谱密度分析及应用

1、 一般工程上所测得的信号多为时域信号。为了通过所测得的信号了解观测对象的动态行为，往往需要频域信息，这种时域信号变换至频域加以分析的方法称为频谱分析。频谱分析的目的是把复杂的时间历程波形经过傅立叶变换分解成若干单一的谐波分量来研究，从而获得信号的频率结构以及各谐波幅值和相位信息。 前已论述，一个随机振动过程的特征可以用数学期望、方差和相关函数来描述，但这些都是在时间域里描述幅值的统计特性。而在工程技术问题中，则广泛采用从频率域来描述一个随机振动过程特征的功率谱密度函数(简称功率谱密度或功率谱)。功率谱密度与相关函数分别从频域与时域这两个不同的角度反映着同一个统计特性“平均功率”，二者相辅相成，

2、在研究随机振动过程中，各有其作用。 不过由于功率谱密度给出了随机振动的平均功率按频率的分布密度，所以尽管它并不是关于随机过程的完整的统计描述，但却提供了实用上极为重要的频域统计特性。而且对于一个线性系统，由于输入功率谱、输出功率谱与系统本身的传递特性三者之间的关系式较为简便，所以，在工程中往往更广泛地采用功率谱从频域方面来研究、分析随机振动。因此，功率谱在描述随机振动特征方面是非常适用，而又十分重要的。 随机信号的功率谱密度用来描述信号的能量特征随频率的变化关系。功率谱密度简称为功率谱，是自相关函数的傅里叶变换。对功率谱密度的估计又称功率谱估计。( )( )j tFf t edt 1( )2j

3、 tf tFed傅氏变换傅氏逆变换将一个非周期函数 f(t) 可以看成周期T的周期函数，则可将其表示为傅立叶积分的形式：f(t) 在任一有限区间上满足狄氏条件；f(t) 在无限区间（,）上绝对可积，即( )f t dt ( )( )1( )( )2iiSRedRSed( )x t dt 对于平稳随机过程，不满足条件：而样本函数的自相关函数满足上式1( )( )2iRSed22(0)1( )2RE xE xSd 对于各态历经随机过程： 2011lim( )2TTxt dtSdT2 ( )0( )00SfGf例：求均方谱密度如图所示的平稳随机过程x(t)的均方值和自相关函数。02121( )2SE

4、 xSd 2211011( )( )( )cos2211sin( )cosiRSedSdStdS 210021sinsinsinSS 谱密度分析能比相关分析给出更多的随机振动信息，它对于研究工作有着极为重要的意义。近年来在力学、电子学、力学、医学、地质、地震、军事领域得到广泛的应用。 例如：飞机、火车、汽车、轮船的各种振动和噪声的研究。大型高速机械的应力分析，建筑结构受地震叠加脉冲波的分析、传递特性分析、频率响应测量等，都广泛地应用谱密度分析。(1)分析振动频率的成份和结构，例如汽车平顺性的测定，发动机谐振频率的测定等等。 (2)自功率谱还反映了载荷在各频率成份上的振动能量与振幅。因而决定了载

5、荷谱。这对于合理设计零部件的强度，研究结构对地震的响应和使用寿命是非常重要的。 (3)对故障的判断与分析。例如汽轮机、飞机、机床或主要部件(齿轮箱)等均可根据自谱的变化(有否额外峰值）来判断故障的发生原因，以便迅速排除，保证安全运行。 (4)在医学上，可根据量测的脑电波、心电波进行自谱分析来研究病症及病理。 (5)军事上可以利用谱图来侦察并判明潜水艇的型号等。窄带及宽带过程窄带及宽带过程 在实际应用中，重要的是这样一些信号，它们的频谱的主要成份集中于频率轴上某一范围内，而在这个范围以外的信号频谱分量强度很小，实际上可以把它们忽略不计。信号频谱主要成份集中所在的频率范围用带宽来表示。若谱密度仅占

6、据频率轴上很窄的一段，故很自然地叫“窄带”。较典型的窄带过程的时间历程如下所示： 宽带过程是它的谱密度占据一个宽的频带，而其时间历程是此频带内的各频率振动成份相迭加的结果，如下图所示：如果谱密度的数值不变而其频带从0起延伸到无穷大则称该频谱为“白频谱”，或白噪声频谱。白噪声的名称是由白色光包含各种频率成分的光引伸而来的。一个白噪声过程的均方值必定是无限大，所以白噪声仅仅是理想的概念。在实际上，如果一个宽带噪声，它的带宽延伸超过了所有重要的频率且谱密度是不变数值时，我们就可以把它看作是白频谱。 白噪声是均值为零、功率谱密度为常数白噪声是均值为零、功率谱密度为常数S0的随机过程。的随机过程。v 白

7、噪声的概念与特点白噪声的概念与特点相关函数为：相关函数为： 白噪声的特点：白噪声的特点： （1）任意二个时刻的随机变量）任意二个时刻的随机变量X(t1)和和X(t2)互不相关；互不相关； （2）方差为无穷大。）方差为无穷大。0)(SS0( )( )XRS v 有色噪声有色噪声 凡不是白噪声的平稳随机过程均称为有色噪声。凡不是白噪声的平稳随机过程均称为有色噪声。谱密度常表示为谱密度常表示为有理函数有理函数。)()(0222220222220nmbbaaSSmmmnnn1粉红噪声。在给定频率范围内(不包含直流成分)，随着频率的增加，其功率密度每倍频程下降3dB(密度与频率成反比)。每倍频的功率相同

8、。 2红噪声(海洋学概念)。这是有关海洋环境的一种噪声，由于它是有选择地吸收较高的频率，因此称之为红噪声。 3橙色噪声。该类噪声是准静态噪声，在整个连续频谱范围内，功率谱有限且零功率窄带信号数量也有限。4蓝噪声。在有限频率范围内，功率密度随频率的增加每倍频增长3dB(密度正比于频率)。5紫噪声。在有限频率范围内，功率密度随频率的增加每倍频增长6dB(密度正比于频率的平方值)。 6灰色噪声。该噪声在给定频率范围内，类似于心理声学上的等响度曲线(如反向的A-加权曲线)，因此在所有频率点的噪声电平相同。 7棕色噪声。在不包含直流成分的有限频率范围内，功率密度随频率的增加每倍频下降6dB(密度与频率的

9、平方成反比)。该噪声实际上是布朗运动产生的噪声，它也称为随机飘移噪声或醉鬼噪声。 8黑噪声(静止噪声) 。 过程导数的谱密度过程导数的谱密度24( )( )( )( )XXXXSSSS练习：试推导上述结论？互谱密度互谱密度互谱密度并不象自功率谱密度那样具有明显的物理意义引入这个概念的主要目的是为了能在频率域上描述两个平稳随机过程的相互联系，因而在实际中也很有用处。( )( )1( )( )2ixyxyixyxySRedRSed*( )( )xyyxSS多个平稳随机过程的谱矩阵与相干函数多个平稳随机过程的谱矩阵与相干函数 111122121jnjnnjnnnSSSSSSSSSS2( )( )( )ijiijjSSS为了反映第i个输入所提供的分量在第j个输出总量中所占的比重以及检查系统有否噪声干扰和非线性的程度，需要引入相干函数(又称凝聚函数)，由下式定义：2