集合与函数概念知识总结

1、第一章 集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义及表示方法1.集合的含义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.2.集合中元素的三大特征：确定性；互异性；无序性.确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的； 互异性：集合中的元素必须是互不相同的，即不重复出现的；无序性：元素完全相同的两个集合相等，与列举的顺序无关.3. 集合与元素之间的关系通常用大写字母表示集合，小写字母表示元素.如果是集合的元素，就说属于集合，记作，如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作，因此元素与集合的关系是，或者，两者必居其一.4. 集合的表示方法：自然语言，列举法，描述法.

2、自然语言：我们可以用自然语言（大白话）描述一个集合.例如：全体非负整数组成的集合称为非负整数集（也称自然数集），记作；或表示正整数集；表示整数集；表示实数集，表示有理数集.列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.如：描述法：有些集合中的元素是列举不完的，但集合中的元素有共同的特征，我们可以用元素所具有的共同特征来描述这个集合.用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.例如：不等式的解集中，元素的共同特征是：，且，就可把解集表示为集合或5.集合里面仍然可以是一个集合.集合可以看作一个箱子，箱子里面可以装很多小箱子.小箱子可以看作是大箱子中的元素.

3、例如：，则.1.1.2 集合间的基本关系1.子集：一般地，对于两个集合，如果集合中任意一个元素中都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记作（或）.读作“包含于”（或“包含”）.2.真子集：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.3.两集合相等：如果，且，则.4.空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集.5.集合间基本关系常用结论：（1）任何一个集合是它本身的子集，即；（2）对于集合，如果，且，那么.6.Venn图（韦恩图）在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.如下图，集合可

4、以用这个韦恩图来表示.1.1.3 集合的基本运算1.并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集，记作（读作“并”），即：，或.2.交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为集合与的交集，记作（读作“交”），即：，且. 3.补集：全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作.补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即：，且.可用如下韦恩图表示：4.集合中元素的个数通常用来表示有限集合中元素的个数，如，则.一般地，对任意两个有限集合，

5、有：.5.一个集合的子集个数，真子集个数若一个集合中含有个元素，则这个集合有个子集，由个非空子集，有个真子集，有个非空真子集.例如，则集合的子集有：，共个.1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念1. 函数的定义：一般地，设，是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.显然，值域是集合的子集.2.区间：集合的简写形式，；，；，；.3. 函数的三要素：定义域，对应法则，值域.其中定义域和对应法则决

6、定了值域.判定两个函数是否相同：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.1.2.2 函数的表示法 1.函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法.解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；图象法，就是用图象来表示两个变量之间的对应关系；列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.2.映射：一般地，设，是非空的集合，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素和它对应，那么就称为从集合到集合的一个映射，记作.由此可以看出：函数的本质是数集上的映射.可以这么理解映射：地球上任何一个人都有唯一确定的他（或她）的亲生父

7、亲，则可理解为父子关系映射.1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大（小）值1.增函数与减函数，单调性一般地，设函数的定义域为如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数；（如图（1）如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数；（如图（2） 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数 在这一区间具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间.2.函数的最大值一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得.那么就称是函数的最大值.按照类似的方式，我们可以定义出函数的最小值.1.3.1 奇偶性1.偶函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数.（代数定义）一般