 .3其实际意义是：若有n个随机误差，则有n/2个落在区间-p ,+ p之内，而另外n/2 个随机误差则落在此区间之外。三、算术平均误差9测量列算术平均误差9的定义是：该测量列全部随机误差绝对值的算术平均值，用下式表小：1 n一 % |、| (n 二)n f由概率积分

36、可以得到8与6的关系：4& a5目前世界各国大多趋于采用6作为评定随机误差的尺度。这是因为：(1)6的平方恰好是随机变量的数字特征之一(方差),6本身又恰好是高斯误差方程f(6式中的一个参数，即 *=6，所以采用(7,正好符合概率论原理，又与最小乘法最切合；(2)6对大的随机误差很敏感，能更准确地说明测量列的精度;(3)极限误差与标准偏差的关系简单：；(4)公式推导和计算比较简单。四、标准偏差的几种计算方法(一)等精度测量列单次测量标准偏差的计算(1)贝塞尔(Bessel冶式-i =h Lo61 11 x + x L0(2.11)0 2 12 x + x Lo!6n 1 n _ x +

37、 x _ L0式中，Cx-Lo)=纵称为算术平均值误差，将它和Vi=1i-又代入上式，则有(2.12)将上式对应项相加得：V -n=' Vii =1n、iin(2.13)n、i'.x 二若将式(2.12)平方后再相加得:n、i2 i 1一 22=vi n x - 2cq 二 vin=、. Vi2n、q2i 1(2.14)将式(2.13)平方有:、.2 xn n2?工&i曰nnJ.2 ii W2- nn21-i2n当n适当大时，可以认为并将代入式(2.14)得:n、i2i 1n=Si 1'i22 i 1Vi一n(2.15)n。2,代入式(2.15)得:nno2=Z

38、 Vi2+仃2 ,即i=1(2)别捷尔斯法三Vi2(2.16)由贝赛尔公式得:三Vi2n -1nJi2 i Jn进一步得：V、；i 4n'、Vi2i 4nn -1则平均误差有:n£ |6ii金nn(n -1)nZ Vii 1由式2.16得:10.7979= 1.253u故有:3-1.2533斗Vil.n(n -1)(2.17)此式称为别捷尔斯(Peter§公式，它可由残余误差v 的绝对值之和求出单次测量的标准差仃。(3)极差法用贝赛尔公式和别捷尔斯公式计算标准差均需先求算术平均值，再求残余误差，然后进行其他运算，计算过程比较复杂。当要求简便迅速算出标准差时，可用极差

39、法。若等精度多次测量测得值Xi,X2，Xn服从正态分布，在其中选取最大值 Xmax与最小值Xmin ,则两者之差称为极差:'n = xmax - xmin(2.18)根据极差的分布函数，可求出极差的数学期望为E( n) =dn。(2.19)因 E()=二dn故可得。的无偏估计值，若仍以仃表示，则有O:二二dn(2.20)式中dn的数值见表2.1。表2.1dn数值表n234567891011121314151617181920dn1.131.692.062.332.532.702.852.973.083.173.263.343.413.473.533.593.643.693.74三种方法

40、的优缺点：(1)贝塞尔公式的计算精度较高，但计算麻烦，需要乘方和开方等，其计算速度难于满足快速自动化测量的需要；(2)别捷尔斯公式最早用于前苏联列宁格勒附近的普尔科夫天文台，它的计算速度 较快，但计算精度较低，计算误差为贝氏公式的1.07倍；(3)用极差法计算(7,非常迅速方便，可用来作为校对公式，当 n<10时可用来计算 ，此时计算精度高于贝氏公式。(二)多次测量的测量列算术平均值的标准差在多次测量的测量列中，是以算术平均值作为测量结果，因此必须研究算术平均值 不可靠的评定标准。如果在相同条件下对同一量值作多组重复的系列测量，每一系列测量都有一个算术平均值，由于随机误差的存在，各个测量

41、列的算术平均值也不相同，它们围绕着被测量 的真值有一定的分散，此分散说明了算术平均值的不可靠性，而算术平均值的标准差则 是表征同一被测量的各个独立测量列算术平均值分散性的参数，可作为算术平均值不可靠性的评定标准。已知算术平均值x为：X = l1 l21nn取方差得 D(X)= 12 D(11) D(l2)：+D(l" n因 D(l1) =D(lz) =D(ln) =D(l)-11,、故有 D(x) = nD(l) = D(l) nnn(2.21)即在n次测量的等精度测量列中，算术平均值的标准差为单次测量标准差的1/Vn ,当n愈大，算术平均值越接近被测量的真值，测量精度也愈高。增加测

42、量次数，可以提高测量精度，但测量精度是与n的平方根成反比，因此要显著提高测量精度，必须付出较大的劳动。由图2.3可知，一定时，当n>10以后，陵 的减小很慢。止匕外，由于增加测量次数难以保证测量条件的恒定，从而引入新的误差，因此一般情况下取n=10以内较为适宜。总之，提高测量精度，应采取适当精度的仪器, 选取适当的测量次数。图2.3测量次数与测量精度的关系2.1.5测量的极限误差测量的极限误差是极端误差，测量结果（单次测量或测量列的算术平均值）的误差 不超过该极端误差的概率为p,并使差值（1-p）可予忽略。、单次测量的极限误差测量列的测量次数足够多和单次测量误差为正态分布时，根据概率论知

43、识，正态 分布曲线和横坐标轴间所包含的面积等于其相应区间确定的概率，即p = f (、)dc =当研究误差落在区间（-6,+6）之间的概率时，则p = . f(、 )d、=.(2.22)一，一 、口:d、：、,将上式进行变量置换，设t=-，出=",经变换，上式成为:,t2_11-2*2p = 2；出二 2一t -2e 2 dt =29 (t)t -2e 2dt(2.23)这样我们就可以求出积分值 p,为了应用方便，其积分值一般列成表格形式，称为 概率函数积分值表。当t给定时，小值可由该表查出。现已查出t=1,2,3,4等几个特殊值的积分值，并求出随机误差不超出相应区间的概率p=2i&

44、gt;和超出相应区间的概率p'=1-2(|)(t),如图 2.4。由图可以看出，随着t的增大，超出|6|的概率减小得很快。当t=2,即|6|二2时在 22次测量中只有1次的误差绝对值超出2(t范围；而当t=3,即|6|二3(r时，在370次测 量中只有1次误差绝对值超出3 b范围。由于在一般测量中，测量次数很少超过几十次， 因此可以认为绝对值大于3 (7的误差是不可能出现的，通常把这个误差称为单次测量的 极限误差&mx,即T i x = 3-(2.24)图2.4正态分布概率分布当t=3时，对应的概率p = 99.73%。在实际测量中，有时也可取其它 t值来表示 单次测量的极限误

45、差。如取 t=2.58, p = 99%; t=2, p = 95.44% ; t=1.96, p=95%等。 因此一般情况下，测量列单次测量的极限误差可用下式表示：,limX = -t。(2.25)若已知测量的标准差 *选定置信系数t,则可由上式求得单次测量的极限误差。二、算术平均值的极限误差测量列的算术平均值与被测量的真值之差称为算术平均值误差，即X 二 X 一 Lo(2.26)当多个测量列的算术平均值误差 京=1,2,，N)为正态分布时，根据概率论知识, 同样可得测量列算术平均值的极限表达式为：而又=力七(2.27)式中的t为置信系数，与为算术平均值的标准差。通常取t=3,则'l

46、imx ”3七实际测量中有时也可取其它t值来表示算术平均值的极限误差。但当测量列的测量 次数较少时，应按可生氏 份布(-student I I distribution)或称t分布来计算测量列算术平均 值的极限误差，即：6“mx =±ta3(2.28)式中的ta为置信系数，它由给定的置信概率p = 1 -a和自由度v = 1 - n 来确定，具体数值见附录表 A1的t分布表；a为超出极限误差的概率(称显著度或显 著水平)，通常取口 =0.01或0.02,0.05; n为测量次数；j为n次测量的算术平均值标准 差。对于同一测量列，按正态分布和 t分布分别计算时，即使置信概率的取值相同，

47、但 由于置信系数不同，因此求得的算术平均值极限误差也不同。2.2系统误差2.2.1 系统误差产生的原因系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的因素造成，在条件充分的情况下这些 因素是可以掌握的。主要来源于：2.2.2 装置方面的因素；2.2.3 方面的因素；2.2.4 方法的因素；2.2.5 人员的因素。2.2.6 系统误差的分类和特征系统误差的特征是在同一条件下，多次测量同一测量值时，误差的绝对值和符号保 持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。由系统误差的特征可知，在多次 重复测量同一值时，系统误差不具有抵偿性，它是固定的或服从一定函数规律的误差。 从广义上讲，系统误差是指服从某一

48、确定规律变化的误差。图2.5为各种系统误差，随测量过程t变化而表现出不同特征。曲线a为不变的系统 误差，曲线b为线性变化的系统误差，曲线c为非线性变化的系统误差，曲线d为周期性变化的系统误差，曲线e为复杂规律变化的系统误差图2.5各种系统误差根据系统误差在测量过程中所具有的不同变化特性，将系统误差分为不变系统误差和变化系统误差两大类。一、不变系统误差固定系统误差是指在整个测量过程中，误差的大小和符号始终是不变的。如千分尺或测长仪读数装置的调零误差，量块或其它标准件尺寸的偏差等，均为不变系统误差。它对每一测量值的影响均为一个常量，属于最常见的一类系统误差。二、变化系统误差变化系统误差指在整个测量

49、过程中，误差的大小和方向随测试的某一个或某几个因素按确定的函数规律而变化，其种类较多，又可分为以下几种：(1)线性变化的系统误差 在整个测量过程中，随某因素而线性递增或递减的系统误差。(2)周期变化的系统误差 在整个测量过程中，随某因素作周期变化的系统误差。(3)复杂规律变化的系统误差 在整个测量过程中，随某因素变化，误差按确定的 更为复杂的规律变化，称其为复杂规律变化的系统误差。2.2.7 系统误差的发现方法由于形成系统误差的原因复杂，目前尚没有能够适用于发现各种系统误差的普遍方法。但是我们可针对不同性质的系统误差，可按照下述方法加以识别：用于发现测量列组内的系统误差，包括实验对比法、残余误

50、差观察法、残余误差校 核法和不同公式计算标准差比较法。、实验对比法实验对比法是改变产生系统误差的条件，进行不同条件的测量，以发现系统误差。这种方法适用于发现不变的系统误差。对于不变的系统误差，只能用实验对比法。二、残余误差观察法残余误差观察法是根据测量列的各个残余误差大小和符号的变化规律，直接由误差数据或误差曲线图形来判断有无系统误差。这种方法适于发现有规律变化的系统误差。三、残余误差校核法(有两种方法)l1 =l'111l2 = l '2 ： =l2(1)用于发现线性系统误差：设有测量列1/2ln ,它们的系统误差为&1,及2A),它们不含系统误差之值为 匚,修ln&

51、#39;,有下式成立:ln =ln' l它们的算术平均值为：x=xx''因 li -x Vi , li X =Vi故有(2.29)(2.30)V =vi +(Ali - Ax)若系统误差显著大于随机误差，Vi可予忽略，则得ViLli 二 X由上式看出，显著含有系统误差的测量列，其任一测量值的残余误差约为系统误差与测量列系统误差平均值之差。根据式(2.29),若将测量列中前K个残余误差相加，后n-K个残余误差相加(当n为 偶数，取K=n/2; n为奇数，取K=(n+1)/2),两者相减得：Kn 二、Vi -、Vj1 Wj d 1KnKn二1，Vi'- "

52、 V' ( li - x) - " (- x)2 1j =k 1 i 1j -k 1Kn当测量次数足够多时，有: ='、' Vi -、' Vji 1 j d 1KnKn= '、' Vi'-、Vj j.二(-li - x) - V (L lj - x)i =1j=k 1i =1j =k 1n/2n所以得：A=£v- £ vjn为偶数i 1j 印/2 1(n 1)/2n = £ v- £ vji 1jn-1)/2n应足够大用来判断线性系统误差,n为奇数(2.31)若上两式的A显著不为0,则有理

53、由认为测量列存在线性系统误差。这种校核法又称 T列科夫准则llo但要注意的是，有时按残余误差 校核法求得差值A=0,仍有可能存在系统误差(2)用于发现周期性系统误差：若一等精度测量列，按测量先后顺序将残余误差排n 二列为 v1,v2 ，vn,求 U=£ vivT = v1v2 +v2v3 +vnvn i =4(2.32)若 u . n _ 102则认为该测量列中含有周期性系统误差。这种校核法又叫阿卑一一赫梅特准则(Abbe-Helmert准则),它能有效地发现周期性系统误差。四、不同公式计算标准差比较法对等精度测量，可用不同分式计算标准差，通过比较以发现系统误差。按贝塞尔公2公,按别

54、捷尔斯公式:%二1.253vin(n -1)(2.33)2u之:n -1则怀疑测量列中存在系统误差。在判断含有系统误差时，违反 T6则时就可以直接判定，而在遵守 46则时，不能 得出 坏含系统误差 附结论，因为每个准则均有局限性，不具有 -a用性it2.2.4系统误差的减小和消除一、消误差源法用排除误差源的方法消除系统误差是最理想的方法。它要求测量人员，对测量过程 中可能产生系统误差的各个环节作仔细分析，并在正式测试前就将误差从产生根源上加 以消除或减弱到可忽略的程度。由于具体条件不同，在分析查找误差源时，并无一成不变的方法，但以下几方面是应予考虑的:(1)所用基准件、标准件(如量块、刻尺、光波容器等)是否准确可靠；(2)所用量具仪器是否处于正常工作状态，是否经过检定，并有有效周期的检定证 书；(3)仪器的调整、测件的安