矩阵理论第三章(1)线性空间

1、矩阵分析3线性空间n目录目录n 3.1 线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质n 3.2 维数、基、坐标维数、基、坐标n 3.3 基变换与坐标变换基变换与坐标变换n 3.4 线性子空间线性子空间n 3.5 子空间的交与和子空间的交与和 n 3.6 子空间的直和子空间的直和n 3.7 线性空间的同构线性空间的同构矩阵分析3线性空间3.1 线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质矩阵分析3线性空间一. 线性空间的定义矩阵分析3线性空间矩阵分析3线性空间例1 平面（空间）解析几何中的典例：矩阵分析3线性空间例2 数域F上m行n列矩阵组成的典例：矩阵分析3线性空间例3 Ca,b=f：a,b上连续实函

2、数：矩阵分析3线性空间例4 （1）数域P是P上的线性空间； （2）数域C是R上的线性空间； （3）数域R非C上的线性空间.矩阵分析3线性空间例5 （1）数域P上一元多项式环Px； （2）Pxn=f(x)fn 0.矩阵分析3线性空间二. 基本性质n 8条算律 基本法律依据（公理），以2个运算、8条算律为基础推导其它基本性质.n 以下6条基本性质：矩阵分析3线性空间矩阵分析3线性空间矩阵分析3线性空间矩阵分析3线性空间3.2 维数、基、坐标矩阵分析3线性空间一. 向量的线性相关（无关） * 不经声明，v均表示数域 P 上的线性空间.矩阵分析3线性空间矩阵分析3线性空间矩阵分析3线性空间二. 维数、

3、基、坐标 定义5 V中有n个线性无关的向量，且无多余n个的向量线性无关，则称V是n维的记成dimV=n；若V中有任意多个向量线性无关，则称 V是无限维的，记成dimV=.l 线性空间V的维数即V作为一个向量组时，该向量组的一个极大无关组所含向量的个数. 例1 (1) V2：两相交矢量确定此平面 dimV2=2； V3：三相交矢量确定此空间 dimV3=3. (2) Pn =(a1,a2,an)|aiP,i=1,2,n是n维的，e1,e2,en是Pn的一个极大无关组. (3) Rx=f(x)|f(x)是实系数多项式. 当 f(x)=a0+anxn , 且k0+knxn=0时有k0=kn=0成立，

4、故 1,x,xn,是Rx的一个极大无关组 dimRx=.l 本教材仅讨论无限维线性空间.矩阵分析3线性空间 定义定义6 dimV= n，如果1，2，,n 线性无关，则称1 , 2 , ,n 为 V 的一组基（或一个基）； V，a11+ a22 + + ann , 称 a1, a2,an 为在基1，2，,n 下的坐标，记为（a1, a2,an）.l 基是 V 中一个极大无关组 V 中有多个基，但维数是唯一确定的；l 对任意的V，可由基1，2，,n 唯一线性表示 （这即说：向量 在该基1，2，,n 下的坐标唯一确定）.证明证明： 据维数及基的定义 ，1，2，,n 线性相关，即 存在不全为0的 b1

5、,b2,bn ,使 b11 + b22+ + bnn+ bn+1=0 0 bn+10 (否则，由1，2，,n线性无关将推出b1=b2=bn =0，矛盾) = bn+1-1(-b1)1+ +(-bn)n)= a11+ a22 + + ann ,即可由基1，2，,n 线性表示.矩阵分析3线性空间 设a11+ a22 + + ann b11+ b22 + + bnn (a1-b1)1+ (a2-b2)2 + +(an-bn)n 0 0 由基1，2，,n 线性无关可知 a i=b i (i=1,2,n), 即表示唯一. l 基相当于V中的一个度量标准，坐标是V中客观对象（即向量）在给定标准下的一种量的

6、刻画.定理定理1 1 1,2,n 是 V 的基 1,2,n 线性无关，且对任意的V， 可由1,2,n 线性标出矩阵分析3线性空间矩阵分析3线性空间矩阵分析3线性空间矩阵分析3线性空间3.3 基变换与坐标变换矩阵分析3线性空间* 问题的提出问题的提出：n dimV=n V 12n,基/12n,基12(, , , )nxxx/12(, , , )nxxx？向向量量 在在不不同同基基下下坐坐标标有有何何换换算算关关系系矩阵分析3线性空间例： V2=：始点为坐标原点的平面矢量( , ),x yxy/( , )x y/x/y1e2e/1e/2e12e ,e/12e ,e( , )x y/( ,)x y?

7、/cossinsincosx xyy xy 矩阵分析3线性空间* 形式书写记号及其性质形式书写记号及其性质矩阵分析3线性空间* 形式记号的运算性质：矩阵分析3线性空间一 基变换公式 矩阵分析3线性空间 矩阵分析3线性空间l 称如上公式为基 到基 的基变换公式基变换公式； 称A为基 到基 的过渡矩阵过渡矩阵12n, /12n, 12n, , , /12n, /12n12n(,)( ,)A 过渡矩阵过渡矩阵A是可逆矩阵是可逆矩阵矩阵分析3线性空间二. 坐标变换公式n 命题命题2 /12n12n( , , , ) ( , , , )A 基变换公式V /11/22/nnxxxxAxx坐标变换公式矩阵分

8、析3线性空间矩阵分析3线性空间矩阵分析3线性空间12/1/2sinycosxsinucosv2 V在中，如图有如下关系成立例例2 2矩阵表示矩阵分析3线性空间/1212cossin( , ) ( , )sincos 基变换公式基变换公式V /,x y( , )x y/cossinsincosxxyy 坐标变换公式坐标变换公式/cossinsincosx xyy xy 坐标旋转公式坐标旋转公式（平面解析几何）（平面解析几何）接前页接前页矩阵分析3线性空间三. 过渡矩阵矩阵分析3线性空间矩阵分析3线性空间矩阵分析3线性空间矩阵分析3线性空间矩阵分析3线性空间矩阵分析3线性空间3.4 线性子空间矩阵

9、分析3线性空间 ,W,P,Wkk 、一. 子空间的概念1。定义。定义7 W称为数域P上线性空间V的（线性）子空间 1） ； 2） W 对 V 的两种运算构成P上的线性空间.l 寻求更简洁的判定V的非空子集W构成V的子空间的充要条件是子空间研究的一个重要问题 定理定理2 V的非空子集W是V的子空间 证明： 必要性是显然的. 现证充分性. 据题设 W上存在向量加法、数乘运算，且满足P243算律1), 2), 5), 6), 7), 8). 取k = 0, 则k= 0= 0W； 取k = 1, 则k= (1)=W 即算律3), 4)成立 W关于V的两种代数运算构成P上的线性空间 据定义7即知W是V的

10、子空间. l 子空间本身就是一个线性空间 线性空间维数，基，坐标的概念及性质在子空间上仍然成立 .l 设W是V的子空间，则dimWdimV .WV 矩阵分析3线性空间,W,W.a bPab 补充命题补充命题： 线性空间V的非空子集W是V的子空间 证明证明：必要性显然成立，现证充分性. 取a = b = 1, 据题设 取b = 0, 据题设由定理2即知W是V的子空间. l 实例：例例1-2 取V的子集0，则0是V的子空间，称为V的零子空间零子空间；取V的子集V，则V是V的子空间 子空间0和V统称为V的平凡子空间平凡子空间，其余的子空间称为V的非平凡子空间非平凡子空间.例例3 实系数多项式全体构成

11、之集W是全体实函数构成线性空间的子空间.证明证明： 取任两实系数多项式 f(x) = anxn+ +a1x+a0, g(x) = bmxm+b1x+b0,不妨设nm, 对任意实数c, d, cf(x)+dg(x) = (cbm+d0)xm+(cbn+dan)xn+(cb1+da1)x+(cb0+da0)显然cf(x)+dg(x)仍是实系数多项式，故W是子空间. ,W ,11W ；,W,0P,0W,aaa ，矩阵分析3线性空间例例5 线性空间Pn中，齐次线性方程组全部解向量构成之集W是Pn的一个子空间，称为该齐次线性方程组的解空间.证明证明： 用矩阵方程AX = 0表示该齐次线性方程组，则W =

12、A= 0.对任意的,W, a,bP, A(a+b) =a A+bA= 0 + 0 = 0, 故知a+bW , 据补充命题可知，W是Pn的一个子空间. 补充例题补充例题： 过原点的直线是二维平面V2的子空间，过原点的平面是三维几何空间V3的子空间证明证明： 过原点的直线上任意两个矢量的和，任意一个矢量的数乘均仍在该直线上, 故符合补充命题的条件，所以过原点的直线是V2的子空间. 过原点的平面对矢量加法，数乘运算仍然封闭，故是V3的子空间. l 这里之所以要求过原点，是为了保证 0= 0W成立.111122121122221122000nnnnsssnnaxaxaxaxaxaxaxaxax 矩阵分

13、析3线性空间例例6 设1,2,rV (V是数域P上的线性空间), 则 L(1,2,r) = k11+k22+krr | kiP, i =1,2,r是V的一个子空间.证明： 1,2,r L(1,2,r) L(1,2,r) 是V的非空子集. 任取 =k11+k22+krr , = t11+t22+trr L(1,2,r) ,任取 a, bP, a+ b= (ak1+bt1)+ (akr+btr) L(1,2,r) L(1,2,r)是V的一个子空间. l 例题证明给出如下性质：V的一个子空间若包含向量1,2,r ，则包含1,2,r 的一切线性组合，即包含L(1,2,r)为其子空间.l 例题结论引出如

14、下概念： 补充定义补充定义：设1, 2, , rV (V是数域P上的线性空间), 称子空间 L(1, 2, , r) 为 V 的由由1, 2, , r 生成的的子空间生成的的子空间； 而1, 2, , r称为该生成子空间的生成元生成元.矩阵分析3线性空间二二. 子空间的性质子空间的性质矩阵分析3线性空间矩阵分析3线性空间矩阵分析3线性空间3.5 子空间的交与和矩阵分析3线性空间一一. 子空间的交子空间的交定理定理5 V1，V2是是V的子空间的子空间 V1V2是是V的子空间的子空间 证明证明： 0 V1，V2 0 V1V2 V1V2是V的非空子集. 对任意的, V1V2 , V1，V2 对任意的

15、a,bP , a+b V1，V2 a+b V1V2 , 即 V1V2 是 V 的子空间 . l 由于集合的交运算满足交换律，结合律 子空间的交满足交换律，结合律 线性空间V的s个子空间的交仍是V的子空间，并可表示为： V1V2Vs = .l 一般讲，子空间的并 V1V2 不一定是V的子空间.s1Vii矩阵分析3线性空间例例： 二维平面V2中，W=x轴，V=y轴均为V的子空间.如下图所示，向量1W，2V，但1+2却不在WV中.二二. 子空间的和子空间的和定义定义8 V1，V2是V 的子空间，V的如下子集V1+V 2称为V1与V2的和. V1+ V 2= 1+21V1，2V2 y V2 1 1 x

16、矩阵分析3线性空间定理定理6 V1+V2是V的子空间.矩阵分析3线性空间三三. 基本性质基本性质矩阵分析3线性空间 V3 v1 V2 V3 v1 V2 V3 v1 V2例例1 三维几何空间V3中，V1：过原点的直线；V2：过原点且与V1垂直的平面（如图），则V1V2=0，V1 + V2 =V3 .矩阵分析3线性空间矩阵分析3线性空间例例3 在线性空间在线性空间V中，有以下公式成立：中，有以下公式成立：L(1 , , s)+L(1 , , t)=L(1, ,s ,1 ,t)矩阵分析3线性空间四.维数公式定理定理7 设设V1， V2 是是V的子空间，则的子空间，则dimV1 + dimV2 = d

17、im(V1 + V2 ) + dim(V1 V2 )矩阵分析3线性空间V1 + V2 V11,n1-m V1V2 V2 1 ,2,m 1, , n2-m 矩阵分析3线性空间矩阵分析3线性空间l 由维数公式可知，子空间和的维数要比维数的和小。例如：V3中，两张通过原点的不同平面之和是整个三维空间V3，而其维数之和是4，由此说明这两张平面的交是一维的直线。 推论推论： dimV1 + dimV2 n；dimV=n, 则 V1V20证明证明： 据题设及维数公式， dim(V1 + V2 )+dim(V1 V2 ) = dimV1 + dimV2 n. 因为V1 +V2是V的子空间，故 dim(V1 +V2 )n dim(V1V2)0 V1V20. 矩阵分析3线性空间3.6 子空间的直和矩阵分析3线性空间一一 子空间直和的概念子空间直和的概念 矩阵分析3线性空间二. 子空间的直和的性质矩阵分析3线性空间矩阵分析3线性空间矩阵分析3线性空间三. 直和概念的推广及性质矩阵分析3线性空间3.7 线性空间的同构矩阵分析3线性空间一一 线性空间同构的概念线性空间同构的概念定义定义1 设V，V/是数域P上的线性空间，：VV/称为同构映射，并记V V/ ，如果 1) 是V到V/的双射； 2) 对任意的,V