第三讲简单的优化模型(存储模型.生猪出售的最佳时机.报童问题.森林救火问题)

1、第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型 优化模型的数学意义优化模型的数学意义 优化问题是在工程技术、经济管理和科学研究等领域优化问题是在工程技术、经济管理和科学研究等领域中最常遇到的一类问题。设计师要求在满足强度要求等中最常遇到的一类问题。设计师要求在满足强度要求等条件下合理选择材料的尺寸；公司经理要根据生产成本条件下合理选择材料的尺寸；公司经理要根据生产成本和市场需求确定产品价格和生产计划，使利润达到最和市场需求确定产品价格和生产计划，使利润达到最大；调度人员要在满足物质需求和装载条件下安排从各大；调度人员要在满足物质需求和装载条件下安排从各供应点到各需求点的运量和路线，使运输总费用达到

2、最供应点到各需求点的运量和路线，使运输总费用达到最低。低。 本章讨论的是用数学建模的方法来处理优化问题：即本章讨论的是用数学建模的方法来处理优化问题：即建立和求解所谓的优化模型。注意的是建模时要作适当建立和求解所谓的优化模型。注意的是建模时要作适当的简化，可能使得结果不一定完全可行或达到实际上的的简化，可能使得结果不一定完全可行或达到实际上的最优，但是它基于客观规律和数据，又不需要多大的费最优，但是它基于客观规律和数据，又不需要多大的费用。如果在建模的基础上再辅之以适当的检验，就可以用。如果在建模的基础上再辅之以适当的检验，就可以期望得到实际问题的一个比较圆满的回答。期望得到实际问题的一个比较

3、圆满的回答。 本章介绍较为简单的优化模型，归结为微积分中的极本章介绍较为简单的优化模型，归结为微积分中的极值问题，因而可以直接使用微积分中的方法加以求解。值问题，因而可以直接使用微积分中的方法加以求解。 当你决定用数学建模的方法来处理一个优化问题时，当你决定用数学建模的方法来处理一个优化问题时，首先要确定优化的目标，其次确定寻求的决策，以及决策首先要确定优化的目标，其次确定寻求的决策，以及决策受到哪些条件的限制。在处理过程中，要对实际问题作若受到哪些条件的限制。在处理过程中，要对实际问题作若干合理的假设。最后用微积分的进行求解。在求出最后决干合理的假设。最后用微积分的进行求解。在求出最后决策后

4、，要对结果作一些定性和定量的分析和必要的检验。策后，要对结果作一些定性和定量的分析和必要的检验。一、存储模型一、存储模型 问题的提出问题的提出 工厂定期订购原料存入仓库供生产之用；车间一次加工厂定期订购原料存入仓库供生产之用；车间一次加工零件供装配线生产之用；商店成批订购各种商品，放工零件供装配线生产之用；商店成批订购各种商品，放进货柜以备零售；诸多问题都涉及到一个存储量为多大进货柜以备零售；诸多问题都涉及到一个存储量为多大的问题：存储量过大，会增加存储费用；存储量过小，的问题：存储量过大，会增加存储费用；存储量过小，会增加订货次数，从而增加不必要的订购费用会增加订货次数，从而增加不必要的订购

5、费用. 本节讨论在需求稳定的情况下，两个简单的存储模本节讨论在需求稳定的情况下，两个简单的存储模型型: 不容许缺货和容许缺货的存储模型不容许缺货和容许缺货的存储模型. 1.不容许缺货的存储模型不容许缺货的存储模型 例例 配件厂为装配线生产若干种部件配件厂为装配线生产若干种部件. 轮换生产不同轮换生产不同的部件时因更换设备要支付一定的生产准备费用（与产的部件时因更换设备要支付一定的生产准备费用（与产量无关）量无关）. 同一部件的产量大于需求时需支付存储费用同一部件的产量大于需求时需支付存储费用. 已知某一部件的日需求量为已知某一部件的日需求量为100件，生产准备费为件，生产准备费为5000元元,

6、 存储费为每日每件一元存储费为每日每件一元. 如果生产能力远大于需求，如果生产能力远大于需求，并且不容许出现缺货，试安排生产计划并且不容许出现缺货，试安排生产计划: 即多少天生产即多少天生产一次（生产周期）、每次产量多少可使总费用最少？一次（生产周期）、每次产量多少可使总费用最少？ 分析分析 若每天生产一次，无存储费，生产准备金若每天生产一次，无存储费，生产准备金5000元，元，故每天的总费用为故每天的总费用为5000元；元； 若若10天生产一次，每次生产天生产一次，每次生产1000件，准备金件，准备金5000元，存储费元，存储费900+800+100=4500元。平均每天元。平均每天950元

7、。元。 若若50天生产一次，每次生产天生产一次，每次生产5000件，准备金件，准备金5000元，存储费元，存储费4900+4800+100=122500元，平均每天元，平均每天2500元。元。 以上分析表明以上分析表明: 生产周期过短，尽管没有存储费，但生产周期过短，尽管没有存储费，但准备费用高准备费用高, 从而造成生产成本的提高；生产周期过长从而造成生产成本的提高；生产周期过长, 会造成大量的存储费用会造成大量的存储费用, 也提高了生产成本也提高了生产成本. 由此可以由此可以看到看到, 选择一个合适的生产周期，会降低产品的成本；选择一个合适的生产周期，会降低产品的成本；从而赢得竞争上的优势。

8、从而赢得竞争上的优势。 模型假设模型假设 为处理上的方便，假设模型是连续型的，即周期为处理上的方便，假设模型是连续型的，即周期 ，产量产量 均为连续变量均为连续变量.TQ1.每天的需求量为常数每天的需求量为常数 ；r2.每次生产的准备费用为每次生产的准备费用为 每天每件的存储费为每天每件的存储费为1,c2,c3.生产能力无限大，即当存储量为零时，生产能力无限大，即当存储量为零时， 件产品可以件产品可以立即生产出来立即生产出来.Q 建模建模 设存储量为设存储量为 以以 递减，直到递减，直到 则有则有 ,0.q tqQ q tr 0.q T .QrTt q trQT2TA 在一个微小时间中段在一个

9、微小时间中段 中，存储费为中，存储费为因而在一个周期中，总存储因而在一个周期中，总存储费用为费用为t 2,cq tt 220.2Tccq t dtQT准备费用为准备费用为 ，故总费用为，故总费用为1c所以，每天的平均费用为所以，每天的平均费用为2121211.22cccQTccr T 121.2cc Tcr TT 模型求解模型求解 原问题转变为使原问题转变为使取极小值的问题。利用求极值的方取极小值的问题。利用求极值的方法，对法，对式求导，并令其为零式求导，并令其为零: 1220.2cc rc TT 即有即有:2112222,.ccTTc rc r而而122.c rQrTc将将代入到代入到式，得

10、最小的平均费用为式，得最小的平均费用为1 22.Cc c r，被称为经济订货批量公式（被称为经济订货批量公式（EOQ公式）公式）. 结果解释结果解释 由由，式可以看到，当式可以看到，当 （准备费用）提高时，生（准备费用）提高时，生产周期和产量都变大；当产周期和产量都变大；当 存储费增加时，生产周期和存储费增加时，生产周期和产量都变小；当需求量产量都变小；当需求量 增加时，生产周期变小而产量增加时，生产周期变小而产量变大。这些结果都是符合常识的。变大。这些结果都是符合常识的。1c2cr 以以 代入代入、 式得式得 元元.125000,1,100ccr10,T 1000c 注意的是：用此公式计算的

11、结果与原题有一定的误注意的是：用此公式计算的结果与原题有一定的误差，原因在于变量选择的不同差，原因在于变量选择的不同. 敏感性分析敏感性分析 讨论参数讨论参数 对生产周期对生产周期 的影响的影响.12,c c rT 我们用相对改变量来衡量结果对参数的敏感程度我们用相对改变量来衡量结果对参数的敏感程度.对对 的敏感程度记为的敏感程度记为 定义式为定义式为T1c1,s T c再由再由 得得1/2122,cTc r1/21121 221,2cdTdcc rc c r11111/,./cT TdTs T cccdcT而而1 21112,2/2c c rccTcc r代入上式，得代入上式，得1111,.

12、2cdTs T cdcT同理可得同理可得:211,.22s T cs T r 即：即： 每增加每增加 ， 增加增加 每增加每增加 ， 减减少少 1c1% T0.5%,2c1% T0.5%.注注 此模型也可适用于商店的进货问题此模型也可适用于商店的进货问题. 3.容许缺货的模型容许缺货的模型 下面讨论的是容许缺货的问题下面讨论的是容许缺货的问题. 为此做以下的假设为此做以下的假设: 生产能力无限大（相对于需求量），容许缺货，每天生产能力无限大（相对于需求量），容许缺货，每天每件产品缺货造成的损失费为每件产品缺货造成的损失费为 但缺货量在下次补足。但缺货量在下次补足。3,c 建模建模 因存储量不足

13、而造成缺货时，可以认为存储量因存储量不足而造成缺货时，可以认为存储量 为为负值（如图所示），周期仍记为负值（如图所示），周期仍记为 是每周期的存储是每周期的存储量，当量，当 时，时， 故有故有 q t,T Q1tT 0,q t 在在 到到 这段缺货时间内需求率这段缺货时间内需求率不变，不变， 按原斜率继续下降，按原斜率继续下降，由于规定缺货量需补足，所以在由于规定缺货量需补足，所以在 时数量为时数量为 的产品立即达，的产品立即达，1TT q ttTRT1TArBtqQR1.QrT使下周期初的存储量恢复到使下周期初的存储量恢复到 .QT1TArBtqQR则每天的平均费用为则每天的平均费用为212

14、131/2/2,Ccc QTc r TT 与不容许缺货的模型相似，一个周期内的存储费是与不容许缺货的模型相似，一个周期内的存储费是 乘以图中三角形乘以图中三角形 的面积，缺货损失费是的面积，缺货损失费是 乘以三角形乘以三角形面积面积 加上准备费，得一周期内的总费用为加上准备费，得一周期内的总费用为2cA3c,B22312,.22crTQcc QC T QTrTrT 解模解模 为求使为求使 达到最小的达到最小的 在在中分别对中分别对求偏导，并令其为零，即求偏导，并令其为零，即,C T Q,T Q,T Q22312,.22crTQcc QC T QTrTrT2233122220,222c rc Q

15、cc QCTTrTrT 32,0.C T QcrTQc QQrTrT由第二个方程由第二个方程, 得得233,ccTQc r再由第一个方程再由第一个方程, 得得2222123320.rcc Qr c Tc Q即即21232232,rcccQTc r再代入前一式再代入前一式, 有有由于每周期的供货量为由于每周期的供货量为 有有,RrT记记1231 32 322322,.c ccc c rTQc c rccc123232.c r ccRc c233,ccc与不容许缺货模型的结果与不容许缺货模型的结果、进行比较，得到进行比较，得到,/ ,.TT QQRQ 结果分析结果分析 由由式知式知 再由再由知知1

16、,.TT QQ RQ 此说明周期及供货量应增加，周期初的存储量减少。此说明周期及供货量应增加，周期初的存储量减少。缺货损失费缺货损失费 越大，越大， 越小（越接近越小（越接近1），从而），从而3c333lim, lim, lim.cccTTQQRQ由此说明不容许缺货是容许缺货的特殊情况由此说明不容许缺货是容许缺货的特殊情况.二、生猪出售的最佳时机二、生猪出售的最佳时机 一饲养场每天投入一饲养场每天投入4元资金用于饲料、设备、人力，元资金用于饲料、设备、人力，估计可使一头估计可使一头80公斤重的生猪每天增加公斤重的生猪每天增加2公斤公斤. 目前生目前生猪出售的市场价格为每公斤猪出售的市场价格为每

17、公斤8元，但是预测每天会降低元，但是预测每天会降低0.1元元. 问该场该什么时候出售这样的生猪，如果这样问该场该什么时候出售这样的生猪，如果这样的估计和预测有出入，对结果有多大的影响的估计和预测有出入，对结果有多大的影响. 分析分析 造成价格变化的两大因素造成价格变化的两大因素1.资金投入使得成本增加；资金投入使得成本增加；2.市场因素使得价格降低市场因素使得价格降低. 模型假设模型假设 每天投入每天投入4元资金使生猪体重每天增加常元资金使生猪体重每天增加常数数 公斤，生猪出售的价格每天降低常数公斤，生猪出售的价格每天降低常数 （0.1元）。元）。rg 模型建立模型建立 记记 时间；时间； 生

18、猪体重；生猪体重； 出售的价格；出售的价格； 出售的收入；出售的收入； 每天的投入；每天的投入； 纯利润。则有纯利润。则有twpRCQ80,8,4 ,wrt pgt Rwp Ct最后得纯利润为：最后得纯利润为： 8804640.Q tgtrtt其中其中 求使求使 达到最大值的达到最大值的2,0.1.rg Q t. t 模型求解模型求解 该问题是二次函数的极值问题。在上式对该问题是二次函数的极值问题。在上式对 求导，并求导，并令其为零，则有令其为零，则有t80840.grtrgt得得4402.rgtrg 敏感性分析敏感性分析 因在上面的讨论中，参数因在上面的讨论中，参数 是预测的，下面讨论当是预

19、测的，下面讨论当它们发生变化时对模型价格的影响。它们发生变化时对模型价格的影响。, r g 是是 的增函数，下图反映了的增函数，下图反映了 与与 的关系。的关系。rttr4060 1.5rtrr 1.设每天生猪价格的下降率设每天生猪价格的下降率 不变，研究不变，研究 变化变化对对 的影响。由的影响。由式，得式，得0.1g rt1.522.53r5101520t下表给出了下表给出了 与与 的数据关系。的数据关系。rtr2.12.2t08.41011.4 12.7r2.93.0t13.9151616.9 17

20、.8 18.6 19.320 2.设每天生猪体重的增加设每天生猪体重的增加 公斤不变，研究公斤不变，研究 变化变化对对 的影响。由的影响。由式得式得2r g即即 是是 的减函数。的减函数。tg320 00.15,gtggt0.060.06g51015202530tg0.06 0.07 0.08 0.090.10.11 0.12 0.13 0.14 0.15t3022.9 17.5 13.3107.35.0用相对改变量来衡量结果对参数的敏感程度。用相对改变量来衡量结果对参数的敏感程度。 对对 的敏的敏感程度记为感程度记为 定义式为定义式为rt( , ),

21、S t r/( , )./t tdtrS t rr rdr t由由式，得式，得2240406060,dtrrdrrr再代入再代入式，得式，得60,.4060S t rr将将 代入代入式，得式，得2r ( , )3.S t r 此说明此说明: 若每天的体重增加若每天的体重增加 则出售时间推迟则出售时间推迟1%,3%. 类似可以定义类似可以定义 对对 的敏感度的敏感度tg( , ),S t g/( , )./t tdtgS t gg gdgt由由式可得式可得3,.320dt gS t gdg tg 当当 时，可得时，可得0.1g ,3.S t g 此说明价格每降低此说明价格每降低 则出售的时间提早

22、则出售的时间提早3%.1%, 说明说明: 该模型的建模和解模都较为简单该模型的建模和解模都较为简单. 我们的注意我们的注意力是放在对模型的结果分析上力是放在对模型的结果分析上, 即重点讨论敏感性分析即重点讨论敏感性分析上上. 另外该模型还适用与其它与之类似的模型另外该模型还适用与其它与之类似的模型.三、报童问题三、报童问题 问题问题 报童每天清晨从邮局批进报纸进行零售，晚上报童每天清晨从邮局批进报纸进行零售，晚上将卖不掉的报纸返回邮局进行处理将卖不掉的报纸返回邮局进行处理. 售出一份报纸可获售出一份报纸可获得相应的利润，而处理一份报纸会造成亏损得相应的利润，而处理一份报纸会造成亏损. 为此要考

23、为此要考虑报童如何确定每天的进货量以达到最大利润虑报童如何确定每天的进货量以达到最大利润.随机性的函数极值问题随机性的函数极值问题 模型假设模型假设 1.报童知道卖出各个数量的概率的大小报童知道卖出各个数量的概率的大小. 2.设报童每天批进报纸设报童每天批进报纸 份，进价为份，进价为 元，卖价为元，卖价为 元，处理价为元，处理价为 元元.nbac 建模建模 由假设，报童每卖出一份报纸获利由假设，报童每卖出一份报纸获利 元，每处理元，每处理一份报纸亏损一份报纸亏损 元。当卖出量元。当卖出量 时，报童获利时，报童获利abbcrnab rbcnr元，元，当卖出量当卖出量 时，报童获利时，报童获利rn

24、ab n元元.由大数定律，报童每天的平均收入因为每天收入的期望由大数定律，报童每天的平均收入因为每天收入的期望值来表示值来表示. 设每天卖出设每天卖出 份报纸的概率为份报纸的概率为 因而期望收入为因而期望收入为r ,f r 0nrG nab rbcnrf r 1.r nab nf r 从而问题转变为求出进货量从而问题转变为求出进货量 使期望收入使期望收入 达到最达到最大大., n G n 解模解模 为了用微积分的方法解决该问题，将变量连续化，从为了用微积分的方法解决该问题，将变量连续化，从而相应的概率函数而相应的概率函数 用连续型随机变量的概率密度用连续型随机变量的概率密度 来表示来表示. 于

25、是由连续性随机变量的数学期望公式于是由连续性随机变量的数学期望公式 f r p r 0nG nab rbcnrp r dr .nab np r dr由极值存在的条件，对由极值存在的条件，对式求导并令其为零，再由含式求导并令其为零，再由含参变量积分的求导公式得参变量积分的求导公式得 r nG nab rbcnrp r 0nr nbcp r drab np r 0.nab p r dr整理后得整理后得: 0.nnbcp r drabp r dr即即: 0.nnp r drabbcp r dr再由合比定理得再由合比定理得 00,nnnp r drababbcp r drp r dr 00.np r

26、drabacp r dr即即再由概率密度的性质再由概率密度的性质: 01,p r dr从而上式为从而上式为 0.nabp r drKacr p roKn 由于由于 是一个常数，当概率密度为已知时，可由是一个常数，当概率密度为已知时，可由式计算相应的式计算相应的 在统计学中数在统计学中数 又称为又称为 分位数分位数.1K . nnp 数值数值 是卖出一份报纸的收益与处理一份报是卖出一份报纸的收益与处理一份报abKac纸所造成亏损的比值。这个比值越大，进报量就应该纸所造成亏损的比值。这个比值越大，进报量就应该大一点，如果处理价大一点，如果处理价 变小，则应该少进一些变小，则应该少进一些.c 应用举

27、例应用举例 设某报亭销售新民晚报，售价为设某报亭销售新民晚报，售价为 元，进价为元，进价为元，处理价为元，处理价为 元，销售量服从参数为元，销售量服从参数为 的指数的指数分布，求相应的进货量分布，求相应的进货量0.700.400.250.015. n解解 由由0.30.67,0.45abKac即即0.01500.0150.67,nxedx在在Mathematic下计算积分，输入命令下计算积分，输入命令.IntegrateE(-0.015x)*0.015,x,0,74得积分值为得积分值为0.670441，即进报纸的份数近似为，即进报纸的份数近似为74.分析，若提高处理价，如处理价为分析，若提高处

28、理价，如处理价为 元，则元，则0.300.30.75,0.4abKac输入命令：输入命令：IntegrateE(-0.015x)*0.015,x,0,92得积分值为得积分值为0.748421，即进货量为，即进货量为92.四、森林救火问题四、森林救火问题 问题问题 在森林发生火灾时，要派出消防人员去灭火在森林发生火灾时，要派出消防人员去灭火.需要选择合理的方案，使得救火的费用和森林被毁所造需要选择合理的方案，使得救火的费用和森林被毁所造成的损失达到最低成的损失达到最低. 问题分析问题分析 设起火时间为设起火时间为 开始灭火，开始灭火， 时火被扑灭，时火被扑灭，在整个灭火过程中，总费用由损失费与救

29、援费构成，设在整个灭火过程中，总费用由损失费与救援费构成，设在时刻在时刻 时，森林被毁面积为时，森林被毁面积为 则被毁总面积为则被毁总面积为 01,t tt2ttt ,B t 2.B t 考虑考虑 单位时间被毁面积，它表示的是火势单位时间被毁面积，它表示的是火势 dB tdt的蔓延程度，注意到的蔓延程度，注意到 时，火势越来越大，时，火势越来越大， 时，火势逐渐减少，且时，火势逐渐减少，且10tt 12ttt 20.t tdB tdt 由此即得关系由此即得关系 1122 0 0 0. 0 tttdB ttttdttt 单调增加单调减少 假设假设 单位面积损失费为单位面积损失费为 ；1c当当 时

30、，时， 与时间成正比，即与时间成正比，即10tt dB tdt ,dB ttdt 称为蔓延速度；称为蔓延速度；派出派出 名消防队员进行灭火，每名队员的灭火速度为名消防队员进行灭火，每名队员的灭火速度为 ；则当；则当 时，有时，有x12ttt () .dB tx tdt每名消防队员单位时间的灭火费用为每名消防队员单位时间的灭火费用为 ，于是在灭，于是在灭2c火过程中，每名队员的费用为火过程中，每名队员的费用为 ；221ctt每名队员的一次性开支为每名队员的一次性开支为3.c 注注 模型假设的意义：火势以起火点为中心，以均匀模型假设的意义：火势以起火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，蔓延的半径

31、速度向四周呈圆形蔓延，蔓延的半径 与时间与时间 成正成正比。又被毁面积与比。又被毁面积与 成正比，故被毁面积成正比，故被毁面积 与与 成正成正比，从而比，从而 与与 成正比成正比.r2rtB2r/dB dtt火过程中，每名队员的费用为火过程中，每名队员的费用为 ；221ctt每名队员的一次性开支为每名队员的一次性开支为3.c 注注 模型假设的意义：火势以起火点为中心，以均匀模型假设的意义：火势以起火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，蔓延的半径速度向四周呈圆形蔓延，蔓延的半径 与时间与时间 成正成正比。又被毁面积与比。又被毁面积与 成正比，故被毁面积成正比，故被毁面积 与与 成正成正比，从而比，从而 与与 成正比。成正比。r2rtB2r/dB dtt火过程中，每名队员的费用为火过程中，每名队员的费用为 ；221ctt每名队员的一次性开支为每名队员的一次性开支为3.cdBdtt1t2tbx 注注 模型假设的意义：火势以起火点为中心，以均匀模型假设的意义：火势以起火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，蔓延的半径速度向四周呈圆形蔓延，蔓延的半径 与时间与时间 成正成正比。又被毁面积与比。又被毁面积与 成正比，故被毁面积成正比，故被毁面积 与与 成正成正比，从而比，从而 与与 成正比。成正比。r2rtB2r/dB