A rapid reliability estimationmethod for directed acyclic lifeline networks with statistically

1、可靠性工程与系统安全一种快速的有向无环生命线网络与统计相关的部件的可靠性估计方法Won-Hee Kang ,Alyce Kliese（西悉尼大学,学院基建工程。彭里斯，新南威尔士州2751，澳大利亚卡姆登委员会，卡姆登，新南威尔士州2570，澳大利亚）摘要: 生命线网络，如交通，供水，污水，电信以及电力和天然气网络是城市地区的经济和社会的基本要素但它们的组件非常容易受到自然或人为灾害。在这种情况下，必须提供有效的灾难发生前的减灾策略和进行基于快速系统可靠的评估灾后风险管理工作。本文为生命线网络提出了一种快速可靠的估计方法，特别在网络组件相关联的时候。递归程序拟复合所有的网络节点，直到他们成为一

2、个代表连接起始点和目的节点单一的超级节点。在孟菲斯，谢尔比县，该方法适用于数字网络的实例，基准互联电网和供水网络。连通性分析结果表明该方法和Monte Carlo模拟相比具有合理精度和卓越、的效率。关键词：地震灾害；生命线网络；非基于仿真的方法；统计相关性；系统的可靠性。1 引言生命线网络，如交通，供水，下水道,电信和电力及燃气管网，是我们的环境，社会和经济发展和生活质量的根本。尽管组成了冗余组件，它仍然容易由自然灾害证明比如说历年地震如1989年美国Loma Prieta地震，1994年美国加州北岭地震，1995年日本阪神地震和2010年智利地震。为防止灾害蔓延，最大限度地减少自然和人为灾害

3、对这些生命线网络系统的影响，有必要提供基于快速系统可靠性评估的迅速而有效的灾前减灾战略和灾后恢复工作。 生命线工程网络系统的可靠性评估往往是通过一对节点的连通性分析展开的。确定起源和目的节点之间连接网络的可靠状态而不考虑网络流量的数量。该节点对的连接性分析已广泛应用于生命线网络的后期危害可靠性分析中，因为它充分和有效地描述了生命线中断造成的灾害的影响。这种连接是基于流的更复杂的分析的一个必要条件，这对研究连通很重要特别是对更加复杂的生命线系统。在对节点的连通性分析尽管简单，但这种连通性分析仍然是具有挑战性的。由于生命线网络是个在网络组件和退化模型的不确定性和实际情况下，在组件和系统级的相互依存

4、关系中由空间分布的网络组件和复杂的拓扑结构组成的非常复杂的系统1。考虑到这些复杂的性质，一个节点对连接问题的可靠性评估是一项艰巨而复杂的任务。为了克服这些挑战，许多研究人员都依赖于蒙特卡洛模拟（MCS）为基础的方法，因为他们是很容易实现的。他们只是需要危害强度的措施随机抽样和网络组件相应的不确定状态，而不需要识别复杂的连接系统事件2。然而，以MCS的统计性质为基础的方法可能需要大量的样本，以或大或小的概率估计以达到个可接受的收敛水平3。此外，他们的计算效率取决于在网络中的节点和链接数因为它们使用的路径搜索算法来检查起源和目的节点在每个样品之间的连通性4。另外随机数生成过程是计算能力的要求，特别

5、是当组件统计相关性作为一个过程其中包括一个矩阵分解过程如Cholesky分解。根据给定的网络的性质，这些挑战可能对快速的可靠估计和及时对灾后的恢复工作的决策支持产生阻碍。另一方面非基于仿真的方法从20世纪70年代发展至今。通过识别系统事件或设置不依靠随机样本来计算一个节点连接的概率。他们的开发是基于布尔代数，集合论，二元决策图，网络分解，复发性不相交集识别和最小路径的识别5-14。它们有效地计算一般网络的节点对的连接概率，并提供一个高计算效率，即使对于大的网络问题，可以提供的界限，近似，甚至精确解。然而，所有列出的方法假设网络组件状态之间的统计独立性而忽视其相关性，例如在一个地震灾害中的输水管

6、道间的空间相关性或由于一个普通电源断开导致的水代节点并发故障，这就需要认真考虑现实的生命线网络问题。依赖非基于模拟的方法中充分考虑这一网络组件只做了少数的尝试，康等人15估计各个城市间节点断线概率，基于矩阵系统的可靠性（MSR）方法的桥网络的关键设备和通过确定一个共同的来源数量来考虑网络桥的相关故障。这些都代表了整个系统的相关性和使组件间的状态变得条件独立。在这种方法中一个特殊的路径搜索算法来找到所有可用的路径在起源点和目的节点之间。Lim和宋2最近通过提高复发性分解算法（RDA）这是由Lim和He11发展的，提出了一个名为网络连通性分析方法。选择性RDA应用于生命线网络的问题如在地震灾害下水

7、和气的传输网络和通过识别在起源点和目的点节点之间最可靠的不想交链路和割集来提供相比原始RDA而言更快的收敛概率界限。通过应用由GENZ16开发的高效多元正态分布的集成方法，在每个环节的计算或割集认为是网络组件之间的相关性。虽然选择性RDA改进了原来RDA的计算效率，它还需要处理呈指数增长的链路或割集来发现节点对断线概率界限。LE和沃尔特17最近为二端网络的可靠性开发了概率界评价方法，当这些组件在统计上是相关的时候。他们的方法应用到各种数值的例子，并提供了合理的概率边界，但边界的密封性是高度依赖于组件的数量和组成图案的相关性。在本文中为合理的大型网络提出了一个非常快的节点连接的概率估计方法，尤其

8、是当网络组件是统计相关的。该方法提出了一种新的递归过程从源节点到目的地节点依次复合网络组件，直到得到一个超级组件来代表始发地和目的地节点的连接。此方法使用顺序配制方法（SCM）18去复合网络组件，它提供了高计算效率的复合过程和极低的误差积累。所提出的方法并不需要识别一个复杂的系统事件，例如，一个考虑到所有路径连接的事件，但是当它充分考虑网络组件之间的相关性时，它在递归复合过程中会自动考虑系统事件。所提出的方法的性能由一个数字网络的例子来证明和一个现实的基准生命线网络的例子针对生命线网络的近实时可靠性评估。2 提出的方法2.1网络可靠性分析在本文中利用图论通过一个有向无环图G:=(N,L)来定义

9、一个网络，其中分别为N和L分别表示节点和一个网络链接。该网络因为路径搜索算法而被限制在一个无环图中，建议的递归事件识别步骤可以在路径搜索过程中可以使其陷入循环。用两个有序的节点号的两端表示节点的数量，连接和它们的方向。在本文中我们通过分配失败概率到每个节点并通过忽略链路的失效概率来使用一个节点的加权建模。线类元素可以通过在他们中间添加一个节点来建模并代表与相应的失效概率的整行单元。网络的可靠性是由源节点和目的节点之间的连接定义的，即该源节点和目的节点至少通过一条路径连接的概率。该方法的思想是复合所有的网络组件（节点）直到他们成为一个单一的组件来代表整个网络节点的连接。图1通过一个简单的网络与五

10、个节点的例子来说明这个想法的，该节点用圆圈表示并用指向的箭头连接，在这个例子中我们要分析源节点，节点1，目的节点和节点4之间的连接。在步骤（a）中节点5明显不利于节点1和4 之间的连接。因此节点5和节点2的链路在步骤(b)中被移除。然后在步骤（c）和（d）中节点1和2和节点1和3被分别合到超级节点A和B.。在步骤（e）中这两个超级节点复合超级节点C。最后，超级节点C和节点4混合到超级节点D。虽然此示意图展示了人工复合过程，一个连续网络复合的自动化程序将在本文中提出。此外，当网络组件的故障事件是相关的时候，使用由康和宋18开发的顺序复合方法（SCM）来连续进行两个组件的复合。当两个组件由交集和并

11、集耦合以单片机为例子的详细复合过程概述于下一节。2.2连续复合方法综述连续复合的方法（SCM）是由康，宋设立旨在估计给定系统相关组成部件的可靠性.在供应链管理中假设由共同标准正太变量定义的组件故障样本，例如，第i个元件故障Ei是由Zii定义的其中i是Ei的可靠性指标性定义。请注意，这个假设通过用近似形式在正常的转化空间线性化他们，这可以近似的和更普遍地应用于非正常安全余量19。单片机通过任何交叉口来耦合两个部件或通过在超级组件本身和其他剩余部分之间计算其概率关系用联合逻辑做成一个单一的超级组件。这两种成分的复合过程应用到一个序列对的整个系统，直到系统成为一个单一的等效组件。通过并集，交集配制两

12、个部件的耦合程序，总结如下。 两个组件的交叉耦合的复合过程如下。让我们考虑两个耦合组件的交集，其活动由E1和E2表示。如果我们想要这两个组件结合成由事件E12表示的超级组件，我们需要估计它的可靠性指标（或概率）和超级元件本身和其他剩余成分之间的相关系数.首先，超组件的可靠性指数用下列公式计算： (1)其中（.）是标准正态分布的累积分布函数（CDF）, 2(. )是二维标准正态分布的联合分布，1和2分别是E1和E2的的可靠性指标，1,2表示该组件的事件E1和E2之间的相关系数。第二，超级组件和系统中的每个其余组件的相关系数其计算如下。网络中的第K个组件事件K不等于1或2，如果我们考虑超级组件事件

13、E1和E2之间的相关性，他们之间的相关性系数可以从以下关系计算：(2)其中3（.）是三元正态分布的联合分布, 2(. )是双变量正态分布的联合分布。K是第k个事件的可靠性指数。因为公式中的所有条款，（12）k代表E12和Ek之间的相关性系数。除了（12）K是已知的而且其也可以容易通过最小化等式的左侧和右侧之差得到在约束-1（12）K1下使用一个非线性优化算法。在本文中，我们使用了MATLAB的一个叫做“fminbnd”功能它是采用多项式插值和黄金分割搜索的方法来获得相关系数20。黄金分割搜索方法找到严格单峰函数的最大值或最小值，根据存在的目标极值在依次细分值的范围。虽然这个搜索方法不完全保证全

14、局极值并选择依赖于从一般问题出发。当估计相关系数范围从-1到1的时候，它提供了这种极值的准确估计。在所提出的方法中，一种先进的优化算法的使用会改善相关系数估计的准确性或效率。通过调节方程（2）的左右两边通常包括分量K去更有效率的解方程（2），我们可以使用下面的近似公式代替18：（3a）在方程（3a）中的所有条款被确定为21： (3b) 中（.)表示标准正态分布PDF，式（3a)是个近似值，因为它假定利用正态分布的条件概率是合适的。然而，它们可遵循非正态分布22 通过联合两个组件耦合的复合过程如下。让我们在考虑由事件E1，E2代表的两个组件，但在这种情况下这两个组件是由联合耦合的。如果我们把这两

15、个组件组合成一个超级组件由事件E12表示，超级组件和其他组件之间的可靠性指标和相关性系数估计如下。首先超级组件的可靠性指标可以下列公式计算，这些公式利用摩根定理微调方程(1)而得：(4)第二，超级组件和每个剩余部分的相关系数由EK,K1或2表示，在系统中由下列关系计算： （5）唯一未知项12k通过最小化等式的左右两侧差得到。在-1（12)k1的约束下为取得更好的计算效率用非线性优化算法。这与交叉口的情况相同，可近似为方程（5）（6a）其中(6b)供应链管理的串联，并联，割集和链路群系统的精度和效率已经被各种例子证明其高达1000个组件，并且通过大量的组件已经证实，该方法的准确度不是很显著。但是

16、，SCM不能直接用于网络连通性分析并还需要得到进一步发展主要原因有两个:首先当一个系统事件在一个逻辑函数中已经给出时,SCM只能应用于系统可靠性评估的问题.然而，在网络可靠性分析，系统事件识别不是一个简单的任务，因为一个节点对连接事件的识别需要采用特殊的路径搜索算法找出所有的始发地和目的地节点之间的可用路径。对于大型网络，这几乎是不可行的。第二，SCM的实际应用仅限于所有不同组件的混合。如果相同的事件在一个系统中出现多次，通过指定相同的可靠性指标和相同的相关系数这些事件必须被复制。例如，在一个系统中事件由三个部分定义，像Esys=E1E2 U E1E3 U E2E3.如果我们使用公式1和3结合

17、E1和E2把他们变成一个超级组件EA.,我们还要估计EA和E1之间的相关系数其中EA已经包括E1.在这种情况下我们需要用E1两次，通过分配相同的可靠性指标和相同的相关系数，来重复E1。如果同样的事件多次出现，这就增加了问题的规模。 在网络节点对的连接性事件中，因为连接起源和目的节点的多个路径中通常包含许多元件，这种多次重复增加了问题的规模和计算成本。由于这些原因SCM不能直接用于对节点的连通性分析。为了克服这些问题。下面的章节为网络可靠性分析提出了一种新方法，就是在SCM中使用复合过程。2.3所提出的方法在本节中，在网络中基于SCM，在目的节点和源节点之间复合组件的一种新的递归方法被提出。在复

18、合过程中的主要思想是复合从源节点到目的地节点的所有网络节点来代表的起源和目的节点之间的连接。作为一个示意图，在图1中我们 考虑一个简单的网络实例，这个图有五个节点和六个连接。节点1和节点4在网络中被分别指定为源起点和目的点。本文中，我们估计这两个节点之间的连接概率。我们用5个节点像E1，E2，E3，E4和E5来指定事件的可靠性，每个点代表每个节点的可靠性状态。这个网络的复合过程如下：首先，我们取出节点5，如图1（B），因为它无助于节点1和节点4之间的连接事件。第二，我们结合节点1和2成一个超级节点A如在图1（c）所示，结合节点1和3为一个超级节点B，如图1（d）中所示，其中超级节点A和B由EA

19、 = E1E2和EB= E1E3定义，每个超级组件是由两个节点事件的交点定义来代表的两个节点之间的连接。在这些复合过程中，由于节点1被连接到并影响两个节点2和3的连接，它被复制并复合两次。然后，节点2和3之间的链路被移除，因为它是复合过程后的一个冗余链路。第三，因为这个网络是可靠的，如果任一节点A或B连接到节点4，我们结合节点A和B与节点4做一个超级组件D，这个活动由ED=(EA U EB)E4来定义。最后，该网络的可靠性等于超级组件D的可靠性。为了验证它，我们可以通过识别所有两点之间的路径节点手动的构建节点1和节点4之间的连接系统，即，1，2，4，1，3，4和1，2，3，4。然后，相应的系统

20、事件被定义为：Esys=E1E2E4 U E1E3E4 U E1E2E3E4=(E2 U E3)E1E4 （7） 如果我们采用该方案识别系统事件，该系统事件是Esys= ED=(EA U EB)E4=(E1E2 U E1E3)E4=(E2 U E3)E1E4（8） 从方程（7）和（8），我们可以证实，能得到相同的系统事件。对于概率计算方程（8），EA，EB，和ED的概率可以在上一节通过使用复合工艺进行简单的计算。由于这个例子是一个小的网络，我们可以很容易地手动复合所有的网络组件。然而，对于一个大网络的节点连通性分析，组件的手动复合是不切实际。因此本文提出了在一般网络中组件自动组合的一个递归算法

21、，当中包括下列0-4的步骤。这种自动的程序将使用的小型网络的例子由图1所示。步骤0：删除不必要的节点。（0-1）删除所有到源节点的链接（不是源节点向外的链接）和所有目的节点的向外链接（不是到目的节点的链接）。（0-2）移除一些没有导入的链接，或者没有出站的链接，（包括隔离度-0的节点），除始发地和目的地节点，因为它们不有助于系统事件。在（0-1）和（0-2），删除任何链接到这些节点的链接。重复（0-1）和（0-2），直到没有这样的端节点除了起源和目的地节点。步骤1：递归搜索仅由源节点连接的节点。这一步是从目的节点到源节点的一个向后递归搜索过程。检查目的节点的所有相邻节点（所有相邻节点到目的节点

22、的链接）如果进入的相邻节点是源节点，请转到步骤2开始复合。否则，如果传入的节点只有源节点（S），那么递归地检查每一个传入的相邻节点。如果找到这样一个节点，请转到步骤2。请注意，多个源节点可以在步骤2-4中产生。步骤2：复合源节点（S）。如果在步骤1中有被确定的多个源节点连接在这个节点上，使用公式（6）的复合过程结合所有的连接点成为一个超级源节点。作为一个耦合整体。否则，请转到步骤3。从这个复合过程中，超级节点的可靠性指标和超级组件和其他组件间的相关性将被计算。步骤2:的附加规则。如果有任何的源节点有向除了在步骤1中确定的点有连接的话。这些节点需要在复合过程之前被复制。复制意味着制造一个和源节点

23、相同的节点，具有相同的标号，相同的可靠性指标，并且相同的相关系数。复制的目的是为了让这些复合后的节点进一步的和其他的连接节点复合。步骤3：确定复合源节点和节点的步骤。 1.现在只有一个源节点与节点连接在步骤1中被确定。用公式（3）把这个源节点和在步骤1中确定的节点组合成一个超级组件，因为它们是由交叉点耦合。这个复合过程可以估计超级节点的可靠性指数和相关性系数。这个新的超级节点将成为一个新的起始节点。步骤3附加规则。在步骤3中复合后，检查超级节点是否和在步骤2的附加规则中复制的源节点有一定的节点共同联系。如果是这样，为了提高计算效率请删除这些链接，因为它们是在系统事件中只是冗余链路。步骤4：递归

24、地重复步骤1-3，直到获得一个超级元件。步骤3之后，返回到递归程序的上一步骤，并重复步骤1-3，直到复合给定的网络中的所有节点。最后，该目的节点成为一个超级节点表示的起源和目的节点之间的连接。网络的可靠性，可以被简单的计算像(supernode) 其中，（.）表示标准正态分布的累积分布函数，supernode表示单个超级节点的可靠性指标。本文提出的网络组件的组合算法可以应用于任何通用的有向非循环网络。该算法可以用图2的流程图来表示。在网络问题中，该算法比直接使用SCM更能计算成本效益。原因如下：（1）复合过程考虑了所有的链路事件，而不是确定源节点和目的节点之间的所有路径，作为配合程序执行的相关

25、矩阵的尺寸减小，或冗余节点在步骤3中添加。在步骤3和4，在复合过程中，矩阵的大小，在不断的减小。作为一个说明性示例，图1给出的网络连接的概率是使用递归算法估计的。首先我们假设这5个节点，每个节点的可靠性为95（或可靠性指标I-1.26for i =1.5）.第i个和第j个节点（ i=1，.，5，J= 1，.，5,i j时之间的相关系数均假定为ij= 0.2。相应的相关矩阵是R=在这个例子中为了演示的目的，随着每个复合步骤显示着概率和相关系数。首先，根据步骤0，我们去掉不必要的节点5，因为它没有出站链接。其次，根据步骤1，我们检查目标节点（节点4），看看它是否仅和源节点（节点1）相连接。节点4是

26、由节点2和3连接的，但这些节点不是起始节点，因此，我们重复步骤1，递归每个节点2和3检查是否只能由源节点来连接。然后，我们发现，节点2是仅由源节点（节点1）相连接的。由于节点1是连接到节点2的唯一单一来的源节点，我们跳过步骤2。在步骤3中，我们结合节点1和2到节点A如图1（c）所示。节点A的可靠性是利用式（1）当PA=0.817时计算的，节点1，A，3和4的相关矩阵用公式（3）估计。其中更新后的值以粗体表示。节点1任然遗留，因为在步骤2的附加规则中的重复，计算节点1和节点A之间的相关系数。此外根据步骤3的附加规则，节点2和3之间的冗余链路被移除。现在，节点A成为一个新的原节点，那里共有两个原节

27、点，节点1和节点A。根据第4步，我们回到递归算法的前一个步骤并校验节点3。现在，结点3仅由一个源节点（节点1）相连。因为没有更多的起源节点被连接到节点3中，我们跳过步骤2和后续的步骤3去复合节点1和3为一个超级节点，则节点B，如图1（d）所示。然后，节点B成为新的原节点，现在共有两个原节点，节点A和B。节点B的可靠性是利用式（1）计算的，当PB=0.817时，这和节点A的可靠性相同，并节点A,B和4的相关矩阵通过公式（3）估算当更新后的值以粗体显示。在步骤4中，我们回到前面的递归步骤，我们检查是否节点4只由源节点相连。在这种情况下，节点4是由源节点A和B连接的。因此，根据第2步，我们复合节点A

28、和B变成一个超级节点（节点C）。这里，方程（4）和（6）用于耦合两个组件的复合过程。最后根据步骤3，节点C和4用公式（1）和（3）复合，我们只有一个超级节点，节点D，它代表节点1和4之间的连接。节点D的可靠性是PD =0.809，它是通过蒙特卡罗交叉模拟伴随着106的采样得到可靠性为0.808.2.4误差积累和使用启发式方法来改进所提出的方法虽然康，宋18表明，SCM的误差积累，几乎可以忽略不计，即使是一个非常大的系统，有着1000不同的相关组件，SCM任然有可能有较大的累积误差，这是因为它的假设的近似性有着不充分的数学证明。一个需要仔细考虑的假设是，通过公式(1)(3)(4)和（6）复合超级

29、组件后的分布，任然遵循正态分布，并且这些超级组件之间的联合分布服从多元正态分布。虽然这种假设在大多数情况下不积累较大的错误，这由康，宋的各种各样的数值例子来证明，当复合两个或两个以上的超级组件，包括常见的组件时，一个例外情况被发现。为了检验这一假设的积累误差，我们测试一个有着连接事件的标记问题：Esys =E1 E2 U E1 E3U E1 E4 U U E1 Ei UU E1 En (12)2.5误差积累和使用启发式方法来改进所提出的方法虽然康，宋18表明，SCM的误差积累，几乎可以忽略不计，即使是一个非常大的系统，有着1000不同的相关组件，SCM任然有可能有较大的累积误差，这是因为它的假

30、设的近似性有着不充分的数学证明。一个需要仔细考虑的假设是，通过公式(1)(3)(4)和（6）复合超级组件后的分布，任然遵循正态分布，并且这些超级组件之间的联合分布服从多元正态分布。虽然这种假设在大多数情况下不积累较大的错误，这由康，宋的各种各样的数值例子来证明，当复合两个或两个以上的超级组件，包括常见的组件时，一个例外情况被发现。为了检验这一假设的积累误差，我们测试一个有着连接事件的标记问题：Esys =E1 E2 U E1 E3U E1 E4 U U E1 Ei UU E1 En (12)其中E1，E2，EN代表N个组件的事件。方程（12）的概率可以用SCM来估算，可以用两种不同的方法。第一

31、种方法是计算公式（12）的概率，首先将E1和 Ei复合成一个超级组件，然后复合所有超组件到一个单一的超级组件，如下所示：P（Esys）=P（ES1 U ES 2 U U ESi U U ESn） (13)其中Esi=E1Ei在这种情况下，所有的超级组件包括E1，这是常见的组件。这第二种方法是计算公式（12）通过复合E2到En成为一个超级组件Es.然后把这个超级组件和E1复合，如下所示：P（Esys）=P(E1Es) (14)其中ES= E2 U E3 U U Ei UU En. 虽然方程（13）和（14）是相同的，但方程（4）可以避免超级组件中的共同部分。为了测试这两个方程，这两个方程的估算结

32、果被用来计算组件的各种值，组件的可靠性，组件间的相关性，代表案例绘于图3。就（a）到（c）所示，元件的可靠性被认为是相同的。该值被定为(a) P(Ei)=0.8,(b)P(Ei)=0.9(c) P(Ei)=0.95用由Numpacharoen和Atsawarungruangkit开发的算法组件之间的相关系数是随机生成的，其值在0到1之间。在（d）中P（EI）=0.95被等同的分配到所有元件中，相关系数被假定都为0.8。两个方程的结果应该是完全相同的因为他们是同一个方程，但与期望相反的是方程（13）比方程（14）高估了系统的概率。公式（13）的错误高估的原因是超级组件包含了一个一般组件E1，这增

33、加了超级元件的极限状态函数的非线性性并且使得超级元件之间的多元正态分布的假设无效。一旦共同组成的E1成了一个超级组件，在剩下的复合过程中超级组件的复合不在包括这些一般组件。换句话说，一般组件作用于超级组件之间的相关性可以被忽略，并且它降低了超级组件之间的相关系数导致高估了方程（13）的概率计算。特别是在计算联合事件时。显然找到超级组件的确切多元分布类型不是一个简单的任务。因此，当保持多元正态假设，我提出了一种启发方式去显著降低过高的误差估计。在图3中，我们可以观察到的估计误差总是被高估，并且它们随着系统的大小不断的增加。因此我们提出了一个修正系数C并乘上一般组件E1的概率，当这个一般组件是重复

34、时。例如，如果E1出现了两次，那么第二个E1是重复事件那么p(E1)C.如果这个重复事件再次重复，第三个相同事件的概率是P(E1) C C.第J个重复事件发生的概率为P(E1) Cj.此修正因子的影响是减少常见组件的概率并导致系统概率下降的结果。在本文中C的值建议为0.93它是通过最小化方程（13）和方程（14）的差异来获得的为了许多组件的可靠性，相关系数和组件的数量。修正因子C的最合适的范围为0.90到0.95之间，建议取平均值0.93.基于方程（13）和（14）修正因子C被获得，它的值0.93只对链路集组合有效，例如网络事件，对于不同的系统事件的定义它有不同的值。这种启发方式通过简单的考虑

35、重复事件的概率减少，近似的估计非正态多元分布，并不考虑简单实现了的相关系数的影响。该方法的性能也在图3中证明了，所提出的方法显著的一直在减少公式（13）的过高估计。在下面的章节中这种启发方式的性能将通过数值网络的例子和现实的互联网络表现出来。虽然这种方法仅仅是一个简单的修改，但它能十分有效的减小错误，对大量组件来说它能防止累积误差。另外，这种复制过程并不总是在网络组件的每一步中进行的。然而，这种简单的改进仍有一定的局限性，因为它不能用数学证明而且其误差不能精确的提前预测。在本文中，在所有的分析中，这种启发式方法适用于当网络组件按上一节的步骤2的附加规则被复制时。3.连通性分析的数值例子在本节中

36、，本文所提出的方法应用到图中所示的八个数字网络的实例。图4（a）- （h）。一开始的四个例子中（a）-(d)是基于文献中网络例子的拓扑结构。（a）杨等人24，（b）Gupta等人25，（c）藤原和康等人26，（d）Soltaijalili27等。其他的四个例子（e）-（h）被开发作为理想网络。节点失效概率和相关系数被任意分配给所有这些网络的例子。（a）网络包含11个节点和15个链接。（b）网络包含21个节点和34个链接，（c）网络包含32个节点和34个链接，（d）网络包含12个节点和15个链接，（e）网络包括16个节点和24个链接，（f）网络包括25个节点和40个链接，（g）网络包含36个节点

37、和60个链接，（h）网络包含100个节点和180个链接。所有这些例子都是用有向无环图表示，它们的源节点和目的节点分别由粗实线圆圈和虚线圆圈表示。所有这些例子都是为了演示而开发的，并且假设所有节点的可靠性是相同的，并为简单起见每个例子中所有节点都是同等相关的。在表1中展现了每个节点的可靠性和节点之间的相关系数。为简单起见只考虑节点故障不考虑链路故障。对于这八个网络的例子，源节点和目的节点之间的连通性分析是利用所提出的方法进行的，并且可靠性和计算时间会在表1中提出。对于这些分析，要一台装有MATLABs配置为因特尔i7 cpu(2.80 GHz)和3 GB闪存计算机。确认该结果是通过蒙特卡罗模拟（

38、MCS）在同一台计算机上进行的。对八个实例的一千个采样结果表明，该方法和SCM相比具有合理的精度。并且计算效率显著提高。对于MCS，100,000采样被选择，因为它提供了足够的收敛结果。在表1中MCS的计算时间也被提出，其中“mvnrnd”MATLABs函数用于快速生成的多元正态分布的随机数。这个MCS计算时间报告仅供参考，不作比较，因为该方法与MCS不能相比，由于它们的不同性质。例如，MCS具有采样性质，其计算时间依赖于概率的规模和网络规模，而该方法的计算时间只取决于网络的大小。此外，MSC误差由它的收敛速度和置信区间来衡量的，但该方法的误差是不可能提前测量的。所提出的方法的计算效率主要取决

39、于源节点和目的节点间的链接数量。这是因为当复合组件和其他组件的相关性被数值估计时，这方法的复合过程消耗了大部分的计算成本，并且成本正比于剩余部件的链接数。作为复合过程的继续，当链接被合并到复合组件中，剩余的链路的数目逐渐减少。因此计算要求可以被O(NL2)来表示。其中NL表示链接的数量。这显然在同类型的网格网络中能说明，在图（4）中的示例（e）到（h）。其中计算时间正比于链接数的平方。Fig.4 Four numerical network examples(a)11 nodes/15 links.(b)21nodes/34links.(c)32nodes/34lin-Ks.(d)12node

40、s/15links.(e)16nodes/24links.(f)25nodes/40links.(g)36nodes/60links,and(h)100nodes/180links.4相互依存网络的应用在本节中，所提出的算法应用于基准生命线网络实例，在孟菲斯/谢尔比县，相互依存的电力和供水网络，如图5所示。图5（a）展示了一个电网，包含了8个发电节点和51个功率分布节点。图5（b）在同一区域展示了一个水节点，包含了15个水生成节点和34个水分配节点。它是假定15个水生节点由51个中的15个配电节点来提供支持的29.一个备用节点被引用到各个水生节点中，去模拟电力节点和水力节点的相互程度。相互依赖

41、级别由每个备用电源节点的失效概率来定义，它的值在0（独立性）到1（100依赖）之间29。在这个例子中的相互依赖性水平被假设为0.5.考虑到一次地震，震中发生在阿肯色州的马克德特里（35.535N，90.430W）每个节点的地震动参数用的是美国中部地震中心的损失估计软件（MAEViz）估计的30。基于以前的研究29假设所有链接都朝一个方向流动，没有回路，以避免不切实际的反流。为简单起见，只考虑节点故障，不考虑管线段故障。根据基姆等人，通过分配结构组和脆性曲线参数从脆性曲线HAZUS31中计算每个节点的失效概率。由于对谢尔比县地区没有相关的模型，我们假设这些节点的相关性遵循宏观空间自相关模型，这是

42、有由王和高田33利用集集地震的相关长度提出的。从自相关模型中获得的相关系数的值根据节点之间的距离范围在0.130和0.996之间。在这个例子中，连通性是由一个系统事件定义的，在系统里至少有一个电源即一个发电节点或一个备用电源节点连接到一个水分配节点。在至少一个电源连接条件下通过引入一个额外的虚拟节点来建立模型，这连接了所有的发电节点和备用电源节点。假定虚拟节点是100可靠的，而且它是独立统计于其他网络节点。该系统事件的连通性分析是利用本文提出的算法来进行的，并重复于地震级别在5.5和8.2之间的地震。连通性分析结果在图6中被绘制，共有6条连接水分配节点的方案，WD16，WD20，WD25，WD

43、35，WD45，并且WD49（图5中的圆圈）被作为代表案例。这些图显示了其功能方面水节点的不同地震风险水平。为了验证这些结果，同样采用MCS分析伴随着1万个样本，并和所提出方法的结果进行比较在同一图中总体而言，所提出方法的结果和MCS在下面6幅图中彼此表现出良好的一致性。在图6（a）中发现了精度方面最坏的情况，并且观察到最大相对误差为31.91%，其中计算的是断线概率而不是连接概率的相对误差，这即使在高可靠性的情况下也能清楚的显示错误在所有其他情况下，可观察到减少甚至忽略累积误差。这个误差累积假设超级元件的分布类型不遵循多元正态分布，但在方程（1），（3），（4）（6）的计算中没有发现明显的错

44、误。在表2中有每个区每个分析的计算时间，其中每个区包含了14条分析。该方法再次表明非凡的计算效率，即使对有着统计相关部件的大型网络实例。由于报告的计算时间是基于单一的分析，多元分析的计算成本比预期更加节省，例如在图6中制造了整个区。计算效率在网络的可靠性分析中是尤为重要的，这在紧急灾后决策中是必须的或者在不同灾难情况下反复评估其风险是必须的。MCS的计算时间也在表2中作为参考值列出了，但再次说明这不是为了作对比，因为这没有办法公平的将所提出的方法和MSC比较由于它们不同的分析和统计的性质。计算时间的记录是在一台装有MATLABs的电脑上，其配置为因特尔i7 cpu(2.80 GHz)和3 GB

45、闪存。该方法得到了高计算效率是因为移除了对连通性事件没有作用的网络组件，它快速组合程序又不增加矩阵大小是因为它的复合性质，低累积误差是因为SCM和启发式算法的改进。然而该结果不能保证为有着1000多个组件的大型网络所提出的方法的高效率，因为其计算效率将会受到网络大小和相关矩阵大小的高度影响。这个方法的额外限制是没有办法去精确的测量分析结果的误差或误差界限，因为由超级组件和提出的启发式方法联合的一般假设显现出来的任何错误是不可能提前测量的。5结论在地震灾害中，一种非基于仿真的可靠性分析方法被发展用于生命线网络节点的连通性分析。所提出的方法的主要优点是它快速估计一个一般有向无环网络的节点对分析，特

46、别是当网络组件是统计相关性的。连续复合的方法（SCM）,最初为了相互联系的一般系统事件的可靠性分析而被开发，它被集成一个自下而上的递归复合过程去复合所有网络组件成一个超级组件。从复合超级组件的程序中提出了一种启发式方法来减少累积误差，通过共享网络组件来提供该方法的准确度。该方法适用于美国谢尔比县的数字网路实例，互联电力和供水网络，这作为一个基准例子来估计起源点和目的点间连通性的可靠性。通过这些例子所提出方法的精度和有着1万个采样的蒙特卡罗模拟相比较，在大多数情况下累积误差不怎么明显。该方法的计算效率显着，甚至对现实的相互依存的生命线网络实例，这通过六个不同的连接方案展示了出来。在计算成本方面所

47、提出方法的优势和可能的局限性得到了解决。鸣谢首先作者衷心感谢这项工作是由西悉尼大学种子研究计划，西悉尼大学国际研究倡议计划和美国研究资助计划的大力支持。 参考文献1 Der Kiureghian A,song J.Multi-scale reliability analysis and updating of complex systems by use of linear programming. Reliab Eng Syst Saf 2008:93(2):288-972 Lim HW,Song J. Efficient risk assessment of lifeline nrtwor

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