多元函数的微分法及其应用试题(1)

1、多元函数微分学练习题一、判断题（正确的在括号内打，错误 的在括号内打）（ ）1. （ ）2. 的定义域为（ ）3. 若函数在点处存在，则在点连续.（ ）4. 函数z=2x2+4y2在点(0, 0)处有极大值. （ ）5. 在有界闭区域D上的多元连续函数, 必定在D上有界, 且能取得它的最大值和最小值. （ ）6. 在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.（ ）7. 函数在连续（ ）8. 设函数的全微分为，则在点处无极值（ ）9. 若二元函数z=f(x, y)在点(x, y) 偏导数、连续，则函数在该点可微.（ ）10. 若二元函数z=f(x, y)的全微分，则不是z

2、=f(x, y)的连续点.（ ）11. 二元函数的驻点一定是极值点.（ ）12. 设，则二、选择题（将最佳答案的序号填写在括号内） 1. 函数在点处的两个偏导数都存在是函数在该点可微的( )A、 充分条件 B、 必要条件C、 充要条件 D、无关条件2. 二元函数在处( )A、 极限存在 B、 连续C、 可微 D、 关于得偏导数存在3 设函数，则( )A、 B、 C、 D、4. 曲面上某点的切平面平行于已知平面则该点的坐标为( )A 、 B、 C、 D、 5. 点为函数的（ ）A、极大值点 B、极小值点 C、临界点但非极值点 D、无法确定6. 设，则下列命题不正确的是( )、不存在 、 、7.设

3、在点的充分小邻域内可微，且在点取得极值，则下列命题正确的是( )、在点不连续、在点可能连续，也可能不连续、8. 若Z=f(x,y)有连续的二阶偏导数，且，则（ ）A、 B、Ky C、 D、9. 下列结论不正确的是（ ）A、函数在点(0, 0)处有极小值. B、函数在点(1, 1)处既取不到极大值也取不极小值.C、若二元函数z=f(x, y)在点(x, y) 可微，则函数在该点的偏导数、存在且连续.D、在点处有极小值三、填空题（将最佳答案填写在横线中）1. . 2. 设函数z=x+y,当x=1,y=1,，全微分dz= .3. 4. 函数z=f(x, y)在点(x0, y0)具有偏导数, 则在点(

4、x0, y0)处有极值的必要条件是 5. 设，则 6. 若点是函数的一个极值点，则 7. 设，其中，则的极大值为 8. 设函数由方程确定，则曲线在点处的法线方程为 9. 设，其中，则 10. 若，则 11. 若，则 12. 若，则 13. 若则在点处的值为 14. 若，则 15、设而则 ， 16、设而，则 17、设，则 ， 18、设，其中，则 四、证明题1. 若证明：.2. 设 （其中，具有二阶连续导数）证明： 3. 已知 均有连续编导数，求证4. 函数满足方程 五、计算题1. 设，求 .2. 设，求.3. 设，求.4. 求曲线在处的切线方程及法平面方程.5. 已知2sin(x+2y-3z)=

5、x+2y-3z,求6. 设，求全导数.7. 设函数，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数可导且在处取得极小值，求.8. 设9. 设确定，求全微分dz10 求曲线 在点（1,1,1）处的切线与法平面方程11. 设 具有二阶连续偏导数，且满足 12. 求函数的极值 第十章 重积分一、填空题1 交换得 2 求曲线所围成图形的面积为 ，（a >0）3 设D为围成闭区域，则化为化为极坐标下的二次积分的表达式为 4 设：，则= 二、 选择题1 设积分区域D：是圆环：则二重积分= （A） （B） （C） （D） 2.下列结果中正确的是（ ）A、若D：，D1：，x,y0，则=4B、若D：，D1：，x,y0

6、，则=4C、二重积分的几何意义是以Z=f(x,y)为曲顶，以O为底的曲顶柱体的体积。D、：，Z0，：，则三、 设I=，J=比较I与J的大小并说明理由。四、 计算其中D为椭圆区域：.五、 设f(x)在0,1上连续，求证： 六、 求平面z=上M0（1，-1，3）的切平面与曲面Z=所围成的空间区域的体积。七、 计算，为平面曲线绕Z轴旋转一周形成的曲面与平面Z=8围成的区域。第十一章 曲线积分与曲面积分 一、 填空题1设L是XOY平面上沿顺时针方向绕行的闭曲线，且，则L所围成平面区域D的面积等于 。2（）是某个二元函数的全微分，则a, b的关系为 。3设L是圆周，取顺时针方向，则与的大小关系是 。4设

7、P(x,y,z)在空间有界闭区域V上有连续的一阶偏导数，又是V的光滑边界曲面之外侧，由Gauss公式= 。5设是球面的外侧，则= 。二、 选择题1已知为某个函数的全微分，则a等于（ ）（A）-1 （B）0 （C）1 （D）22设曲线积分与路径无关，其中具有连续的导函数，且=0，则=（ ）（A） （B） （C） （D）13 设S是平面x+y+z=4被柱面截出的有限部分，则的值为（ ）（A）0 （B） （C） （D）三、计算1计算，L为从（0，0）沿到（2，2）的曲线弧。2 L为圆周，求3 计算，L为取逆时针方向。四、过点O（0，0）和A（，0）的曲线族中，求出一条曲线L使沿该曲线从O到A的积分的

8、值最小。五、设函数f(x)在内具有一阶连续导数，L是y>0是的有向分段光滑曲线，起点A（1，2），终点B（4，），记（1）、求证：曲线积分与I的路径无关。 （2）、计算I的值。无穷级数自测题 一、判断题（正确的在括号内打，错误 的在括号内打）（ ）1.若 则（ ）2. 是收敛的必要条件.（ ）3.若收敛，则收敛（ ）4. 级数一定收敛（ ）5. 条件收敛（ ）6. 且 则收敛（ ）7. 若发散，则发散（ ）8. 若收敛，则也收敛 （ ）9. （ ）10. 二、填空题（将最佳答案填写在横线中） 1. 若收敛，则 2. 时，级数绝对收敛， 时，级数 条件收敛， 时，级数发散3. 的和为 4.

9、 关于的幂级数展开式为 5. 的和函数为 6. 的和为 7. 的收敛半径为 8. 的收敛域为 9. 关于的幂级数展开式为 10. 关于的幂级数为 三、单项选择题（将最佳答案的序号填写在括号内）1. 设常数,则级数 ( ).A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性与有关2. 下列结论正确的是( ).A. 收敛 B. 发散 C. 条件收敛 D. 发散3. 若与都发散,则 ( ). A. 级数发散 B. 级数收敛C. 级数与都发散 D. 级数 发散4. 下列结论不正确的是( ).A. B.C. D. 5. 下列级数中收敛的是( )A. B. C. D. 四、证明题（1）证明条件收敛 （2）证

10、明绝对收敛（3） 证明 发散五、计算题（1）求的和函数，并求级数的和.（2）求的和函数，并求级数的和.六、将下列函数展成的幂级数.（1） （2）第八章 空间解析几何与向量代数 一、 判断题若，且或，则。 （ ）2与ox,oy,oz三个坐标轴之正向有相等夹角的向量，其方向角必为。 （ ）3平面与6x+4y+3z+12=0平行。 ( ）4向量与恒垂直。 （ ）5直线L：是平面4x+3y-z+3=0上的直线。 （ ）6直线不在曲面上。 （ ）7位于xoy坐标面之上的球面与锥面的交线为 ( )二、 选择题1下列命题，正确的是 。（A）、是单位向量。 （B）、非单位向量（C）、 （D）、2若直线和直线相

11、交，则= 。（A）、1 （B）、3/2 （C）、-5/4 （D、5/43母线平行于x轴且通过曲线的柱面方程是 。 （A）、 x2 +2y = 16 (B)、3y2 - z2 = 16(C)、3x2 + 2z2 = 16 (D)、-y2 + 3z2 = 164.旋转曲面的旋转轴是 。（A）、z轴； （B）、y轴； (C)、x轴； (D)、直线x = y = z5.两平面A1x+B1y+C1z+D1=0与A2x+B2y+C2z+D2=0重合的充分必要条件是 。（A）、； （B）、A1=A2，B1=B2，C1=C2； （C）、=； （D）、A1=A2，B1=B2，C1=C2；D1=D2。6设（其中

12、均为非零向量），则= 。 （A）、向量 （B）、常数0； （C）、； （D）、7.向量在上的投影Prj= （A）、 （B）、 （C）、 （D）、8. 旋转曲面x2-y2-z2是由。（）、xoz坐标面上的双曲线x2-z2=1绕x轴旋转而成的。（）、xoy坐标面上的双曲线x2-y2绕z轴旋转而成的。（）、xoy坐标面上的椭圆x2+y绕z轴旋转而成的。（）、xoz坐标面上的椭圆x2+y绕x轴旋转而成的。9曲线的参数方程是。（） (B) （C） (D）三、 填空题1已知与垂直，且=5，=12，则 ，= 。2= 。4若两平面kx + y + z - k = 0与kx + y - 2z = 0互相垂直，则k = .5通过两点（1，1，1）和（2，2，2）且与平面x + y - z = 0垂直的平面方程是 。6已知从原点到某平面所作的垂线的垂足为点（-2，-2，1），则该平面方程为 。7设平面：x + ky - 2z - 9 = 0, 若过点（5，-4，-6）则k= .8.一平面过点（6，-10，1），它在x轴上的截距为-3，在z轴上的截距为2，则该平面 的方程是 。9若直线与垂直，则k= .10已知A（2，3，1），B（-5，4，1，），C（6，2，-3），D（5，-2，1，），则通过点A且垂直于B、C、D所确定的平面的直线方程是 。11点（-1，2，0