运动(流体力学)分析

1、v 在连续介质假设下，讨论描述流体运动的方在连续介质假设下，讨论描述流体运动的方法，根据运动要素的特性对流动进行分类。法，根据运动要素的特性对流动进行分类。v 本章的讨论是纯运动学意义上的，不涉及流本章的讨论是纯运动学意义上的，不涉及流动的动力学因素。动的动力学因素。v 连续方程是质量守恒定律对流体运动的一个连续方程是质量守恒定律对流体运动的一个具体约束，也在本章的讨论范围之中。具体约束，也在本章的讨论范围之中。31 描述流动的方法32 有关流场的几个基本概念33 连续性方程34 流体微团运动的分析 描述流体运动的困难描述流体运动的困难 拉格朗日法拉格朗日法 欧拉法欧拉法 流体质点的加速度、质

2、点导数流体质点的加速度、质点导数31 描述流动的方法 离散离散 质点系质点系刚体刚体流体流体质点间质点间的约束的约束强强无无弱弱 一一. . 描述流体运动的困难描述流体运动的困难质点数质点数N个个无穷无穷无穷无穷 离散离散 质点系质点系刚体刚体流体流体六个自由六个自由度运动度运动v 编号，逐点编号，逐点描述描述v 3N个自由度个自由度困难：困难： v 无穷多质点无穷多质点v 有变形有变形v 不易显示不易显示 离散离散 质点系质点系刚体刚体流体流体t1t2t3t4t5 二二. . 拉格朗日法拉格朗日法t6 以研究单个流体质点运动过程作为基础，综合所有质点的以研究单个流体质点运动过程作为基础，综合

3、所有质点的运动，构成整个流体的运动。运动，构成整个流体的运动。 拉格朗日法是质点系拉格朗日法是质点系法，它定义流体质点的法，它定义流体质点的位移矢量为：位移矢量为： (a,b,c) 是拉格朗日变是拉格朗日变数，即数，即 t=t0 时刻质点的空时刻质点的空间位置，用来对连续介质间位置，用来对连续介质中无穷多个质点进行编中无穷多个质点进行编号，作为质点标签。号，作为质点标签。 流体在运动过程中其它运动要素流体在运动过程中其它运动要素和物理量的时间历程也可用拉格朗和物理量的时间历程也可用拉格朗日法描述，如速度、密度等：日法描述，如速度、密度等：),(tcba)(a,b,c,tuu )(a,b,c,t

4、rr ),()(0cbaa,b,c,tr易知易知指定空指定空间位置间位置不同流不同流体质点体质点 三三. . 欧拉法欧拉法 以研究流场中各个空间点上运动要素的变化情况作为基以研究流场中各个空间点上运动要素的变化情况作为基础，综合所有的空间点的情况，构成整个流体的运动。础，综合所有的空间点的情况，构成整个流体的运动。 欧拉法是流场法，欧拉法是流场法，它定义流体质点的速它定义流体质点的速度矢量场为：度矢量场为：),(tzyxuu (x,y,z) 是空间点（场是空间点（场点）。流速点）。流速 u 是在是在 t 时时刻占据刻占据(x,y,z) 的那个流的那个流体质点的速度矢量。体质点的速度矢量。)(x

5、,y,z,taa )(x,y,z,tpp 流体的其它运动要素和物理特性也都可用相应的时间和空间流体的其它运动要素和物理特性也都可用相应的时间和空间域上的场的形式表达。如加速度场、压力场等：域上的场的形式表达。如加速度场、压力场等：欧拉（欧拉（L.Euler, 1707-1783，瑞士）瑞士）拉格朗日（拉格朗日（J-L.Lagrange，17361813，意大利意大利) )拉格朗日法拉格朗日法欧拉法欧拉法着眼于流体质点，跟踪着眼于流体质点，跟踪质点描述其运动历程质点描述其运动历程着眼于空间点，研究着眼于空间点，研究质点流经空间各固定质点流经空间各固定点的运动特性点的运动特性 欧拉法是描述流体运动

6、欧拉法是描述流体运动常用的一种方法。常用的一种方法。 如果流场的空间分布不随时间变化，其欧拉表达式中将不如果流场的空间分布不随时间变化，其欧拉表达式中将不显含时间显含时间 t ，这样的流场称为恒定流。否则称为非恒定流。，这样的流场称为恒定流。否则称为非恒定流。 欧拉法把流场的运动要素和物理量都用场的形式表达，为欧拉法把流场的运动要素和物理量都用场的形式表达，为在分析流体力学问题时直接运用场论的数学知识创造了便利在分析流体力学问题时直接运用场论的数学知识创造了便利条件。条件。 四四. . 流体质点的加速度、质点导数流体质点的加速度、质点导数 速度是同一流体质点的速度是同一流体质点的位移对时间的变

7、化率，加速位移对时间的变化率，加速度则是同一流体质点的速度度则是同一流体质点的速度对时间的变化率。对时间的变化率。 通过位移求速度或通过通过位移求速度或通过速度求加速度，必须跟定流速度求加速度，必须跟定流体质点，应该在体质点，应该在拉格朗日拉格朗日观观点下进行。点下进行。ttcbattcbatcba),(d),(d),(rru22),(),(d),(d),(ttcbattcbattcbatcbaruua 若流动是用拉格朗日法描述若流动是用拉格朗日法描述的，求速度和加速度只须将位移的，求速度和加速度只须将位移矢量直接对时间求一、二阶导数矢量直接对时间求一、二阶导数即可。即可。 求导时求导时a,b

8、,c 作作为参数不变，意即为参数不变，意即跟定流体质点。跟定流体质点。 跟定流体质点后，跟定流体质点后，x,y,z 均随均随 t 变，而且变，而且),(d),d(zyxuuutzyx 若流场是用欧拉法若流场是用欧拉法描述的，流体质点描述的，流体质点加速度的求法必须加速度的求法必须特别注意。特别注意。 用欧拉法描述，处用欧拉法描述，处理拉格朗日观点的理拉格朗日观点的问题。问题。uuuuuuuuuuua)(ddddddddtzuyuxuttzztyytxxttzyx),(tzyxuu tddutuuu)(=+质点加速度 位变加速度由流速不均由流速不均匀性引起匀性引起时变加速度由流速由流速不恒定不恒

9、定性引起性引起uuuua)(ddttzuuyuuxuututuazzzyzxzzzddzuuyuuxuututuaxzxyxxxxxddzuuyuuxuututuayzyyyxyyydd分量分量形式形式BAABuAdtuBdt举例举例32 有关流场的几个基本概念 恒定流、非恒定流恒定流、非恒定流 迹线和流线迹线和流线 流管和流量流管和流量 均匀流、非均匀流；渐变流、急变流均匀流、非均匀流；渐变流、急变流 流动按空间维数的分类流动按空间维数的分类 系统和控制体系统和控制体 一一. . 恒定流、非恒定流恒定流、非恒定流 若流场中各空间点上的若流场中各空间点上的任何运动要素均不随时间任何运动要素均不

10、随时间变化，称流动为恒定流。变化，称流动为恒定流。否则，为非恒定流。否则，为非恒定流。 恒定流中，所有物理恒定流中，所有物理量的欧拉表达式中将不量的欧拉表达式中将不显含时间，它们只是空显含时间，它们只是空间位置坐标的函数，时间位置坐标的函数，时变导数为零。变导数为零。 例如，恒定流的例如，恒定流的流速场：流速场：0tu),(zyxuu 恒定流的时变加速恒定流的时变加速度为零，但位变加速度为零，但位变加速度度可以不为零。可以不为零。AAAAAA 某一流体质某一流体质点 在 不 同 时点 在 不 同 时刻 占 据 的 空刻 占 据 的 空间位置。间位置。t1时刻时刻t2时刻时刻 二二. . 迹线和

11、流线迹线和流线迹线迹线 迹线是流体迹线是流体质点运动的轨质点运动的轨迹迹，是与拉格是与拉格朗日观点相对朗日观点相对应的概念。应的概念。),(tcbarr 拉格朗日法中位移拉格朗日法中位移表达式表达式即为迹线的参数方即为迹线的参数方程。程。t 是变数，是变数，a,b,c 是是参数。参数。tttztytxd),(),(),(dur d ( ), ( ), ( ), d ( ), ( ), ( ), d ( ), ( ), ( ), dxu x t y t z t tyu x t y t z t tzu x t y t z t ttxyz 这是由三个一阶常微分方程组成的方程组，未知变量为质点这是由三

12、个一阶常微分方程组成的方程组，未知变量为质点位置坐标位置坐标（x, y, z），它是，它是 t 的函数。给定初始时刻质点的位的函数。给定初始时刻质点的位置坐标，就可以积分得到迹线。置坐标，就可以积分得到迹线。 在欧拉观点下求迹线，因须跟定流体质点，此时欧拉变数在欧拉观点下求迹线，因须跟定流体质点，此时欧拉变数 x,y,z 成为成为 t 的函数，所以迹线的微分方程为的函数，所以迹线的微分方程为t时刻时刻uAuBuCABCD 表示某时刻流动方向的曲线。表示某时刻流动方向的曲线。uD流线流线 流线是流速场的矢量线，是某瞬时对应的流场中的一条曲流线是流速场的矢量线，是某瞬时对应的流场中的一条曲线，该瞬

13、时位于该曲线上的流体质点之速度矢量都和曲线相线，该瞬时位于该曲线上的流体质点之速度矢量都和曲线相切。切。流线是与欧拉观点相对应的概念。有了流线，流场的空间流线是与欧拉观点相对应的概念。有了流线，流场的空间分布情况就得到了形象化的描绘。分布情况就得到了形象化的描绘。 根据定义，流线的微分方程为根据定义，流线的微分方程为0d lukjilzyxdddd),(d),(d),(dtzyxuztzyxuytzyxuxzyx0dddzyxuuuzyxkji 实际上这是两个微分方程，其中实际上这是两个微分方程，其中 t 是参数。可求解得到两族是参数。可求解得到两族曲面，它们的交线就是流线族。曲面，它们的交线

14、就是流线族。其中其中 在非恒定流情况下，流线在非恒定流情况下，流线一般会随时间变化。在恒定一般会随时间变化。在恒定流情况下，流线不随时间变，流情况下，流线不随时间变，流体质点将沿着流线走，迹流体质点将沿着流线走，迹线与流线重合。线与流线重合。 迹线和流线最基本的差别是：迹线是同一流迹线和流线最基本的差别是：迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与拉格朗日观体质点在不同时刻的位移曲线，与拉格朗日观点对应，而流线是同一时刻、不同流体质点速点对应，而流线是同一时刻、不同流体质点速度矢量与之相切的曲线，与欧拉观点相对应。度矢量与之相切的曲线，与欧拉观点相对应。即使是在恒定流中，迹线与流线重合，两者仍

15、即使是在恒定流中，迹线与流线重合，两者仍是完全不同的概念。是完全不同的概念。 根据流线的定义，根据流线的定义，可以推断：除非流可以推断：除非流速为零或无穷大处，速为零或无穷大处，流线不能相交，也流线不能相交，也不能转折。不能转折。 已知直角坐标系中的速度场已知直角坐标系中的速度场 ux=x+t； uy= -y+t；uz=0, ,试求试求t = 0 时过时过 M(-1,-1)(-1,-1) 点的点的流线流线。zyxuzuyuxdddux=x+t；uy=-y+t；uz=0 tyytxxdd(x+t)(-y+t) = Ct = 0 时过时过 M(-1,-1)：C = -1 积分积分由流线的微分方程：

16、由流线的微分方程：t = 0 时过时过 M(-1,-1)点的流线：点的流线：例例 - 1解解 xy=1 t = 0 时过时过 M(-1,-1)： C1 = C2 = 0 已知直角坐标系中的速度场已知直角坐标系中的速度场 ux=x+t； uy= -y+t；uz=0, ,试求试求t = 0 时过时过 M(-1,-1)(-1,-1) 点的点的迹线迹线。ux=x+t；uy=-y+t；uz=0 求解求解 x+y = -2 由迹线的微分方程：由迹线的微分方程：tuzuyuxzyxddddtxtxddtytydd1e1e21tCytCxttx= -t-1y= t-1消去消去t，得迹线方程：，得迹线方程：例例

17、 - 2解解迹线流线xyo t = 0 时过时过 M(-1,-1)(-1,-1)点的流线和迹线示意图点的流线和迹线示意图M(-1,-1)流动线条和流动显示流动线条和流动显示流动线条流动线条(flow lines)包括四种：流线（包括四种：流线（streamline)、迹线、迹线(pathline)、烟线、烟线(streakline)、时线、时线(timeline)烟线烟线(streakline)定义：由先后连续地经过同一场点的流体质定义：由先后连续地经过同一场点的流体质点所组成的曲线。点所组成的曲线。时线时线(timeline)定义：由确定流体质点组成的流体线。定义：由确定流体质点组成的流体线

18、。流动往往靠流动线条来显示，而在实验中比较容易得到的流流动往往靠流动线条来显示，而在实验中比较容易得到的流动线条是烟线和时线。动线条是烟线和时线。通常用摄象机能拍到什么通常用摄象机能拍到什么流动线条？应该怎么拍？流动线条？应该怎么拍？思思 考考 ?流线流线L流管流管 三三. . 流管和流量流管和流量 在流场中，取一条不在流场中，取一条不与流线重合的封闭曲与流线重合的封闭曲线线L，在同一时刻过，在同一时刻过 L上每一点作流线，由上每一点作流线，由这些流线围成的管状这些流线围成的管状曲面称为曲面称为流管流管。 与流线一样，流与流线一样，流管是瞬时概念。管是瞬时概念。 根据流管的定义易知，在根据流管

19、的定义易知，在对应瞬时，流体不可能通过对应瞬时，流体不可能通过流管表面流出或流入。流管表面流出或流入。 与流动方向正交的流管的横断面与流动方向正交的流管的横断面 过流断面为面积微元过流断面为面积微元的流管叫的流管叫元流管元流管，其，其中的流动称为中的流动称为元流元流。 过流断面为有限面积的流管中的流动叫过流断面为有限面积的流管中的流动叫总总流流。总流可看作无数个元流的集合。总流的。总流可看作无数个元流的集合。总流的过流断面一般为曲面。过流断面一般为曲面。dA1dA2u1u2 过流断面过流断面 称为称为质量流量质量流量，记为，记为Qm，单位为，单位为 kg/s . 流量计算流量计算公式中，曲面公

20、式中，曲面 A 的法线指向应予明确，指向相反，流量将反号。的法线指向应予明确，指向相反，流量将反号。闭曲面的法向一般指所围区域的外法向。闭曲面的法向一般指所围区域的外法向。 通过流场中某曲面通过流场中某曲面 A 的流速通量的流速通量称为称为流量流量，记为，记为 Q ，它的物理意义是，它的物理意义是单位时间穿过该曲面的流体体积，所单位时间穿过该曲面的流体体积，所以也称为以也称为体积流量体积流量，单位为，单位为 m3/s .AAdnuAAdnudAuAn 总流过流断面上的流速总流过流断面上的流速与法向一致，所以穿过过与法向一致，所以穿过过流 断 面流 断 面 A 的 流 量 大 小的 流 量 大

21、小为为 ， 其 中， 其 中 u为流速的大小。为流速的大小。AAuQd 定义体积流量与断面面定义体积流量与断面面积之比积之比 为为断面平均流断面平均流速速，它是过流断面上不均，它是过流断面上不均匀流速匀流速 u 的一个平均值，的一个平均值，假设过流断面上各点流速假设过流断面上各点流速大小均等于大小均等于v ，方向与实，方向与实际流动方向相同，则通过际流动方向相同，则通过的流量与实际流量相等。的流量与实际流量相等。AQv 位变导数 ？0)(uu均匀流均匀流非均匀流非均匀流 四四. . 均匀流、非均匀流；渐变流、急变流均匀流、非均匀流；渐变流、急变流 均匀流的流线必为相互平行的直线，而非均匀流的均

22、匀流的流线必为相互平行的直线，而非均匀流的流线要么是曲线，要么是不相平行的直线。流线要么是曲线，要么是不相平行的直线。为什么？为什么？判别判别uxazyxo 以下的流以下的流动是均匀流：动是均匀流： 0, )(zyxxuuyuu 应注意将均匀流与完全不随空间位置而变的等速直线流动应注意将均匀流与完全不随空间位置而变的等速直线流动相区别，前者是流动沿着流线方向不变，后者是流动沿着空间相区别，前者是流动沿着流线方向不变，后者是流动沿着空间任何方向不变。后者是均匀流的一个特例。任何方向不变。后者是均匀流的一个特例。例如例如constu 在实际流动中，经在实际流动中，经常会见到均匀流，如常会见到均匀流

23、，如等截面的长直管道内等截面的长直管道内的流动、断面形状不的流动、断面形状不变，且水深不变的长变，且水深不变的长直渠道内的流动等。直渠道内的流动等。 恒定均匀流的时变加速度恒定均匀流的时变加速度和位变加速度都为零，即流和位变加速度都为零，即流体质点的惯性力为零，将作体质点的惯性力为零，将作匀速直线运动。若总流为均匀速直线运动。若总流为均匀流，其过匀流，其过流流断面是平面。断面是平面。这些均匀流的运动学特性，这些均匀流的运动学特性，将给以后处理相关的动力学将给以后处理相关的动力学问题带来便利，因此在分析问题带来便利，因此在分析流动时，特别关注流动是否流动时，特别关注流动是否为均匀流的判别。为均匀

24、流的判别。是否接近均匀流？渐变流渐变流流线虽不平行，但夹角较小；流线虽不平行，但夹角较小；流线虽有弯曲，但曲率较小。流线虽有弯曲，但曲率较小。急变流急变流流线间夹角较大；流线间夹角较大；流线弯曲的曲率较大。流线弯曲的曲率较大。 渐变流和急变流是工程意义上对流动是否符合均匀流条件渐变流和急变流是工程意义上对流动是否符合均匀流条件的划分，两者之间没有明显的、确定的界限，需要根据实际情的划分，两者之间没有明显的、确定的界限，需要根据实际情况来判定。况来判定。是是否否急变流示意图流线间夹角较大流线间夹角较大流线弯曲的曲率较大流线弯曲的曲率较大 五五. . 流动按空间维数的分类流动按空间维数的分类一维流

25、动一维流动二维流动二维流动三维流动三维流动平面流动平面流动轴对称流动轴对称流动 任何实际流动从本质上讲都是在三维空间内发生的，二维和任何实际流动从本质上讲都是在三维空间内发生的，二维和一维流动是在一些特定情况下对实际流动的简化和抽象，以便一维流动是在一些特定情况下对实际流动的简化和抽象，以便分析处理。分析处理。 uu x y tuux y tuxxyyz( , , )( , , )000zuz 流场与某一空间流场与某一空间坐标变量无关，且沿该坐标坐标变量无关，且沿该坐标方向无速度分量的流动。方向无速度分量的流动。xyoxyzou0u0二维流动二维流动直角系中的直角系中的平面流动平面流动：大展弦

26、比机翼绕流大展弦比机翼绕流zro),(0),(tzruuutzruuzzrr00u子午面子午面柱坐标系中的柱坐标系中的轴对称流动轴对称流动：液体在圆截面管道中的流动液体在圆截面管道中的流动 流动要素只取决于一个空间坐标变量的流动流动要素只取决于一个空间坐标变量的流动 在实际问题中，常把总流也简化为一维流动，此时取定空间在实际问题中，常把总流也简化为一维流动，此时取定空间曲线坐标曲线坐标 s 的值相当于指定总流的过流断面，但由于过流断面的值相当于指定总流的过流断面，但由于过流断面上的流动要素一般是不均匀的，所以一维简化的关键是要在过上的流动要素一般是不均匀的，所以一维简化的关键是要在过流断面上给

27、出运动要素的代表值，通常的办法是取平均值。流断面上给出运动要素的代表值，通常的办法是取平均值。s其流场为其流场为s 空间曲线坐标空间曲线坐标),( tsuu 元流是严格的一维流动，空间曲线坐标元流是严格的一维流动，空间曲线坐标 s 沿着流线。沿着流线。一维流动一维流动 六六. . 系统和控制体系统和控制体 由确定的流体质点组成的由确定的流体质点组成的集合称为集合称为系统系统。系统在运动。系统在运动过程中，其空间位置、体积、过程中，其空间位置、体积、形状都会随时间变化，但与形状都会随时间变化，但与外界无质量交换。外界无质量交换。 有流体流过的固定不变有流体流过的固定不变的空间区域称为的空间区域称

28、为控制体控制体，其边界叫其边界叫控制面控制面。不同。不同的时间控制体将被不同的时间控制体将被不同的系统所占据。的系统所占据。 站在系统的角度观察和描述流体的运动及物理量的变化是站在系统的角度观察和描述流体的运动及物理量的变化是拉格朗日方法的特征，而站在控制体的角度观察和描述流体拉格朗日方法的特征，而站在控制体的角度观察和描述流体的运动及物理量的变化是欧拉方法的特征。的运动及物理量的变化是欧拉方法的特征。占 据有限体积有限体积 系统系统 流体团流体团微分体积微分体积 系统系统流体微团流体微团 最小的最小的 系统系统流体质点流体质点 有限体积有限体积 控制体控制体 微元微元 控制体控制体 场点场点

29、大 小33 连续性方程 三维流动的连续性微分方程三维流动的连续性微分方程 不可压缩流体运动的连续性微分方程不可压缩流体运动的连续性微分方程 恒定总流的连续性方程恒定总流的连续性方程 连续性方程连续性方程 质量守恒定律对流体质量守恒定律对流体运动的一个基本约束运动的一个基本约束 用欧拉观点对质量守恒原用欧拉观点对质量守恒原理的描述：连续介质的运动理的描述：连续介质的运动必须维持质点的连续性，即必须维持质点的连续性，即质点间不能发生空隙。因此，质点间不能发生空隙。因此，净流入控制体的流体质量必净流入控制体的流体质量必等于控制体内因流体密度变等于控制体内因流体密度变化而增加的质量。化而增加的质量。

30、一一. . 三维流动的连续性微分方程三维流动的连续性微分方程xyzodxdydzuxabcdabcd净流入前后这一对表面的净流入前后这一对表面的流体质量为流体质量为 在时间段在时间段dt 里，从里，从 abcd 面流入微元体的流体质量面流入微元体的流体质量为为tzyuxdddtzyxxuuxxdddd)(tzyxxuxdddd)(从从abcd面流出的流体质面流出的流体质量为量为xyzodxdydzuzabcdabcd 同理可知，在时间段同理可知，在时间段dt 里，里，沿着沿着 y 方向和方向和 z 方向净流入方向净流入左右和上下两对表面的流左右和上下两对表面的流体质量分别为体质量分别为tzyx

31、yuydddd)(tzyxzuzdddd)(和和uytzyxttzyxzutzyxyutzyxxuzyxdddddddd)(dddd)(dddd)(0)()()(zuyuxutzyx0)(ut三维流动的三维流动的连续性微分连续性微分方程方程 在时间段在时间段dt 里，微元内流体质量的增加里，微元内流体质量的增加tzyxtdddd 根据质量守恒原理根据质量守恒原理简化简化或写成或写成0)()()(zuyuxuzyxu 恒定流动的连续方程恒定流动的连续方程 极坐标中平面流动的连续方程极坐标中平面流动的连续方程0)()(1ururrtr0)(1)(urrurutrrduourrddrr 对于不可压缩

32、流体的流动（不论是恒定对于不可压缩流体的流动（不论是恒定或非恒定），连续方程为或非恒定），连续方程为0zuyuxuzyxu速度场的速度场的散度为零散度为零 二二. . 不可压缩流体运动的连续性微分方程不可压缩流体运动的连续性微分方程0)(ut0t uu0ddut不可压缩流体不可压缩流体0ddtzuyuxuzyx u速度场的散度速度场的散度流体微团在三个互相垂直方流体微团在三个互相垂直方向上的线变形速率之和，也向上的线变形速率之和，也是流体微团的体积膨胀率。是流体微团的体积膨胀率。 连续方程连续方程 表明不可压缩流体微团在三个互相垂直方向表明不可压缩流体微团在三个互相垂直方向上的线变形速率的总和

33、必为零，若在一个方向上有拉伸，则必上的线变形速率的总和必为零，若在一个方向上有拉伸，则必有另一个方向上的压缩，在运动过程中其体积不会发生变化。有另一个方向上的压缩，在运动过程中其体积不会发生变化。0 u 恒定条件下：恒定条件下： 总流管的形状、位置不随时间变化。总流管的形状、位置不随时间变化。 总流内的流体是不存在空隙的连续介质，其密度分布恒总流内的流体是不存在空隙的连续介质，其密度分布恒定，所以这段总流管内的流体质量也不随时间变化。定，所以这段总流管内的流体质量也不随时间变化。 没有流体穿过总流管侧壁流入或流出，流体只能通过两个没有流体穿过总流管侧壁流入或流出，流体只能通过两个过流断面进出控

34、制体。过流断面进出控制体。 控制体：上游过流控制体：上游过流断面断面 A1 和下游过流断和下游过流断面面 A2 之间的总流管之间的总流管A1A2QmQm 三三. . 恒定总流的连续性方程恒定总流的连续性方程21ddAAAuAu通过恒定总流两个过流断面的质量流量相等。通过恒定总流两个过流断面的质量流量相等。 恒定总流恒定总流连续方程连续方程21mmQQ2211vAvA21ddAAAuAu即即或或通过恒定总流两个过流断面的体积流量相等。通过恒定总流两个过流断面的体积流量相等。 QQ12 根据质量守恒定律即可得出结论：在单位时间内通过根据质量守恒定律即可得出结论：在单位时间内通过 A1 流流入控制体

35、的流体质量等于通过入控制体的流体质量等于通过 A2 流出控制体的流体质量。流出控制体的流体质量。 又若流体不可压，又若流体不可压， = const 对于不可压缩对于不可压缩流体，根据连续流体，根据连续方程，容易理解方程，容易理解为什么流线的疏为什么流线的疏密能够反映流速密能够反映流速的大小。的大小。 在有分流汇入及流出的在有分流汇入及流出的情况下，连续方程只须情况下，连续方程只须作相应变化。质量的总作相应变化。质量的总流入流入 = 质量的总流出。质量的总流出。 321mmmQQQ2mQ1mQ3mQ34 流体微团运动的分析流体微团运动分析流体微团运动分析亥姆霍兹速度分解定理亥姆霍兹速度分解定理

36、有旋流动和无旋流动有旋流动和无旋流动 考察和分析流体考察和分析流体质点之间的相对位质点之间的相对位移和相对运动。移和相对运动。 谈及相对运动就必须把谈及相对运动就必须把讨论问题的尺度从流体质讨论问题的尺度从流体质点扩大到流体微团。点扩大到流体微团。 给出在同一时给出在同一时刻流体微团中任刻流体微团中任意两点速度之间意两点速度之间的关系。的关系。分析流体微团分析流体微团的运动形式。的运动形式。 刚体运动刚体运动: :移动、转动移动、转动流体运动流体运动: :移动、转动、移动、转动、变形变形控制体的选取控制体的选取: :边长为边长为dx，dy，dz的微元平行六面体。的微元平行六面体。xvyvzvE

37、222dzzvdyyvdxxvvvxxxxEx222dzzvdyyvdxxvvvyyyyEy222dzzvdyyvdxxvvvzzzzEz形心处速度：形心处速度： vx,vy,vzE E点处速度：点处速度：一、流体微团上各点速度的表示一、流体微团上各点速度的表示各角点处各角点处x x方向速度：方向速度：222dzzvdyyvdxxvvxxxx222dzzvdyyvdxxvvxxxx222dzzvdyyvdxxvvxxxx222dzzvdyyvdxxvvxxxx222dzzvdyyvdxxvvxxxx222dzzvdyyvdxxvvxxxx222dzzvdyyvdxxvvxxxx222dzzvd

38、yyvdxxvvxxxxxvyvzvE二、流体微团运动的分解二、流体微团运动的分解以平面运动为例以平面运动为例22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyyyvxv二、流体微团运动的分解二、流体微团运动的分解( (续续) )1.1.移动移动22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyy22dyyvd

39、xxvvyyy22dyyvdxxvvyyyyvxv 各角点的速度分量中都包各角点的速度分量中都包含含vx,vyx方向移动速度：方向移动速度：vxz方向移动速度：方向移动速度：vzy方向移动速度：方向移动速度：vyxdtvxdtvyABCDy二、流体微团运动的分解二、流体微团运动的分解( (续续) )2.2.线变形运动线变形运动22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyyyvxvA和和D、B和和C间的间的x向向速度分量

40、差速度分量差:ADBCdxxvxdyyvyABCDydtdxxvx2dtdyyvy2xx方向线应变速度：方向线应变速度：z方向方向线应变线应变速度：速度：y方向方向线应变线应变速度：速度：xvxyvyzvzC和和D、B和和A间的间的y向向速度分量差速度分量差:二、流体微团运动的分解二、流体微团运动的分解( (续续) )3.3.角变形运动和旋转角变形运动和旋转22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyyyvxvA和和D

41、、B和和C间的间的y向向速度分量差速度分量差:ADBCdxxvydyyvxC和和D、B和和A间的间的x向向速度分量差速度分量差:ABCDydtdyyvx2dtdxxvy2ddx结果结果:(1)AD边和边和BC边逆时针旋转微元角度边逆时针旋转微元角度d(2)AB边和边和DC边顺时针旋转微元角度边顺时针旋转微元角度ddtxvdxdtdxxvdyy)2/(2dtyvdydtdyyvdxx)2/(2二、流体微团运动的分解二、流体微团运动的分解( (续续) )3.3.角变形运动和旋转角变形运动和旋转( (续续) )22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22d

42、yyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyyyvxvADBCABCDydtdyyvx2dtdxxvy2ddxyvxvxydd(1)(1)角变形运动角变形运动角变形角变形角变形速度角变形速度: :每秒内一个直角的角度变化量每秒内一个直角的角度变化量)(21)(21yvxvdtddtdxyz)(21xvzvzxy)(21zvyvyzx二、流体微团运动的分解二、流体微团运动的分解( (续续) )3.3.角变形运动和旋转角变形运动和旋转( (续续) )22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22d

43、yyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyyyvxvADBCyvxvxydd(2)(2)旋转运动旋转运动旋转旋转旋转速度旋转速度: :每秒内绕同一转轴的两条互相垂每秒内绕同一转轴的两条互相垂直的微元线段旋转角度的平均值直的微元线段旋转角度的平均值)(21)(21yvxvdtddtdxyz)(21xvzvzxy)(21zvyvyzxABCDydtdyyvx2dtdxxvy2ddx二、流体微团运动的分解二、流体微团运动的分解( (续续) )222dzzvdyyvdxxvvvxxxx

44、Ex222dzzvdyyvdxxvvvyyyyEy222dzzvdyyvdxxvvvzzzzEz22222dydzdzdydxxvvvzyyzxxEx22222dzdxdxdzdxxvvvxzzxyyEy22222dxdydydxdxxvvvzxxyzzEz第一项：平移运动第一项：平移运动第二项：线变形运动第二项：线变形运动第三项：角变形运动第三项：角变形运动第四项：旋转运动第四项：旋转运动 考察考察 在在 M 点的一阶台劳展开，以点的一阶台劳展开，以 x 方向分量为例。方向分量为例。 三三. . 亥姆霍兹速度分解定理亥姆霍兹速度分解定理)d,d,d(zzyyxxMu ),(zyxMuu dr

45、zzuyyuxxuuuxxxxxdddzxuzuyxuyuxxuxuuzxyxxxxd21d21d21zxuzuyxuyuzxyxd21d21zyzyxuyzxzxyxxxdddddxzxzyuuzxyxyzyyyydddddyxyxzuuxyzyzxzzzzddddd 同理同理 dduurrzyzyxuuyzxzxyxxxxdddddxzxzyuuzxyxyzyyyydddddyxyxzuuxyzyzxzzzzddddd合并成矢量形式合并成矢量形式流体微团中任意两点间流体微团中任意两点间速度关系的一般形式速度关系的一般形式亥姆亥姆霍兹霍兹速度速度分解分解定理定理111222111 22211

46、1222yxxxxzxxxyxzyyyyxzyxyyyzzxzyzzyxzzzuuuuuuxxyxzxuuuuuuxyyyzyuuuuuxzyz zuzz主对角线上主对角线上三个元素是三个元素是线变形速率线变形速率其余的其余的是是角变角变形速率形速率流体的流体的变形变形速率张量速率张量，是二阶对称是二阶对称张量张量流体流体旋转角速度旋转角速度矢量，它恰是流矢量，它恰是流速场的速场的旋度旋度矢量矢量的一半。的一半。u2121,21,21),(yuxuxuzuzuyuxyzxyzzyx zyxuuuzyxkjiu旋度旋度 亥姆霍兹速度分解定理各项的物理意义亥姆霍兹速度分解定理各项的物理意义 : 点

47、的流速；点的流速； : 点的流速；点的流速； : 流体变形率张量流体变形率张量 对两点相对运动速度的贡献，对两点相对运动速度的贡献，包括线变形和角变形；包括线变形和角变形； : 流体平均旋转角速度流体平均旋转角速度 引起的两点相对运动速度。引起的两点相对运动速度。u MuM dr dduurr平移平移变形变形转动转动基准点是基准点是展开点展开点Mdr变形速度变形速度 转动速度转动速度 适用范围适用范围流体流体刚体有有因点而异因点而异流体微团流体微团无无不随点变不随点变整个刚体整个刚体 流体速度分解与刚体速度分解的异同流体速度分解与刚体速度分解的异同 唯一的标准是看流速场是否满足唯一的标准是看流

48、速场是否满足 ，写成，写成分量形式为：分量形式为： 四四. . 有旋流动和无旋流动有旋流动和无旋流动旋度 无旋流动无旋流动有旋流动有旋流动?0 uyuxuxuzuzuyuxyzxyz,0 u这个分类是这个分类是 很重要的很重要的 判别判别注意：研究流体的旋转运动时，研究对象应取流体微团，而注意：研究流体的旋转运动时，研究对象应取流体微团，而非流体质点。非流体质点。 一般来说，粘性流体的流动是有旋的，而理想流体的流动可能是无旋的，也可能是有旋的。流动究竟是有旋还是无旋，是根据流体微团本身是否旋转来确定的，如果在所讨论的流场中，每一个流体微团都不作旋转每一个流体微团都不作旋转运动，则流动是无旋的，

49、即运动，则流动是无旋的，即0 xyzijk 有旋流动和有势流动的判别仅在于流速场的旋度是否为有旋流动和有势流动的判别仅在于流速场的旋度是否为零。不要根据流线是直线或曲线来直观判别，以免出错。零。不要根据流线是直线或曲线来直观判别，以免出错。rkuur/0ukyuxy0流线是圆周，无旋流线是圆周，无旋流线是直线，有旋流线是直线，有旋xyoxyo例例1：有旋、无旋流动判断。：有旋、无旋流动判断。某不可压缩流场，各方向的速度分别为 23xuxty3yuxyt求t=0和t=0.5时，在（1，1）点处流体微团转动的角速度， 并说明是有旋还是无旋流动。解：属于二维流动。 1122yxzuutyxy在（1，

50、1）点， 12t0t 1020.5t 0补充：梯度、散度和旋度（以直角坐标系为例）补充：梯度、散度和旋度（以直角坐标系为例） 1、梯度（、梯度（gradient）：表示一个物理量（可以是标量也可以）：表示一个物理量（可以是标量也可以是矢量，如温度、压力、速度等）相对于另一给定可变量是矢量，如温度、压力、速度等）相对于另一给定可变量（尤指距离）的变化率（表征物理量沿某个方向变化的剧烈（尤指距离）的变化率（表征物理量沿某个方向变化的剧烈程度），是标量场不均匀性的量度。程度），是标量场不均匀性的量度。 对任一标量对任一标量 gradxyz ijk对任一矢量对任一矢量 agradxyz aaaaaij

51、k2、散度（、散度（divergence）：用以判断矢量场是否有源。如果某一）：用以判断矢量场是否有源。如果某一矢量的散度处处为矢量的散度处处为0，则称该矢量场为无源场（也称为管式，则称该矢量场为无源场（也称为管式场），否则为有源场场），否则为有源场。 对任一矢量对任一矢量 adivyxzaaaxyz aa3、旋度（、旋度（vorticity）：用以判断矢量场是否有旋。如果某一矢）：用以判断矢量场是否有旋。如果某一矢量的旋度处处为量的旋度处处为0，则称该矢量场为无旋场，否则为有旋场。无，则称该矢量场为无旋场，否则为有旋场。无旋场和有势场是等价的。旋场和有势场是等价的。对任一矢量对任一矢量 arotyyxxzzxyzaaaaaaxyzyzzxxyaaa ijkaaijk涡线涡线 涡管涡管 涡束涡束 涡通量和环量