数值分析插值法

1、 第第5章章 插值法插值法返回前进 第第5章章 插值法插值法返回前进 第第5章章 插值法插值法返回前进badxxfI)( 第第5章章 插值法插值法返回前进代数插值 第第5章章 插值法插值法返回前进1)-(5 )(1nnonxaxaax2)-5 ( ),2, 1 ,0( )()(niyxfxiiin 第第5章章 插值法插值法返回前进)( xyny0yny2x0 x1x2xny1)(xfy 第第5章章 插值法插值法返回前进246810 xy 第第5章章 插值法插值法返回前进代数插值应用举例 第第5章章 插值法插值法返回前进 第第5章章 插值法插值法返回前进 实际中，f(x)多样，复杂，通常只能观测

2、到一些离散数据；或者f(x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数g(x)来逼近f(x)。 自然地，希望g(x)通过所有的离散点l 概念x0 x1x2x3x4xg(x) f(x) 第第5章章 插值法插值法返回前进定义： 为定义在区间 上的函数， 为区间上n+1个互不 相同的点， 为给定的某一函数类。求 上的函数 满足)(xfba, 0niix)(xgnixfxgii, 0 , )()(叫截断误差叫插值结点插值区间，插值条件使被插值函数近似代替插值函数用简单函数望希)()()(,)()(,)()(:xgxfxRxbaxfxgxfxgiii 第第5章章 插值法插值法返回前进插值多项式插值代数插值

3、为多项式函数或者取三角插值为三角函数通常取Hermitexgxg)()()(问题l是否存在唯一l如何构造l 估计误差)()()(xgxfxR 当不斯地增加插值节点，那么插值函数列是否收敛被插函数。 第第5章章 插值法插值法返回前进.)( ),.,2 , 1 , 0( )()( 1:1 存在且唯一的多项式的次数不超过处满足插值条件节点互异个在定理性插值多项式的存在唯一xpnnkxfxpxnnkknk)(. . )(. )(. : .)(:10111100001010nnnnnnnnnnnnxfxaxaaxfxaxaaxfxaxaaxaxaaxp代入插值条件得设证 第第5章章 插值法插值法返回前进

4、.)( , 0)(111 :01100存在唯一系数即多项式该方程组解存在唯一法则知故由系数行列式Grammerxxxxxxxxnijjinnnnn 第第5章章 插值法插值法返回前进 注2:一次多项式插值 - 过两点直线; 二次多项式插值 - 过三点抛物线; 不用待定系数法 - (1)计算量大;(2)不易讨论误差; 注1：如果要求插值多项式的次数一定要小于n1，一般不存在。但如果要求插值多项式的次数超过n次，则存在但不唯一。 上面定理告诉我们，不管用何种方法构造插值多项式，次数不超过n次的满足插值条件的多项式是同一个多项式。下面分别介绍几种构造插值多项式的方法。 第第5章章 插值法插值法返回前进

5、 第第5章章 插值法插值法返回前进 2 Lagrange插值公式插值公式 第第5章章 插值法插值法返回前进101011010010111011001001 )()(xxyyaxxyyxyayxaaxyxaax求解可得5)-(5 )(10101010011xxxyyxxxyxyx 第第5章章 插值法插值法返回前进x)(xfy )()(11xLxy6)-(5 )()(0010101xxxxyyyxN7)-(5 )(: 101001011yxxxxyxxxxxL还可由对称式得 第第5章章 插值法插值法返回前进1011001)()()()(iiiyxlyxlyxlxL) 1 , 0( , 0 , 1)

6、( ijijixlji条件它们在插值节点处满足2)-5 ( ), 2 , 1 , 0( )()(niyxfxiiin01011010)( )(xxxxxlxxxxxl 第第5章章 插值法插值法返回前进7)-(5 )(101001011yxxxxyxxxxxL8)-(5 )()()()()( 202211002iiiyxlyxlyxlyxlxL可设1)(,0)(,0)(0)(,1)(,0)(,0)(,0)(,1)(221202211101201000 xlxlxlxlxlxlxlxlxlxx0 x1x2y(x)y0y1y2 第第5章章 插值法插值法返回前进)()(210 xxxxCxl)(11)

7、(201000 xxxxCxl再利用)()()( 2010210 xxxxxxxxxl即)()()()()()(12021022101201xxxxxxxxxlxxxxxxxxxl )()()()()( :202211002iiiyxlyxlyxlyxlxL于是 第第5章章 插值法插值法返回前进2)-5 ( ), 2 , 1 , 0( )()(niyxfxiiin)2 , 1 , 0( 0 1)(ijijixlji节点处满足由于二次插值基函数在xx1x2)(xfy)(2xLyx0y 第第5章章 插值法插值法返回前进jijixlji 1 0)(), 1 , 0( )()()()()()()(01

8、1101110nixxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxlnijjjijniiiiiiiniii9)-(5 )()()()()(01100niiinnnyxlyxlyxlyxlxL 第第5章章 插值法插值法返回前进10)-(5 )()(000 niniinijjjijiinyxxxxyxlxLniiininnyxxxxxL011)()()()(可改写为于是式求导可得记)105(, )()(:),()(0101nijjjiinnjjnxxxxxx 第第5章章 插值法插值法返回前进如何估计误差)()()(xLxfxRnn定理：设f(x)在a,b上存在n阶连续导数，在（a,b）上存在n+

9、1阶导数， 是Lagrange插值多项式，则对任 何， 插 值余项为： )x(Ln),(baxb),(a, )()!1()()(1)1(xnfxRnxnn)()(01jnjnxxx 第第5章章 插值法插值法返回前进证：)()()(, 0 , 0)(, 0 , )()(0nnininixxxxxkxRnixRnixLxf),(bax0)( and , 0, 0)()()()()()(0 xnixxtxtxktLtftinn设易知 第第5章章 插值法插值法返回前进)(t有n+2个零点)!1()()( )!1)()()( 0)( , )1()1()1()1(nfxknxkfnnnn)()()!1()

10、()(0)1(nnnxxxxnfxR由x是(a,b)上的任意一点 第第5章章 插值法插值法返回前进注:定理2中余项表达式只有在f(x)存在n+1阶导数时才能应用。由于不能具体给出，故应用公式有困难。但如果 在(a,b)中有界，则余项误差 容易估计.误差还与 有关.)x(f)1n()(1xn 第第5章章 插值法插值法返回前进l Lagrange 插值的优缺点无承袭性。增加一个节点，所有的基函数都要重新计算优点：形式对称易编程序 第第5章章 插值法插值法返回前进)3 , 3(),1 , 2(),0 , 0(),2 , 1(例：)31)(21)(01()3)(2)(0()(0 xxxxl)23)(0

11、3)(13()2)(0)(1()(3xxxxl)32)(02)(12()3)(0)(1()(2xxxxl)30)(20)(10()3)(2)(1()(1xxxxl)(3)(1)(0)(2)(3210 xlxlxlxlxg例：例：已知已知233sin,214sin,216sin 分别利用分别利用 sin x 的的1次、次、2次次 Lagrange 插值计算插值计算 sin 50 并估计误差。并估计误差。 第第5章章 插值法插值法返回前进1 Lagrange Polynomial解：解：0 x1x2x185500 n = 1分别利用分别利用x0, x1 以及以及 x1, x2 计算计算4,610

12、xx利用利用216/4/6/214/6/4/)(1 xxxL这里这里)3,6(,sin)(,sin)()2( xxxfxxf而而)4)(6(!2)()(,23sin21)2(1 xxfxRxx00762. 0)185(01319. 01 Rsin 50 = 0.7660444)185(50sin10 L0.77614外推外推 /* extrapolation */ 的实际误差的实际误差 0.010010.010013,421 xx利用利用sin 50 0.76008, 00660. 018500538. 01 R内插内插 /* interpolation */ 的实际误差的实际误差 0.005

13、96 0.00596内插通常优于外推。选择内插通常优于外推。选择要计算的要计算的 x 所在的区间的所在的区间的端点，插值效果较好。端点，插值效果较好。 第第5章章 插值法插值法返回前进n = 223)()(21)()(21)()()(4363463464363646342 xxxxxxxL)185(50sin20 L0.7654323cos21;)3)(4)(6(!3cos)(2 xxxxxxR 00077. 018500044. 02 Rsin 50 = 0.76604442次插值的实际误差次插值的实际误差 0.00061 0.00061高次插值通常优于高次插值通常优于低次插值低次插值 第第

14、5章章 插值法插值法返回前进niiinxlLagrangenixlnxxx0101)(,), 1 , 0)(,1,试证明：插值基函数组节点上的为这个互异节点为设niiinyxlxL0)()(0)()!1()()()()(1)1(xnfxLxfxRnnnnniinxfxlxL01)()()( 第第5章章 插值法插值法返回前进) 1)( )()()()3(.)()()2(1 .) 1(1,2,., 0,0 , 1)0() 1 (,), 1 , 0)(,1,0100110010nxpxpxlxpxxxnxlxxfnjxxxnjjlxLagrangenixlnxxxnkkknknknknnnkkjki

15、n的次数小于为数次多项式，且最高次系是试证明：插值基函数组节点上的为这个互异节点为设 第第5章章 插值法插值法返回前进niiinyxlxL0)()()()!1()()()()(1)1(xnfxLxfxRnnnnjxxf)(令 第第5章章 插值法插值法返回前进3. Newton型多项式插值 第第5章章 插值法插值法返回前进)()()(,),()()(1,11020102200101001011010 xxxxaxxaaxNxxxxxyyyxxaaxNnyyybxxxannn有如下形式：得二次插值多项式，并可如果增加一个节点时的函数值个节点设给定)()()( , , )(,)(,)(1021202

16、0101121220101100222112002xxxxaxNxNxxxxyyxxyyaxxyyayayxNyxNyxN利用插值条件 第第5章章 插值法插值法返回前进 )()()()( 11)-(5 )()()()()( )()()()(1101020101020121101nnnnnnnnnnnxxxxxxaxxxxaxxaaxxxxaxxxxaxNxxxxxxaxNxN01011110000)()( ), 1 , 0()(xxyyayxNyayxNniyxNnniin由 第第5章章 插值法插值法返回前进0201011212120202010102222)(/()()(xxxxyyxxyy

17、xxxxxxxxyyyyayxNn商的概念及其性质。先介绍差这些系数能表示出来为了将，再由由,)(,)(3333nnnnnnaaayxNayxN 第第5章章 插值法插值法返回前进01010010110,)()(,xxxxfxxfxxfxxxfxfxxfkkkk称为k阶差商称为1阶差商定义：差商差商 第第5章章 插值法插值法返回前进)(00 xfa ,)()(1001011xxfxxxfxfa,1 )()(101201021210202122xxxfxxfxxfxxaxxxfxfxxa由归纳：,0nnxxfa 第第5章章 插值法插值法返回前进此处用到差商的一个性质： （用归纳法易证） 对称性：,

18、00kiikxxfxxf定义关键：找不同的元素相减作分母的任意排列是kiik,0,0 第第5章章 插值法插值法返回前进Newton插值构造)(,00 xfx)(,11xfx)(,22xfx)(,nnxfx,10 xxf,12xxf,1nnxxf,012xxxf,21nnnxxxf,0 xxfn1、先构造差商表 第第5章章 插值法插值法返回前进l 例子)()()()()(0010101xxxxxfxfxfxN2、利用差商表的最外一行，构造插值多项式)()(,)(,)()(1000100nnnxxxxxxfxxxxfxfxN 第第5章章 插值法插值法返回前进误差00100100 Newton( )

19、 ( )( ), ()() ( )( )( )( ), ()()niinniinnnnnnnnxNxxaNtN tf xx a txtxNaf af aN af xx a axax另一方面设插值为则有为显然)!1()(,10nfaxxfnn性质310( ) ( ) ( )()()(1)!nnnnfN xR xxxxxn同样的误差为 第第5章章 插值法插值法返回前进差商的性质,101010kkkxxxbxxxaxxxfkkjjjiikniikikxxxxxfxxxf010110)()()()(,其中明。一般情形可用归纳法证时：是显然的。当证明：当)()()()()()( )()()()()()(

20、)( )()()()()()()()( )()()()(,1,21120222101120100210102210111202220100010210221112022201000201011212102102210 xxxxxfxxxxxfxxxxxfxxxxxxxxxxxfxxxxxfxxxxxfxxxxxfxxxxxfxxxxxfxxxxxfxxxxxfxfxxxfxfxxfxxfxxxxxfkk 第第5章章 插值法插值法返回前进,kijjkikjiijjixxxfxxxfxxxfxxfxxf)()()()()(,11xPxxxPxxxxxfxfxxfniniiii 第第5章章 插值法插

21、值法返回前进,)(,.,)(,)(),(,)()()(001010210221010101100000nnnxxxfxxxxxfxxxfxxxxfxxxxxfxxxfxxxfxxxxfxxfxxfxxxfxf等的部分，即得：然后相加并消去两边相将以上各式分别乘以：)()( ,),)(),( , 1110100nxxxxxxxxxxxx,)()( ,)()( ,)(,)()()(101010110210101000nnnnxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxf12)-(5 ,)()( ,)(,)()()(10110210101000nnnxxxfxxxxxx

22、xxxfxxxxxxfxxxfxN13)-(5 ,)( ,)()()(10121010nnnnnxxxxfxxxxxxfxxxxxxxR)()()(xRxNxfnn则： 第第5章章 插值法插值法返回前进), 1 ,0( 0,)( )(101nixxxxfxxRniinin,)()()()(110101nnnnxxxfxxxxxxxNxN 第第5章章 插值法插值法返回前进),( )()!1()(,)( )(1n)1(101baxnfxxxxfxxRnnnn14)-(5 !)(,)(10nfxxxfnnmin,min),(00iniinixx其中 第第5章章 插值法插值法返回前进nknkaxxfx

23、Pxfnkn, 0,),()(0推论：若 第第5章章 插值法插值法返回前进5 , 4 , 3 , 2 , 1 ,4 , 3 , 2 , 1 , 110010)(:3ffxxxf计算例 第第5章章 插值法插值法返回前进 第第5章章 插值法插值法返回前进的近似值。插值公式求用的数值表如下：已知例)596. 0(02652. 188811. 069675. 057815. 041075. 0)(90. 080. 065. 055. 040. 0)()( fNewtonxfxxshxfkk 第第5章章 插值法插值法返回前进解：先造差商表解：先造差商表 第第5章章 插值法插值法返回前进63192. 0)

24、596. 0()596. 0(596. 0)80. 0)(65. 0)(55. 0)(40. 00.034( )65. 0)(55. 0)(40. 00.197( )55. 0)(40. 00.2800( )40. 0(1160. 141075. 044 NfxxxxxxxxxxxN代代入入得得：将将 由由Newton公式得四次插值多项式为：公式得四次插值多项式为： 第第5章章 插值法插值法返回前进 牛顿基本插值公式对结点是否等距没有牛顿基本插值公式对结点是否等距没有限制限制. .不过当结点等距时前述牛顿插值公式可不过当结点等距时前述牛顿插值公式可进行简化进行简化. .下面我们用差分的方法给出

25、下面我们用差分的方法给出NewtonNewton前插和前插和NewtonNewton后插的计算公式，此法特别适后插的计算公式，此法特别适宜于用计算器计算。首先介绍差分概念宜于用计算器计算。首先介绍差分概念. .4 差分及其插值公式差分及其插值公式 第第5章章 插值法插值法返回前进hxxfxfhxfxf以在为称)()()()( 为为步长的一阶向前差分步长的一阶向前差分 1.1.定义定义 设设00 (0,1, ), ninxxxx ih inh 一一. 差分差分叫步长叫步长hxxfxfhxfxfkkk以在为)()()()(11为步长的k阶向前差分 第第5章章 插值法插值法返回前进00 (0,1,

26、), ninxxxx ih inh 010y y y 为为)(xfy 在在x0以以 为为步长的一阶向前差分步长的一阶向前差分 1121 xy y y20010 xyyy xyyyiimimim 111 m m阶阶叫步长叫步长 一般一般:一阶一阶 二阶二阶 h 第第5章章 插值法插值法返回前进 (1) (1) 差分可表为函数值的线性组合差分可表为函数值的线性组合 二二.性质性质:)()( )()1()(00 xfxfjhxfCxfkjjkjkk规定证明证明:用归纳法用归纳法 第第5章章 插值法插值法返回前进hxxxxnnnnxff!)(, )2(0210 阶导数）有在（nxfxfxxxxfhnn

27、nnn,)(),( )()( ) 3(00)(0证明证明:用归纳法用归纳法 第第5章章 插值法插值法返回前进 3. 差分表差分表 (实用实用)yyyyxyyyxyyxyxyxii03122330212201100 三三阶阶差差分分二二阶阶差差分分一一阶阶差差分分 第第5章章 插值法插值法返回前进三三 等矩结点插值公式等矩结点插值公式: :00+ (0n),ixxthtxxih 将将NewtonNewton插值公式插值公式 00100120101011( )(),(),()() ,()()()nnnxffxfxxfxxxxx xxx x xxxNx xxxxx 中的差商用性质中的差商用性质(2)

28、(2)换为差分换为差分, ,可整理为如下的可整理为如下的 NewtonNewton向前插值公式向前插值公式yyyxxNNnnnnnttttttfthx002000!)1()1( ! 2)1()()()( 设设（5.65.6） 第第5章章 插值法插值法返回前进截断误差可表示为截断误差可表示为)()!1()() 1()()()1(10 fhxnnnntttthRxR (5.7) (5.7)1010()() (1)! max(1)() ?nntnR xRthnt ttnhhMx 第第5章章 插值法插值法返回前进例：给出了例：给出了y=cosx的函数表从的函数表从x=0到此为到此为0.6，h=0.1。

29、计算计算cos0.048的值（其真值的值（其真值cos0.0480.99884822）。）。解：利用函数值表作差分表： 由x=0.048靠近表头，我们从误差项中有知道，用靠近0.048的点作为插值节点较好，此时t=0.48 9976. 01t)x(f)x(f)048. 0(N00019988. 0! 2) 1t ( t)x(f)048. 0(N)048. 0(N021299885. 0! 3)2t)(1t ( t)x(f)048. 0(N)048. 0(N0323 第第5章章 插值法插值法返回前进99884. 0! 4) 3t)(2t)(1t ( t)x(f)048. 0(N)048. 0(N

30、0434! 5)5)(3)(2)(1()()048. 0()048. 0(0545tttttxfNN 现如果我们要计算cos0.575怎样算？由于0.575靠近表尾，显然用后面的节点作插值节点比较合理。为了也能象Newton前插公式那样具有承袭性，为此我们再介绍Newton后插公式。 第第5章章 插值法插值法返回前进在Newton插值公式中，我们已经看到节点的大小顺序是不作要求，现对节点按如下次序 作插值，显然 011nnx,x,x,x)()(, )(, )(,)()(110111211xxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxNnnnnnnnnnnnnnn h)x(fx,x fx

31、,x f1nn1n1nn22n2n1n2n2n1nnh! 2)x(fx,x,x fx,x,x f 第第5章章 插值法插值法返回前进n0n011nnh!n)x(fx,x,x,x fhxxtn令) 1() 1(!)( ) 1(! 2)(! 1)()()()(0221ntttnxfttxftxfxfthxNxNnnnnnnn 称上公式为Newton后插公式。其中用到的各阶差分就是差分表中最下一行上的各对应值 )()!1()() 1()()()()1(1nnnnfhnntttxNxfxR误差 第第5章章 插值法插值法返回前进例：给出了例：给出了y=cosx的函数表从的函数表从x=0到此为到此为0.6，

32、h=0.1。计算计算cos0.575的值（而真值的值（而真值cos0.5750.8391923 cos0.5750.8391923 ）。）。解：利用函数值表作差分表： 用后插公式 25. 01 . 0575. 06 . 0t8384. 0t! 1)x(f)x(f)575. 0(N56183919. 0) 1t ( t! 2)x(f)575. 0(N)575. 0(N421283919. 0)2t)(1t ( t! 3)x(f)575. 0(N)575. 0(N3323 第第5章章 插值法插值法返回前进例：已知由插值节点(0,0),(0.5,y),(1,3)和(2,2)构造的3次插值多项式P3(

33、x)的x3的系数为6，试确定数据y. 第第5章章 插值法插值法返回前进4 Hermite插值 第第5章章 插值法插值法返回前进4.1 Hermite插值), 2 , 1 , 0( )()(niyxHyxHiiii1)( ,0)( ,0)( ,0)(0)( , 1)( ,0)(,0)(0)( ,0)( , 1)( ,0)(0)( ,0)( ,0)( , 1)()(),(),(),()()()()( )()()()()(1121110112221202112111011020100012101122110011221100 xHxHxHxHxhxhxhxhxhxhxhxhxhxhxhxhxHxhx

34、hxhyxHyxhyxhyxhyxlyxlyxlyxlxH：都是三次多项式且满足其中可设：按插值基函数的方法，并估计误差。且使的多项式求不超过三次已知为互异节点，设引例,)(),2 , 1 , 0()()(,)2 , 1 , 0()(,:11210yxHiyxHxHiyxfxxxiiii 第第5章章 插值法插值法返回前进引例（续1）21202210220210221020210002210020110100)()()( )()()()()( )()(11)( )()()()(,)( 0)(, 0)( )(xxxxxxxxxhxxxxxxxxxhxxxxCxhxxxxCxhxhxxhxxhxhx

35、h同理可求：于是求出而由可设的一阶零点是而的二阶零点是：首先求 第第5章章 插值法插值法返回前进引例（续2）求。满足前面条件，即为所法求出的中，可以检查按上述方代入将利用可设：为一阶零点：对由可设分别为其一阶零点：对)()()(),(),(),()()()(1)()(11)()()()(,)()()()()223)2()()()(2)()(1 ,)()(2)(0)()()(1)()(0)(1)()()()(,)(12102102101121011121012101221201202021102112012212011120210122120112001121121012101111112012

36、01xHxHxHxhxhxhxxxxxxxxxxxHxxxxCxHxxxxxxCxHxxxxHxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxhxxxxxxxxxxxxbxxxxxxxaxxbaxxxbaxxxxxaxxxxbaxxhxhxxxxbaxxhxxxh 第第5章章 插值法插值法返回前进引例的误差估计： )()()(3xHxfxR)()()( )()()(22103xxxxxxxxHxfxR)()()()()(22103xtxtxtxtRt0)(! 4)()()()4()4()4(xHfxxx)(!41)( )4(xfx因此可得)()(! 4)()()()(2210)4(3xxxxxxfxH

37、xfxRx因而有： 第第5章章 插值法插值法返回前进niiiiiyxHyxhxH0)()()(), 2 , 1 , 0( , 1 0)(, 0)(), 2 , 1 , 0(0)( , 1 0)( )2(njjijixHxHnjxhjijixhjijijiji 第第5章章 插值法插值法返回前进.)()()()(,)()()(112插值基函数为为待定系数其中Lagrangexxxxxlbaxlxxbaxhininiiii221212120)()()()()()(niiixxxxxxxxxxbxaxh), 2 , 1 , 0( )()()(21 ()()(21 0)(2)()(2)()()(1)()

38、(0)(1)(222nixlxlxxxhxl abaxl abxlxlxxbaxblxhaxalxhxhxhiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii可求出 第第5章章 插值法插值法返回前进对Hi(x):),2 , 1 , 0( )()()(1)()(1)( )()()(222nixlxxxHCxClxHxHxlxxCxHiiiiiiiiiiii利用niiiiiiiiiniiiiiyxlxxyxlxlxxyxHyxhxH0220)()()()()(21( )()()(2010112101002010101121010100)()()()(21)(21)(xxxxxxxHxxxxxx

39、xHxxxxxxxxxhxxxxxxxxxh， 第第5章章 插值法插值法返回前进两个节点的三次Hermite插值多17)-(5 )(111001110000yhxxhyhxxhyhxxyhxxxH0) 1 () 1 ()0( , 1)0(0) 1 ()0() 1 ( , 1)0()1 ()( ,)1)(21 ()(:)()()()()(:11110000212011001100它们分别满足：面两个函数实际计算中经常用到下插值多项式为因此两个节点的三次xxxxxxyxHyxHyxhyxhxHHermite011101101010100110101000)()()()()()(xxxxxxxHxx

40、xxxxxHxxxxxhxxxxxh， 第第5章章 插值法插值法返回前进4.2 误差估计 ),( )()!22()()()()(21)22(baxnfxHxfxRnn18)-(5 )()(! 4)()(2120)4(xxxxfxR 第第5章章 插值法插值法返回前进931010iiiyyxxxxxxxxxhxxhxxhxxhxxxHxxxxxhxxxxxhxxxxxxxhxxxxxhxxxxh31210 x )1 (9)1 (3)23( )9(3 10)()1 ()1 (1)(1 ()1 ()1 ()()23()1 (1)(1 (21 ()1 ()1)(21 ()( 1:232221101100

41、022111210122010200001 代入：而解 第第5章章 插值法插值法返回前进1)( 10)0( )21(1)()1()1(2)(0, 1,0)0()0()()(,)()()( )()( )(,)(,)()(1,0, 1 :3222102110112102210102100100210 xxHHxxxHxxxxHxxxfxxfxxffHxfxHxxxxxxxNxxxxxxxxxxxxxfxxxxfxfxHNewtonxxxxi因此代入其中确定即可由为待定参数插值。可设：还可以利用为等距节点，三点记为解 第第5章章 插值法插值法返回前进4.3 Hermite插值的一般形式 )0 , 2

42、 , 1 , 0)(ninmmkxfykiikk),1 ,0( )(),0,1,(i )(mkyxHnyxHkkiiiimkinnmkxxxnmfxHxfxR01)2()()()!2()()()()( 第第5章章 插值法插值法返回前进22121212222221112111110000)3(4)()()()()2)(1()(,)1(4)( )2(1)2()1(1 ()(1, 10)1 (, 1)1 (1)2()1()( ,0)0()2()0( :)()(),( ,0)1 ,0,( 1 0)()1 ,0 ,2, 1 ,0( 0)()2, 1 ,0 , 1 ,0( 0)()2, 1 ,0,( 1

43、0)()2(;4)1 ,0)( ),2, 1 ,0)( )1 (xxxHxhxhxHHermitexxxxHxxxhxxxxxxhbahhxxxbaxhhhhxhxHxhyyjiijijxHijxHijxhjiijijxhixHixhjijijijiii插值多项式为：因此所求类似可求代入可设对不必求次多项式都是12 101010iiiyyx 第第5章章 插值法插值法返回前进)()(22cbxaxxxH4/9234112341481611) 1 (1)2(1) 1 (cbacbacbacbaHHH22)3(4)(xxxH12 101010iiiyyx 第第5章章 插值法插值法返回前进5 多项式插

44、值的缺陷与分段插值 第第5章章 插值法插值法返回前进多项式插值的缺陷举例yx0.5)(xfy )(10 xPy )(4xP1 第第5章章 插值法插值法返回前进niiiinxlyyxL0)()()()()()()()()(xLxLxLxfxLxfnnnnniiinnxlyxLxL0)()()( 第第5章章 插值法插值法返回前进多项式插值的缺陷举例（续2）引起误差增大。也随之而增加。因此，多时并且当节点增能很好地逼近就不能保证也增大如果时节点增多增大当其中)()(,).()(,)(, )(max)()()!1()()()(101)1(1101nnnnbxannnnnxxxxxxxfxLMnfMxx

45、xxxxnMxLxfxRx0 x1x2x3x5x6x7xy)(76xln时的 第第5章章 插值法插值法返回前进几点启示 第第5章章 插值法插值法返回前进启示（4） 第第5章章 插值法插值法返回前进5.2 分段多项式插值 iniiiinnhhnixxhbxxxxa101110max) 1, 1 , 0( 记设给定节点 第第5章章 插值法插值法返回前进1、分段线性插值 , )(111111iiiiiiiiiixxxxxxxyxxxxyxPx0 x1x2x3x4 第第5章章 插值法插值法返回前进2、分段抛物插值 ) 12, 1 , 0( , )()( )()()()()(:,) 12, 1 , 0(

46、,), 1 , 0( )( 222221222222122122212212222222212222122222nkxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxPnkxxnnixfykkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkii得上分别作抛物插值在每个小区间为偶数且设已知 第第5章章 插值法插值法返回前进l分段线性插值误差,1iixxx2121)2(22M )(!2)()()(iiiinxxxxxxfxpxf)0(0822Mmax)()(2221210hhMxxxpxfiinin)(max(110iinixxh 第第5章章 插值法插值法返回前进336210121210

47、1101210210210218)(max8)()(11max)(max1)(ln)( : 过，即数表的步长应不超应取：利用上面估计式，欲使所以：解hhxfhxPxfxxfxxfxxfxxx构造函数y = ln x在x1,10上的等距数表，应如何选取步长h，才能在利用该数表进行分段线性插值时，使误差不超过10-6/2。 第第5章章 插值法插值法返回前进并估计误差。函数等分的分段线性插值上的，在例：求),(2020)(202xPxxf 第第5章章 插值法插值法返回前进。于求节点数目使其误差小上近似函数，值在例：用等距分段二次插61021,)( 10 xexf 第第5章章 插值法插值法返回前进 6

48、3121121321)()(max)()(!)()()(/)(iiixxxiiixxxxxxexxxxxxfxPxfii93248 8) 1() 1(max63311ehhssses 第第5章章 插值法插值法返回前进分段插值的余项及收敛性和稳定性 第第5章章 插值法插值法返回前进6 样条插值 第第5章章 插值法插值法返回前进6.1 样条函数的概念 第第5章章 插值法插值法返回前进1,2, 1 )0()0()0()0()0()0( nixSxSxSxSxSxSiiiiii 第第5章章 插值法插值法返回前进 第第5章章 插值法插值法返回前进 第第5章章 插值法插值法返回前进三次样条插值举例 101

49、0101011110000110011213110020300)0()0()0()0(10011) 1 (, 0)0(0)0(, 1) 1( 1 , 0 ,)(0 , 1 ,)()( 10 01 1 , 12bbccSSSScbaddcbaSSSSxdxcxbxaxSxdxcxbxaxSxSn导数的连续条件：再由内节点处一、二阶可得：由插值和函数连续条件并设：两个子区间，分为，区间解：这里 第第5章章 插值法插值法返回前进三次样条插值举例（续） 1 , 0 ,23210 , 1 ,2321)(0,23,21:,0260260) 1 (0) 1(23231010101010110010 xxxx

50、xxxSCCbbaabbaababaSS从而得到问题的解为：因此联立可解得：而由自然边界条件： 第第5章章 插值法插值法返回前进10 , 2301- , 235)()2(10 , 2301- , 23)() 1 (23232323xxxxxxxxxsxxxxxxxxxs次样条函数例：判断下列是否为三 第第5章章 插值法插值法返回前进.,21 ,) 1() 1() 1(210 ,21)(323dcbxxdxcxbxxxxs求次样条函数例：自然边界条件的三 第第5章章 插值法插值法返回前进 1. 以节点处的二阶导数值为参数的三次样条插值函数 211331112211111111111116)(6)

51、()(2)(2)()(,)()()()( ,)(,)() 1, 1 , 0()()(,), 1 , 0()(cxcMhxxMhxxxScMhxxMhxxxSxxhMhxxMhxxMxxxxMxxxxxSxSxSxSMMxxMxSMxSnjxSxSxxniMxSjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjii 再积分一次得：将上式积分一次得：其中为线性为三次多项式的表达式作线性插值求出可以利用为三次多项式上在设 第第5章章 插值法插值法返回前进19)-(5 ) 1, 2 , 1 , 0(666)(6)()()()(6)(6666)(6)(122

52、11133111112111121112212121113121311njhxxhMyhxxhMyMhxxMhxxxSxSxMxMhhxyxycMMhhyycycxcMhycxcMhycxchMxxycxcMhxxxxxxjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj中整理后得：代入可解出： 第第5章章 插值法插值法返回前进建立关于M的关系式 20)-(5 ) 1, 1 , 0()(62)(2)()(61612)(2)()(11122122111221njMMhhyyMhxxMhxxxShMyhhMyhMhxxMhxxxSjjj

53、jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj 第第5章章 插值法插值法返回前进建立关于M的关系式（续1）)()(jjjjxSxS)(62)()()(62)(1111111jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjMMhhyyMhxSxxxSMMhhyyMhxSxx)()(62)(1:)()()()(,)(1111111jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjxSMMhhyyMhxSjjxSxSxSxSxS中令在在节点处一阶导数连续 第第5章章 插值法插值法返回前进建立关于M的关系式（续2），即有：由)()(jjjjxSxS)(6211jjjjjjjjMMhhyyMh)(621111

54、1jjjjjjjjMMhhyyMh1111636jjjjjjjMhMhhMh1, 2 , 1111njhyyhyyjjjjjj)(626:1111111111jjjjjjjjjjjjjjjjjjjhyyhyyhhMhhhMMhhhhh同乘以 第第5章章 插值法插值法返回前进22)-(5 ) 1, 2 , 1( 221)- 5 ( )(6,1,111111111njcMMMhyyhyyhhchhhhhhjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj令23)-(5 2 2 2 211121343323232212121101nnnnnncMMMcMMMcMMMcMMM 第第5章章 插值法插值法返

55、回前进M关系式的三种边界条件 24)-(5 )(62)()(62)(11111010001000nnnnnnnnnMMhhyyMhybSMMhhyyMhyaS25)-(5 626211110001010nnnnnnnhyyyhMMyhyyhMM 第第5章章 插值法插值法返回前进M关系式的三种边界条件（续1）nnnnnnncccccMMMMM1210121011221102202022可用追赶法求解这是三对角方程组其中对照,6,6, 1, 1),255(1110001000nnnnnnnhyyyhcyhyyhcnnyMyM 0 第第5章章 插值法插值法返回前进M关系式的三种边界条件 )()()()(bSaSbsaS)(62)(62),()()255(),()(,)()(11111010001000 nnnnnnnnnMMhhyyMhMMhhyyMhbSaSbSaSMMbSaS即利用而由由110011011101100111101010110011110010106)(266666266662nn