插值与拟合(2012年)2

1、插值与拟合插值与拟合2.2. 曲线拟合曲线拟合1.1.插值问题插值问题(1) 拉格朗日插值(2) 分段插值法(3) 三次样条插值 (4) 用MATLAB做插值计算 如果不要求曲线（面）通过所有的数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势，可得到更简单实用的近似函数，这就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合 如果要求所求曲线（面）通过所给数据点，这就是插值问题 在工程中，常有这样的问题：给定一批数据点（它可以是设计师给定，也可能是从测量与采样中得到），需确定满足特定要求的曲线或曲面 .插值问题的提法:已知n+1个节点(xj,yj)（j=0,1, n），其中xj互不相同，不妨设a = x0 x1 x0

2、=-5:5;y0=1./(1+x0.2);x=-5:0.1:5;y=1./(1+x.2);y1=lagr(x0,y0,x)y2=interp1(x0,y0,x)y3=spline(x0,y0,x) for k=1:11xx(k)=x(46+5.*k);yy(k)=y(46+5.*k);yy1(k)=y1(46+5.*k);yy2(k)=y2(46+5.*k);yy3(k)=y3(46+5.*k);endxx;yy;yy1;yy2;yy3 z=0*x; plot(x,z,x,y,k-,x,y2,r) pause plot(x,z,x,y,k-,x,y3,r)ans = 0 1.0000 1.00

3、00 1.0000 1.0000 0.5000 0.8000 0.8434 0.7500 0.8205 1.0000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 1.5000 0.3077 0.2353 0.3500 0.2973 2.0000 0.2000 0.2000 0.2000 0.2000 2.5000 0.1379 0.2538 0.1500 0.1401 3.0000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 3.5000 0.0755 -0.2262 0.0794 0.0745 4.0000 0.0588 0.0588 0.0588 0.0588 4.

4、5000 0.0471 1.5787 0.0486 0.0484 5.0000 0.0385 0.0385 0.0385 0.0385拉格朗日插值是高次多项式插值，插值曲线光滑，误差估计有表达式但有振荡现象，收敛性不能保这种插值主要用于理论分析，实际意义不大总结分段线性插值和三次样条插值是低次多项式插值，简单实用，收敛性有保证，但前者不光滑，而三次样条插值的整体光滑性已大有提高，应用广泛，唯误差估计较困难曲线拟合问题的提法是，已知一组(二维)数据，即平面上的 n个点(xi,yi),i=1,2, n, xi互不相同,寻求一个函数(曲线)y = f(x)，使f(x)在某种准则下与所有数据点最为接近

5、,即曲线拟合得最好+xyy=f(x)(xi,yi)i i 为点为点（xi,yi) 与与曲线曲线 y=f(x) 的距离的距离2.2. 曲线拟合曲线拟合线性最小二乘法是解决曲线拟合最常用的方法，其基本思路是，令)()()()(2211xraxraxraxfmm其中rk(x)是事先选定的一组函数，ak是待定系数(k=1,2, , m, m x=0 34 67 101 135 202 259 336 404 471; y=15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75; plot(x,y,+)从图可看出土豆产量与氮肥量的关系是二次

6、函数关系，因此可选取拟合函数为： cbxaxy2其中 x 和 y 分别为氮肥量和土豆产量，a、b 和 c为待定系数. 使用 Matlab 画出土豆产量与磷施肥量的散点图， t=0 24 49 73 98 147 196 245 294 342; s=33.46 32.47 36.06 37.96 41.04 40.09 41.26 42.17 40.36 42.73; plot(t,s,+)从图可看出从 0 到 98、从 98 到 342 之间分别呈明显的线性关系。由此可选取所求拟合函数为一分段的线性函数，换言之，用前 5 点作一线性拟合函数，再用后 6 个点也作一线性拟合函数，最后用两个线性

7、函数求出其分界点即可得分段线性函数。 建立模型：建立模型： 对氮肥的拟合函数为： cbxaxy2对磷肥的拟合函数为： 342,0,022011xxbxaxxbxay用MATLAB软件求解（见程序），得 对氮肥的拟合函数为： 7416.14197150. 0000339532. 02xxy对磷肥的拟合函数为： 342507.1009685.3900592986. 0507.10000771.320844453. 0 xxxxy.7416.14,197150. 0,000339532. 0cba,507.100,0771.32,0844453. 0011xba.9685.39,00592986.

8、022bax1=0,34,67,101,135,202,259,336,404,471;y1=15.18,21.36,25.72,32.29,34.03,39.45,43.15,43.46,40.83,30.75;plot(x1,y1,r+)aa=polyfit(x1,y1,2)xx=0:471;yy=aa(1)*xx.*xx+aa(2)*xx+aa(3);plot(xx,yy,x1,y1,r+)aa = -0.0003 0.1971 14.7426%Next problemx2=0,24,49,73,98,147,196,245,294,342;y2=33.46,32.47,36.06,37

9、.96,41.04,40.09,41.26,42.17,40.36,42.73;plot(x2,y2,r+)a1=polyfit(x2(1:5),y2(1:5),1)a2=polyfit(x2(5:10),y2(5:10),1)x0=(a2(2)-a1(2)/(a1(1)-a2(1)xx1=0:x0; yy1=a1(1)*xx1+a1(2);xx2=x0:342; yy2=a2(1)*xx2+a2(2);plot(x2,y2,r+,xx1,yy1,xx2,yy2) a1 = 0.0844 32.0771a2 = 0.0059 39.9685x0= 100.507程序运行结果程序运行结果 例例

10、已知某种材料在生产过程中的废品率y与某种化学成分x有关.下列表中记载了某工厂生产中y与相应的x的几次数值： 我们想找出y对x的一个近似公式 x=3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 4.0 4.2; y=1.00 0.9 0.9 0.81 0.60 0.56 0.35; plot(x,y,+)用MATLAB画散点图：baxy设BAAXA3.61.000ab3.70.90ab3.80.90ab 3.90.810ab4.00.600ab 4.10.560ab4.20.350ab 35. 056. 060. 081. 090. 090. 000. 1,12 . 411 . 410 . 419 .

11、318 . 317 . 316 . 3BA0BAbaAA. 012. 573 .27,0675.193 .2775.106baba81. 4,05. 1babaxy81. 405. 1xy用MATLAB拟合： x1=3.6,3.7,3.8,3.9,4.0,4.1,4.2; y1=1.00,0.9,0.9,0.81,0.60,0.56,0.35; plot(x1,y1,r+) aa=polyfit(x1,y1,1) xx=3.6:0.1:4.2; yy=aa(1)*xx+aa(2);plot(xx,yy,x1,y1,r+)aa = -1.0464 4.8125作业作业1 1 已知函数y=f(x)

12、的观测值求三次插值多项式(x)及(2.5). 作作 业业作业作业2 已知数表-3,-1.2,-1,1.3,0,1.5,1,1.9,3,2，求二次拟合曲线方程要求要求：用MATLAB拟合. 要求要求：用拉格朗日插值，并用MATLAB编程. 6)4)(3)(2()41)(31)(21 ()4)(3)(2()(0 xxxxxxxl2)4)(3)(1()42)(32)(12()4)(3)(1()(1xxxxxxxl2)4)(2)(1()43)(23)(13()4)(2)(1()(2xxxxxxxl6)3)(2)(1()34)(24)(14()3)(2)(1()(3xxxxxxxl作业作业1 1解解：(

13、1)拉格朗日插值346)3)(2)(1(32)4)(2)(1()6(2)4)(3)(1()5()()()()()(23332211003xxxxxxxxxxxxlyxlyxlyxlyxP34)()(233xxxPx375. 635 . 245 . 2)()5 . 2(233xPMatlab实现函数function y=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j=k p=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=p*

14、y0(k)+s; end y(i)=s; end编写一个函数M文件，明名为Lagrange.m x=1 2 3 4; y=0 -5 -6 3; lagrange(x,y,2.5)ans = -6.3750例题的Matlab实现 作业作业2 已知数表-3,-1.2,-1,1.3,0,1.5,1,1.9,3,2，求二次拟合曲线方程 x1=-3,-1,0,1,3; y1=-1.2,1.3,1.5,1.9,2; plot(x1,y1,r+) aa=polyfit(x1,y1,2)aa = -0.1381 0.5100 1.6524 xx=-3:1:3; yy=aa(1)*xx.*xx+aa(2)*xx+aa(3); plot(xx,yy,x1,y1,r+)例例4 已知函数在x=1，2，10上数据为2.892