南昌大学大二公共课专业概率论与数理统计试卷及答案

1、南昌大学2021学年概率论与数理统计第一学期期末试卷、单项选择题每题分，总分值24分1、设随机变量X的概率密度为f(x)1一|x|,240,其它则P(1X1()(A)0.75(B)0.5,(C)0.25,(D)02、随机变量的分布函数为F(x)barctanx,假设实数c满足PXcA一;3D3、设随机变量2一)，则E(|X(A)3；(B)4_4；(C)(D)4、设A,B为任意两事件，则以下关系成立的是).(A)(AB)BA;(B)(AB)AB(C)(AB)BA;(D)(AB)AB(BA)ABo5、一盒内装有5个红球和15个白球，从中不放回取10次，每次取一个球，则第5次取球时得到的是红球的概率

2、是B6、设每次试验成功的概率为P(01)，则在5次重复试验中至少失败一次的概率为5_4(A)1P,(B)p(1p),(C)(15_1p),(D)C5(1p)。7、设二维随机变量(X,Y)N(1,2;2,3;1-)，则D(2X21)()o(A)13,(B)14(C)19,8、甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次(D)37.,其命中率分别为0.6和0.5,现目标被命中，则它是甲射中的概率为。(A)0.6,(B)-6-,(C)0.75,(D)-1111二、填空题每题3分，总分值24分(X)e,x1、设总体X的概率留度为f(X,),0,x又X1,X2,Xn为来自于总体X的样本值，则参数的极大似然估计2

3、、设A,B为随机事件，P(A)0.6,P(B)0.8,P(B|A)0.85，则P(A|B)3、三门火炮同时炮击一敌舰(每炮发射一弹).设击中敌舰一、二、三发炮弹的概率分别为0.5、0.3、0.2,而敌舰中弹一、二、三发时被击沉的概率分别为0.3、0.6、0.8。则敌舰被击沉的概率为。4、设Xi，X2，,Xn是来自正态总体N(0,1)的一个样本，1mn,mn则统计量Y-(Xk)222一2B2(XkX)，假设？AiCB2是的无偏估计量，则常数cnk16、有5个独立的电子装置，它们的寿命Xkk1,2,3,4,5服从同一指数分布X1e,x0其分布函数为Fx,0,x0将这5个电子装置串联组成整机，则整机

4、寿命丫min(X1,X2,Xs)的概率密度fy(y)。7、设X1,X2,Xn是来自正态总体N(,)的样本，其中未知，欲使的置信水平为1的置信区间的长度不超过给定L(L0),则样本容量n至少需取。其中01,(z)28、设X1,X2,X9是来自总体X-N(,)的简单随机样本Xk2服从的分布为mk1km15、设X1,X2,Xn是来自总体X的样本，且EX2DX，记AiX-Xnk1Yi691121Xk,Y2Xk,S6ki3k72k2(Xk丫2),Z72(Yi丫2)则统计量Z服从的分布为三、总分值16分设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)22xy1二23e(1sinxsin2y),x,y1求(

5、X,Y)关于X的边沿概率密度fX(x)；2求(X,Y)关于丫的边沿概率密度fY(y);3X与丫是否相互独立？(4)利用此题结果可以用于说明概率论中一个什么样的问题？22四、总分值16分设随机变重X,Y的二阶矩E(X),E(Y)存在，21c21c证明：成立不等式|E(XY)|E(X)-E(Y)。五、总分值8分此题学过1-9章和11-13章的学生做，仅学过1至9章的学生不做设随机过程X(t)asin(t)，其中a和是非零常数，是在(0,2)上服从均匀分布的随机变量。试求：(1)写出的概率密度f()；2求EX(t);(3)求EX(t)X(t);(4)判断X(t)是否为平稳过程？1(备用公式：sins

6、in一cos()cos()2五、总分值8分此题仅学过1至9章的学生做；学过1至9章和11-13章的学生不做ke设某昆虫产k个卵的概率为,(0为常数)，k0,1,2,.k!每个卵能孵化成幼虫的概率为p(0p1),且各个卵能否孵化成幼虫是相互独立的。试求：1该昆虫没有后代的概率;2该昆虫有后代的概率。六、总分值12分此题学过1至9章和11-13章的学生作，仅学过1至9章的学生不做传输数字0和1的通讯系统，每个数字的传输需经过假设干步骤，Xn表示第n步传输出的数字，则Xn,n0,1,2,是一一齐次马尔可夫链；试求：1写出状态空间S和一步转移概率矩阵P;2求两步转移概率矩阵P(2)；(3)求PXn1L

7、X020Xn0。六、总分值12分此题仅学过1至9章的学生做，学过1-9章和11-13章的学生不作设某种零件尺寸X-N(,1.21),今从此种一批零件中随机取9件，测得样本均值X31.4,当检验水平0.05时，能否认为此批零件尺寸的均值为32.5?Z10.0251.96,Z10.051.645,t10.025(8)2.306,t10.05(8)1.8595,PXx答案及评分细则20XX-06-23A卷一、单项选择题每题3分，总分值24分1、C;2、B;3、A;4、D;5、B;6、A;7、D;8、。二、填空题每题3分，总分值24分P(A|B)0.7;3、0.49;42Xk)n22Xk(n1)；15

8、、n17、0.49;81一（2Xk)22Xk(nm1)；5 y5e,y06 、fY(y)Fy(y)0,y022r2427、z-z；8、t(2)L1-L1-22、单项选择题每题3分，总分值24分1、B;2、A;3、D;4、Co5、C;6、B;7、A;8、D;二、填空题每题3分，总分值24分5eminX1，X2，4,6、P(A|B)0.7；y,y02、fy(y)Fy(y)0,y04、t(2)。解1fX(x)22xy(1sin3xsiny)dy2x1Te2(esin2ysiny)dy2fY(y)2y2dyf(x,y)dx(13sinxsiny)dx(esin2x2siny)dx2x2dx3因为f(x

9、,y)fx(x)Xfy(y),所以X与Y是不相互独立12分4此题提供了例子，仅有X与丫的分布，不能确定(X,Y)的分布,16或由X与丫都服从一维正态分布，不能推出(X,Y)服从二维正态分布。证明对任意实数t，恒有2222E(YtX)tEX2tEXYEY0,当EX20时，取tEX,代入上式,EX2则有EY232EX222(EXY)EXEY,12分2121即得|EXY|EX/2EY2；2或直接由判别式b4ac0,得222(2EXY)4EXEY0,222即得(EXY)EXEY,2121于是|EXY|EX/2EY/2°当EX20时，对任意实数t,22222E(YtX)tEX2tEXYEY2t

10、EXYEY2恒有2tEXYEY0,_21c21c必有EXY0,自然成立|EXY|EX'2EY'214分综合以上情形，2121于是有|EXY|EX2EYJ2,16分的概率密度f(1,020,其它(2)EX(t)easin()asin()dasin(EX(t)X(t)Easin(asin(t)asin(asin(t)dacos2cos(2t)1d2cos2(4)EX2(t)因为EX(t)0是常数,EX(t)X(t)2acos2仅依赖于EX2(t)存在，所以X(t)是平稳过程八、总分值12分此题学过1至9章和11-13章的学生作，仅学过1至9章的学生不做(1)状态空间S=0,1,步转移概率矩阵0.950.050.050.95(2)两步转移概率矩阵(2)P0.950.050.950.050.9050.0950.050.950.050.950.0950.905PX1,0P0PX1,Xn0P0PX1解设A该昆虫有后代,B卜该昆虫产k个卵，k0,1,2,易知，事件组B0,B1,B2，,Bn,是一完备事件组,keP(BQ,k0,1,2,k!A该昆虫没有后代每个卵都没孵化成幼虫kP(A|Bk)(1p),k0,1,2,由全概率公式得1P(A)kP(Bk)P(A|Bk)0ke(1k!kP)k(1p)(1P)2从而P(A