初中数学复习总动员第20讲矩形

1、2017年暑期初中数学复习总动员第20讲矩形【知识巩固】1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2.性质：边 矩形的对边平行且相等角 矩形的四个角都是直角对角线 矩形的对角线互相平分且相等3.判定：角 有一个角是直角的平行四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形对角线 对角线相等是平行四边形是矩形矩形是轴对称图形，有两条对称轴。4.相关性质平行线段：两条平行线之间的任何两条平行线段都相等两条平行线之间的距离相等 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。【典例解析】典例一、矩形定义一个长方形在平面

2、直角坐标系中三个顶点的坐标为（1，1），（1，2），（3，1），则第四个顶点的坐标为（）A.（2，2）B.（3，2）C.（3，3）D.（2，3）答案：B知识点：坐标与图形性质；矩形的性质解析：解答：解：如图可知第四个顶点为：即：（3，2）故选B分析：本题可在画出图后，根据矩形的性质，得知第四个顶点的横坐标应为3，纵坐标应为2.本题考查学生的动手能力，画出图后可很快得到答案【变式训练】矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AOB60°，则对角线AC与边BC所成的角是多少度？答案：30°知识点：矩形的性质；等腰三角形的性质解析：解答：解：根据矩形的对角线相等且互相平分得到：OBO

3、C则ACBOBCAOBACB+OBCACB30°故选B分析：根据矩形的对角线的性质，结合等腰三角形的性质求解本题主要考查了矩形的对角线相等且平分即对角线把矩形分成了四个等腰三角形典例二、矩形判定（2017贵州安顺）如图，DBAC，且DB=AC，E是AC的中点，（1）求证：BC=DE；（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则给ABC添加什么条件，为什么？【考点】LC：矩形的判定；L7：平行四边形的判定与性质【分析】（1）要证明BC=DE，只要证四边形BCED是平行四边形通过给出的已知条件便可（2）矩形的判定方法有多种，可选择利用“对角线相等的平行四边形为矩形”来解决【解答】

4、（1）证明：E是AC中点，EC=ACDB=AC，DBEC 又DBEC，四边形DBCE是平行四边形BC=DE （2）添加AB=BC （ 5分）理由：DBAE，四边形DBEA是平行四边形BC=DE，AB=BC，AB=DEADBE是矩形【变式训练】（2017湖南邵阳）如图所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，OBC=OCB（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）请添加一个条件使矩形ABCD为正方形【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，根据等角对等边可得OB=OC，然后求出AC=BD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明；（2）根据正方形的判定

5、方法添加即可【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，OA=OC，OB=OD，OBC=OCB，OB=OC，AC=BD，平行四边形ABCD是矩形；（2）解：AB=AD（或ACBD答案不唯一）理由：四边形ABCD是矩形，又AB=AD，四边形ABCD是正方形或：四边形ABCD是矩形，又ACBD，四边形ABCD是正方形【点评】本题考查了正方形的判断，平行四边形的性质，矩形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定方法与性质是解题的关键典例三、矩形性质（2017广西百色）矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，CE、AF分别交BD于G、H两点求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；（2）EG=FH【考

6、点】LB：矩形的性质；L7：平行四边形的判定与性质【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）可证明EG和FH所在的DEG、BFH全等即可【解答】解：（1）证明：四边形ABCD是矩形，ADBC，AD=BC，E、F分别是AD、BC的中点，AE=AD，CF=BC，AE=CF，四边形AFCE是平行四边形；（2）四边形AFCE是平行四边形，CEAF，DGE=AHD=BHF，ABCD，EDG=FBH，在DEG和BFH中，DEGBFH（AAS），EG=FH【变式训练】（2017广西河池）如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AEBD于点F，则CF的长是【考点】LB：矩

7、形的性质【分析】根据四边形ABCD是矩形，得到ABE=BAD=90°，根据余角的性质得到BAE=ADB，根据相似三角形的性质得到BE=1，求得BC=2，根据勾股定理得到AE=，BD=，根据三角形的面积公式得到BF=，过F作FGBC于G，根据相似三角形的性质得到CG=，根据勾股定理即可得到结论【解答】解：四边形ABCD是矩形，ABE=BAD=90°，AEBD，AFB=90°，BAF+ABD=ABD+ADB=90°，BAE=ADB，ABEADB，E是BC的中点，AD=2BE，2BE2=AB2=2，BE=1，BC=2，AE=，BD=，BF=，过F作FGBC于G

8、，FGCD，BFGBDC，=，FG=，BG=，CG=，CF=故答案为：典例四、矩形的综合应用（2017甘肃张掖）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长【考点】LB：矩形的性质；L7：平行四边形的判定与性质；L8：菱形的性质【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定BOEDOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在RtADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出

9、EF的长【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，A=90°，AD=BC=4，ABDC，OB=OD，OBE=ODF，在BOE和DOF中，BOEDOF（ASA），EO=FO，四边形BEDF是平行四边形；（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BEEF，设BE=x，则 DE=x，AE=6x，在RtADE中，DE2=AD2+AE2，x2=42+（6x）2，解得：x=，BD=2，OB=BD=，BDEF，EO=，EF=2EO=【变式训练】（2017.江苏宿迁）如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB=1，BC=，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形A

10、BCE，点B、C的对应点分别为点B、C（1）当BC恰好经过点D时（如图1），求线段CE的长；（2）若BC分别交边AD，CD于点F，G，且DAE=22.5°（如图2），求DFG的面积；（3）在点E从点C移动到点D的过程中，求点C运动的路径长【考点】LO：四边形综合题【分析】（1）如图1中，设CE=EC=x，则DE=1x，由ADBDEC，可得=，列出方程即可解决问题；（2）如图2中，首先证明ADB，DFG都是等腰直角三角形，求出DF即可解决问题；（3）如图3中，点C的运动路径的长为的长，求出圆心角、半径即可解决问题【解答】解：（1）如图1中，设CE=EC=x，则DE=1x，ADB+EDC

11、=90°，BAD+ADB=90°，BAD=EDC，B=C=90°，AB=AB=1，AD=，DB=，ADBDEC，=，=，x=2CE=2（2）如图2中，BAD=B=D=90°，DAE=22.5°，EAB=EAB=67.5°，BAF=BFA=45°，DFG=AFB=DGF=45°，DF=FG，在RtABF中，AB=FB=1，AF=AB=，DF=DG=，SDFG=（）2=（3）如图3中，点C的运动路径的长为的长，在RtADC中，tanDAC=，DAC=30°，AC=2CD=2，CAD=DAC=30°，

12、CAC=60°，的长=【能力检测】1. （2017宁夏）在ABC中，AB=6，点D是AB的中点，过点D作DEBC，交AC于点E，点M在DE上，且ME=DM当AMBM时，则BC的长为8【分析】根据直角三角形的性质求出DM，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可【解答】解：AMBM，点D是AB的中点，DM=AC=3，ME=DM，ME=1，DE=DM+ME=4，D是AB的中点，DEBC，BC=2DE=8，故答案为：8【点评】本题考查的是三角形的中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键2. ( 2017湖南怀化)如图，在矩形ABCD中，对角线A

13、C，BD相交于点O，AOB=60°，AC=6cm，则AB的长是（）A3cmB6cmC10cmD12cm【考点】LB：矩形的性质【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OB=OD=OC，由AOB=60°，判断出AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质求出AB即可【解答】解：四边形ABCD是矩形，OA=OC=OB=OD=3，AOB=60°，AOB是等边三角形，AB=OA=3，故选A3. （2017哈尔滨）如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DEAM，垂足为E若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为【考点】LB：矩形的性质；KD：全等

14、三角形的判定与性质【分析】由AAS证明ABMDEA，得出AM=AD，证出BC=AD=3EM，连接DM，由HL证明RtDEMRtDCM，得出EM=CM，因此BC=3CM，设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，在RtABM中，由勾股定理得出方程，解方程即可【解答】解：四边形ABCD是矩形，AB=DC=1，B=C=90°，ADBC，AD=BC，AMB=DAE，DE=DC，AB=DE，DEAM，DEA=DEM=90°，在ABM和DEA中，ABMDEA（AAS），AM=AD，AE=2EM，BC=AD=3EM，连接DM，如图所示：在RtDEM和RtDCM中，RtDEMRtD

15、CM（HL），EM=CM，BC=3CM，设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，在RtABM中，由勾股定理得：12+（2x）2=（3x）2，解得：x=，BM=；故答案为：4. （2017山东临沂）在ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DEAC，DFAB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）A若ADBC，则四边形AEDF是矩形B若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C若BD=CD，则四边形AEDF是菱形D若AD平分BAC，则四边形AEDF是菱形【分析】由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论【解答】解：若ADBC，则四边形AEDF是平行四边形，不一

16、定是矩形；选项A错误；若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；若BD=CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；若AD平分BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：D【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键5. （2017 四川绵阳）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点若AC=2，AEO=120°，则FC的长度为（）A1B2CD【考点】LB：矩形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；T7：解直角三角形【分析】先根据矩形的性质，推理得到O

17、F=CF，再根据RtBOF求得OF的长，即可得到CF的长【解答】解：EFBD，AEO=120°，EDO=30°，DEO=60°，四边形ABCD是矩形，OBF=OCF=30°，BFO=60°，FOC=60°30°=30°，OF=CF，又RtBOF中，BO=BD=AC=，OF=tan30°×BO=1，CF=1，故选：A6. （2016·山东省滨州市·4分）如图，矩形ABCD中，AB=，BC=，点E在对角线BD上，且BE=1.8，连接AE并延长交DC于点F，则=【考点】相似三角形的

18、判定与性质；矩形的性质【分析】根据勾股定理求出BD，得到DE的长，根据相似三角形的性质得到比例式，代入计算即可求出DF的长，求出CF，计算即可【解答】解：四边形ABCD是矩形，BAD=90°，又AB=，BC=，BD=3，BE=1.8，DE=31.8=1.2，ABCD，=，即=，解得，DF=，则CF=CDDF=，=，故答案为：【点评】本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质定理和相似三角形的判定定理、性质定理是解题的关键7. （2017湖北荆州）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到DCE（1）求证：ACDEDC

19、；（2）请探究BDE的形状，并说明理由【考点】LB：矩形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；Q2：平移的性质【分析】（1）由矩形的性质得出AB=DC，AC=BD，AD=BC，ADC=ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，DCE=ABC=90°，DC=AB，得出AD=EC，由SAS即可得出结论；（2）由AC=BD，DE=AC，得出BD=DE即可【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，AB=DC，AC=BD，AD=BC，ADC=ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，DCE=ABC=90°，DC=AB，AD=EC，在AC

20、D和EDC中，ACDEDC（SAS）；（2）解：BDE是等腰三角形；理由如下：AC=BD，DE=AC，BD=DE，BDE是等腰三角形8. （2016·四川攀枝花）如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DEAF，垂足为点E（1）求证：DE=AB；（2）以A为圆心，AB长为半径作圆弧交AF于点G，若BF=FC=1，求扇形ABG的面积（结果保留）【考点】扇形面积的计算；全等三角形的判定与性质；矩形的性质【分析】（1）根据矩形的性质得出B=90°，AD=BC，ADBC，求出DAE=AFB，AED=90°=B，根据AAS推出ABFDEA即可；（2）根

21、据勾股定理求出AB，解直角三角形求出BAF，根据全等三角形的性质得出DE=DG=AB=，GDE=BAF=30°，根据扇形的面积公式求得求出即可【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，B=90°，AD=BC，ADBC，DAE=AFB，DEAF，AED=90°=B，在ABF和DEA中，ABFDEA（AAS），DE=AB；（2）解：BC=AD，AD=AF，BC=AF，BF=1，ABF=90°，由勾股定理得：AB=，BAF=30°，ABFDEA，GDE=BAF=30°，DE=AB=DG=，扇形ABG的面积=【点评】本题考查了弧长公式，全等三

22、角形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理，矩形的性质的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键9. （2016海南）如图1，在矩形ABCD中，BCAB，BAD的平分线AF与BD、BC分别交于点E、F，点O是BD的中点，直线OKAF，交AD于点K，交BC于点G（1）求证：DOKBOG；AB+AK=BG；（2）若KD=KG，BC=4求KD的长度；如图2，点P是线段KD上的动点（不与点D、K重合），PMDG交KG于点M，PNKG交DG于点N，设PD=m，当SPMN=时，求m的值【考点】四边形综合题；全等三角形的判定；矩形的性质；相似三角形的判定与性质【分析】（1）先根据AAS判定DOKBOG

23、，再根据等腰三角形ABF和平行四边形AFKG的性质，得出结论BG=AB+AK；（2）先根据等量代换得出AF=KG=KD=BG，再设AB=a，根据AK=FG列出关于a的方程，求得a的值，进而计算KD的长；先过点G作GIKD，求得SDKG的值，再根据四边形PMGN是平行四边形，以及DKGPKMDPN，求得SDPN和SPKM的表达式，最后根据等量关系S平行四边形PMGN=SDKGSDPNSPKM，列出关于m的方程，求得m的值即可【解答】解：（1）在矩形ABCD中，ADBCKDO=GBO，DKO=BGO点O是BD的中点DO=BODOKBOG（AAS）四边形ABCD是矩形BAD=ABC=90°

24、，ADBC又AF平分BADBAF=BFA=45°AB=BFOKAF，AKFG四边形AFGK是平行四边形AK=FGBG=BF+FGBG=AB+AK（2）由（1）得，四边形AFGK是平行四边形AK=FG，AF=KG又DOKBOG，且KD=KGAF=KG=KD=BG设AB=a，则AF=KG=KD=BG=aAK=4a，FG=BGBF=aa4a=aa解得a=KD=a=2过点G作GIKD于点I由（2）可知KD=AF=2GI=AB=SDKG=×2×=PD=mPK=2mPMDG，PNKG四边形PMGN是平行四边形，DKGPKMDPN，即SDPN=（）2同理SPKM=（）2SPMN=S平行四边形PMGN=2SPMN=2×又S平行四边形PMGN=SDKGSDPNSPKM2×=（）2（）2，即m22m+1=0解得m1=m2=1当SPMN=时，m的值为1【点评】本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的性