第六章频域分析法

1、6.1 频率特性 1. 频率特性的基本概念 频率特性又称频率响应（Frequency Response）， 它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性。 对线性系统， 若其输入信号为正弦量， 则其稳态输出响应也将是同频率的正弦量。 但是其幅值和相位一般都不同于输入量。 若逐次改变输入信号的（角）频率，则输出响应的幅值与相位都会发生变化， 参见图6 - 1。 第6章 频域分析法 图6 - 1 线性系统的频率特性响应示意图 线性系统r1(t) Asin1ttr2(t) Asin2ttOO输入信号c1(t) M1Asin(1t1)t1c2(t) M2Asin(2t2)2输出信号O 由图6-1

2、可见，若r1(t)=A sin1t,其输出为 c1(t)=A1 sin(1t+1)=M1A sin(1t+1)，即振幅增加了M1倍， 相位超前了1角。若改变频率，使r2(t)=A sin2t，则系统的输出变为c2(t)=A2 sin(2t-2)=M2 sin(2t-2)， 这时输出量的振幅减少了(增加M2倍， 但M21), 相位滞后2角。 因此， 若以频率以频率为自变量，为自变量， 系统输出量振幅增长的倍数系统输出量振幅增长的倍数M和相位的变化量和相位的变化量为两个因变量，为两个因变量， 这便是系统的频率特性。这便是系统的频率特性。 若设输入量为 r(t)=Ar sint 则输出量将为c(t)

3、=Ac sin(t+)=MAr sin(t+) 一个稳定的线性系统， 模模M和相位移和相位移都是都是频率频率的函数的函数（随的变化而改变）， 所以通常写成M()和()。 这意味着， 它们的值对不同的频率可能是不同的， 参见图6 - 2。 图4 - 2 某自动控制系统的频率特性 (A) 幅频特性; (b) 相频特性0.51.0M()0()090180(a)(b)M()称为幅值频率特性称为幅值频率特性， 简称幅频特性幅频特性(MAGnitude ChArActeristic)。 ()称为相位频率特性称为相位频率特性， 简称相频特性相频特性(PhAse ChArActeristic)。 两者统称频率

4、特性两者统称频率特性(Frequency ChArActeristic)或幅相频率特性幅相频率特性(MAGnitudePhAse ChArActeristic)。 频率特性常用G(j)符号表示， 幅频特性幅频特性M()表示为表示为|G(j)|， 相频特性表示为相频特性表示为G(j)， 三者可写成下面的形式： G(j)=|G(j)|G(j) (6 - 1)2. 频率特性与传递函数的关系 频率特性和传递函数之间存在着密切关系。 若系统或元件的传递函数为G(s), 则其频率特性为G(j)。 这就是说， 只要将传递函数中的复变量s用纯虚数j代替， 就可以得到频率特性。 事实上， 频率特性是传递函数的一

5、种特殊情形。 由拉氏变换可知， 传递函数中的复变量s=+j。 若=0, 则s=j。 所以， G(j)就是=0时的G(s)。 根据频率特性和传递函数之间的这种关系， 可以很方便地由传递函数求取频率特性， 也可由频率特性来求取传递函数。 即)()(jGsGjsjs 既然频率特性是传递函数的一种特殊情形， 那么， 传递函数的有关性质和运算规律对于频率特性也是适用的。 下面来证明这种本质联系。 线性系统传递函数的一般表达式为mnsRasabsbsCmnasabsbsRsCsGnnmmnnmm)()()()()(0000(6 - 2) 由上式有由上式有 若输入量r(t)=Ar sint, 则将其拉氏式R

6、(s)=Ar/(s2+2)代入式（6 - 2）有)()()()(/ )()(12102200jsDjsBssCjsjsAssssssabsbsAasabsbsCiininnmmnnmm (6 - 3) 式中， si为系统特征方程的特征根；为系统特征方程的特征根； Ci、 B、 D均为均为待定常系数。待定常系数。 将式(6-3)进行拉氏反变换， 即得系统输出量 )()(1tjtjtsiniDeBeeCtci(6 - 4)对于稳定的系统， 特征根si将具有负实部。 因此, c(t)的的第一部分为暂态分量，将随时间第一部分为暂态分量，将随时间t的延续而逐渐趋于零。的延续而逐渐趋于零。 c(t)的第二

7、部分为稳态分量，的第二部分为稳态分量， 以cs(t)表示: cs(t)=Be-jt+Dejt (6 - 5) 式(6 - 5)恰是所要求解的部分。 其中B、 D可由待定系数法求得:jjGAjssAsGDjjGAjssAsGBrjsrrjsr2)(| )()(2)(| )()(2222 G(j)为一复数量， 它可写成下列形式： G(j)=M()ej() (6 - 6) 同理可得 G(-j)=M()e-j() 把G(j)和G(-j)代入B和D， 再把B和D代入式(6- 5)， 于是有jeeMAtctjtjra2)()()()(由欧拉公式， 上式可化为 cs(t)=Ac sint+() (6- 7)

8、 3. 频率特性的表示方式 1) 数学式表示方式 频率特性是一个复数，和其他复数一样， 可以表示为指数形式、直角坐标和极坐标等几种，参见图6-3。极坐标的横轴为实轴(ReAl Axis)，标以Re，纵轴为虚轴(IMAGinAry Axis)，标以IM。频率特性的几种表示方式如以下各式所示。 0.51.0M()0()090180(a)(b) 图6 3 频率特性的几种表示方式 G(j) =U()+jV() （直角坐标表示式） (4 - 8) =|G(j)|G(j) (极坐标表示式） (6 - 9) =M()ej() (指数表示式） (6 - 10) 在以上各式中，通常称U()为实频特性, V()为

9、虚频特性,M()为幅频特性, ()为相频特性,G(j)为幅相频率特性。显然， 幅频特性)()()()(22VUjGM (6- 11) 相频特性 )()(arctan)()(UVjG(6 - 12) 已知惯性环节的传递函数为 11)(TssG其频率特性为 )()(11111)(2222jVUTTjTjTjG 由上式并参照式(6 - 8)、 式(6 - 11)和式(6- 12)可得: 实频特性11)(22TU 幅频特性 1)(22TTV 相频特性 11111)(22222222TTTTM(6- 14) (6 - 13)相频特性 )arctan() 1/(1) 1/(arctan)(2222TTTT

10、 2) 图形表示方式 (1) 极坐标图（PolAr Plot）。 极坐标图又称奈奎斯特图。 当从0变化时，根 据 频 率 特 性 的 极 坐 标 表 示 式 G(j)=|G(j)|G(j)=M()() 可以计算出每一个值下所对应的幅值M()和相角()。 将它们画在极坐标平面上， 就得到了频率特性的极坐标图。 如果把复数G(j)表示成矢量， M()即为矢量的模， ()即为矢量的幅角。 而频率特性的极坐标图， 就是矢量G(j)的矢端在由0时的运动轨迹。 该轨迹又称为幅相频率特性曲线（或NyqUist图）。 下面以惯性环节为例来说明幅相频率特性曲线的绘制方法。 已知惯性环节的频率特性为)arctan

11、(11111)(222222TTTTjTjG 在绘制幅相频率特性曲线时， 先选取几个特殊点（如=0， =1/T， 等）求得对应的M与， 然后再有选择地选取若干个与数值点对应的M与， 再按由0的顺序， 逐点绘制出曲线图形。 如对惯性环节: 当=0时，M()|=0=1， ()|=0=0； 当=1/T时，M()|=1/T=1/ ， ()|=1/T=-/4； 当时， M()|=0， ()|=-/2。 然后再求取与=1/4T、 1/2T、 2/T、 4/T等数值点对应的M与， 按由0的顺序， 画出如图4 - 4所示的幅相频率特性曲线来。 2图6 - 4 惯性环节的幅相频率特性图 ImU()V()M()(

12、)3211 Re000 由图 6 - 4 可见， 曲线上的每一点都表示着某一个数值时的G(j)的幅值M()和相角()。 矢量G(j)的矢端轨迹就是幅相频率特性曲线， 矢量G(j)在实轴上的投影即为其实部U()， 在虚轴上的投影即为其虚部V()。 不难证明，惯性环节的幅相频率特性曲线正好是一个半圆。 按照同样的方法，可以画出如图6-5所示常见的二、三阶系统的幅相频率特性曲线。 图6 - 5 常见的二、 三阶系统的幅相频率特性曲线ImReOImReImReOOOImRe(a)(b)(c)(d)(2) 对数频率特性和对数坐标图(LoGArithMic Plot)。 该坐标图又称BoDe图。 对数频率

13、特性。 对于频率特性 G(j)=M()ej()， 对它的模取常用对数, 并且令 L()=20 lgM() dB 这样， 对数频率特性可定义为 L()=20 lgM() dB ()=argG（j）(6 - 15) 伯德（BoDe）图 引入对数幅频特性L()，可以使串联环节的幅值相乘转化为对数幅频特性的相加，这对图形的处理、分析、计算都会带来很大方便。 以后的分析将表明，L()或它的渐近线大多与lg成线性关系。因此，若以L()为纵轴，lg为横轴，则其图形将为直线，这可使频率特性的计算和绘制过程大为简化。 另一方面，若以lg为横轴，则lg每变化一个单位长度，将变化10倍(以后称这为一个“10倍频程”

14、(DecADe)， 记以“Dec”)。由于习惯上都以频率作为自变量，因此将横轴改为对数坐标， 标以自变量。这样，横轴对lg将是等分的，对将是对数的，两者的对应关系参见图6 - 6的横轴对照图。 图6 - 6 伯德图的横坐标和纵坐标L()/dB40200200.10.20.40.60.8124681020406080100M()M()增大10倍L()增大20 dB0.10.20.40.60.8121020406080 100 / (rad/s)lg2101 增大10lg 增大14 6 8 在应用对数频率特性进行系统分析时， 使用的是对数幅频特性L()， 所以伯德图的纵轴以等分坐标来标定L(),

15、但要注意它的单位是分贝(dB)， 而且要注意它是20 lgM()。 L()与M()的对应关系参见图4 - 6 所示对照图。 由图6 - 6可见， 伯德图是画在纵轴为等分坐标、 横轴为对数坐标的特殊坐标纸上的。 这种坐标纸称“半对数坐标纸”， 横轴对数坐标的每一个等分称为一级， 图6 - 7横轴有三个相等的等分， 因此称为三级“半对数坐标纸”。 图6 - 7 三级“半对数坐标纸”4321012345 6 7 89 12345 6 7 89 12345 6 7 89 101234 在使用对数坐标时要特别注意以下两点： (1) 它是不均匀坐标， 是由疏到密周期性变化排列的。 (2) 对数坐标的每一级

16、代表10倍频程， 即每一个等分的级的频率差10倍， 若第一个“1”处为0.1， 则以后的“1”处便分别为1、 10、 100、 1000等等。 .2 典型环节的频率特性 1. 比例环节 比例环节的传递函数为 G(s)=K 则其频率特性为 G(j)=K=K0 (-16) 1) 极坐标图 由比例环节的频率特性知， 幅频特性M()=K，相频特性()=0。 从比例环节的频率特性表达式可见， M()和()均为常数， 与频率无关。 其极坐标图是实轴上的一个点K， 如图6 - 8所示。 2) 伯德图 根据对数频率特性的定义， 有 L()=20 lgM()=20 lgK (6-17) ()=0 (6-18)

17、式(6-17)表示一条水平直线，若K值增加， 则L()直线向上平移。式(6 - 18)表示一条与0重合的直线，其伯德图如图6 - 9所示。 图6 - 8 比例环节的幅相频率特性曲线 ImReKO图6 - 9 比例环节的伯德图L() / dB20lg K / (rad/s)() / OO / (rad/s) 2. 积分环节 积分环节的传递函数为ssG1)(则其频率特性为 9011)(jjG (6 - 19) 1) 极坐标图 根据式(6 - 19)， 分析如下： 当=0时， M()， ()=-90； 当=1时， M()=1， ()=-90； 当时， M()=0， ()=-90。 由以上分析可知，幅

18、频特性M()与成反比，相频特性()恒等于-90。积分环节的幅相频率特性曲线如图6 - 10所示。当频率从0时，特性曲线由虚轴的-j原点变化。 图6 - 10 积分环节的幅相频率特性曲线ReIm 0 2) 伯德图 根据式(6 - 19)可得积分环节的对数幅频特性为lg201lg20)(L (6 - 20) 由于对数频率特性的频率轴是以lg分度的， 显然上式L()与lg的关系是一条直线， 其斜率为-20dB/Dec， 并且经过点(1， 0)。 对数相频特性为 ()=-90 (6 - 21) 它是一条平行于实轴的一条直线， 位于-90位置。积分环节的伯德图如图6 - 11所示。 图6 - 11 积分

19、环节的伯德图 L() / dB20 dB / dec / (rad/s)() / 0090 / (rad/s)(a)(b)1 3. 微分环节 微分环节的传递函数为 G(s)=s 则其频率特性为 G(j)=j=+90 (6 - 22) 1) 极坐标图 根据式(6 - 22)可知 M()= (6 - 23) ()=+90 (6 - 24) 当 从 0 时 ， M ( ) 从 0 ， ()=+90，其极坐标图如图6 - 12所示，特性曲线与正虚轴重合。 图6 - 12 微分环节的幅相频率 ImRe 00图6 - 13 微分环节的伯德图 L() / dB20 dB / dec / (rad/s)100

20、() / 90 / (rad/s) 2) 伯德图 由式(6 - 23)可得微分环节的对数幅频特性为 L()=20 lg (6 - 25) 可见， L()与lg成直线关系， 其斜率为20 dB/Dec， 并且与0 dB线（轴）相交于 =1点。 对数相频特性为()=+90， 它是一条与轴平行的直线， 位于+90处。 微分环节的伯德图如图6 - 13所示。 4. 惯性环节 惯性环节的传递函数为11)(TssG则其频率特性为)arctan(1)(111)(2TTjTjG (6 - 26) 1) 极坐标图 根据式(6 - 26)， 给定一个频率， 可求得相对应的M()和()， 便可 在极坐标图中画出一个

21、点。 通常, 当=0时， 取M()=1， ()=0； 当=1/T时， 取M()= /2， ()=-45； 当时， 取M()=0， ()=-90。 2 根据上述各点， 便可得到该环节的从0的幅相频率特性曲线， 如图6 - 14所示。 因极坐标与直角坐标有着对应的关系， 上述绘制过程也可以在直角坐标中表示。 即G(j)=|G(j)|G(j)=U()+jV() (6 - 27) 根据式(6 - 27)， 式(6 - 26)的频率特性可表示为)()(1)(1)(111)(22jVUTTjTjTjG(6 - 28) 当=0时， U()=1， V()=0； 当=1/T时， U()=1/2， V()=-1/

22、2； 当时， U()=0, V()=0。 当从0时， U()和V()作相应变化， 同样可得到图6 - 14所示频率特性曲线。 图6 - 14 惯性环节的幅相频率特性曲线 Im 045 0Re 1/ T21 可以证明， 当从0时， 惯性环节的极坐标图是个以(1/2, j0)为圆心， 以1/2为半径的一个半圆。 从数学的角度看， 可令从-+， 则该曲线为一个圆。 即222)21()0()21(VU(6 - 29) 如图6 - 14所示， 用虚线表示从-0的曲线， 由于为负， 因此已无实际物理意义。 2) 伯德图 由式(4 - 26)可得惯性环节的对数幅频特性为)arctan()(1)(lg201)

23、(1lg20)(22TTTL(4 - 30) (4 - 31) 图6 - 15 惯性环节的伯德图 L() / dB0() / 090 45 20 dB / dec / (rad/s) / (rad/s) 1/ T 式(6 - 30)表示惯性环节的对数幅频特性曲线是一条曲线， 若采用逐点描绘法将很繁琐， 常常采用分段直线的近似绘制方法。 即先作出L()的渐近线， 然后再根据特殊点（如=1/T）的数值， 进行最大误差处的修正， 便可得到该环节的较精确的特性曲线。 通常采用三个频率段的办法， 方法如下： (1) 低频段。 当1/T， 即T 1/T， 即T 1 时， 这时可忽略1， 同样有dBTTTL

24、)lg(201)(lg201)(lg20)(22 (3)交接频率段。交接频率又称转折频率，即高频段与低频段的交接处。当=1/T，即T=1时，认为L()0 dB。 惯性环节的实际L()曲线，在=1/T时，出现最大误差，即dBL311lg20)(表 6 - 1 惯性环节对数频率特性误差修正表 式(6 - 31)为惯性环节的对数相频特性， 为便于计算， 可作如下近似处理： 当1/T时， 取()=-90； 当=1/T时， ()=-45。 惯性环节的对数相频特性曲线如图6 - 15所示。 5. 一阶微分环节 一阶微分环节的传递函数为 G(s)=Ts+1 则其频率特性为)arctan(1)(1)(2TTj

25、TjG(6 - 32) 1) 极坐标图 一阶微分环节的幅相频率特性曲线由复平面上的点(1， j0)出发， 平行于虚轴， 随从0 而逐渐向上直到+处， 如图6 - 16所示。 2) 伯德图 由式（6 - 32）知， 一阶微分环节的对数幅频特性为1)(lg20)(2TL (4 - 33) 对数相频特性为 ()=arctan(T) (6 - 34)图6 - 16 一阶微分环节的幅相频率特性曲线 0Re1Im0 图6 - 17 一阶微分环节的伯德图20 dB / decL() / dB / (rad/s) / (rad/s)() / 0 1/ T90 45 0 6. 振荡环节（二阶环节） 振荡环节的传

26、递函数为222222121)(nnnssTssTsG其中， T为时间常数， n=1/T为无阻尼自然振荡频率。 则其频率特性为)()(2)(111)(2)(1)(222MTTjTjTjG(6 - 35) 式中: 2222)(12arctan)()2()(1 1)(TTTTM(6 - 36) (6 - 37) 图6 - 18 振荡环节的幅相频率特性曲线Im 0Re1 n 0.4 0.6 0.80 1) 极坐标图 根据式(6 - 36)和式(6 - 37)， 设典型二阶系统的阻尼比为参变量， 从0时， 计算得到对应的M()和()值， 如： 当=0时， M()=1， ()=0； 当=n=1/T时， M

27、()=1/2， ()=-90； 当时， M()=0， ()=-180。 即可绘制二阶环节的幅相频率特性曲线， 如图6 - 18所示。 由图6 - 18可见， 特性曲线起源于点(1， j0)。 当=n=1/T时， G(jn)=1/2-90， 此时特性曲线正好与负虚轴相交， 且值越小， M()的模值越大， 曲线离原点越远。 随着的增加， 特性曲线以-180的角度趋向于原点。 2) 伯德图 由式(6 - 36)可得振荡环节的对数幅频特性为222)2()(1(lg20)(TTL (4 - 38) 也采用近似方法绘制如下各段: (1) 低频段。 当n， 即Tn， 即T1时， L()-20 lg =-40

28、 lg(T)， L()是一条斜率为-40 dB/Dec的直线。 (3) 交接频率段。 当=n=1/T时， 高、 低频段两直线在此相交。 振荡环节的对数幅频特性曲线如图6 - 19所示。 4)(T图6 19 振荡环节的伯德图 L() / dB / (rad/s) 0.2 0.4 0.6 0.7 1.0渐近线() / 0090 180 / (rad/s) 0.7 0.4 0.2 用渐近线代替实际L()曲线， 在交接频率处有 L()=-20 lg(2) (6 - 39) 由上式可见， 在=n=1/T附近， 其误差大小与有关， 越小， 误差越大。 按式(6 - 39)计算， 结果列于表6 - 2中。

29、表6 - 2 振荡环节对数频率特性误差修正表 由表6 - 2可知， 当0.40.7时， 误差小于3 dB； 当0.7时， 误差较大， 应当进行修正。 当M； 为积分环节的个数； 为微分环节的时间常数； T为惯性环节的时间常数。 为简单起见， 此处开环传递函数未考虑更复杂的环节， 如二阶以上的环节等。 上述系统的开环频率特性为 12)() 1)(1()( 12)() 1)(1()(221221mmKjjTjTjTjjjjjKjG (6 - 42) (1) 开环极坐标图的起点。 当0时, GK(j)为特性曲线的起点。 由式(6 - 42)可得 90lim)(lim)(lim000KjKjGK(6-

30、 43) 图6- 23 开环极坐标图曲线的起点 0v 0KImRev 1v 2v 3 由于不同的值， 特性曲线的起点将来自极坐标轴的四个不同的方向， 如图6 - 23 所示。 式(6 - 43)表明， 开环极坐标图曲线的起点只与系统开环放大系数K、 积分环节个数有关， 而与惯性环节、 微分环节、 振荡环节等无关。 通常依据积分环节数目将开环系统定义成“型”别如下： 0型系统， =0， 开环极坐标图曲线起始于点K处； 型系统， =1， 开环极坐标图曲线起于始点-90处（负虚轴的处）； 型系统， =2， 开环极坐标图曲线起于始点-180处（负实轴的处）； 型系统， =3， 开环极坐标图曲线起于始点

31、-270处（正实轴的处）。 (2) 开环极坐标图的终点。 由式(6 - 42)可得)(90/lim)(/lim)(limmnabjabjGmnnmmnnmK(4 - 44) 图6 - 24 开环极坐标图曲线的终点 Imn m3n m2n m1n m40Re 【例4】 设某系统的开环传递函数为0v 0KImRev 1v 2v 3)10)(5() 1(250)(2sssssGK试绘制系统的开环极坐标图。 Imn m3n m2n m1n m40Re图6 - 25 例4系统开环极坐标图ImRe 01 2. 系统的开环对数频率特性 由式(6 - 40)可知， 系统的开环对数幅频特性)()(lg20)(2

32、0)(lg20)(111iniiniiniLMMML(6 - 45)系统的开环对数相频特性 ini1(6 - 46) 【例5】 已知 ) 12 . 0)(1(10)(sssGK 试绘制系统的开环对数频率特性曲线。解 由传递函数知， 系统的开环频率特性为 ) 12 . 0)(1(10)(jjjGK 对数幅频特性表达式为 )()()(2 . 01lg201lg2010lg20)(lg20)(32122LLLjGLK 对数相频特性表达式为 ()=0-arctan-arctan(0.2)=1()+2()+3() 由以上两式， 可以画出系统的开环对数幅频和相频特性曲 线， 如图6 - 26所示。 ) 1

33、2 . 0)(1(10)(jjjGK图6 - 26 例5系统开环对数频率特性曲线L() / dB / (rad/s)() / / (rad/s)200 20 20 dB / decL1()10010510.1 40 dB / dec0 90 1800.11100510L()L2()L3()()3()2()1() 【例6】 某系统的开环传递函数为 ) 11 . 0(5)(sssGK试绘制其开环对数频率特性图。 解 该系统是由一个比例、 一个积分、 一个惯性环节串联组成的， 其频率特性为) 11 . 0(5)(jjjGK 对数幅频特性为 )()()()1 . 0(1lg20lg205lg20)(3

34、212LLLL对数相频特性为 ()=0-90-arctan(0.1)=1()+2()+3() 图6 - 27 例6开环对数频率特性曲线L() / dB / (rad/s)40 dB / dec20 dB / dec() / 9018000.1200200.11101010020lg51 / (rad/s)100L1()L3()L2()L()1()2()3()() 绘制系统开环对数频率特性曲线的步骤一般如下： (1) 由系统开环传递函数求出各典型环节的交接频率（转折频率）， 并从低到高依次排列； (2) 当=1时， 曲线高度为L()=20 lgK(若第一个交接频率11、 c2及c3， 即c对于1

35、和2来说属高频段， 一阶微分和惯性环节1取高频近似直线； c对于3来说， 属低频段， 惯性环节2取低频近似直线。 所以11000)5 . 0(10)(2ccccM 解之得 c=5 rad/s (8) 求相位角(c): (c)=-90+arctan(0.55)-arctan5-arctan(0.055) =-114.5 【例8】 某最小相位系统， 其开环对数幅频特性如图6 - 29所示。 试写出该系统的开环传递函数。 图6 - 29 例8系统开环对数幅频特性图 40 dB / dec20 dB / dec0200.8 / (rad/s)L() / dB6.4 奈奎斯特(Nyquist)稳定性判据

36、 1. 奈氏图下的表述及应用 奈氏判据说明， 如果系统在开环状态下是稳定的 ， 则闭环系统稳定的充要条件是： 它的开环幅相频率特性曲线不包围（-1， j0）点。 反之， 若曲线包围（-1， j0）点， 则闭环系统是不稳定的; 若曲线穿过（-1， j0）点， 则闭环系统处于稳定边界, 参见图6 - 30。 图6 - 30 用奈氏判据判断闭环系统的稳定性 (a) 稳定; (b) 稳定边界; (c) 不稳定G(j)( 1, j0)Im0gReIm( 1, j0)g0G(j)Reg( 1, j0)0ReG(j)(a)(b)(c)Im 表6 - 3为常见二阶和三阶系统的开环频率特性。 应用奈氏稳定性判据

37、， 可以很直观地判断它们的闭环系统的稳定性。 由表6-3可见， 系统的稳定状况大致有三类情况： (1) 稳定系统： 其特点是不论系统的参数怎样改变， 系统总是稳定的。 一般的二阶系统都是稳定系统， 如表6 - 3中的(a)和(b)。 (2) 不稳定系统： 其特点是不论系统的参数怎样调整， 系统仍将是不稳定的。 如表6 - 3 中的(e)， 这种系统又称为结构不稳定系统。 (3) 系统可能是稳定的， 也可能是不稳定的： 如表6 - 3中的(c)和(d)， 当系统的开环放大倍数K小于临界放大倍数Kc时， 系统稳定; 反之， 当K大于Kc时， 系统将变为不稳定。表6 - 3 奈氏稳定性判据应用举例

38、含 有 环 节开环传递函数奈氏图（极坐标图）稳 定 性Kc临 界 增 益(a) 两 个 惯 性(b) 一 个 惯 性 一 个 积 分稳 定稳 定) 1)(1()(21KsTsTKsG) 1()(1KsTsKsGReIm0( 1, j0)ImRe( 1, j0)0(c) 三 个 惯 性(d) 两 个 惯 性 一 个 积 分(e) 一 个 惯 性 两 个 积 分K1 Kc为 稳 定 ；K2 Kc为 不 稳 定 ；K Kc稳 定 边 界K1 Kc为 稳 定 ；K2 Kc为 不 稳 定 ；K Kc稳 定 边 界不 稳 定) 1)(1)(1()(321KsTsTsTKsG) 1)(1()(21KsTsT

39、sKsG) 1()(12KsTsKsGReIm( 1, j0)K1K2K2 K1K2K100ReImK2 K1( 1, j0)( 1, j0)0ReIm2 2. 伯德图下的表述 奈氏判据是在奈氏图的基础上进行的， 而作奈氏图一般都比较麻烦， 所以在工程上一般都是采用系统的开环对数频率特性来判别闭环系统的稳定性的， 这就是对数频率判据。 它实质上是奈氏稳定它实质上是奈氏稳定性判据在伯德图上的表示形式性判据在伯德图上的表示形式。 伯德图与奈氏图有下列对应关系(参见图6 - 31)。 图6 - 31 奈氏稳定性判据在奈氏图和伯德图上的对照 (a) 奈氏图判据; (b) 伯德图判据ImRe0c(c)g

40、( 1, j0)L()0()0180c20 lg Kgg0(a)(b) (1) 奈氏图上以原点为圆心的单位圆对应于伯德图上的0 dB线(M()=1时， L()=0)。 L()在c处穿越0 dB线， 因此又称c为穿越频率(CrossOver Frequency)。 (2) 奈氏图上的负实轴对应于伯德图上的()=-180线。 这样， 奈氏图上的(-1, j0) 点便和伯德图上的0 dB线及-180线对应了起来。 某系统的开环频率特性的奈氏图和伯德图的对照如图6 - 31所示。 从Nyquist稳定判据可知，若系统开环传递函数没有右半平面的极点且闭环系统是稳定的，则开环系统的Nyquist曲线离(-

41、1,j0)点越远，则闭环系统的稳定程度越高开环系统的Nyquist曲线离(-1,j0)点越近，则其闭环系统的稳定程度越低，这就是通常所说的相对稳定性通过乃氏曲线对点(-1,j0)的靠近程度来度量其定量表示为相角裕量和增益裕度Kg 6.4 稳定裕量与系统相对稳定性 增益裕度意义：增益裕度用于表示G(j)H(j)曲线在负实轴上相对于(-1,j0)点的靠近程度定义：G(j)H(j)曲线与负实轴交于G点时，G点的频率g称为相位穿越频率，此时g处的相角为-180，幅值为|G(jg)H(jg)|，开环频率特性幅值|G(jg)H(jg)|的倒数称为增益裕度增益裕度(或幅值裕度)，用Kg表示 。见下图（a）（

42、a） 最小相位系统的Nyquist图（b） 对数频率特性表示： 式中g满足下式G (jg) H(jg)= -180 增益裕度用分贝数来表示: Kg=-20lg|G(jg)H(jg)|dB 见上图（b）)()(1gggjHjGK应用： 对于最小相位系统 当|G(jg)H(jg)|1或20lg |G(jg)H(jg)|1或20lg| G(jg)H(jg)|0时，闭环系统不稳定 当|G(jg)H(jg)|=1或20lg |G(jg)H(jg)|=0时，系统处于临界状态 对于开环系统不稳定，那么为使闭环系统稳定，G(j)H(j)曲线应包围(-1,j0)点，此时 Kg=-20lg |G(jg)H(jg)

43、|0，闭环系统稳定结论 增益裕度Kg表示系统到达临界状态时，系统增益所允许增大的倍数 相角裕量意义：为了表示系统相角变化对系统稳定性的影响，引入相角裕量的概念引入c：c称增益穿越频率，也称剪切频率或截止频率，在（a）图中G(j)H(j)与单位圆相交于c点，c点处的频率为c。此时|G(jc)H(jc)|=1定义：使系统达到临界稳定状态，尚可增加的滞后相角 ，称为系统的相角裕度或相角裕量，表示为）（c180应用： 相角裕量 为增益穿越频率c处相角 与 -180线之距离 对于最小相位系统 当0时，闭环系统稳定 当0时，闭环系统不稳定 增益裕度和相角裕度通常作为设计和分析控制系统的频域指标，如果仅用其

44、中之一都不足以说明系统的相对稳定性 用幅相频率特性曲线分析系统稳定性采用幅相频率特性曲线时，当G(j)H(j)的开环增益变化时，曲线仅是上下简单平移，而当对G(j)H(j)增加一恒定相角，曲线为水平平移，这对分析系统稳定性和系统参数之间的相互影响是很有利的。6.5 应用MATLAB进行频域分析 1. Bode函数 功能： 求连续系统的Bode(伯德)频率响应。 格式： MAG， phase， wBode（a， b， c，d， iu， w） MAG， phase， wBode（nun， den） MAG， phase， wBode（nun， den， w） 【例1】 有一个二阶系统， 其自然频率

45、n=1， 阻尼因子=0.2， 要绘制出系统的幅频和相频曲线， 可输入： %This program display bode graph a,b,c,d=ord2(1,0.2); bode(a,b,c,d); grid on; title(bode Plot); 执行后得到如图4 - 45所示的bode图。 图4 - 45 连续系统的bode图 Bode PlotFrequency (rad/sec)Phase (deg)Magnitude (dB)101100101-40-30-20-10010-180-135-90-450 【例2】 典型二阶系统： 2222)(nnnKsssG绘制出取不同

46、值时的bode图。 解 取n=6， 取0.1 : 1.0 时二阶系统的bode图可直接采用bode得到。 MATLAB程序(因程序无下标、 斜体和希腊字母， 所以不能和正文严格保持一致)为： wn=6; kosi=0.1 : 0.2 : 1.0; w=logspace(-1,1,100); figure(1); num=wn.2; for kos=kosi den=1,2*kos*wn,wn.2; m a g , p h a , w 1 = bode(num,den,w); subplot(2,1,1);hold on semilogx(w1,mag); subplot(2,1,2);hold

47、 on semilogx(w1,pha); end subplot(2,1,1);grid on title(bode Plot); xlabel(Frequency(rad/sec); ylabel(gain db); subplot(2,1,2);grid on xlabel(Frequency(rad/s); ylabel(Phase deg) hold off 执行后得如图4 - 46所示的bode图。 图4 - 46 典型二阶系统的bode图0123456789100246Bode PlotFrequency(rad/sec)Gain dB0123456789100Frequency

48、 (rad/s)Phasedeg20015010050图4 - 47 系统bode图 Bode PlotFrequency (rad/sec)Phase (deg)Magnitude (dB)1011001011026040200204018013590 【例3】 某系统： ) 105. 0)(1() 15 . 0(10)(sssssGK绘制出系统的Bode图。 解 MATLAB程序为： k=100; z=-2; p=0,-1,-20; num,den=zp2tf(z,p,k); bode(num,den); title(bode Plot); 执行后得如图4 - 47所示的Bode图。 2.

49、 nyquist函数 功能： 求连续系统的Nyquist（奈奎斯特）频率曲线。 格式： re， im， w=nyquist（a， b， c， d， iu， w） re， im， w=nyquist（num， den） re， im， w=nyquist（num， den， w） 【例4】 某二阶系统： ) 12(10)(sssGK绘制系统的Nyquist曲线， 并绘制单位负反馈闭环系统的单位阶跃响应曲线。 解 MATLAB程序为： k=5; z= ; p=0,-0.5; num,den=zp2tf(z,p,k) figure(1) nyquist(num,den); title(Nyquist

50、 Plot); figure(2) n u m 1 , d e n 1 =cloop(num,den); step(num1,den1); title(Step Response); 执 行 后 得 如 图 4 - 4 8 所 示 的Nyquist曲线和如图4 - 49所示的闭环系统单位阶跃响应。 由于曲线没有包围(-1, j0)点且开环传递函数位于s平面右半部分的极点个数为0， 所以由g(s)构成的单位负反馈闭环系统稳定。 这可从图4 - 49得到证实。 图4 - 48 二阶系统的Nyquist曲线 Nyquist PlotReal AxisImaginary Axis202 0400300

51、200100010020030040018 16 144681012图4 - 49 二阶系统的阶跃响应曲线Step ResponseTime (sec)Amplitude051015202500.20.40.60.811.21.41.61.8 【例5】 某开环系统： ) 12)(1(10)(sssGK绘制系统Nyquist曲线， 判断闭环系统稳定性， 并绘制出单位负反馈闭环系统的单位阶跃响应。 解 根据开环系统传递函数， 利用nyquist函数绘出系统的Nyquist曲线， 并根据奈氏判据判别闭环系统的稳定性， 最后利用cloop函数构成闭环系统， 并用step函数求出系统的单位阶跃响应以验证

52、系统的稳定性结论。 MATLAB程序为： k=5; z= ; p=-1,- 0.5; num,den=zp2tf(z,p,k); figure(1) nyquist(num,den); title(Nyquist Plot); figure(2) n u m 1 , d e n 1 =cloop(num,den); step(num1,den1); title(Step Response); 执行后得如图 4 - 50 所示的Nyquist曲线和如图4 - 51所示的闭环系统单位阶跃响应。 从图4 - 50中可以看出， 系统的Nyquist曲线没有包围(-1, j0)点且开环传递函数位于s平面

53、右半部分的极点个数为0， 因此闭环系统稳定。 这可由图4 - 51中得到证实。 图4 - 50 系统Nyquist曲线 -6Nyquist PlotReal AxisImaginary Axis0246810420246图4 - 51 闭环系统单位阶跃响应Step ResponseTime (sec)Amplitude01234567800.20.40.60.811.21.4 【例6】 某开环系统： ) 12 . 0)(11 . 0(2) 1( 5)(sssssGK绘制系统Nyquist曲线， 判断闭环系统稳定性， 并绘制出单位负反馈闭环系统的单位阶跃响应。 解 MATLAB程序为： k=25

54、0; z=-1; p=0, 0,-10,-5; num,den=zp2tf(z,p,k); figure(1) nyquist(num,den); titleNyquist Plot); figure(2) n u m 1 , d e n 1 = cloop(num,den); step(num1,den1); title(Step Response); 执 行 后 得 如 图 4 - 5 2 所 示 的Nyquist曲线和如图4 - 53所示的闭环系统单位阶跃响应。 该系统为型系统， 从图4 - 52中可以看出， 系统的Nyquist曲线没有包围（-1, j0）点， 增加辅助曲线后， Nyq

55、uist曲线仍没有包围（-1, j0）点， 且开环传递函数没有位于右半s平面的极点， 因此闭环系统稳定。 这可由图4 - 53中得到证实。 图4 - 52 系统Nyquist曲线 Nyquist PlotReal AxisImaginary Axis0.10.0500.050.11.510.500.51图4 - 53 闭环系统单位阶跃响应 Step ResponseTime (sec)Amplitude012345678900.20.40.60.811.21.41.61.8 【例7】 某开环系统： ) 12 . 0)(101. 0(25)(ssssGK绘制系统Nyquist曲线， 判断闭环系统

56、稳定性， 并绘制出单位负反馈闭环系统的单位阶跃响应。 解 MATLAB程序为： k=12500; z= ; p=0, -100, -5; n u m , d e n =zp2tf(z,p,k); figure(1) nyquist(num,den); title(Nyquist Plot); figure(2) n u m 1 , d e n 1 =cloop(num,den); step(num1,den1); title(Step Response); 图4 - 54 系统Nyquist曲线 Nyquist PlotReal AxisImaginary Axis54015010050050

57、100150321 图4 - 55 闭环系统单位阶跃响应Step ResponseTime (sec)Amplitude00.511.522.5300.20.40.60.811.21.41.6 执 行 后 得 如 图 4 - 5 4 所 示 的Nyquist曲线和如图4 - 55所示的闭环系统单位阶跃响应。 该系统为型系统， 从图4 - 54中可以看出， 系统的Nyquist曲线没有包围（-1, j0）点， 增加辅助曲线后， Nyquist曲线仍没有包围（-1, j0）点， 且开环传递函数没有位于右半s平面的极点， 因此闭环系统稳定。 这可由图4 - 55中得到证实。 习 题 4 - 1 应用

58、频率特性来描述系统（或元件）特性的前提条件是什么？ 4 - 2 频率特性有哪几种分类方法？ 4 - 3 采用半对数坐标纸有哪些优点？ 4 - 4 从伯德图上看， 一个比例加微分的环节与一个比例加积分的环节串联， 两者是否有可能相抵消。 若系统中有一个惯性环节使系统性能变差， 那再添加一个怎样的环节（串联）可以完全消除这种影响， 它的条件是什么？ 4 - 5 几个放大器的增益分别为60 db、 35 db、 0 db和-20 db， 问这几个放大器的放大倍数各为多少? 4 - 6 在调试中， 发现采用PI调节器控制的调速系统持续振荡， 试分析可采取哪些措施使系统稳定下来？ 4 - 7 为什么要求

59、在c附近l()的斜率为-20 db/dec？ 4 - 8 调试时， 若将双闭环调速系统的速度调节器（PI调节器）的反馈电容Cn短接， 对系统的阶次和传递函数产生怎样的影响？ 对系统的稳定性又会产生怎样的影响？ 为什么？ 4 - 9 已知放大器的传递函数为 1)(TsKsG并测得=1 rad/s、 幅频|g(j)|=12 / 、 相频g(j)=/4。 试问放大系数K及时间常数T各为多少？2 4 - 10 当频率1=2 rad/s、 2=20 rad/s时， 试确定下列传递函数的幅值和相角:) 11 . 0(1)2(10) 1 (21ssGsG 4 - 11 设单位负反馈系统的开环传递函数为g(s)=1/(s+1)， 试求下列输入信号作用时， 系统的稳态输出响应。 (1) r(t)=sin5t (2) r(t)=sin(t+30) (3) r(t)=sin5t+sin(t+30) 4 - 13 若某系统在输入信号r(t)=1(t)的作用下， 其输出量c(t)为 c(t)=1-1.8e-4t+0.8e-9t t0 试求系统的传递函数g(s)和频