第6章_梁的弯曲应力

1、第六章梁的弯曲应力首页上一页下一页2第六章 梁的弯曲应力首页上一页下一页3第六章 梁的弯曲应力横截面上只有横截面上只有M、没有没有FQ的弯曲的弯曲横截面上既有横截面上既有M、又有又有FQ的弯曲的弯曲+FFFaFFaaCDAB首页上一页下一页4第六章 梁的弯曲应力1.1.变形现象变形现象且靠近顶端的纵向线缩短，靠近底端的纵向线段伸长.相对转过了一个角度，仍与变形后的纵向弧线垂直.各横向线仍保持为直线，各纵向线段弯成弧线，首页上一页下一页5第六章 梁的弯曲应力2.2.提出假设提出假设必有一层变形前后长度不变的纤维中性层与横截面的交线，称为中性轴中性轴。 首页上一页下一页6第六章 梁的弯曲应力Mmm

2、nnbbooM3. 3. 变形几何学方面变形几何学方面 y ydbbbbbb oooobb ddd yxdxyxmmnnbbooyFFll 首页上一页下一页7第六章 梁的弯曲应力1 1、物理关系、物理关系yzOx直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比.E yE 首页上一页下一页8第六章 梁的弯曲应力2 2、静力关系、静力关系横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系，这一力系简化得到三个内力分量. dA dA zy AAAFddNNFyM AAyAzMddzM AAzAyMdd0 0 M NdFyMdzMdAd yzOx首页上一页下一页9第六章 梁的弯曲应力将应力表达式

3、代入（1）式，得将应力表达式代入（2）式，得将应力表达式代入(3)式，得zIEM 10dN AyEFA 0d AAyE 0d AAy zS0d AyzEMAiy 0d AAyzE 0d AAyz yzIMAyyEMAiz d MIEz MAyEA d2 首页上一页下一页10第六章 梁的弯曲应力 yE zEIM 1将得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:zIMy M为梁横截面上的弯矩；y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩惯性矩.首页上一页下一页11第六章 梁的弯曲应力3 3、最大正应力：、最大正应力：zWMmaxmaxyI Wzz抗弯截面模量。抗弯截面模量。正应力

4、分布正应力分布中性轴M中性层Mymaxymax首页上一页下一页12第六章 梁的弯曲应力常见截面的常见截面的 I IZ Z 和和 W WZ Z圆截面圆截面矩形截面矩形截面空心圆截面空心圆截面空心矩形截面空心矩形截面AdAyI2ZmaxZZyIW 644ZdI323ZdW)1 (6444ZDI)1 (3243ZDW123ZbhI 62ZbhW 12123300ZbhhbI)2/()1212(03300ZhbhhbW首页上一页下一页13第六章 梁的弯曲应力6.4.16.4.1梁横力弯曲时横截面上的正应力梁横力弯曲时横截面上的正应力 纯弯曲正应力公式成立的前提：平面假设，纵向纤维间无挤压。对于横力弯曲

5、，纯弯曲时关于变形的两个假设，均不成立。剪应力（分布不均匀）的存在对正应力分布规律有影响。FsAA首页上一页下一页14第六章 梁的弯曲应力横力弯曲正应力公式横力弯曲正应力公式ZIMy弹性力学精确分析表明，当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。ZmaxmaxmaxIyM横力弯曲最大正应力弯曲问题中，正应力通常是强度计算的主要因素，切应力是次要因素。首页上一页下一页15第六章 梁的弯曲应力悬臂梁荷载及几何尺寸如图所示，试求：(1) 1-1截面上A、B、C、D四点的正应力。(2) 求梁上最大正应力。4m3m15kN20kNmACBD1

6、m1150ABDyxC309015015090首页上一页下一页16第六章 梁的弯曲应力解：(1) 画出梁的弯矩图4m3m15kN20kNmACBD1mM2520(kNm)+11mkNM2011首页上一页下一页17第六章 梁的弯曲应力50ABDyxC309015015090(2) 计算A、B、C、D四点的正应力。mkNM20111233101230018012bhIz3631110150104051020AzAyIMMPa41. 71041. 764610405m首页上一页下一页18第六章 梁的弯曲应力0B（在中性轴上）czCyIM11MPa93. 41093. 4104051010010206

7、633MPayIMDzD41. 71150ABDyxC309015015090A7.41MPa 首页上一页下一页19第六章 梁的弯曲应力(3) 求最大正应力对任一截面而言，最大正应力发生在最上缘或最下缘，对全梁而言，最大正应力发生在最大弯矩所在面的最上或最下缘。这个面通常称为“ ”。首页上一页下一页20第六章 梁的弯曲应力maxmaxmaxyIMzPa63631026. 910150104051025MPa26. 9最大拉应力在最上缘，最大压应力在最下缘。M2520(kNm)+首页上一页下一页21第六章 梁的弯曲应力一、一、 矩形截面梁矩形截面梁1 1、两点假设：、两点假设： 剪应力与剪力平行

8、；剪应力与剪力平行；矩中性轴等距离处，剪应力矩中性轴等距离处，剪应力 相等。相等。2 2、研究方法：分离体平衡。、研究方法：分离体平衡。 在梁上取微段如图在梁上取微段如图b b； 在微段上取一块如图在微段上取一块如图c c，平衡，平衡0)(112dxbFFXNNFS(x)+d FS (x)M(x)yM(x)+d M(x)FSdx xyz 1 1 1 1 b6.4.2 6.4.2 梁横力弯曲时横截面上的切应力梁横力弯曲时横截面上的切应力dxx首页上一页下一页22第六章 梁的弯曲应力FS(x)+d FS (x)M(x)yM(x)+d M(x)FS(x)dx xyz 1 1 1 1 bzzAzANI

9、MSAyIMAFdd1zzNISMMF)d(2zzSzzbISFbISxMdd1由剪应力互等由剪应力互等zSbISFy1)(0)(112dxbFFXNN代入下式代入下式dxx首页上一页下一页23第六章 梁的弯曲应力，得到考虑到对于矩形截面，进一步123zbhI 232323maxAFbhFss的平均应力。是按实用计算方式得到其中，zSbISF切应力计算公式：切应力计算公式：首页上一页下一页24第六章 梁的弯曲应力2. 2. 工字形截面工字形截面maxminzzsbISF*1Af 腹板的面积。fSAFmax结论：结论： 翼缘部分max腹板上的max，只计算腹板上的max。 铅垂剪应力主要腹板承受

10、（9597%），且max min 故工字钢最大剪应力fSAFmax首页上一页下一页25第六章 梁的弯曲应力左、右腹板上的弯曲切应力沿腹板高度也呈抛物线分布。/ 2b/ 2b2h2h02h02hSFCzyOmaxminminy(a) (b)首页上一页下一页26第六章 梁的弯曲应力4.4.圆截面圆截面：3434maxAFs5.5.薄壁圆环：薄壁圆环：22maxAFszyRF maxQ首页上一页下一页27第六章 梁的弯曲应力一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；大一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。剪应力发生

11、在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。FS M 一、梁的正应力和剪应力强度条件一、梁的正应力和剪应力强度条件首页上一页下一页28第六章 梁的弯曲应力 zzSIbSFmaxmaxmax zWMmaxmax在一般的细长非薄壁截面梁中，最大弯曲正应力远大于最大最大弯曲正应力远大于最大弯曲切应力弯曲切应力。对细长梁细长梁来说正应力正应力是强度计算的主要因素主要因素。满足弯曲正应力强度条件的梁，一般都能满足弯曲切应力的强度条件。首页上一页下一页29第六章 梁的弯曲应力在下述情况下，需进行弯曲切应力强度校核。(1) 梁的跨度较短，或在支座附近有较大的集中荷载，以至于梁的弯矩值较小，剪力值较大；(2) 铆接或焊

12、接的工字形梁，如果腹板较薄而截面高度较大；(3) 材料的许用切应力很小的梁，如木梁。首页上一页下一页30第六章 梁的弯曲应力解：解：画内力图求危面内力画内力图求危面内力例题例题 矩形矩形(b h=0.12m 0.18m）截截面木梁如图，面木梁如图， =7MPa， =0. 9 M Pa，试求最大，试求最大正应力和最大剪应正应力和最大剪应力之比力之比,并校核梁的强度。并校核梁的强度。N54002336002maxqLFSNm4050833600822maxqLMq=3.6kN/mxM+82qLABL=3mQ2qL2qL+x首页上一页下一页31第六章 梁的弯曲应力求最大应力并校核强度求最大应力并校核

13、强度应力之比应力之比7 .1632maxmaxmaxhLFAWMSzq=3.6kN/mQ2qL2qL+x7MPa6.25MPa 18. 012. 040506622maxmaxmaxbhMWMz0.9MPa0.375MPa 18. 012. 054005 . 15 . 1maxmaxAFSxM+82qL首页上一页下一页32第六章 梁的弯曲应力1.弯矩最大的截面上2.离中性轴最远处4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑ttmax,ccmax,3.变截面梁要综合考虑 与MzI zWMmaxmax首页上一页下一页33第六章 梁的弯曲应力求图示梁的最大拉应力和最大压应力。q =10kN/mP=

14、20kNABCD2m3m1m20017085853030首页上一页下一页34第六章 梁的弯曲应力解：(1) 确定截面中性轴的位置，以及Iz值。iiiAyAy1)( 1392003017030185200308517030mm23)13915170(302001230200zI23)2170139(1703012170304646103 .40)( 103 .40mmm20017085853030zyy1首页上一页下一页35第六章 梁的弯曲应力q =10kN/mP=20kNABCD2m3m1m(2) 画弯矩图20kNm10kNm+首页上一页下一页36第六章 梁的弯曲应力+(3) 求最大拉应力与最

15、大压应力分析B、C两截面B截面C截面|maxmaxCL|maxmaxCL|maxmaxcCBC显然（最大正负弯矩所在面）CCBB20kNm10kNm+首页上一页下一页37第六章 梁的弯曲应力MPayIMzBBCC6910139103 .4010203631maxmax比较cLBLmaxmax与MPayIMzBBL2 .301061103 .4010203632maxMpayIMzCCL5 .3410139103 .4010103631max首页上一页下一页38第六章 梁的弯曲应力MPacLL5 .34 maxmaxMPaBCC69maxmax最大拉应力与最大压应力有可能不在同一截面上。1.中性

16、轴为对称轴时，Lmax与Cmax在同一截面上，即在|M|max所在的面上。2.中性轴为非对称轴时，Lmax与Cmax可能不在同一截面上，但只能在M+max或M-max所在的面上。首页上一页下一页39第六章 梁的弯曲应力外伸梁荷载与几何尺寸如图所示，已知材料MPaL40MPac100试校核强度。2001703030yzy1=61y2=139q=15kN/mP=10kN4m1m46103 .40mIzABC首页上一页下一页40第六章 梁的弯曲应力解： 画弯矩图以确定危险截面02max0027.5,1.83 ,125.16252AAAFFkNxmqMF xqxkN m25kNm10kNm+M2112

17、q=15kN/mP=10kN4m1mABC求最大正弯矩所在位置及数值首页上一页下一页41第六章 梁的弯曲应力 强度校核 ct1 .151061103 .4010103631maxmaxtztMPayIM5 .3410139103 .4010103632maxmaxCzCMPayIM且z轴为非对称轴，故可能危险截面为1截面和2截面2001703030yzy1=61y2=1396440.3 10 mzI+25kNm10kNm+M2112首页上一页下一页42第六章 梁的弯曲应力强度不够，将截面倒置，结论如何？2001703030yzy1=61y2=1396440.3 10 mzI+8 .371061

18、103 .4010253631maxmaxCzCMPayIM2 .8610139103 .4010253632maxmaxtztMPayIM25kNm10kNm+M2112首页上一页下一页43第六章 梁的弯曲应力例题例题 悬臂梁由三块木板粘悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为接而成。跨度为1 1m m。胶合胶合面的许可面的许可剪剪应力为应力为0.340.34MPaMPa，木材的木材的= 10 MPa= 10 MPa， =1MPa=1MPa，求许可载荷。求许可载荷。 max1max26MFlWbh1.1.画梁的剪力图和弯矩图画梁的剪力图和弯矩图2.2.按正应力强度条件计算许可载荷按正应力强度条件计算

19、许可载荷 sF FM Fl 3.75kNN375061015010010692721 lbhF max23/23/2sFAFbh3.3.按按剪剪应力强度条件计算许可载荷应力强度条件计算许可载荷 kN01N100003/101501001023/2662 bhF Fl100505050z解：解：首页上一页下一页44第六章 梁的弯曲应力 2*33343312sZZhFbF SFbhI bbhb4.4.按胶合面强度条件计算按胶合面强度条件计算许可载荷许可载荷 66333 100 150 100.34 10443825N3.825kNbhF5.5.梁的许可载荷为梁的许可载荷为 3.75kNkN825.

20、 3kN10kN75. 3minmin iFFFl100505050M FlzsF F首页上一页下一页45第六章 梁的弯曲应力1.1.降低梁的最大弯矩值降低梁的最大弯矩值按强度要求设计梁时按强度要求设计梁时，主要是依据梁的正应力强度主要是依据梁的正应力强度条件条件maxmaxWMz 2.2.增大梁的抗弯截面系数增大梁的抗弯截面系数首页上一页下一页46第六章 梁的弯曲应力在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面首页上一页下一页47第六章 梁的弯曲应力62bhWZ左62hbWZ右首页上一页下一页48第六章 梁的弯曲应力（2 2）对于脆性材料制成的梁,宜采用T字形等对中性轴不对称的截面且将翼缘置于受拉侧。（1 1）对于塑性材料制成的梁,选以中性轴为对称轴的横截面。z要使y1/y2接近下列关系：最大拉应力和最大压应力同时接近许用应力212max1maxmaxcmaxtctzzyyIyMIyM首页上一页下一页49第六章 梁的弯曲应力梁各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用应力，则称为等强度梁等强度梁。宽度b不变的