理论力学第6章

1、第六章 点的运动学 6-1 矢量法和直角坐标法 1. 表示质点运动的矢量法： 质点的空间位置用矢径r表示，它是时间的函数， r = r(t) 投影式： r = xi+yj+zk 轨迹：矢径r 端点的连线。 速度：ttttdtdt)()(lim0rrrv 加速度：22dtddtdrva 2. 表示质点运动的 直角坐标法 质点的位置坐标是时间的函数： x=x(t), y=y(t), z=z(t), 速度： v = vxi+ vyj+ vzk,dtdzvdtdyvdtdxvzyx加速度： a = axi+ ayj+ azk,222222dtzdadtydadtxdazyx例6-1 椭圆规。曲柄OC绕

2、O转动，C与规尺AB铰接，滑块A和B在滑槽中运动，已知：OC=AC=BC=l，MC=a,=t。 求：M的运动方程、轨迹、速度、加速度。 解：点M的坐标(运动方程)：talaltytalaltxsin)(sin)()(cos)(cos)()( 消去t，得轨迹方程：1)()(22alyalx 速度：talvtalvyxcos)(sin)( 加速度：talatalayxsin)(cos)(22 例6-2 正弦运动机构，曲柄OM=r，以匀角速度绕O点转动，转角= t+0。滑杆AB在固定的垂直槽内滑动，滑块M在机构的水平滑槽内运动，求A、B两点的速度、加速度。 解：点B的运动：)sin()cos()si

3、n(0200trxatrxvtrxBBBBB 点A的运动：)sin()cos()sin(0200AtrxatrxvtrbxAAAA6-3 自然法 自然法：利用质点轨迹作为曲线坐标系描述其运动。 1. 弧坐标：在轨迹曲线上建立弧坐标。s=s(t) 2. 自然轴坐标系 切线及其单位矢：轨迹曲线的切线方向的单位长度的矢量。 主法线单位矢n：由质点所在位置指向曲率中心的单位长度的矢量。 副法线单位矢b：与和构成右手螺旋系的的单位长度的矢量。 密切面：轨迹曲线上两个邻点的切线形成的平面。 法平面：过轨迹曲线某点与切线垂直的平面。 主法线，n：法平面与密切面的交线。 副法线，b：与切线、主法线垂直的线。

4、，n，b组成右手螺旋系 3. 曲线坐标的一些性质 （1）曲率中心：曲线上两个邻点的法线交点。 曲率半径：曲线上的一点到曲率中心的距离。 设M和M是曲线上的两个邻点，相距s，切向单位矢分别(s) 为和(s+ s) ，曲率半径为。 曲率半径的定义 ：ddss, (2)切向单位矢沿曲线的变化率 令：(s+s)-(s)= 显然， 指向曲率中心。ndsdssdsdss11lim2sin2lim00 3.点的速度 点的速度v就是切向速度 。vdtdstst0limv 4.点的加速度: 动点移动时，速度大小和方向都发生改变。dtddtdsdtsddtdsdtddtdva22)(dtdva 切向加速度adtd

5、vdtsdt22 法向加速度dtdvdtddtdsnanan21vvdtdsdsddtdn 全加速度222ntntaaavdtdvaana 例6-4 半径为r的轮子沿地面直线轨道作纯滚动，转速为，转角为= t。求轮上任一点M的运动方程、速度、加速度（切向、法向）。 解：初始时，设点M与点O重合。 求M点的坐标（运动方程）：trrMCOC)cos1 (cos)sin(sintrrryttrrOCx2sin2sin)cos1 (sin)cos1 ()cos(2222trttrvvvtryvtrtrxvyxyx 求M点的速度： 求M点的曲线位移： 方法1)2cos1 (42sin20trdttrvdtsdtdsvt 求M点的曲线位移： 方法2)2cos1 (42sin22sin22sin4cos22sin)cos1 (00222222222trsdttrdsdttrdttrdttrdttrtrydxddsst)cos1 ()()sin()(trtyttrtx 轮摆线)2cos1 (4)(trts2sin2cos;cossin222222222222traaatrdtdvaaaaraaatryatrxatntntyxyx 求M点的加速度： 习题6-5 套管A由绕过定滑轮B的绳子牵引而沿着导轨上升。滑轮中心到导轨等距离为l，设绳索以速度v0拉下，忽略滑轮尺寸，求套管A的速度和加速