初三培优圆的综合辅导专题训练及答案

1、初三培优圆的综合辅导专题训练及答案一、圆的综合1 .定义：有一个角是其邻角一半的圆内接四边形叫做圆内倍角四边形.(1)如图1,四边形 ABCD内接于OO, /DCB- /ADC=/ A,求证：四边形 ABCD为圆内 接倍角四边形；(2)在(1)的条件下，。半径为5. 若AD为直径，且sinA=,求BC的长；5 若四边形ABCD中有一个角为60°,且BC=CD则四边形 ABCD的面积是；(3)在(1)的条件下，记 AB=a, BC=b, CD=g AD=d,求证：d2- b2=ab+cd.图1备用图备用图【答案】(1)见解析；(2)BC=6, 血!或75； (3)见解析44【解析】【分

2、析】(1)先判断出Z ADC=180° - 2Z A,进而判断出/ABC=2/A,即可得出结论；(2) 先用锐角三角函数求出BD,进而得出AB,由(1)得出/ADB=/BDC,即可得出结论；分两种情况：利用面积和差即可得出结论；(3)先得出 BE=BC=b, DE=DA=b,进而得出 CE=d - c,再判断出 EBCEDA,即可得出 结论.【详解】(1)设/A=a,则 /DCB=180°- a. Z DCB- Z ADC=Z A, . . / ADC=/DCB / A=180 - a- a =180-2 a, ./ABC=180 -ZADC=2 a =2A, 四边形ABC

3、D是。O内接倍角四边形；(2)连接BD. AD 是。O 的直径 Z ABD=90 ° 在 RtABD 中 AD=2 X 5=10sin/A=4, . BD=8,根'''5据勾股定理得： AB=6,设 / A=a, / ADB=90° - a.由(1)知，Z ADC=180° - 2 a, Z BDC=90° - a, . . / ADB=/BDC, . BC=AB=6;四边形ABCD是圆内接倍角四边形，/ BCD=120或/ BAD=30 :I、当 /BCD=120 时，如图 3,连接 OA, OB, OC, OD./ _ 1 ,

4、 _。 。 一 BC=CD,Z BOC=Z COD, . / OCD=/OCB=/ BCD=60/ CDO=60，AD 是。O2的直径，（为了说明 AD是直径，点 O没有画在AD上）Z ADC+Z BCD=180 ,° . . BC/ AD,，AB=CD.BC=CD,AB=BC=CD, . .OAB, BOC, ACOD是全等的等边三角形，S四边形abcc=3Saaob=3x 2= 75/ .44n、当 /BAD=30 时，如图 4,连接 OA, OB, OC, OD.2 .四边形ABCD是圆内接四边形，/BCD=180 - Z BAD=150 :BC=CD,/ BOC=Z COD,

5、. / BCO=Z DCO=- / BCD=75 :. / BOC=Z DOC=30 ；2，/OBA=45；，/AOB=90：连接 AC, / DAC=1 / BAD=15 ：23 / ADO=Z OAB- / BAD=15 ； . / DAC=/ADO, . .OD/ AC, . Soad=Saocd. 过点C作CH, OB于H.在 RtOCH 中,CH= OC= 5 , S 四边形 abcd=Sa cod+S boc+S aob221Sa aod=S boc+S aob= 一25X5+1X5X 点.224故答案为：75a或75; 44(3)延长DC, AB交于点E.1 ,四边形 ABCD是

6、。的内接四边形，/BCE=/ A=/ABC.2 Z ABC=Z BCEfZ A,Z E=ZBCE=Z A, . . BE=BC=b, DE=DA=b, . CE=d c./ 人 八人CE BC d c b _2. /BCE=/A, /E=/E, .EBCAEDA,. , 一，- d2 -AE AD a b db2=ab+cd.【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的内接四边形的性质，新定义，相似三角形的判定和性 质，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解答本题的关键.2 .如图，在 ABC中， BAC 90 , AB AC 近,AD BC ,垂足为 D ,过 A,D 的。O分别与AB, A

7、C交于点E,F ,连接EF, DE, DF .(1)求证： ADE 且 CDF ;(2)当BC与。相切时，求。的面积.【答案】 见解析；(2) .4【解析】分析：(1)由等腰直角三角形的性质知AD=CD Z1 = Z C=45°,由/ EAF=90°知EF是O O的直径，据此知 Z2+Z 4=7 3+7 4=90°,得/2=/3,利用“ASAE明即可得；(2)当BC与。相切时，AD是直径，根据/C=45°、AC=J2可得AD=1,利用圆的面积 公式可得答案.详解：(1)如图，- AB=AC, /BAO90'ZC=45°.又AD，BC,

8、AB=AC,/ 1= 1 / BAC=45 ； BD=CD, / ADC=90 ：2又 / BAC=90 °, BD=CD,AD=CD.又/EAF=90 ：EF是。的直径，./EDF=90 ： . . / 2+/4=90又/3+/4=90 °,，/2=/3.在 ADE和 CDF中.1 CAD CD ,AADEACDF (ASA)23（2）当 BC 与。相切时，AD 是直径.在 RtADC 中，Z C=45 °, AC= J2 ,AD12.，sin/C=.21_ , AD=ACsinZ C=1,，。的半径为 ' ,，。的面积为一.点睛：本题主要考查圆的综合问

9、题，解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质、全等 三角形的判定与性质、与圆有关的位置关系等知识点.3 .如图，已知平行四边形 OABC的三个顶点 A、B C在以。为圆心的半圆上，过点CD± AB,分另1J交AB、AO的延长线于点 D、E, AE交半圆。于点F,连接CF.（1）判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；【答案】（1）直线CE与半圆。相切（2） 4【解析】 试题分析：（1）结论：DE是。的切线.首先证明 AABO, BCO都是等边三角形, 证明四边形BDCG是矩形，即可解决问题；（2）只要证明OCF是等边三角形即可解决问题，求AC即可解决问题.试题解析：（1）直线CE

10、与半圆。相切，理由如下：四边形OABC是平行四边形，AB / OC. / D=90 ；/ OCE=Z D=90 ;即 OCX DE, 直线CE与半圆O相切.（2）由（1）可知：/COF=60, OC=OF .OCF是等边三角形， ./AOC=120 °Ac的长为1201806二4 兀.4.如图，在OO中，直径AB，弦CD于点E,连接AC, BC,点F是BA延长线上的一点, 且 / FCA= / B.求证：CF是。的切线；(2)若 AE= 4, tan/ACD=昱,求 FC的长.3【答案】(1)见解析【解析】分析：(1)利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出/OCF=90,进而得出答案

11、；(2)根据正切的性质求出EC的长，然后利用垂径定理求出圆的半径，再根据等边三角形的性质，利用勾股定理求出即可.详解：(1)证明：连接 OCAB是。的直径，/ACB= 90；ZOCB+ Z ACO= 90：. OB=OC,，/B=/OCB.又 / FCA= / B,/ FCA= / OCB, / FCA+ / ACO= 90 ；即/ FCO= 90 ；FC± OC,.FC是。O切线.席.-4,3(2)解：AB± CD,Z AEC= 90 , . . EC=tan ACE J3,3设 OA= OC= r,则 OE= OA-AE= r-4.在 RtOEC中，OG2=OE2+C彦

12、，即 r2= (r4)2+(4 石)2,解得 r= 8.-，OE=r-4 = 4= AE. .CE± OA, .CA=CC8, .AOC是等边三角形， / FOO 60 ；/ F= 30 .在 RtFOC 中，/ OCF= 90 ； OC= 8, / F= 30 °,-.OF=2OC= 16, FC=、OF2 OC2 8.3 .BC的长点睛：此题主要考查了切线的判定、垂径定理的推论以及勾股定理等知识，得出 是解题关键.5.矩形ABCD中，点C (3, 8) , E、F为AB、CD边上的中点，如图1,点A在原点处，点B在y轴正半轴上，点 C在第一象限，若点 A从原点出发，沿x

13、轴向右以每秒1个单位 长度的速度运动，点 B随之沿y轴下滑，并带动矩形 ABCD在平面内滑动，如图 2,设运动 时间表示为t秒，当点B到达原点时停止运动.(1)当t=0时，点F的坐标为;(2)当t=4时，求OE的长及点B下滑的距离；(3)求运动过程中，点 F到点O的最大距离；(4)当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，求 t的值.【答案】(1) F (3, 4) ; (2) 8-4由；(3) 7; (4) t 的值为一或一. 55【解析】试题分析：(1)先确定出DF,进而彳#出点F的坐标；(2)利用直角三角形的性质得出/ABO=30°,即可得出结论；(3)当O、E、F三点共线

14、时，点F到点O的距离最大，即可得出结论；(4)分两种情况，利用相似三角形的性质建立方程求解即可.试题解析：解：(1)当 t=0 时.-.AB=CD=8, F 为 CD 中点，DF=4,F (3, 4);(2)当 t=4 时，OA=4.在 RtABO 中，AB=8, Z AOB=90°,Z ABO=30 ；点E是AB的中点，OE=AB=4, BO=4x/3 ,，点B下滑的距离为 28 4m.(3)当O、E、F三点共线时，点 F到点O的距离最大，FO=OE+EF=.r _6 -,7姝 C1“:J_. X【答案】(1) 6 (2) 4+2痣【解析】分析：(1)根据一次函数的性质即可得到结论

15、；(2)根据以AB为斜边在右上方作 RtA ABC,可知点C在以AB为直径的OD上运动，根据 点C坐标为(x, y),可构造新的函数 x+y=m,则函数与y轴交点最高处即为 x+y的最大 值，此时，直线 y= - x+m与。D相切，再根据圆心点 D的坐标，可得 C的坐标为(3+75 , 1 +J5 ),代入直线y=-x+m,可得m=4+2j5,即可得出x+y的最大值为4+2 括.详解：(1) 6;(2)由题可得，点 C在以AB为直径的OD上运动，点C坐标为(x, y),可构造新的函 数x+y=m,则函数与y轴交点最高处即为 x+y的最大值，此时，直线 y=-x+m与。D相 切，交x轴与E,如图

16、所示，连接 OD, CD.,. A (6, 0)、B (0, 2) ,D (3, 1) , OD=12 32 = >/l0 , .CD=VT0 .根据CD, EF可得，C、D之间水平方向的距离为 J5,铅垂方向的距离为 5, - C(3+75, 1 + V5),代入直线 y=-x+m,可得：1 + V5 = - (3+75) +m,解得：m=4+2 75 ,，x+y的最大值为 4+2/5 .故答案为：4+275.点睛：本题主要考查了切线的性质，待定系数法求一次函数解析式以及等腰直角三角形的 性质的综合应用，解决问题的关键是构造一次函数图象，根据圆的切线垂直于经过切点的 半径进行求解.7.

17、如图.在 4ABC 中，/C=90°, AC=BC, AB=30cm,点 P 在 AB 上，AP=10cm,点 E 从点 P 出发沿线段PA以2cm/s的速度向点A运动，同时点 F从点P出发沿线段PB以1cm/s的速 度向点B运动，点E到达点A后立刻以原速度沿线段 AB向点B运动，在点E、F运动过程 中，以EF为边作正方形EFGH使它与ABC在线段AB的同侧，设点E、F运动的时间为t (s) ( 0<t<20).(1)当点H落在AC边上时，求t的值；(2)设正方形EFGH与4ABC重叠部分的面积为 S. 试求S关于t的函数表达式； 以点C为圆心，1t为半径作0C当。C与G

18、H所在的直线相切时，求此时 S的值.29t2?(0 t 2)7 2 _ .【答案】(1) t=2s 或 10s; (2)S二 t50t 50(2 t 10); 100cm 2.t2 40t 400? (10 t 20)【解析】试题分析：(1)如图1中，当0vtW5时，由题意 AE=EH=EF,即10-2t=3t, t=2;如图2 中，当 5vtv20 时，AE=HE, 2t - 10=10- ( 2t 10) +t, t=10;(2)分四种切线讨论 a、如图3中，当0vtW2时，重叠部分是正方形 EFGH S= (3t) 2=9t2. b、如图4中，当2vtW5时，重叠部分是五边形EFGMN.

19、 c、如图5中，当5<t<10时，重叠部分是五边形 EFGMN. d、如图6中，当10vtv20时，重叠部分是正方形EFGH分别计算即可；分两种情形分别列出方程即可解决问题.试题解析：解：(1)如图1中，当0vtW5时，由题意得：AE=EH=EF,即10-2t=3t, t=2如图 2 中，当 5vtv20 时，AE=HE, 2t - 10=10- (2t10) +t, t=10.综上所述：t=2s或10s时，点H落在AC边上.(2) 如图3中，当0vt<2时，重叠部分是正方形 EFGH, S= (3t) 2=9t272c c t2+50t - 50.如图4中，当2<tW

20、5时，重叠部分是五边形EFGMN, S= (3t) 2- 1 (5t-10) 22S= (20- t) 2- - (30- 3t) 2272c c一 t2+50t - 50.2Ap FB肆如图6中，当10Vt<20时，重叠部分是正方形 EFGH S= (20-t) 2=t2-40t+400. cPE FB图百29t2?(0 t 2)7 2综上所述：S= 12 50t 50(2 t 10) .22t2 40t 400? (10 t 20) 如图 7 中，当 0vtW5时，t+3t=15,解得：t=30 ,此时 S=100cm2,当 5vtv20 时,271-t+20- t=15,解得：t=

21、10,此时 S=100.综上所述：当OC与GH所在的直线相切时，求此时 S的值为100cm22点睛：本题考查了圆综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的性质等知 识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不 能漏解，属于中考压轴题.8.如图，4ABC内接于。O,且AB为。的直径./ ACB的平分线交OO于点D,过点D 作。的切线PD交CA的延长线于点 P,过点A作AE，CD于点E,过点B作BF，CD于点F.(1)求证：DP/ AB;(2)若AC=6, BC=8,求线段PD的长.【答案】详见解析(1)连接OD,由AB为。的直径，根据圆周角定理得 /AC

22、B=90,再由/ACD=/ BCD=45 ；贝U / DAB=Z ABD=45 ,°所以 DAB为等腰直角三角形，所以 DOLAB, 根据切线的性质得 ODLPD,于是可得到 DP/ AB.(2)先根据勾股定理计算出 AB=10,由于 DAB为等腰直角三角形，可得到ADAEAB 10.225近；由4ACE为等腰直角三角形，得到CE AC 差 3无，在RtAED中利用勾股定理计算出 DE=4J2,则CD=7五，易证得一 PD PA AD 5 25.PDAsPCD,得到匚D PA 把 咨2 ,所以 pa,pd, PC PD CD 7.27PC=7PD,然后禾1J用PC=PA+A(CT计算

23、出PD. 5【详解】解：(1)证明：如图，连接 OD,.AB 为。的直径，ZACB=90.°/ ACB 的平分线交 O O 于点 D,Z ACD=Z BCD=45 .°/ DAB=Z ABD=45DAB为等腰直角三角形. DOXAB. . PD 为。O 的切线，OD± PD. .DP/ AB.(2)在 RACB 中，AB=jACm。， DAB为等腰直角三角形,AD =AB10.AEXCD,.ACE为等腰直角三角形.AC =_6_=争回在 RtAED中，DE 三 JAD； - AE：二在 J? Y4丫 ,斗点,CD=E-DE 三30.4点二7虎.PD PA .AT1

24、 5 或pc = cd't . AB / PD,/ PDA=Z DAB=45 .°/ PAD玄 PCD.又 / DPA=Z CPD, PD PCD. .PA=7PD, PC=5 PD. 57又,. PC=PA+AC7PD+6=5PD,解得 PD=579.已知， ABC内接于eO,点P是弧AB的中点，连接 PA、PB ;(1)如图 1,若 AC BC,求证：AB PC;(2)如图2,若PA平分 CPM ,求证：AB AC ;24(3)在(2)的条件下，若sin BPC ，AC 8,求AP的值.25【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)2通.【解析】【分析】(1)由点P是弧A

25、B的中点，可得出 AP=BP通过证明 APC BPC , ACE BCE可得 出 AEC BEC进而证明AB pc.(2)由PA是/ CPM的角平分线，得到 / MPA=Z APC,等量代换得到/ ABC=Z ACB,根据等腰三 角形的判定定理即可证得 AB=AC.过A点作AD± BC,有三线合一可知 AD平分BC,点O在AD上，连结 OB,则/ BOD=/ BAC,根据圆周角定理可知 / BOD=Z BAC, / BPC=Z BAC,由/ BOD=Z BPC可得BDsin BOD sin BPC ，设OB=25x ,根据勾股定理可算出 OB、BD> OD、AD的 OB长，再次

26、利用勾股定理即可求得AP的值.【详解】解：(1) .点P是弧AB的中点，如图1,.AP=BP,在 APC和 BPC中AP BPAC BC , PC PC2 .APCABPC (SS§ ,/ ACP= / BCP, 在 ACE和 BCE中AC BCACP BCP, CE CE3 .ACEABCE (SAS , / AEC= / BEC4 / AEG/BEC= 180 ；/ AEC= 90 ；ABXPC;(2) PA平分/CPM,/ MPA= / APC, / APO / BPG/ ACB= 180 ； / MPA+Z APC/ BPC= 180 ；/ ACB= / MPA= / APC

27、, / APC= / ABC,/ ABC= / ACB, .AB= AC；(3)过A点作ADXBCx BC于D,连结OP交AB于E,如图2,卸由(2)得出AB= AC, AD 平分 BC, .点O在AD上， 连结 OB,贝U / BOD= / BAC, / BPC= / BAC,24 BD sin BOD sin BPC =,25 OB设 OB= 25x,贝U BD= 24x, OD= Job2 bd2 =7x，在 RtVABD 中，AD= 25x+7x=32x, BD= 24x, AB= a/adB5T=40x，,.AC= 8,.-，AB=40x=8,解得：x=0.2,.OB=5, BD=

28、4.8, OD=1.4, AD= 6.4,丁点p是AB的中点， OP垂直平分AB,1 ，-。 AE=_AB= 4, /AEP=/AEO= 90 ,2在 Rt AEO 中，OE= Aoq2 ae2 3,PE= OP- OE= 5- 3 = 2,在 Rt APE 中，AP= Jpe2 AE2 ，22 42 2后【点睛】本题是一道有关圆的综合题，考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定定理和三线合一，是初中数学的重点和难点，一般以压轴题形出现，难度较大10.如图，4ABC内接于OO, /BAC的平分线交。于点D,交BC于点E ( BE> EQ ,且BD=2 J3 ,过点D作DF/ BC,交

29、AB的延长线于点 F.(1)求证：DF为。的切线；(2)若/BAC= 60。，DE=",求图中阴影部分的面积.【答案】(1)详见解析；(2) 9百2兀【解析】【分析】(1)连结OD,根据垂径定理得到 OD，BC,根据平行线的性质得到 ODLDF,根据切线的 判定定理证明；(2)连结OB,连结OD交BC于P,作BHLDF于H,证明OBD为等边三角形，得到 /ODB=60 ； OB=BD=2j3,根据勾股定理求出 PE,证明AB&4AFD,根据相似三角形 的性质求出AE,根据阴影部分的面积 =4BDF的面积-弓形BD的面积计算.【详解】证明：(1)连结OD, AD 平分 / BA

30、C交。于 D,Z BAD=Z CAD,bd = Cd ,ODXBC,1. BC/ DF, ODXDF, .DF为。O的切线；(2)连结 OB,连结 OD交BC于P,作BHXDFT H, / BAC=60 ,° AD 平分 / BAC,/ BAD=30 ；/ BOD=2/ BAD=60 ,° .OBD为等边三角形，/ ODB=60 ； OB=BD=273 ,/ BDF=30 ；1. BC/ DF,/ DBP=30 ；1 在 RtDBP 中，PD=- BD=73 , PB=V3PD=3,2在 RtDEP 中，.PD=73, DE=近, PE=.(.7)2 ( 3)2 =2, .

31、OPXBC,BP=CP=3 .CE=3- 2=1 , / DBE=Z CAE, / BED=Z AEG,.,.BDEAACE, .AE： BE=CE DE,即 AE： 5=1：币，.-.AE=5l7. BE/ DF, .ABEAAFD,5.7BEAE5Y1,即广,DFADDF12 57解得DF=12,在 RtBDH 中，BH=1BD=J3, 2，阴影部分的面积二 BDF的面积-弓形 BD的面积=4BDF的面积-(扇形 BOD的面积- BOD 的面积)=1 12 73 60(2圾 (2x/3)2 =9向2 兀.23604【点睛】考查的是切线的判定，扇形面积计算，相似三角形的判定和性质，圆周角定理

32、的应用，等 边三角形的判定和性质，掌握切线的判定定理，扇形面积公式是解题的关键.11.在e O中，AB为直径，C为e O上一点.图圈(I )如图，过点C作e O的切线，与 AB的延长线相交于点 P,若 CAB 28 ,求 P的大小；(n )如图，D为弧AC的中点，连接OD交AC于点E,连接DC并延长，与 AB的 延长线相交于点 P,若 CAB 12 ,求 P的大小.【答案】(1) /P=34° (2) /P= 27°【解析】【分析】(1)首先连接OC,由OA=OC,即可求得/A的度数，然后由圆周角定理，求得 /POC的 度数，继而求得答案；(2)因为D为弧AC的中点，OD为

33、半径，所以 ODLAC,继而求得答案.【详解】(1)连接OC,.OA=OC,Z A= Z OCA= 28 ；/ POG= 56 ;CP是。O的切线，/ OCP= 90 °,/ P= 34 °(2) 为弧AC的中点，OD为半径，.ODXAC, / CAB= 12 ；/ AOE= 78 ;/ DCA= 39 ； / P= / DCA / CAB,/ P= 27 :ST【点睛】本题考查切线的性质以及等腰三角形的性质.注意准确作出辅助线是解此题的关键.12.在平面直角坐标系 XOY中，点P的坐标为(xi, yi),点Q的坐标为(龙，y2),且xi力2,若P、Q为某等边三角形的两个顶

34、点，且有一边与x轴平行(含重合)，则称 P、Q互为向善点如图1为点P、Q互为向善点”的示意图.已知点 A的坐标为(1,J3),点B的坐标为(m, 0)(1)在点M (- 1 , 0)、S (2, 0)、T (3, 3 J3)中，与 A点互为 向善点”的是(2)若A、B互为向善点”，求直线AB的解析式;(3) OB的半径为J3,若。B上有三个点与点 A互为 向善点”，请直接写出m的取值范 围.TIV 。Q-s 今“0ird ?"图'I【答案】(1) S, T. (2)直线AB的解析式为y= J3x或y=- J3x+2J3； ( 3)当-2 vmv0或2vmv4时，OB上有三个点

35、与点 A互为 向善点【解析】(1)根据等边三角形的性质结合(2)根据等边三角形的性质结合验后可得出点B的坐标，根据点向善点”的定义，可得出点 S, T与A点互为向善点【分析】向善点”的定义，可得出关于 m的分式方程，解之经检A, B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的解析A；(3)分OB与直线y=J3x相切及OB与直线y=-J3x+2J3相切两种情况求出 m的值，再 利用数形结合即可得出结论.;红®亘“e,刖60成电Mtan60 1(1)22 13 1点S, T与A点互为恂善点”.故答案为S, T.(2)根据题意得： 30 33, |m 1|解得：m1 = 0, m2=2,经检验

36、，m1=0, m2 = 2均为所列分式方程的解，且符合题意, ，点B的坐标为(0, 0)或(2, 0).设直线AB的解析式为y= kx+b (吐0 ,B (0, 0)或(2, 0)代入 y=kx+b,得:k bk b或b 02kb 0解得:3或 k0 b、31直线AB的解析式为y= 而x或y=-mx+2 73 .(3)当OB与直线y= J3x相切时，过点B作BE,直线y= J3x于点E,如图2所示. / BOE= 60 °,。BE 3sin60 =,OB 2.OB=2,，m= - 2 或 m = 2；当OB与直线y=-，3x+2 J3相切时，过点B作BF,直线y= - J3x+2，3

37、于点F,如图3所示.纯 /断、同理，可求出 m = 0或m=4.综上所述：当-2vmv0或2vmv4时，OB上有三个点与点 A互为 向善点 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、特殊角的三角函数值、待定系数法求一次函数解析式、解分式方程以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据等边三角形的性质结合向善点”的定义，确定给定的点是否与 A点互为向善点”；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出 一次函数解析式；（3）分OB与直线y=J3x相切及OB与直线y=-J3 x+2 J3相切两种情 况考虑.13.如图，RtABC中，/B=90°,它的内切圆分别与边BC CA、AB相切于点 D、E、F,

38、 设 AB=c, BC=a, AC=b证：内切圆半径 r= - (a+b-c).2(2)若AD交圆于 P PC交圆于H, FH/BC,求/ CPD;(3)若 r=3 厢,PD= 18, PC=27衣.求 ABC各边长.【答案】（1）证明见解析（2） 45。（3） 9A0, 127-0,15Vl0【解析】【分析】(1)根据切线长定理，有 AE=AF, BD=BF, CD=CE易证四边形 BDOF为正方形， BD=BF=r,用r表示AF、AE CD CE,禾ij用AE+CE=Aa等量关系列式.(2) /CPD为弧DH所对的圆周角，连接 OD,易得弧DH所对的圆心角/ DOH=9 0,所以 / CP

39、D=45 .°(3)由PD=18和r=3 J10,联想到垂径定理基本图形，故过圆心 O作PD的垂线OM,求得 弦心距OM=3,进而得到/ MOD的正切值.延长 DO得直径DG,易证PG/ OM ,得到同位 角/G=/ MOD,又利用圆周角定理可证 ZADB=Z G,即得到/ADB的正切值，进而求得 AB,再设CE=CD=x用x表示BG AC,利用勾股定理列方程即求出x.【详解】解：(1)证明：设圆心为 O,连接OD、OE、OF, 。分别与BC、CA、AB相切于点 D、E、F ODXBC, OE±AC, OFXAB, AE=AF, BD=BF, CD=CE / B=ZODB=

40、Z OFB=90 ° 四边形BDOF是矩形 ，OD=OF=r矩形BDOF是正方形.BD=BF=rAE=AF=AB-BF=c-r CE=CD=BC-BD=a-r .AE+CE=AC c-r+a-r=b(2)取FH中点O,连接OD1. FH/ BC/ AFH=Z B=90 °.AB与圆相切于点 F,二FH为圆的直径，即O为圆心1. FH/ BC/ DOH=Z ODB=90 °1/ CPD= / DOH=452(3)设圆心为 O,连接DO并延长交。于点G,连接PG,过O作OMLPD于M / OMD=90 ° .PD=18，DM= 1pD=9 2BF=BD=OD

41、=r=3., 10 , 1OM= JoD2DM 2 = 7(310)2 92 = 790 81 = 3 tanZ MOD=DM- =3 OM,. DG为直径 / DPG=90 ° .OM/PG, /G+/ODM=90°/ G=Z MOD / ODB=Z ADB+Z ODM=90 °/ ADB=Z G/ ADB=Z MOD tan / ADB=AB=tan / MOD=3 BD.AB=3BD=3r=9,10AE=AF=AB-BF=9/10 - 3 710 = 6 师设 CE=CD=x 则 BC=3布+x, AC=6710 +x .AB2+BC2=AC2(9 JT0

42、)2 +(3 J10 +x)2= (6 /0 +x)2解得：x=9 10.BC=12 10 , AC=15 10 .ABC各边长 AB=9a/w , AC=15Vw , BC=12而5 DCS3【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，正方形的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理.切线长定理的运用是解决本题的关键，而在不能直接求得线段长的情况下，利用勾股定理作为等量关系列方程解决是常用做法.14.已知 RtAABC, /BAJ 90。，点 D是 BC 中点，AD= AC, BCU 4向，过 A, D 两点作OO,交AB于点E,(1)求弦AD的长；(2)如图1,当圆心O在AB上且点M是。上一动点，

43、连接 DM交AB于点N,求当ON 等于多少时，三点 D、E、M组成的三角形是等腰三角形？(3)如图2,当圆心 O不在AB上且动圆。与DB相交于点 Q时，过D作DHXAB (垂 足为H)并交。于点P,问：当。变动时DP- DQ的值变不变？若不变，请求出其值； 若变化，请说明理由.刻)(蚯【答案】(1) 2J3(2)当ON等于1或J3 - 1时，三点D、E M组成的三角形是等腰三角形(3)不变，理由见解析【解析】【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AD的长；(2)连DE、ME,易得当ED和EM为等腰三角形 EDM的两腰，根据垂径定理得推论得 OE± DM,易得到

44、 4ADC为等边三角形，得 /CAD=60°,贝U / DAO=30° , / DON=60 ,然后 根据含30。的直角三角形三边的关系得dn=；ad=J3, on=§dn=1；当 MD=ME, DE 为底边，作 DHLAE,由于 AD=2 J3 , / DAE=30 ,得至U DH=J3 ,/ DEA=60 ； DE=2,于是 OE=DE=2 OH=1,又/M=/DAE=30, MD=ME,得到 / MDE=75 ,贝U / ADM=90 -75 =15°,可得到/ DNO=45 ;根据等腰直角三角形的性质得到NH=DH=百，则ON= J3 -1 ；(3)连AP、AQ, DP, AB,彳导AC/ DP,则/ PDB=/ C=60 ,再根据圆周角定理得/PAQ=/ PDB, /AQC=/ P,则/PAQ=60,° / CAQ=/ PAD,易证得AQ84APD,得到 DP=CQ 贝U DP-DQ=CQ-DQ=CD 而 4ADC 为等边三角形， CD=AD=2j3 ,即可得到 DP-DQ 的 值.【详解】解：(1) ./BAC= 90°,点 D 是 BC 中点，BC= 473 , -A