第四章IIR滤波器设计(1)

1、概述概述: 许多信息处理过程，如信号的过滤，检测、预许多信息处理过程，如信号的过滤，检测、预测等都要用到一个环节测等都要用到一个环节滤波器。数字滤波器是滤波器。数字滤波器是数字信号处理中使用得最广泛的一种线性系统，是数字信号处理中使用得最广泛的一种线性系统，是数字信号处理的重要基础。数字信号处理的重要基础。 数字滤波器的功能（本质）是将一组输入的数数字滤波器的功能（本质）是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变为另一组输出的数字字序列通过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列。实现方法主要有两种：数字信号处理硬件和序列。实现方法主要有两种：数字信号处理硬件和计算机软件。计算机软件。 数字滤波

2、器通常是线性时不变系统。数字滤波器通常是线性时不变系统。01( )()()MNiiiiy na x nib y ni数字滤波器的数字滤波器的多种多种数学描述形式：数学描述形式：（1） 差分方程：差分方程：101111(1)( )1(1)MMiiiiiNNiiiiic za zH zAMNb zd z一般（2）系统函数：）系统函数：h(n)x(n)y(n)=h(n)*x(n)只要确定一组只要确定一组ai, bi或者另一组或者另一组A（即（即a0）, ci, di，那么系那么系统函数统函数H(z)以及相应的频率特性以及相应的频率特性H(ejw)就可以确定。就可以确定。N称为阶称为阶Matlab定义

3、的定义的a，b与此正好相反与此正好相反实现的滤波器一般结构实现的滤波器一般结构:递归系统递归系统 IIR Infinite Impulse Response （有反馈，有极点）（有反馈，有极点）上图所对应的差上图所对应的差分方程，有反馈，分方程，有反馈，IIR-DF10( )()()MNiiiiy na y nib x niai=0时无反馈，成为有限长时无反馈，成为有限长FIR-DF另一种滤波器实现的结构另一种滤波器实现的结构:非递归系统非递归系统 FIR Finite Impulse Response （无反馈，无极点）（无反馈，无极点）401( )();a05iiy nx ni反馈系数反馈

4、系数ai0，成为成为 FIR与与matlab保持相同符号保持相同符号习惯，习惯，ai0，成为，成为 FIR-DF按功能（特别是幅频特性）进行分类按功能（特别是幅频特性）进行分类: 高通高通 high pass HP 低通低通 low pass LP 依据分段频率特性的特征来定义。依据分段频率特性的特征来定义。 带通带通 band pass BP 带阻带阻 band stop BS按功能（特别是幅频特性）进行分类按功能（特别是幅频特性）进行分类:依据分段频率特性的特依据分段频率特性的特征来定义。征来定义。低通低通 LP 高通高通 HP 带通带通 BP 带阻带阻 BS 多带多带MB 四种常见数字滤

5、波器的理想幅频特性图四种常见数字滤波器的理想幅频特性图: 2 cH()2 cH()2 c1c2H()2 cH()高通高通HP high pass低通低通LP low pass带阻带阻BS band stop 带通带通BP band pass i4.1.2 数字滤波器的技术指标：数字滤波器的技术指标：以低通为例，幅频特性，相频不做要求。以低通为例，幅频特性，相频不做要求。)(| )(|)(jjjeeHeH只要到只要到0.5fs最高最高 按照实际需要确定出滤波器的性能要求（指标）。按照实际需要确定出滤波器的性能要求（指标）。 用一个因果稳定离散系统的用一个因果稳定离散系统的 H(z) H(z) 或

6、或 h(n) h(n) 去逼近这去逼近这个性能要求，即求个性能要求，即求 h(n) h(n) 的表达式的表达式, , 或或确定系数确定系数 ai,bi, ai,bi, 或或零零极点位置的极点位置的A,ci,diA,ci,di，以使得滤波器频率特性满足给定的性能，以使得滤波器频率特性满足给定的性能要求。要求。 用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。包括：用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。包括： a a、选择运算结构：如级联型、并联型、卷积型、频、选择运算结构：如级联型、并联型、卷积型、频率率 采样型以及快速卷积（采样型以及快速卷积（FFTFFT）型等。）型等。 b b、选择合适的字长和有

7、效的数字处理方法等、选择合适的字长和有效的数字处理方法等( (第五章第五章) ) i数字滤波器的设计步骤概述：数字滤波器的设计步骤概述： （1）模仿式：先设计一个合适的模拟滤波器）模仿式：先设计一个合适的模拟滤波器Analog Filter -AF，然后将其变换成满足预定指标的数字滤波器，然后将其变换成满足预定指标的数字滤波器Digital Filter -DF。属于间接设计方法。属于间接设计方法。 由于模拟的网络综合理论已经发展得很成熟，模拟滤波器拥由于模拟的网络综合理论已经发展得很成熟，模拟滤波器拥有简单而严格的设计公式，设计起来方便、准确、可将这些理论有简单而严格的设计公式，设计起来方便

8、、准确、可将这些理论推广到数字域，作为设计数字滤波器的工具。推广到数字域，作为设计数字滤波器的工具。 借助计算机工具软件借助计算机工具软件,如如 Matlab 能快捷得到能快捷得到滤波器系数滤波器系数。两种设计方式与思路：两种设计方式与思路：（2）（直接法）最优化逼近设计方式）（直接法）最优化逼近设计方式设计步骤分两部分：设计步骤分两部分： 确定一种最优准则，如最小均方误差准则，即让设计出确定一种最优准则，如最小均方误差准则，即让设计出的实际频率响应的幅度特性的实际频率响应的幅度特性 与所要求的理想频率响应与所要求的理想频率响应 的均方误差达到最小。的均方误差达到最小。 此外还有其它多种误差最

9、小的准则。此外还有其它多种误差最小的准则。 在此最佳准则下，求滤波器的系数在此最佳准则下，求滤波器的系数 ai 和和 bi 并计算误差并计算误差值：值： 经不断地迭代运算，修正改变经不断地迭代运算，修正改变 ai 、bi ，直到总误差，直到总误差满足要求为止。满足要求为止。|()|jH e|()|jdHe21()()miniiMjjdiH eHe|()|jH e|()|jdHei最小均方误差准则：最小均方误差准则：2i曲线由曲线由ai, bi确定确定在在00.5fs之间取许之间取许多点，计算误差。多点，计算误差。 以上两种设计方法中，着重讲第一种。以上两种设计方法中，着重讲第一种。因为数字滤波

10、器在很多场合所要完成的任务因为数字滤波器在很多场合所要完成的任务都与模拟滤波器相同。如用作低通、高通、都与模拟滤波器相同。如用作低通、高通、带通及带阻网络等，这时数字滤波也可看作带通及带阻网络等，这时数字滤波也可看作是在是在“模仿模仿”模拟滤波器的性能。模拟滤波器的性能。 在在IIR滤波器设计中，采用这种设计方法滤波器设计中，采用这种设计方法在目前是最普遍的。在目前是最普遍的。 由于计算机技术的发展，最优化设计方由于计算机技术的发展，最优化设计方法的使用如今也日渐增多。法的使用如今也日渐增多。 如下图：数字低通滤波器的幅频指标。如下图：数字低通滤波器的幅频指标。 11-1 12c0r通带通带过

11、渡带过渡带阻带阻带实际数字低通滤波器实际数字低通滤波器频率特性频率特性通带波纹大小通带波纹大小阻带衰减阻带衰减对幅度的影响对幅度的影响滤除的程度滤除的程度实际模拟低通滤波器实际模拟低通滤波器AF理想模拟滤波器幅频特理想模拟滤波器幅频特性性实际低通巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Ellipse)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等 )(jaH低通带通带阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c模拟滤波器也用这4个参数（2个特征点的坐标）。0sincos)()(dttjtthjHaa)()(jHjHaajssAA)()(22所有零极点都成对

12、出所有零极点都成对出现称！现称！利用模拟滤波器利用模拟滤波器AF来设计数字滤波器来设计数字滤波器DF，就是从，就是从已知的已知的AF传递函数传递函数Ha(s)设计出设计出DF的传递函数的传递函数H(z)。这本质上是一个由这本质上是一个由S平面到平面到Z平面的映射变换，只是平面的映射变换，只是这种映射变换还应该遵循这种映射变换还应该遵循两个基本原则两个基本原则，才有意义。，才有意义。 H(z)的频响应能模仿的频响应能模仿Ha(s)的频响，即能够把的频响，即能够把S平面的虚轴应映射到平面的虚轴应映射到Z平面的单位圆平面的单位圆 |Z|=1上。上。 Ha(s) 的因果稳定性映射成的因果稳定性映射成

13、H(z)后能保持不变后能保持不变，即，即S平面的左半平面平面的左半平面 ReS0 区域应该能映射到区域应该能映射到Z平面的单位圆以内，即平面的单位圆以内，即|Z|1。一、脉冲响应不变法（一、脉冲响应不变法（Imp） 利用模拟滤波器理论设计数字滤波器，也就是使数字滤波利用模拟滤波器理论设计数字滤波器，也就是使数字滤波器器DFDF能模仿模拟滤波器能模仿模拟滤波器AFAF的特性，这种模仿可从不同的角度出的特性，这种模仿可从不同的角度出发。发。 脉冲响应不变法脉冲响应不变法是从滤波器的单位脉冲响应出发，是从滤波器的单位脉冲响应出发，使数字使数字滤波器滤波器DFDF的单位脉冲响应序列的单位脉冲响应序列h

14、(n)h(n)，正好等于模拟滤波器，正好等于模拟滤波器AFAF的的单位冲激响应单位冲激响应h ha a(t)(t)的采样值。的采样值。下面讨论下面讨论2种常用的映射变换方法：种常用的映射变换方法：本质是采样过程本质是采样过程上图中的具体数学表达：上图中的具体数学表达：即希望即希望 ： h(n)=ha(nT), T为采样周期。为采样周期。 如以如以 Ha(s) 及及 H(z)分别表示分别表示 ha(t) 的拉氏变换及的拉氏变换及 h(n) 的的 Z 变换，变换， 即即: : Ha(s)=L ha(t) H(z)=Z h(n) 如何直接从如何直接从Ha(s)中求出中求出H(z)? 计算计算 H(Z

15、) : 脉冲响应不变法脉冲响应不变法特别适用于以部分分式表达的传递函数。特别适用于以部分分式表达的传递函数。模拟滤波器的传递函数模拟滤波器的传递函数Ha(s)若只有若只有N个个单阶单阶极点，且分母的阶极点，且分母的阶数数N又高于分子阶数又高于分子阶数M，即，即 NM，则，则Ha(s)可表达为部分分式可表达为部分分式形式形式: 其拉氏反变换为：其拉氏反变换为： 是单位阶跃是单位阶跃. 另外，对另外，对ha(t)采样得到数字滤波器的单位脉冲响应序列采样得到数字滤波器的单位脉冲响应序列: 1( )NiaiiAHsss1( )( ),( )iNs taiihtA eu tu t11( )()( )()

16、( )iiNNs nTsTnaiiiih nh nTAeu nA eu nAi是对应该极点是对应该极点Si的系数的系数 再对再对h(n)取取Z变换，得到数字滤波器变换，得到数字滤波器DF的传递函数的传递函数H(z)： 第二个求和为等比级数之和，要收敛的话，必需有：第二个求和为等比级数之和，要收敛的话，必需有： 必有：必有： 所以有所以有:01110()()(iiNs nTs TnnniiiiNnH zzAAeez 111 ()1iisTkksTe ze z1()0,is Tkkez11()1iNis TiAHzezisTize极点：对比上面两式可以看到：对比上面两式可以看到： S平面上的极点平

17、面上的极点 S=Si 变换到变换到Z平面之后极点是平面之后极点是 ,而而Ha(s)与与H(z)中部分分式所对应的系数中部分分式所对应的系数Ai则不变，但要注意：则不变，但要注意：这这种种Ha(s)到到H(z)的对应变换关系，只有将的对应变换关系，只有将Ha(s)表达为部分分式形表达为部分分式形式后才能成立！式后才能成立！ 稳定性：稳定性： 如果模拟滤波器如果模拟滤波器Ha(s)是稳定的，则所有极点是稳定的，则所有极点 Si 都在都在S左半左半平面，其实部平面，其实部 Resi0 .那么经过变换，那么经过变换，H(z)的极点也都在单的极点也都在单位圆以内。位圆以内。 即：即： 因此，有结论：因此

18、，有结论：经这种等价方式后数字滤波器经这种等价方式后数字滤波器DF是能够保持是能够保持模拟滤波器模拟滤波器AF的稳定特性不变的的稳定特性不变的.isTize1eiiRsTs Tizee12( )aamHsHsjmTT 理想采样理想采样 的拉氏变换的拉氏变换 , ,它与原模拟信号它与原模拟信号 的拉氏变换的拉氏变换 之间的关系是周期的。之间的关系是周期的。 理想采样理想采样 的拉氏变换的拉氏变换 ，它与采样序列，它与采样序列 的的 Z Z 变换变换 之间的关系，就是之间的关系，就是 S S 平平面与面与 Z Z 平面的映射关系。平面的映射关系。( )ha t( )ah t( )aHs( )h n

19、( )Hz( )ha t( )aHs( )aHs根据理想采样序列拉氏变换与原模拟信号拉氏变换的关系：根据理想采样序列拉氏变换与原模拟信号拉氏变换的关系：T1/fs用S=j代入就是频率特性aaaa( )( )()( ) ()()stnstnnsTnHshttnTedthttnT edthnT e ( )nsTnh n e( )( )nnH zh n zsTzes平面与平面与z平面的映射关系：平面的映射关系： 以上表明：采用以上表明：采用脉冲响应不变法脉冲响应不变法将模拟滤波器将模拟滤波器AF变换为数字滤波器变换为数字滤波器DF时，它所做的时，它所做的 S 平面平面到到 Z 平面的变换，平面的变换

20、，正是正是以前所讨论的拉氏变以前所讨论的拉氏变换换LT到到Z变换的标准变换过程，即首先对变换的标准变换过程，即首先对Ha(s)作周期延拓，然后再经过作周期延拓，然后再经过 的映的映射关系映射到射关系映射到 Z 平面上。平面上。STze映射关系 ： 总结： S平面上每一条宽为 的无限长横带部分，都将重叠地映射到Z平面的整个平面上;(左边0;则r0;则r1, ：02/T，则: 02)STze2Tjzre令,TreT 则sj令模拟角频率模拟角频率 每一横带的左半部分映射到每一横带的左半部分映射到Z平面单平面单 位圆以内。位圆以内。 每一横带的右半部分映射到每一横带的右半部分映射到Z平面单平面单 位圆

21、以外。位圆以外。 j轴映射到单位圆上，轴映射到单位圆上， j 轴上每轴上每 一段长一段长 都对应于都对应于z平面平面逆时逆时 针针围成一单位圆周围成一单位圆周|z|1。0pi/T是是上半圆，上半圆，pi/T 2pi/T（或者（或者pi/T0 ）是下半圆。是下半圆。2Tj 0T 3T 3T T Im( )jzRe( )z0 S 平面平面Z 平面平面: 0低频低频折叠频率折叠频率镜像频带镜像频带 应该指出，应该指出，Z=esT的映射关系反映的是的映射关系反映的是Ha(s)的周期延拓的周期延拓后后与与H(z)的关系，而不是的关系，而不是Ha(s)本身与本身与H(z)的关系，因此，使的关系，因此，使用

22、脉冲响应不变法时，从用脉冲响应不变法时，从Ha(s)到到H(z)并并没有没有具备具备由由S平面到平面到Z平面的平面的一一对应一一对应的简单代数映射关系，即没有一个的简单代数映射关系，即没有一个S=f(z)代代数关系式可以采用。数关系式可以采用。混迭：混迭： 由由式，还可看到，数字滤波器式，还可看到，数字滤波器DF的频响并不是简单的的频响并不是简单的重现模拟滤波器重现模拟滤波器AF的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓： 周期为周期为12j TammH eHjjTT2sT 正如已知的正如已知的香农（香农（Shannon）采样定）采样定理理中所讨论的：如果模拟滤波

23、器中所讨论的：如果模拟滤波器AF的频响带的频响带限于折叠频率限于折叠频率0S/2 以内，即具备：以内，即具备： 那么，那么， 数字滤波器数字滤波器DF的频响才能不失真的频响才能不失真地（没有频率混叠现象发生）重现模拟滤波地（没有频率混叠现象发生）重现模拟滤波器器AF的频响的频响.()02saHj ， 当时 数字滤波器的频响能不失真地重现模拟滤波器数字滤波器的频响能不失真地重现模拟滤波器的频响前提（存在于折叠频率的频响前提（存在于折叠频率S/2以内）以内） 但任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可但任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能是理想带限的。因此能是理想带限的。因此, ,不可避免地都存

24、在频谱的交不可避免地都存在频谱的交叠，即混叠。显然，数字滤波器的频响将不同于原叠，即混叠。显然，数字滤波器的频响将不同于原模拟滤波器的频响而一定会带有不同程度的失真。模拟滤波器的频响而一定会带有不同程度的失真。 模拟滤波器模拟滤波器AFAF频响在频响在折叠频率折叠频率以上衰减越大，以上衰减越大，这种失真就越小，只有这时，采用脉冲响应不变法这种失真就越小，只有这时，采用脉冲响应不变法ImpImp设计出的数字滤波器才能得到良好的效果。设计出的数字滤波器才能得到良好的效果。 1()()jaH eHjTT折叠频率是由折叠频率是由系统的采样频系统的采样频率决定的率决定的/T/T()jH e()aHjT0

25、0脉冲响应不变法中的频响混叠脉冲响应不变法中的频响混叠AA/T脉冲响应不变法中的频响混淆图例脉冲响应不变法中的频响混淆图例抬高了，抬高了，0.5fs处不为处不为0，几乎可以肯定是发生几乎可以肯定是发生混叠。混叠。最高频率最高频率处，幅度还处，幅度还没有衰减到没有衰减到0。 应用时注意应用时注意2点：点： 虽然虽然脉冲响应不变法脉冲响应不变法能保证能保证S平面与平面与Z平面的两方面的平面的两方面的极点位置极点位置保有一一对应的保有一一对应的代数关系，但这并不等于是说整个代数关系，但这并不等于是说整个S平面与平面与Z平面所有地方就都能存在这种一一对应的平面所有地方就都能存在这种一一对应的关系关系.

26、 特别是数字滤波器特别是数字滤波器H(z)的的零点位置零点位置zi与与S平面上的零点就没有一一对应关系平面上的零点就没有一一对应关系! 而是而是随着随着Ha(s)的极点的极点 Si 与系数与系数 Ai 的不同而发的不同而发生偏移。生偏移。 将一个具有如下传递函数：将一个具有如下传递函数： 的模拟滤波器的模拟滤波器AF，进行数字化成，进行数字化成H(z)。 解：解： 211( )(1)(3)13H sssss11311( )11TTH zz ez e131342()1()TTTTTzeezeeez模拟滤波器模拟滤波器AF的频率响应为的频率响应为:222()( )(1)(3)(3)4sjHa jH

27、 sjjj 示于图示于图a222 1/22|()|(3)(4 ) Ha j 模：124()tan3Ha j 相：3342()()( )1 ()jTTjjTTjTjz eeeeH eH zeeeee显然显然 与采样间隔与采样间隔T有关。图例中有关。图例中T越小越小,衰减越大衰减越大,混叠越小混叠越小,当当 fs=24 Hz ,混叠可忽略不计混叠可忽略不计,请思请思考为什么会混迭呢考为什么会混迭呢?()jH e数字滤波器数字滤波器DF的频率响应为的频率响应为:是冲激响应是冲激响应h(t)离散化，导致系统离散化，导致系统h(t)的频谱特的频谱特性周期化的结果。性周期化的结果。示于图示于图b脉冲响应不

28、变法的幅频特性结论：在低频段，结论：在低频段，1.5Hz的幅频特性变换前后保持很好的一致性的幅频特性变换前后保持很好的一致性fs=6Hz图图a 模拟滤波器模拟滤波器AF的的|H(j)|图图b 数字滤波器数字滤波器DF的的|H(ej)|H(j)|H(ej)|0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Hz0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Hz0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 幅度dB幅度dBfs=24Hzfs=12Hz对窄带的低通对窄带的低通LP，或中心频率小的带通，或中心频率小的带通BP滤波器，滤波器，imp法特别适用。法特别适用。再看一张图再看一张图抬高了，抬高了，0.5fs处不为处不为0，肯定是混叠很严重，肯定是混叠很严重，已不象低通。已不象低通。 脉冲响应不变法脉冲响应不变法的一个重要特点是数字频率与模拟频率的一个重要特点是数字频率与模拟频率的坐标关系是线性的：的坐标关系是线性的：，与与是线性关系。即横轴是线性关系。即横轴缩紧或扩展是均匀的，处处相同。缩紧或扩展是均匀的，处处相同。 因此，如果模拟滤波器的