电磁场与电磁波答案第四版谢处方

1、1.1给定三个矢量 求：(1) aA； (2) AA、b和C如下：B ；(3)AgB ；(4) Ag(BC)和(A B)gC ； (8) (A B)AB； (5) A在B上的分量；(6) AC； C 和 A (B C)。解(1) aA(2)(3)(4)AgB由cosAA(e(exABex ey2 ez3,12 22 ( 3)2ex 府 ey -Uey2 ez3) ( ey4 ez) ey 2 ez3) g( ey 4 ez )AgB11|a|b| 取折exey6(5)A在B上的分量ABA cos-11工,师，AgBAB(6)ex15ey20ez32ex4 ey13 ez10(7)由于Bex05

2、ey40ez12ex8 ey5 ez20所以Ag(BC) (exey2ez3)g(ex8 ey5 ez20)42(8)(A B)ex ey10150ez423 ez14ez4得AB11,17ex2 ey40 ez5cos 1 ( 3) 135.5o.2381.2三角形的三个顶点为p(o,i,1 ey ez2 , 2 则 立 21 ex4 由此可见ex 4 eyez3 ,ez ,R233r23ex 6 ey2 ez5ex2 ey ez8 ,2)、 P2(4,1, 3)和 P3(6,2,5)。(1)判断 叩2P3是否为一直角三角形；(2)求三角形的面积。解(1)三个顶点P1(0,1, 2)、P2(

3、4,1, 3)和P3(6,2,5)的位置矢量分别为故PP2旦为一直角三角形二角形的面积S工反攻R23 JR? R231后V69 17.132221.3 求P( 3,1,4)点到P(2, 2,3)点的距离矢量R及R的方向。解Pex3 ey ez4 , P ex2 ey 2 ez3 ,则 RppP Pex5 ey3 ez且Rpp与x、y、z轴的夹角分别为1.4 给定两矢量Aex2ey3ez4和Bex4ey5ez6,求它们之间的夹角和A在B上的分量解A与B之间的夹角为AB C0S1(gBA B)cos1'31") 1310八B 31AgB-.773.532A在B上的分量为A1.5给

4、定两矢量 分量。A ex2 ey3 ez4和 Bex6 ey4 ez,求 a b 在 C ex ey ez上的ex ey ezft¥A B 234ex13 ey22 ez10641所以A B在C上的分量为(A B)c (A B)gC笔 14.43C|331.6 证明：如果AgB AgC和A B A C ,则B C ；解由 A B AC,则有 A (A B) A (A C),即由于 AgB AgD ,于是得到(AgA)B (AgA)C 故B C1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该 未知矢量。设A为一已知矢量，p AgX而P A x，P和P已知，试求X

5、。解由p A X，有故得XpA A pAgA1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由(4 23)定出，求该点在：(1)直角坐标中的 '3 '坐标；(2)球坐标中的坐标。解在直角坐标系中x 4cos(22、y 4sin(2 /3) 2百、z 3故该点的直角坐标为(2,273,3)。1.9 在球坐标系中 r J42 32 5、 tan 1(4/3) 53.1°、2 /3 120°故该点的球坐标为(5,53.1°,120o)1.9 用球坐标表示的场e er 2|,r(1)求在直角坐标中点(3,4, 5)处的旧和Ex；(2)求在直角坐标中点(3,4, 5)处E与

6、矢量B 02 ey2 0构成的夹角。解 在直角坐标中点(3,4, 5)处，r2 ( 3)2 42 ( 5)2 50，故 在直角坐标中点(3,4, 5)处，rex3 ey4 ez5 ,所以故 E 与 B 构成的夹角为 eb cos 1 (igB-) cos 1( 19 (L) 153.60|E|gB|3 21.10 球坐标中两个点(r1,1, 1)和(r2,2,2)定出两个位置矢量R1和R2。证明R1和R2解由 R1exr1 sin 1 cos 1eyr1 sin 1 sin 1ezr1 cos 1得到cosRi gR2R1 R2间夹角的余弦为1.11 一球面s的半径为5,球心在原点上，计算：？

7、(er3sin )gdS的值)gerdSd 3sin52sin d 75 2004围成的圆柱形区域，对矢量a err2ez2z验证散度定解蜒r3sin )gdS (e.3sin SS1.12 在由5、z offiz 理。解在圆柱坐标系中gA l_(rr2) (2z) 3r 2r r z425所以 gAd dz d (3r 2)rdr 1200000又蜒gdS(err2 ez2z)g(erdSr e dS ezdSz)SS故有 gAd 1200?AgiSS1.13 求(1)矢量A exx2 eyx2y2 ez24x2y2z3的散度；(2)求gA对中心在原点的 一个单位立方体的积分；(3)求A对此

8、立方体表面的积分，验证散度定理。,22 2223、解 gA 3 3!(24x y z ) 2x 2x2y 72x2y2z2xyz(2)对中心在原点的一个单位立方体的积分为(3) A对此立方体表面的积分 故有 gAd ?AgdS24 S1.14 计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分，并求 丁对球体 积的积分。2解蝮国 S r ger d S daa2sin dSS00又在球坐标系中，gr 4(r2r) 3,所以 r r1.15 求矢量A exx eyx2 ezy2z沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积 分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求 a对此回路所包围的曲面积

9、 分，验证斯托克斯定理。解？AgdlC2xd xxdx0222d y0dy 80又 A所以Sexeyezx y z22x x y z2 2ex2 yz ez2xAgd S(ex2yz ez2x)gezdxd y0 0故有？ Agd l 8 AgdS Cs1.16求矢量A exx eyxy2沿圆周x2 积分。a2的线积分，再计算A对此圆面积的xd x xy2d yC2/2(a cos sin0442.2aa cos sin )d 41.17 证明：(1) gR 3；(2) A为一常矢量。解(1)gR _x _y / 3x y zR 0； (3) (AgR) A。其中 R exx eyy ezZ

10、, R xx(3)设 A exAxey ez0y zy yeyAy ezAz ,则 AgR Axx Ay yAzZ,故1.18呢？一径向矢量场fe/(r)表示，如果gF0,那么函数f(r)会有什么特点解在圆柱坐标系中, 可得到由 gF *rf(r) 0在球坐标系中，由f(r) CC为任意常数。 rgF 4；r2f(r) 0r dr可得到f(r) gr1.19给定矢量函数(1)沿抛物线x解 EgdlCy2；exy eyx,试求从点P1(2,1, 1)到点P2(8,2, 1)的线积分Egdl：沿连接该两点的直线。这个E是保守场吗？Ey d yy dx xd yC(2)连接点P(2,1,1)到点 P

11、2(8,2, x 2y 11)直线方程为x 8 一即 x 6y 4 0y 2 12故 EgdlExdx Eydyyd(6y 4)CC1由此可见积分与路径无关，故是保守场。2(6y 4)d y (12y 4)d y 1411.20求标量函数x2yz的梯度及 在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量ex总eyez*定出；求(2,3,1)点的方向导数值。解ex (x2yz)x/ 22、ey (x yz) ez (x yz) yz故沿方向el ex-= ey f= ez的方向导数为. 50、50. 50点(2,3,1)处沿el的方向导数值为1.21试采用与推导直角坐标中gA 2 上 A相x y z似

12、的方法推导圆柱坐标下的公式A 1, A、 AAzgA(rAr) 0r r r z解在圆柱坐标中，取小体积元如题1.21图所示。矢量场A沿er方向穿出该六面体的表面的通量为 同理因此，矢量场A穿出该六面体的表面的通量为故得到圆柱坐标下的散度表达式Alim01(rAr)Ar r rAz z2221.22 方程u ' :给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。 222a b c解由于u ex 22 ey乌ez2Z a b c故椭球表面上任意点的单位法向矢量为1.23 现有三个矢量A、B、C为(1)哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数 的旋度表示？(2)求出

13、这些矢量的源分布。解(1)在球坐标系中故矢量A既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示； 在向柱坐标系中故矢量B可以由一个标量函数的梯度表示；直角在坐标系中故矢量C可以由一个矢量函数的旋度表示。(2)这些矢量的源分布为gA 0， A 0 ；gB = 2r sin , B 0 ；e 0 , C ez(2x 6y)1.24 利用直角坐标，证明解在直角坐标中1.25 证明解根据 算子的微分运算性质，有式中a表示只对矢量A作微分运算，H表示只对矢量H作微分运算。由 ag(b c) cc(a b),可得同理 HdA H) Ad H H) AdH )故有 g(A H) Hg A Ag

14、 H1.26 利用直角坐标，证明解在直角坐标中所以1.27 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明(u) 0及g( A) 0 ,试证明之。解(1)对于任意闭合曲线C为边界的任意曲面S,由斯托克斯定理有由于曲面s是任意的，故有(2)对于任意闭合曲面s为边界的体积，由散度定理有其中&和S2如题1.27图所示。由斯托克斯定理，有( A)gdS ?Agdl,( A)gdS ?AgdlS1ciS2C2gd由题1.27图可知Ci和C2是方向相反的同一回路，则有所以得到a A)d蜒gdiAgdi 蜒叫aw 0C1C2C2C2题1.27图由于体积是任意的，故有a A)o二章习题解答2.1

15、一个平行板真空二极管内的电荷体密度为4 0U 0d 43x 23，式中阴极板位于x 0，阳极板位于x d , 9极间电压为U0O如果U0 40V、d 1cm、横截面S 10cm2, 求：(1)x /Dx d区域内的总电荷量Q；(2) x d/2x d 区域内的总电荷量Q。解(1) Q d ( 4 0U0d 43x 2'3)Sdx 0U0S 4.72 10 11C093dd 441(2) Q d (4 0U0d x )Sdx (1 二)0U0S 0.97 1011c d 2 93d3 22.2 一个体密度为 2 32 10 7 Cm3的质子束，通过1000V的电压加速后形成等速的质 子束

16、，质子束内的电荷均匀分布，束直径为 2mm，束外没有电荷分布，试求电流密 度和电流。解质子的质量m 1.7 10 27 kg、电量q 1.6 10 19C。由得 v 2mqU 1.37 106 m. s故 J v 0.318 A . m22.3 一个半径为a的球体内均匀分布总电荷量为Q的电荷，球体以匀角速度绕一个直径旋转，求球内的电流密度。解以球心为坐标原点，转轴(一直径)为z轴。设球内任一点P的位置矢量为r, 且r与z轴的夹角为，则P点的线速度为 球内的电荷体密度为度E(0,0, a),设半圆环的半径也为a ,如题2. 6图所示。Q .3Q改 J v e 3 r sin e 3 r sin4

17、 a 34 a2.4 一个半径为a的导体球带总电荷量为 求球表面的面电流密度。解以球心为坐标原点，转轴(一直径)为Q,同样以匀角速度 绕一个直径旋转,r ,且r与z轴的夹角为 球面的上电荷面密度为故 Js v e Q 2 a sin,则p点的线速度为z轴。设球面上任一点P的位置矢量为4 a2.5两点电荷q1Qe sin4 a8c位于z轴上z 4处,q24c位于y轴上y 4处，求(4,0,0)处的电场强度。解电荷41在(4,0,0)处产生的电场为电荷42在(4,0,0)处产生的电场为故(4,0,0)如的电场为2.6 一个半圆环上均匀分布线电荷l ,求垂直于圆平面的轴线上z a处的电场强dEia

18、r r d 4 o(.2a)3强度为11、12 和 13三角形中心到各边的距题2.6图题2 7图2 2,3 2222、3 2 1yz 2(xa)(xa)yz 3、222.32222 13 2 a)yz 2y(xa)yz 日a)2y2z23224(xa)2y2z232 0。所以，当y 0或z 0时无解；2q解半圆环上的电荷元idl ©d在轴线上z a处的电场强度为在半圆环上对上式积分，得到轴线上z a处的电场2.7 三根长度均为L,均匀带电荷密度分别为 地线电荷构成等边三角形。设11 2 12 2 13,计算处的电场强度。解建立题2. 7图所示的坐标系。三角形中心 离为d tan30o

19、 3 L26则故等边三角形中心处的电场强度为2.8 一点电荷q位于(a,0,0)处，另一点电荷(a,0,0)处，空间有没有电场强度E 0的点？解电荷q在(x,y,z)处产生的电场为电荷2q在(x,y,z)处产生的电场为(x, y,z)处的电向则为E E1 E2。令E 0，则有 由上式两端对应分量相等，可得到2(x a)(x a)y(xz(x当y 0或z 0时，将式或式代入式，得a 当y 0且z 0时，由式，有解得 但x 3a 272a不合题意，故仅在(3a 2缶,0,0)处电场强度E 0。2.9 9 一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为。证明：垂直于平面的z轴 上z z0处的电场强度E中，

20、有一半是有平面上半径为 石z°的圆内的电荷产生的解半径为r、电荷线密度为1dr的带电细圆环在z轴上z z0处的电场强度为故整个导电带电面在z轴上z Zo处的电场强度为而半径为43z。的圆内的电荷产生在z轴上z Z0处的电场强度为2.10 一个半径为a的导体球带电荷量为Q,当球体以均匀角速度绕一个直径旋转，如题2.10图所示。求球心处的磁感应强度 B o 解球面上的电荷面密度为当球体以均匀角速度 绕一个直径旋转时，球面上位置矢量r era点 处的电流面密度为将球面划分为无数个宽度为d1 ad的细圆环，则球面上任一个题2.1。图 范度为dl ad细圆环的电流为dI JSd 1 Qsin

21、d4细圆环的半径为b asin ,圆环平面到球心的距离d acos ,利用电流圆环的轴线上 的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为.3-故整个球面电流在球心处产生的磁场为 b e ° Qsin d e上 z 08 az 6 a2.11两个半径为b、同轴的相同线圈，各有N匝，相互隔开距离为d,如题2.11 图所示。电流I以相同的方向流过这两个线圈。(1)求这两个线圈中心点处的磁感应强度 B exBx；(2)证明：在中点处dBx/dx等于零；(3)求出b与d之间的关系，使中点处d2Bx/dx2也等于零。解(1)由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度B e201a2 3 2z2(a2

22、z2) 2得到两个线圈中心点处的磁感应强度为 B e一则一ex(b2 d2 4)32(2)两线圈的电流在其轴线上B ex2oNIb2x (0 x2oNIb2d)处的磁感应强度为所以也dx故在中点23 0NIb2x22、3 22213 22(b x )2b (d x)23 0NIb2(d x)2(b2 x2)5 22b2d/2处，有2 1 5 2(d x),2令d Bx d x2即 5d2 4故解得d2.12d2 Bx 15 0NIb2x2病 2(b2 x2)723 oNIb22(b2d 2b2 b25d2 40，句2 . 72b2 d2472d2. 4一条扁平的直导体带,在第一象限内的磁感应强

23、度为题2.12图2、5 2x )1_b2d24题2.11图宽为2a，中心线与BxV ，By Vz轴重合，通过的电流为I。证明ln”式中、r1和r2如题2.12图所r1解将导体带划分为无数个宽度为 dx的细条带，每一细条带的电流dI 的细条带的电流d B sin-Ldx 。由安培环路定理，可得位于x处 2adI在点P(x, y)处的磁场为°Iy d x4 a(x x)2 y2所以2.13如题2.13图所示，有一个电矩为仍的电偶极子, 位于坐标原点上，另一个电矩为P2的电偶极子，位于矢径为r的某一点上。试证明两偶极子之间相互式中 1 r,P1,2 r,P2,是两个平面间的夹角。并问两个偶

24、极子在怎样的相对取最大？解电偶极子R在矢径为r的点上产生的 所以R与P2之间的相互作用能为题2.13图作用力为(r,pi)和(r,p2) 向下这个力值电场为2 02 0因为 i r,R ,2r, P2 ,则又因为 是两个平面(r,3和"，P2)间的夹角，所以有另一方面，利用矢量恒等式可得1 一因止匕(PigP2) (r Pi)g(r P2) (rgPi)(rgP2) PiPzSinsin 2cospiP2cos 1 cos 2r2cos i cos 2)2cos 1cos 2)3) ,dr r3于是得到 WeJP23 ( sinsin 2cos40r '故两偶极子之间的相互作

25、用力为L WPiP2 , .Fr q const；一( sin isin 2 cosr4 o3PiP2 z、4 ( sin 1sin 2cos 2cos 1cos 2)4 0r由上式可见，当1 2 0时，即两个偶极子共线时，相互作用力值最大。2.14两平行无限长直线电流Ii和I2,相距为d ,求每根导线单位长度受到的安培 力Fm。解无限长直线电流Ii产生的磁场为Bi0I 1e 2 r1直线电流I2每单位长度受到的安培力为 2 I2ez Bidz0ei20I 1I 22 d式中ei2是由电流Ii指向电流I2的单位矢量同理可得，直线电流I1每单位长度受到的安培力为Fm21Fmi2ei20I 1I

26、22 d2.15 根通电流Ii的无限长直导线和一个通电流I2的圆环在同一平面上，圆心与 导线的距离为d ,如题2.15图所示。证明：两电流间相互作用的安培力为这里是圆环在直线最接近圆环的点所张的角解无限长直线电流Ii产生的磁场为圆环上的电流元12dl2受到的安培力为由题 2. 15 图可知 dl2 ( exsinezcos )ad所以 Fm/,0aIiI2；( ezsinex cos )d0 2 (d a cos )2.16 证明在不均匀的电场中，某一电偶极子点所受到的力矩为r (Pg)E P E。题2.15图解如题2.16图所示，设p qdl (dl 1),则 绕坐标原点所受到的力矩为P绕坐

27、标原电偶极子P当dl 1时，有 故得到三章习题解答3.1真空中半径 面，球的两极点处分别 和q,试计算球赤道 度的通量(如题3.1解由点电荷q和题2.16图为a的一个球 设置点电荷q 平面上电通密 图所示)。q共同产生的电通密度为则球赤道平面上电通密度的通量3.2 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为 的球体原子模型，其球体内均匀分 布有总电荷量为 Ze的电子云，在球心有一正电荷Ze (Z是原子序数，e是质子电荷Ze 1r量)，通过实验得到球体内的电通量密度表达式为D0 e，T p2 r试证明之。Ze解位于球心的正电荷Ze球体内广生的电通量密度为D1 er彳题3.3图(a)原子内电子云的电荷

28、体密度为Ze4-r； 3电子云在原子内产生的电通量密度则为故原子内总的电通量密度为DD1 D2D23Ze4-r3O'4 r2Ze rer34 raZe er 41 rrra3.3电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中,体密度为0cl/m3,两圆柱面半径分别为a和b,轴线相距为C(c b a),如题3.3图(a)所示。求空间各部分的电场。解由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把 半径为a的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为。的两种电荷分布，这样在半径为b的整个圆柱体内具有体密度为 。的均匀电荷分布，而在半径为2的整个圆柱体内 则具有体密度为 。的均匀电荷分布，如题3

29、.3图(b)所示。空间任一点的电场是这两 种电荷所产生的电场的叠加。在r b区域中，由高斯定律？EBS可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点S022r吁生的电场分别为匕e，U力匕22a 0er20r20a r20r题3.3图(b)b2r a2r点P处总的电场为E E1巳丁(与注)2 0 r r在r b且r a区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为2点P处总的电场为E E2巳 六(r 注)2 0 r在r a的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为点P处总的电场为E E3 E30一(r r)3.4 半径为a的球中充满密度(r)的体电荷，已知电位移分布为32

30、r Ar (r a)Dra5 Aa4其中A为常数，试求电荷密度(r)。2一 (r a) r 1 d o 解：由 gD ，有(r) gD -2 (r Dr) r d r 1 d 9 Q 99故在 r a 区域(r)or2(r3 Ar2)0(5r2 4Ar)r d r 54、在 r a 区域(r)o-2r2 (a2-a- 0r dr r3.5 一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为 Q为的体电荷，球壳上又另充有电荷量Q。已知球内部的电场为E er(r/a)4,设球内介质为真空。计算：(1)球内的电荷分布；(2)球壳外表面的电荷面密度。解(1)由高斯定律的微分形式可求得球

31、内的电荷体密度为a3r 22(2)球体内的总电量Q为Q d 6 04 r dr 4 0a o a球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷Q,而且在球壳外表面上还要感应电荷Q,所以球壳外表面上的总电荷为2Q ,故球壳外表面上的电荷面密度为华 2 04 a3.6 两个无限长的同轴圆柱半径分别为r a和r b(b a),圆柱表面分别带有密度 为1和2的面电荷。(1)计算各处的电位移Do； (2)欲使r b区域内Do 0,则1和 2应具有什么关系？解 由高斯定理？D0gds q,当r a时，有D01 0 s当 arb时，有 2 rD022 a 1,则 D02e.一1a 1 b 2 er rr当 br 时，有

32、 2 rD 032 a 1 2 b 2 ,则 D03(2)令 D03era 1 b 2 0,则得到-r23.7 计算在电场强度E exy eyX的电场中把带电量为 2 C的点电荷从点R(2,1, 1)移到点P2(8,2, 1)时电场所做的功：(1)沿曲线x 2y2; (2)沿连接该两点的 直线。q Egdl q Exdx Eydy1)到点出8,2, 1)直线方程为解W FgdlC(2)连接点P(2,1,x 2 x 8x 6y 4 0y 1 y 22q (12y14)d y 14q28 10 6 (J)2故w q ydx xd y q yd(6y 4) (6y 4)d y3.8 长度为L的细导线

33、带有均匀电荷，其电荷线密度为I。(1)计算线电荷平分 面上任意点的电位 ；(2)利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场 E,并 用E 核对。解(1)建立如题3.8图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上 任意点P的电位为(r,0)(2)根据对称性, 的电场为故长为L的线电荷在点由E3.9用定义式rprp解(r) Egdl -rr 2-dr0rL 210dzL 2 4 0_z?可得两个对称线电荷兀10dz在点PP的电场为求E ,有已知无限长均匀线电荷l的电场E er广，试20r(r)-ln r0rpEgdl求其电位函数。其中rP为电位参考点。l I rP ln 20 r由于是无限

34、长的线电荷，不能将rP选为无穷远点。3.10 一点电荷q位于(a,0,0),另一点电荷2q位于(a,0,0),求空间的零电位面。解两个点电荷q和2q在空间产生的电位令(x,y,z) 0,则有 2-I(x a)即 4(x a)2一一 5故得(x 5 a)3222y z (x a)222/4 、2y z (-a)32 y2 y2 z2 z2.(x a)24，,一 一，一蓑为半径的球面。(二二工)r 2ra 2ra5由此可见，零电位面是一个以点-a,0,0)为球4、3Ze3.11 证明习题3.2的电位表达式为(r)4 0Ze解位于球心的正电荷Ze在原子外广生的电通量密度为 Di er-Ze24 r电

35、子云在原子外产生的电通量密度则为D2 er上甲er乌4 r24 r2所以原子外的电场为零。故原子内电位为3.12电场中有一半径为a的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为(1)求圆柱内、外的电场强度；(2)这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷分布吗？试求之。解(1)由E ,可得到r a时，E 022r a 时，Eer 一 A(r -)cos e A(r -)cos r rrr(2)该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，具表面有电荷分布，电荷面密 度为3.13验证下列标量函数在它们各自的坐标系中满足20(1) sin(kx)sin( ly)e hz其中 h2 k2 l2;(2) r ncos( n

36、) Asin(n )圆柱坐标；(4)r n cos(n )圆柱坐标;r cos2球坐标;r cos球坐标。解(1)在直角坐标系中2sin(kx)sin(ly)e hzk2 sin(kx)sin(ly)e hzx(k2 l2h2)sin( kx)sin( ly )e hz 0(2)在圆柱坐标系中1(r) r r r222r1 (r r r2,1nr一r cos(n ) Asin(n ) r r rcos(n ) Asin(n )(3)-(r一)-r r rr 一r n cos(n ) r2 cos(n )(4)在球坐标系中122 (r -) r r r.22/、«. 一r 一(r co

37、s ) -cos2 .r sin(sin )2 . 22r sin(5)故1一2 r2(r2一) r r0-12-r2一(r 2 cos r r r)2 cosr3.14(1) (4)已知y 0的空间中没有电荷, e y coshx ；y.e cosx ,F列几个函数中哪些是可能的电位的解2y.e cosxsin xsinxsinysinz。2解(1) r(e y coshx)x2(e y coshx) y2 yy(e coshx) 2e coshx 0 z所以函数e ycoshx不是y 0空间中的电位的解；222(2) -2 (e y cosx) 2 (e y cosx) -2 (e y c

38、osx)xyzye cosxye cosx 0所以函数e ycosx2是y 0空间中可能的电位的解;(3)所以函数e2 x12y2/ 2y(e2.、/ 2y.、cosxsin x) 2 (ecosxsin x)y2_/ 2y(e cosx zcosxsinx不是y 0空间中的电位的解;sin x)(4) -2 (sin xsin ysin z) 2 (sin xsin ysinz) 2 (sin xsin ysin z) xyz所以函数sinxsinysinz不是y 0空间中的电位的解。3.15 中心位于原点，边长为L的电介质立方体的极化强度矢量为P P0（exx eyy 缚电荷为零。解ezz

39、)（1）计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；（2）证明总的束gP3B同理p（yp (y(2)qpL p(z2? pdSSL万)3BL3p(z6L2L5)L 2P0L 2P03.16一半径为E的介质球,介电常数为r°,其内均匀分布自由电荷，证明中21 o心点的电位为（）R0 2 r 3 0即Di解由？D3s qS/Ro时,4 r2PlP1 r 0Ro时,r2P2可得到4 r33r3774 R3即D23r23 or2故中心点的电位为3.17 一个半径为R的介质球，介电常数为为一常数。（1）计算束缚电荷体密度和面密度; 球内、外的电场和电位分布。解（1）介质球内的束缚电荷体密度为 p,球内

40、的极化强度P er K/r ,其中K （2）计算自由电荷密度；（3）计算gP在r R的球面上，束缚电荷面密度为p ngPrer gP r R(2)由于 D 0E P ,所以 gP 0 gEgP0 cPgP即（1 二）gP gP由此可得到介质球内的自由电荷体密度为一一 一K R 12总的自由电何量q d24 r dr0 0 rcPRKgPK2 (0)r（3）介质球内、外的电场强度分别为介质球内、外的电位分别为3.18 （1）证明不均匀电介质在没有自由电荷密度时可能存在束缚电荷体密度;（2）导出束缚电荷密度P的表达式。p gP gP 0 gEp 0 gE解（1）由P 0E P,得束缚电荷体密度为在

41、介质内没有自由电荷密度时，cP 0,则有由于 P E ,有 gPg E） gE Eg 0所以gEEg由此可见，当电介质不均匀时, 电荷体密度。gE可能不为零，故在不均匀电介质中可能存在束缚(2)束缚电荷密度p的表达式为p 0 gE ，Eg3.19 两种电介质的相对介电常数分别为r1=2和2=3,其分界面为z=0平面。如果已知介质1中的电场的那么对于介质2中的E2和D2，我们可得到什么结果？能否求出介质 2中任意点的E2和 D2?解设在介质2中在 z 0 处，由 ez (E1 E2) 0和 ezg(D1 D2) 0,可得于是得到E2x(x,y,0) 2yE2(x, y,0)e2y ey3x ez

42、(10 3)(ex6y ey9x ez10)故得到介质2中的E2和D2在z。处的表达式分别为D2(x,y,0) 不能求出介质2中任意点的E2和D2。由于是非均匀场，介质中任意点的电场与边界 面上的电场是不相同的。3.20 电场中一半径为a、介电常数为 的介质球，已知球内、外的电位函数分别验证球表面的边界条件，并计算球表面的束缚电荷密度。解在球表面上故有1(a, )2(a, ) ,0- 1r可见1和2满足球表面上的边界条件。球表面的束缚电荷密度为3.21 平行板电容器的长、宽分别为a和b,极板间距离为d。电容器的一半厚度 (0d2)用介电常数为 的电介质填充，如题3.21图所示(1) (1)?板

43、上外加电压U0,求板上的自由电荷面密度、束缚电荷;(2) (2) ?若已知板上的自由电荷总量为Q,求此时极板间电压和束缚电荷；(3) (3) ?求电容器的电容量。解(1)设介质中的电场为E ezE,空气中的电场为E0 ezE°。由D D° ,有E 0E0又由于E2 E°( U°由以上两式解得L 2 0U0L2 U0E E0(°)d '(°)d上极板的自由电荷面密度为0E02 ° U00)d2 0 U(0)故下极板的自由电荷面密度为电介质中的极化强度P (0)E2 ez-故下表面上的束缚电荷面密度为ezgP0 (0)U

44、0(2 0(0)U0上表面上的束缚电荷面密度为ezgP(2)得至QU故p下ab 0)dQ 0 ab 0)Q(0)d2 0(0)U。0)2 ° U0)dab(3)电容器的电容为C3.22厚度为t、介电常数为0 ab-7)d4 0的无限大介质板，放置于均匀电场E0中，板与E0成角1,如题3.22图所示。求：(1)使2/4的1值；(2)介质板两表面的极化电荷密度。解(1)根据静电场的边界条件，在介质板的表面上有 歌 -由此得到 i tan 1 0tan 2 tan 1 tan 11 14o4(2)设介质板中的电场为E,根据分界面上的边界条件,1C所以 En E0COS 1 -E0 cos1

45、44有 0E0nEn,即介质板左表面的束缚电荷面密度p ()E -0) n , 40E0C0S140.728 0E0介质板右表面的束缚电荷面密度p (0)En3.23(1)(2)(3)在介电常数为 的无限大均匀介质中, 平行于E的针形空腔；底面垂直于E的薄盘形空腔；小球形空腔(见第四章4.14题)。3 0E0 cos14o 0.728 0E04开有如下的空腔，求各腔中的E。和D。：解(1)对于平行于E的针形空腔，根据边界条件，在空腔的侧面上，有 E0 E。 故在针形空腔中E° E , D00E00E(2)对于底面垂直于E的薄盘形空腔，根据边界条件，在空腔的底面上，有D。D 故在薄盘形

46、空腔中D0ED0 D E , E0003.24 在面积为S的平行板电容器内填充介电常数作线性变化的介质，从一极板(y 0)处的1 一直变化到另一极板(y d)处的2,试求电容量。解由题意可知，介质的介电常数为1 y( 2 1)/d设平行板电容器的极板上带电量分别为q ,由高斯定理可得所以，两极板的电位差U Eydy 0故电容量为C q M2一彳U dln( 2 1)qdy qd in 二0 1 y( 21)dS s( 21)13.25 一体密度为 2.32 10 7C/m3的质子束，束内的电荷均匀分布，束直径为2mm,束外没有电荷分布，试计算质子束内部和外部的径向电场强度。12解在质子束内部，

47、由高斯定理可得2 rEr r01.31410 r V m (r 10 m)r 2.32 10 7r故 Er 122 02 8.854 10 12在质子束外部，有2rEr故Era2 2.32 10 7 10 6T T ZZ Z_12-2 0r 2 8.854 10 r介质中的电场E1由于U。bEgdrE2gdrI (a 2 r 1I . b in 21 ar b)2 1.31.31 10 2 - V m (r 10 3 m)r3.26 考虑一块电导率不为零的电介质(，)，设其介质特性和导电特性都是不均匀 的。证明当介质中有恒定电流J时，体积内将出现自由电荷，体密度为Jg(/)试问有没有束缚体电荷

48、 p?若有则进一步求出p。解 gD a E) a J) Jg (-) gJ对于恒定电流，有 gJ 0,故得到 Jg ( / )介质中有束缚体电荷p,且3.27 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为 a,外导体内半径为c,介质的 分界面半径为b。两层介质的介电常数为1和2,电导率为1和2。设内导体的电压 为U0,外导体接地。求：(1)两导体之间的电流密度和电场强度分布； (2)介质分 界面上的自由电荷面密度；(3)同轴线单位长度的电容及漏电阻。解(1)设同轴电缆中单位长度的径向电流为I ,则由Jgds ,可得电流密度S于是得到面接地。试求：（1）媒质中的电荷分布；（2）两个理想导体球面间的电阻

49、。解设由内导体流向外导体的电流为I ,由于电流密度成球对称分布，所以电场强度 E J erI (R1r R2)4 o(r K)rI ln R26 K)4 0K R(R2 K)R2R2,由两导体间的电压 U 0 E gdr drR1Ri4 0(r K)r40KU 0可得到InR2(Ri K)Ri(R2 K)题3.#图I0KU0所以 er 2R2(Ri K)r In 2K U01媒质中的电荷体密度为JgRi(R2 K)2 2R2(R1 K) (r K) rRi(R2 K)媒质内、外表面上的电荷面密度分别为（2）两理想导体球面间的电阻3.29 电导率为 的无界均匀电介质内，有两个半径分别为R1和r2的理想导体小球，两球之间的距离为d（dR1,dR2）,试求两小导体球面间的电阻。解此题可采用静电比拟的方法求解。假设两小球分别带电荷q和q,由于两球间的距离dR1、d R2,可近似认为小球上的电荷均匀分布在球面上。由电荷 q和q的电位叠加求出两小球表面的电位差，即可求得两小导体球面间的电容，再由静 电比拟求出两小导体球面间的电阻。设两小球分别带电荷q和q,由于d R、d R2 ,可得到两小球表面的电位所以两小导体球面间的电容为Cq 421 _111R R2 d Ri d R2由静电比拟，得到两小导体球面间的电导为1_1RiR211d