数学物理方法教学Chapt4

1、梁昆淼梁昆淼 编编刘法刘法 缪国庆缪国庆 修订修订讲演者讲演者徐卫青徐卫青 ()数理系，物理教研室数理系，物理教研室1. 1.对于存在单个孤立奇点的区域，根据复连通区域对于存在单个孤立奇点的区域，根据复连通区域的的，有，有ll0z02. 2.对于存在孤立奇点的区域，在以对于存在孤立奇点的区域，在以z z0 0为中心，为中心，半径为半径为0 0的圆环域上将的圆环域上将f(z)f(z)展开为展开为3. 3.将将2 2式代入式代入1 1式右边，逐项积分，式右边，逐项积分， k=-1, 2i; k k=-1, 2i; k-1,0.-1,0.( () )1. 1.对于存在对于存在n n个孤立奇点的区域，

2、根据复连通区域个孤立奇点的区域，根据复连通区域的的，有，有2. 2.将上一节的将上一节的代入上式，代入上式，ll1b1l2b2l3b3l4b4lnbn：设函数设函数f(z)f(z)在回路在回路l所围区域所围区域B B上除有上除有限个孤立奇点限个孤立奇点b b1 1,b,b2 2,b,b3 3,b,bn n外解析，在闭区域外解析，在闭区域B B上除上除b b1 1,b,b2 2,b,b3 3,b,bn n外连续，则外连续，则：设函数设函数f(z)f(z)在无限远点的邻域解析，在无限远点的邻域解析，在围绕无限远点的回路在围绕无限远点的回路l之外的区域上没有有限远奇点，则之外的区域上没有有限远奇点，

3、则：函数函数f(z)f(z)在全平面上所有各点的留数之在全平面上所有各点的留数之和为零，有和为零，有1.1.在以奇点为圆心的圆环域上将函数展开为洛朗级数，取在以奇点为圆心的圆环域上将函数展开为洛朗级数，取负一次幂项系数即可；负一次幂项系数即可； 2.2.直接求解留数直接求解留数. .)()(lim)( Res0100zfzzazfzz非零有限值mmzzazfzz)()(lim00( () )()()!1(1lim)( Res01100zfzzdzdmzfmmmzz例例1.1.求求f(z)=1/(zf(z)=1/(zn n-1)-1)在在z z0 0=1=1的留数的留数. .)(lim1zfz例

4、例2.2.确定函数确定函数f(z)=1/sin zf(z)=1/sin z的极点，求出函数的极点，求出函数在这些极点的留数在这些极点的留数. .)(, 0sin,zfznz例例3.3.确定函数确定函数f(z)=(z+2i)/(zf(z)=(z+2i)/(z5 5+4z+4z3 3) )的极点，的极点，求出函数在这些极点的留数求出函数在这些极点的留数. .2.2.单极点单极点 在单位圆外，故在单位圆外，故不必考虑；不必考虑；例例4.4.计算沿单位圆计算沿单位圆Iz zI=1=1的回路积分的回路积分. .1.1.被积函数被积函数f(z)=1/zf(z)=1/z2 2+2z+2z+的两个单极点分别为

5、，的两个单极点分别为，11111122z3.3.单极点单极点 在单位圆在单位圆内，故计算其留数；内，故计算其留数；1)1 (1111122z例例5.5.求下列函数对应点的留数求下列函数对应点的留数. .?0 ,) 1(25 Reszzz?,) 1(1 Res22iz?,11 Res4iz例例6.6.求下列函数的回路积分求下列函数的回路积分. .2/3?z sin1zdz11? zzdzeDamped System behaviors:1. Critical damping (=1)2. Over-damping (1)3. Under-damping (0 1)02200 xxx Diffra

6、ction of Light through a aperture: A Fourier Transform and Integral.apertureykxkiinikrdydxeyxEreryx) , (4)() (The One Dimensional Heat Conduction Equation.02utu 实变函数的定积分，例如实变函数的定积分，例如 ，其积分区间，其积分区间a,ba,b可以看可以看作是复数平面上实轴上的一段作是复数平面上实轴上的一段l1：1)1)将将l1进行自变数变换为某个新的复平面上的回路，利用留数定理；进行自变数变换为某个新的复平面上的回路，利用留数定理；2

7、)2)补上一段曲线补上一段曲线l2，使，使l1和和l2合成回路合成回路l，l包围着区域包围着区域B. .将将f(x)f(x)解析延解析延拓到闭区域拓到闭区域B( (这个延拓往往只是把这个延拓往往只是把f(x)f(x)改为改为f(z)f(z)而已而已) )，并将它沿着，并将它沿着l积分：积分：abl1l2Babdxxfba)(f(z) 作如下变量代换作如下变量代换( () )，x-i1-1z-1iz例例1.1.计算计算) 10( cos120 xdxI 1.1.变量代换，化简，变量代换，化简， 2.2.根据留数定理，求回路积分，根据留数定理，求回路积分，例例2.2.计算计算) 10( cos21

8、202xdxI 1.1.变量代换，化简，变量代换，化简， 2.2.求单极点的留数，求单极点的留数，例例2.2.计算计算) 10( cos21202xdxI 3.3.根据留数定理，求回路积分，根据留数定理，求回路积分，例例3.3.计算下列积分值计算下列积分值. .?cos2520dI212I?sin1202dxxaI12221)24(zaazazdziI例例3.3.计算下列积分值计算下列积分值. .?cos1202dbaIababI22.)(dxxf2121)(lim )(RRRRdxxfIdxxf 当当R R1 1=R=R2 2时的极限值，称之为原反常积分的时的极限值，称之为原反常积分的，记为

9、，记为 1.1.考虑如右图所示半圆回路考虑如右图所示半圆回路l，根据柯西，根据柯西定理，有定理，有( () ) 2.2.再根据留数定理，有再根据留数定理，有 3.3.令令R,求上式的极限值，有求上式的极限值，有例例4.4.计算计算21xdxI0/11lim1lim)(lim2zzzzzzfzzz解解: : (1) f(z)(1) f(z)的奇点是否在实轴上？的奇点是否在实轴上？)(111)(2izizzzf (2) (2) z, zf(z)0 ?z, zf(z)0 ?例例4.4.计算计算21xdxI (3) f(z) (3) f(z)在上半平面奇点的留数在上半平面奇点的留数例例5.5.计算计算

10、 ，(n(n为正整数为正整数) )nxdxI21解解: :nnnizizzzf)()(111)(2例例5.5.计算计算 ，(n(n为正整数为正整数) )nxdxI21解解: :例例5.5.计算计算 ，(n(n为正整数为正整数) )nxdxI21解解: :例例6.6.计算计算 ，(n(n为正整数为正整数) )021nxdxI解解: : 积分区间不满足类型二的条件，但积分区间不满足类型二的条件，但是被积函数是被积函数f(z)=1/(1+xf(z)=1/(1+x2 2) )n n为偶函数，故为偶函数，故有，有，例例7.7.计算下列积分值计算下列积分值. .?14xdxI2I?)4)(9(02222d

11、xxxxI200/I.sin)( ,cos)(00dxmxxGdxmxxF1.1.对所求积分进行形式变换，对所求积分进行形式变换，2.2.对第二项积分作积分变量代换对第二项积分作积分变量代换, , ,有有3.3.将第二项的积分变量再改为将第二项的积分变量再改为 , ,4.4.同理有，同理有，(1).(1).注意到条件：当注意到条件：当z z在上半平面或实轴上在上半平面或实轴上时，时，F(z)F(z)一致地一致地0 0，有，有，(2).(2).证明右端积分有界即可证明右端积分有界即可= =(3).(3).在在00/2/2范围内范围内,02,02/sin /sin , ,有有(4).(4).当当R

12、,R,上式上式有限值，这就证明了约当引理！有限值，这就证明了约当引理！5.5.类似于类型二，有如下结论：类似于类型二，有如下结论：例例8.8.计算计算dxaxmxI022cos解解: : 被积函数被积函数 的两个的两个单极点分别单极点分别为为ia,ia,则在上半平面的单极点则在上半平面的单极点iaia的留数的留数为，为，例例9.9.计算计算dxaxmxxI0222sin解解: : 被积函数被积函数 的两的两个二阶极点分别为个二阶极点分别为ia,ia,则在上半平面的则在上半平面的二阶极点二阶极点iaia的留数为，的留数为，例例10.10.计算下列积分计算下列积分dxxmxI041cosdxaxm

13、xI0222cos)0, 0( ,coscos02badxxbxaxIabI24/2)2/sin()2/cos(2/memmI34/)1 (aemaImadxxf)(取极限：取极限：R,0R,00 0? ?1.1.将将f(z)f(z)在在z=az=a的邻域展为洛朗级数，并注意到的邻域展为洛朗级数，并注意到z=az=a是是f(z)f(z)的单极的单极点，有点，有2.P(z-a)2.P(z-a)为级数的解析部分，在积分路径上连续有界，为级数的解析部分，在积分路径上连续有界，3.3.1.C1.C不是闭合曲线，解析部分的积分是由于不是闭合曲线，解析部分的积分是由于00才趋于零；才趋于零；2.2.实轴上的奇点只能是单极点，不能是二阶或以上的极