湖大线性代数第一章

1、电电子子 教教 案案线性代数教研室线性代数教研室* * * * * * *学学院院线性代数是什么：线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些非线性问题在一定条件下可以转化为线性问题，因非线性问题在一定条件下可以转化为线性问题，因此此线性代数线性代数课程所介绍的方法广泛地应用于各课程所介绍的方法广泛地应用于各个学科。随着计算机技术的快速发展和普及，该课个学科。随着计算机技术的快速发展和普及，该课程的地位与作用更显得重要。同时，该课程对于培程的地位与作用更显得重要。同时，该课程对于培养学生的逻辑推理和抽象思维能力、空间直观和想养学生的逻辑推理和抽象思维

2、能力、空间直观和想象能力具有重要的作用。象能力具有重要的作用。 历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作组的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的行列式和矩阵理论的创立与发展，这些为工具的行列式和矩阵理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。内容已成为我们线性代数教材的主要部分。行列式行列式出现于线性方程组的求解，它最早是出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。非常有用的工具。 第一节第一节 行列式行

3、列式 12a11221221a aa a 22a21a11a= =22a21a12a11a11a12a21a22a-为实数，22211211,aaaa11a12a22a21a主对角线主对角线副对角线副对角线2211aa= =1221.a a 二阶行列式的计算二阶行列式的计算若记若记 = = = = .,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组对于二元线性方程组,22211211aaaaD = =系数行列式系数行列式 将行列式的概念用于表达线性方程组的解，将会使其形将行列式的概念用于表达线性方程组的解，将会使其形式简化，便于记忆我们已经知道用消元法解二元线性方式简化，便

4、于记忆我们已经知道用消元法解二元线性方程组。程组。得得(1.1)11112212112222,a xa xba xa xb = = = = 22(1.1)a 11(1.2)a 12(1.2)a 21(1.1)a 得得(1.2)11 22122111 2212 2a aa axbaa b = = （）11 2212 21211 21 21a aa axa bba = = （）11112212112222,.axaxbaxaxb = = = =1D = =2D = =1112112212212122aaDa aa aaa= = = =122ba2 12ba 2 11ba11 222 2baba=

5、=1 21ba 111212abab= =1122221111122122,babaDxaaDaa= = =注意注意 ：分母都为原方程组的系数行列式。分母都为原方程组的系数行列式。1112122211122122.ababDxaaDaa= = =则则 ：在：在 的条件下，二元线性方程组的解为：的条件下，二元线性方程组的解为：0D 二、三阶行列式二、三阶行列式111213212223313233aaaaaaaaa111213212223313233aaaaaaaaa= =定义定义2 2 记号记号称为三阶行列式，称为三阶行列式，即即11 22 3312 23 3113 21 32a a aa a

6、aa a a 1322311123321221 33a a aa a aa a a 它表示代数和：它表示代数和：333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa= =.322311aaa 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa 沙路法沙路法322113312312332211aaaaaaaaa = =D333231232221131211aaaaaaaaaD= =类似于二元线性方程组的讨论，对于三元线性方程组类似于二元线性方程组的讨论，

7、对于三元线性方程组1 111 221 3312 112 222 3323 113 223 333,axaxaxbaxaxaxbaxaxaxb=111213212223313233aaaDaaaaaa= =1D = =1111322122331333abaDabaaba=1112121222313233.aabaabaabD=112132222333233baabaabaa同理同理112233,.D xDD xDD xD= = = = = = 用消元法求解方程组得用消元法求解方程组得11DxD= =22DxD= =33DxD= =系数行列式系数行列式0D 则该方程组有唯一解：则该方程组有唯一解：

8、121235435xxxx = = = = 133( 3)41543D = = = = =1533053D = = = 21515,45D = 因因 故方程组有唯一解：故方程组有唯一解： 0D 1130215DxD = = = = 2215115DxD= = = =231412 .513 2 1 3= = 115 75= =141 325 221 34 3 解线性方程组解线性方程组123123123326,249,216.xxxxxxxxx = = = = = = 解解系数行列式系数行列式31124150121D = = = = 1261194155,1621D = = = =23261291

9、20,1161D =3312624915,1216D = = = = 方程组的解为方程组的解为: :1155115DxD= = = =222045DxD= = = =331535DxD = = = = 把自然数把自然数1 1，2 2，n n 按一定的顺序排成一按一定的顺序排成一12ni ii三、排列及其逆序数三、排列及其逆序数定义定义3 3个数组，称为一个个数组，称为一个n n级排列，简称为排列，并把这个级排列，简称为排列，并把这个排列记为排列记为1 2tsni iiii titsii si siti 12ni ii 定义定义5 5逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为逆序数为奇数的排列称为奇

10、排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。偶数的排列称为偶排列。解解 212053 2 5 1 4 = = = =求排列求排列1 2 3 n1 2 3 n和和n(n-1)2 1n(n-1)2 1的逆序数，并的逆序数，并121211212nnnnnn=又因为易见：当易见：当n=4kn=4k，4 4k k+1+1时，该排列为偶排列，当时，该排列为偶排列，当n n=4=4k k+2+2，4 4k k+3+3时，该时，该排列为奇排列，当排列为奇排列，当n n=4=4k k+2+2，4 4k k+3+3时，该排列为奇排列。时，该排列为奇排列。我们也称我们也称1 2 1 2 n n为自然序排列为自然序排列指出其

11、奇偶性指出其奇偶性. .解解 因为因为 .123, 0)123(为偶排列所以nn=首先考虑对换两个相邻的数的情形设某一首先考虑对换两个相邻的数的情形设某一n n级级经过对换经过对换(i,j)(i,j)得到另一个排列得到另一个排列i jj i 在这两个排列中，其一，除在这两个排列中，其一，除i i，j j以外的其他任何两个数以外的其他任何两个数的相对顺序均未改变，其二，的相对顺序均未改变，其二，i i，j j以外的任何一个数字与以外的任何一个数字与i i（或（或j j）的相对顺序也未改变，而改变的只有）的相对顺序也未改变，而改变的只有i i与与j j的相对顺的相对顺序，因此，新排列比原排列或增加

12、了一个逆序（当序，因此，新排列比原排列或增加了一个逆序（当i i jij时），无论是哪一种情形，原排列时），无论是哪一种情形，原排列与新排列的奇偶性都相反即对换相邻的两个数，一定会改与新排列的奇偶性都相反即对换相邻的两个数，一定会改变排列的奇偶性。对作不相邻对换的情形，请读者自己思考。变排列的奇偶性。对作不相邻对换的情形，请读者自己思考。证明证明排列为排列为定理定理1 1每一个对换都改变排列的奇偶性每一个对换都改变排列的奇偶性. .设设n n级排列中有级排列中有p p个偶排列，个偶排列，q q个奇排列个奇排列, ,!2nqp= 证明证明对这对这p p个偶排列施行同一个对换个偶排列施行同一个对换

13、那么由定理那么由定理1 1我们得到我们得到p p个奇排列个奇排列，同理，对同理，对q q个奇排列施行同一个对换（个奇排列施行同一个对换（i,j),i,j),由定理由定理1 1我们得到我们得到q q个偶排列，且个偶排列，且qpqp，故故定理定理2 2n2n2时，在时，在 n! n! 个个n n级排列中，奇排列与级排列中，奇排列与!2n偶排列的个数相等，各为偶排列的个数相等，各为 个个. .（i，j），），且且pq则则p+q=n!四、四、n n 阶行列式的定义阶行列式的定义易见：易见：111213212223313233aaaaaaaaa11 22 3312 23 3113 21 32a a aa

14、 a aa a a 13 22 3111 23 321221 33a a aa a aa a a = =111213212223313233aaaaaaaaa= =123jjj 123jjj 其中其中为对所有三级排列为对所有三级排列 求和求和 1 2 31231 2 3123.1j j jjjjj j ja a a 故三阶行列式可定义为：故三阶行列式可定义为： ,1,2,ijaijn= =由由n n2 2 个元素个元素组成的记号组成的记号111212122212nnnnnnaaaaaaaaa称为n 阶行列式，它表示所有取自不11njn jaa同行、不同列的n个元素乘积的代数和.若对应的列标构成

15、的排列是偶排列则取正号，是奇排列若对应的列标构成的排列是偶排列则取正号，是奇排列各项的符号是：当该项各元素的行标按自然序排列后,则取负号则取负号111212122212nnnnnnaaaaaaaaa 1 2nj jj 表示对所有的表示对所有的 n n 级排列求和级排列求和其中其中即：即： 1 2121 212,1nnnj jjjjnjj jjaaa = = 注注：（1）由于所有）由于所有n级排列的总数有级排列的总数有n!个，故个，故n阶行列式阶行列式是是n!项的代数和项的代数和（2）由于在所有的）由于在所有的n级排列中，奇排列和偶排列的个数级排列中，奇排列和偶排列的个数相同，故在代数和相同，故

16、在代数和 21 2211121nnnjjjj jj jnjja aa中正负项各占一半中正负项各占一半1212njjnja aa1212niii na aa（3）由于乘积）由于乘积中各因子的相对顺序可以改变，中各因子的相对顺序可以改变，这样的乘积项仍然是行列式，这样的乘积项仍然是行列式|aij|nn展开式展开式 因此当乘积中各因子列标按自然序排列时，一般表示为因此当乘积中各因子列标按自然序排列时，一般表示为中的一项，中的一项，而且可以证明，项前的符号为而且可以证明，项前的符号为 1 21nj jj于是于是n阶行列式又可以定义为阶行列式又可以定义为121 21 212.1nnniii iiiii

17、nijn nia aaaD=1212njjnja aa1 12 2n ni ji ji jaaaijn na我们还可以证明，当乘积我们还可以证明，当乘积中各因子的相对顺序中各因子的相对顺序，这样的乘，这样的乘的展开式中的一项，而且项前的展开式中的一项，而且项前随意改变时，一般表示为随意改变时，一般表示为积仍然是行列式积仍然是行列式的符号为的符号为1 21 21nni ij jij，于是，于是n阶行列式又可以阶行列式又可以定义为定义为1 12 21 21 21 21 2.1nnn nnniji ji ji ji ij jiijn niijjjaDaaa=或例例6 6计算行列式计算行列式 0000

18、.0000abcdDefgh= = 根据定义，根据定义，D D是是4!=244!=24项的代数和，然而在这个代数和里，项的代数和，然而在这个代数和里，除了除了adfhadfh，adehadeh，bdegbdeg，bcfgbcfg这这4 4项外，其余项都至少含有项外，其余项都至少含有一个因子一个因子0 0，因而等于，因而等于0 0；当上述；当上述4 4项中各因子的行标按自然项中各因子的行标按自然序排列后，其对应的列标依次是序排列后，其对应的列标依次是1 2 3 41 2 3 4，1 3 2 41 3 2 4，4 3 2 4 3 2 1 1，4 2 3 14 2 3 1，因此：，因此： 12341

19、324432142311111.Dacfhadehbdegbcfgacfhadejbdegbcfg = = = = 解解例例7 7计算计算n n阶行列式阶行列式 1122121nnjjjnjj jaaa 一般项为一般项为现考察不为零的项现考察不为零的项解解取自第一行，但第一行中只有取自第一行，但第一行中只有 ，11 ja110a故只可能取故只可能取（其中（其中j1=1j1=1）又又 取自第二行，而该行只有取自第二行，而该行只有 及及 不为零。不为零。 22 ja21a22a4444jaa= =,nn nn jaa= =同理可得同理可得 3333jaa= =11212212000.nnnnaaa

20、Daaa= =因因 取自第一列，故取自第一列，故 不能取自第一列，从而不能取自第一列，从而 （j j2 2=2=2）1111jaa=22 ja2222jaa=因此因此 11212211221122121 2000.1nnnnnnnnnaaaa aaa aaaaa = = = 11121222000nnnnaaaaaDa= = 11 22nna aa= =(2) 11212211 2211 221212000.1nnnnnnnnnaaaa aaa aaaaa = = = (1)几种特殊行列式的值几种特殊行列式的值下三角形行列式下三角形行列式上三角形行列式上三角形行列式112211220000.0

21、0nnnnaaa aaa=(3)对角形行列式对角形行列式211211211112111210000100.1nnnnnnnnnnnnnaaa aaaa aa=(4)1 1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的的. .2、n 阶行列式共有阶行列式共有 n! ! 项，每项都是位于不同行、项，每项都是位于不同行、不同列的各元素的乘积不同列的各元素的乘积, ,正负号由下标排列的逆序数正负号由下标排列的逆序数决定决定. . 小结小结第二节行列式的性质第二节行列式的性质

22、将行列式将行列式D D的行与列互换后所得到的行列式，的行与列互换后所得到的行列式，一、行列式的性质一、行列式的性质定义定义7 7称为称为D D的转置行列式，记为的转置行列式，记为D DT T或或DD，即若，即若111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa= = , ,则则nnnnnnTaaaaaaaaaD212221212111=行列式与它的转置行列式相等，即行列式与它的转置行列式相等，即D=DD=DT T交换行列式的两行（列），行列式变号。交换行列式的两行（列），行列式变号。性质性质1 1性质性质2 2若行列式有两行（列）完全相同，则行列式为零若行列式有两行（列）完全相同，则行列

23、式为零推论推论1 1行列式某一行（列）的所有元素都乘以数行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k k，1112111121121211212.nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaakakakaaaaDkkDaaaaaa= = = = 性质性质3 3等等于用数于用数k k乘以此行列式乘以此行列式. .即即推论推论1 1 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可行列式中若有两行（列）对应元素成比例，则行列式中若有两行（列）对应元素成比例，则推论推论2 2以提到以提到行列式的外面。行列式的外面。此行列式为零。此行列式为零。若行列式的某一行（列）的元素都

24、是两数之和，例如若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如则则11121112212niiiiininnnnnaaabcbcbcDaaa = =11121111211212121212.nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaabbbcccDDDaaaaaa= = = = 性质性质4 4将行列式某一行（列）的所有元素都乘以数将行列式某一行（列）的所有元素都乘以数性质性质5 5k k后加到另一行（列）对应位置的元素上，行列式的后加到另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变值不变二、利用行列式的性质计算行列式二、利用行列式的性质计算行列式 如果第一列第一个元素为如果第一列第一个元素为

25、0 0，则先将第一行与其，则先将第一行与其他行交换得第一列第一个元素不为他行交换得第一列第一个元素不为0 0；然后把第一；然后把第一行分别乘以适当的数加到其他各行，使得第一列除行分别乘以适当的数加到其他各行，使得第一列除第一个元素外其余元素全为零；第一个元素外其余元素全为零；再用同样的方法处理除去第一个行和第一列后余下的低再用同样的方法处理除去第一个行和第一列后余下的低一阶的行列式，如此下去，直至使它成为上三角形行一阶的行列式，如此下去，直至使它成为上三角形行列式这时主对角线上元素的乘积就是行列式的值。列式这时主对角线上元素的乘积就是行列式的值。 计算行列式时，常利用行列式的性质，把它化为上计

26、算行列式时，常利用行列式的性质，把它化为上（下）三角形行列式来计算计算步骤是：（下）三角形行列式来计算计算步骤是：例例1123133795204213571464410102D = = 计算1123133795204213571464410102D = = 3 解解2111231320421357146441002021010rr 0010202104112313571464410102 1123120421357100102464410102 2 3 312rr 4 24rr0215302041003102022211021 0010202041021530022311212 514rr 4

27、13rr 0215300112002011000221231 43rr 0215300112001020022211312 32rr 2 0215300112002011000001631 216= = 544rr 1 2= =1123102153001120001000046 532rr 4 例例2 计算计算3111131111311113D= =解解 12346111631161316113Dcccc= = 11111311611311113= =111102006002000021ir r =48例例3 计算行列式计算行列式4000308070009000605020001=aaaaaa

28、aaaD1000308070009000605010001=aaaaaaaD1000308070009000605000002=aaaaaa解解1000301070009000105000002=aaaa1000301070009000002000002=aaa计算行列式计算行列式.nxaaaaaxaaaDaaxaaaaaxa = = 注意到行列式中各行（列）所有元素之和都相注意到行列式中各行（列）所有元素之和都相同故可把第同故可把第2 2，3 3，n n列同时加到第一列并提出列同时加到第一列并提出公因子，然后第一行乘以公因子，然后第一行乘以-1-1加到其余各行化为上三角加到其余各行化为上三角

29、形行列式：形行列式：例例4 4解解 11112110200002020002.22nnaaaxaaaDaxaaxanaaxaaaaxaxaxanxaxaxan = = = = = = 设设例例5 51111111111110000kkkkknnnknnnaaaaDccbbccbb= = 11111kkkkaaDaa= = 11121nnnnbbDbb= =12DD D=证明 证明证明对对D D1 1作运算，把作运算，把D D1 1化为下三角形行列式，记为化为下三角形行列式，记为O O表示所有元素均为零的矩阵（见第二章第一节）表示所有元素均为零的矩阵（见第二章第一节）. .11111221.kk

30、kkkpODp pppp= = = 11211221.nnnnnqODq qqqq= = = 对对D D 作运算，把作运算，把D D 化为下三角形行列式，记为化为下三角形行列式，记为22这样，对这样，对D D的前的前k k行作运算，再对后行作运算，再对后n n列作运算，就列作运算，就故故112211 2212kknnDp pp q qqDD= = =把把D D化成了下三角形行列式。化成了下三角形行列式。1111111111kkkknnknnnpOppDccqccqq= = ijn naD=,1,2,ijjiaai jn=,1,2,ijjiaai jn= =定义定义8 在在n阶行列式阶行列式中，

31、若有中，若有，则称则称D为对称行列式；若有为对称行列式；若有，则称则称D为反对称行列式为反对称行列式 试证奇数阶反对称行列式的值等于零试证奇数阶反对称行列式的值等于零设反对称行列式为设反对称行列式为例例6 6证明证明其阶数其阶数n n是奇数，根据性质是奇数，根据性质1 1及性质及性质3 3有有12112212000nnnnaaaaDaa = = 121122T12000nnnnaaaaD Daa = = = 121122120010nnnnnaaaaaa = = ,1nDD= = = 所以所以=1. ( (行列式中行与列具有同等的行列式中行与列具有同等的地位地位, ,行列式的性质凡是对行成立的

32、对列也同样成立行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立). ).小结小结行列式的行列式的5 5个性质个性质 (2) (2) 利用性质把行列式化为三角形行列式，从而算利用性质把行列式化为三角形行列式，从而算得行列式的值得行列式的值(1) 利用定义利用定义; ;2.计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：思考思考2324323631063abcdaa ba b ca b c dDaa bab cabc daa bab cabc d = = 111 2324321 3631063bcda ba b ca b c dD aa bab cabc da bab cabc d = = 解解计算计算21 00

33、01 11 2 324321 3 631063a ba b caababcababc = = 21 0001 11 2 3431 3 6106aa baaabaab = = 3100011112343136106abaabab = = 410001111123413610a= =41000110012121337a= =441000110012101331aa= = =第三节第三节 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开引例引例 对于三阶行列式来说，我们不难验证对于三阶行列式来说，我们不难验证: :一、行列式按一行（列）展开一、行列式按一行（列）展开 这就表明，我们可将三阶行列式的计算转化成

34、为二这就表明，我们可将三阶行列式的计算转化成为二阶行列式来计算阶行列式来计算. .aaaaaaaaa111213212223313233aaaaaaaaaaaaaaa222321232122111213323331333132= = 为此，先引入余子式和代数余子式的概念。为此，先引入余子式和代数余子式的概念。第第j j列后列后, ,余下的余下的n-1n-1阶行列式，称为阶行列式，称为D D中元素中元素 的余的余ijaijaija在在n n阶行列式阶行列式D D中，去掉元素中，去掉元素 所在的第所在的第i i行和行和定义定义9 9为元素为元素 ijM( 1)ijijijNM = = ijN子式子

35、式, ,记为记为 , ,再记再记 ，称，称引理引理n n阶行列式阶行列式D D，如果其中第，如果其中第i i行元素除行元素除 外全部为零，外全部为零，ija那么行列式等于那么行列式等于 与它的代数余子式的乘积，与它的代数余子式的乘积，ijijD a N= =的代数余子式的代数余子式 。 ija即：即：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对1122iiiiininDa Na Na N= = (1,2,),in=1122jjjjnjnjDa Na Na N= = (1,2, ).jn=定理定理3 3应的代数余子式乘积之和，即应的代数余子式乘积之和，即: :

36、或或推论推论 行列式某一行（列）的各元素与另一行行列式某一行（列）的各元素与另一行( (列列) )对对应元素的代数余子式乘积之和等于零应元素的代数余子式乘积之和等于零. .11220ijijinjna NaNa N = =或或11220ijijnijna NaNaN = =(ij)(ij)1122,0;ijijinjnDija Na Na Nij=1122,0.ijijninjDija Na Na Nij=综上所述，有 1 11 21 313131 ( 1)0 ( 1)312111( 2)( 1)231 ( 8)0( 2) 518D= = = 102113231D=解解: (1)按第一行展开按

37、第一行展开例例1. 分别按第一行与第二列展开行列式分别按第一行与第二列展开行列式(2)按第二列展开按第二列展开102113231D=1 22 23 213120 ( 1)1 ( 1)2121123 ( 1)1301 ( 3)3 ( 1) 53 1518D= = = = 计算行列式计算行列式例例2 2解解1234101231101205D = = 413112341222( 2)1012100031103146( 1)12051217ccDcc = = 2 12221( 1)146217 = = 3121111100( 1)22146135( 1)217239cccc = = 113521(1)

38、39 = = 2( 2715)24= = = = 3351110243152113 = =D40= =计算行列式计算行列式例例3 3解解( (加边法加边法) )当当x=0 x=0或或y=0y=0时，显然时，显然D=0D=0，现假设，现假设x0,x0,且且y0,y0,1111111111111111xxDyy = = 514131211111111111( 1)0 11111000( 1)011111 000( 1)011111 000( 1)011111 000rrxxrrDxxrryyrryy = =)1111110000.000010000()00001()ccy

39、xccyx yxyccxyccx = = 例例4 计算行列式计算行列式00010001000000001nxxyxyxyxyDxyxyxy = = 21121nnnnxDx DxDx = = = = = =解解00010001000000001nxxyxyxyxyDxyxyxy = = =yxxyyxxyyxyxDn1000000000010001=yxxyyxxyxyx1000000000000001例例5 计算行列式12211000000000100001axaaaaxxxxDnnnn= 解解 按第一列展开，得1123211000100001001000000( 1),0000001001

40、nnnnnnxxxxDxaxxxaaaaxa= 这里的第一个这里的第一个n-1阶行列式和阶行列式和有相同的形式，有相同的形式，1nD1) 1(n第二个第二个n-1阶行列式阶行列式 等于 . 把它记作把它记作 .因此有因此有nnnaxDD=1nD12212112121(),nnnnnnnnnnnnnDxDax xDaax DaxaxDa xaxa=111Dxaxa=而而所以 11nnnnDxa xa=计算行列式计算行列式这个行列式叫做这个行列式叫做n n阶范得蒙（阶范得蒙（VandermondeVandermonde）行列式）行列式. .从最后一行开始，每一行减去它的相邻的前一行乘从最后一行开始

41、，每一行减去它的相邻的前一行乘以以 ，得，得例例6 6解解122221211112111nnnnnnnaaaaaaDaaa = =1a提出每一列的公因子后，得提出每一列的公因子后，得2131122133112222213311111100()()()0()()()nnnnnnnnnaaaaaaa aaa aaa aaDaaaaaaaaa = = 23222232131122223111()()()nnnnnnnnaaaaaaDaaaaaaaaa = = 最后的因子是一个最后的因子是一个n n-1-1阶范德蒙行列式，阶范德蒙行列式，则有则有213111()()()nnnDaaaaaaD = =

42、同样得同样得1324222()()()nnnDaaaaaaD = = 此处此处 是一个是一个n-2n-2阶范德蒙行列式，如此继续阶范德蒙行列式，如此继续2nD 下去，最后得下去，最后得21311()()()nnDaaaaaa=1()nnaa )(1jinijaa =)().(223aaaan引入行列式概念后，求解二、三元线性方程组，引入行列式概念后，求解二、三元线性方程组，0D 时时，方程组有唯一解，方程组有唯一解， (1, 2, 3)iiDxiD= = = 含有含有n个未知数，个未知数， n个方程的线性方程组，与二、三元线个方程的线性方程组，与二、三元线性方程组类似，它的解也可以用性方程组类

43、似，它的解也可以用n阶行列式表示阶行列式表示。第四节第四节 克莱姆法则克莱姆法则当系数行列式当系数行列式一一 、 定理定理1 1（ Cramer法则）法则）：若若n元线性方程组元线性方程组11112211211222221122(1)nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxaxb = = = = = = 的系数行列式的系数行列式D不等于零不等于零，111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa= = 0 即即nnDDDDx, x, x,x.DDDD= = = = =312123则线性方程组则线性方程组(1)(1)有唯一解有唯一解，例例1 1 用用Crame

44、r法则解线性方程组。法则解线性方程组。123412423412342583692254760 xxxxxxxxxxxxxx = = = = = = = = 解：解：2151130602121476D = = 122rr 42rr 075131306021207712 75132127712 = = 122cc 322cc 353010772 3372 = = 27= =18151930652120476D = = 81= =22851190605121076D = = 108= = 32181139602521406D = = 27= = 42158130902151470D = = 27=

45、=1181 327Dx,D= = = =所 以24x,= = 31x,= = 41x.= =注意注意1. Cramer法则仅适用于方程个数与未知量个数相等的情形。法则仅适用于方程个数与未知量个数相等的情形。2.法则的理论意义：给出了解和系数及常数项之间的明显关系法则的理论意义：给出了解和系数及常数项之间的明显关系,但用此法则求解线性方程组计算量大，一般不可取。但用此法则求解线性方程组计算量大，一般不可取。它主要适用于理论推导。它主要适用于理论推导。定理定理1 1定理定理20D 3.3.撇开求解公式撇开求解公式jjDx,D= =Cramer法则可叙述为下面定理：法则可叙述为下面定理：如果线性方程

46、组如果线性方程组(1)的系数行列式的系数行列式 则则(1)一定有解一定有解,且解是唯一的且解是唯一的 .如果线性方程组如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解，无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零则它的系数行列式必为零.11112211211222221122nnnnnnnnnna xa xaxbaxaxaxbaxaxaxb = = = = = = 线性方程组线性方程组则称此方程组为非齐次线性方程组则称此方程组为非齐次线性方程组。二二 非齐次与齐次线性方程组的概念非齐次与齐次线性方程组的概念: :12,nb bb若常数项若常数项 不全为零不全为零若若常常数数项项此时称方程组为此时称方程

47、组为齐次线性方程组。齐次线性方程组。12,nbbb,全全为为零零 11112212112222112200 20nnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xa x = = = = = = 易知，易知，120nxxx= = = = =一定是方程组一定是方程组(2)的解，的解， 称为零解称为零解。若有一组不全为零的数是若有一组不全为零的数是(2)的解，则称为的解，则称为非零解非零解。推论推论1 1如果齐次线性方程组的系数行列式如果齐次线性方程组的系数行列式0D, 则齐次线性方程组（则齐次线性方程组（2）只有零解（没有非零解）。）只有零解（没有非零解）。由克莱姆法则得出以下推论

48、由克莱姆法则得出以下推论推论推论2注注 (1) (1) 推论推论2 2表明，表明，D= =0 是齐次线性方程组有非零是齐次线性方程组有非零解的必要条件，解的必要条件， 如果齐次线性方程组的系数行列式如果齐次线性方程组的系数行列式D0，则它必，则它必有非零解，从而得知，齐次线性方程组有非零解有非零解，从而得知，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式的充分必要条件是系数行列式D0.如果齐次线性方程组（如果齐次线性方程组（2）有非零解，则它）有非零解，则它的系数行列式的系数行列式D必为零必为零.在第四章中还将进一步证明在第四章中还将进一步证明:(2) 如果齐次线性方程组中未知量的个数大于方程的如果齐次线性方程组中未知量的个数大于方程的个数，则方程组必