空间点直线平面之间的位置关系版有答案

1、2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2. 1.1 平面砸科口血颐自|课前口主学习基桶才髄權海预习课本P4043，思考并完成以下问题1.平面的表示方法有哪些？2 .公理1、公理2、公理3的内容是什么?3. 公理1、公理2、公理3各自的作用是什么?4 点、线、面之间的位置关系用符号怎样表示?新知初探1.平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的几何里的平面是 无限延展的.2 .平面的画法(1) 水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.如图.(2) 如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感

2、，把被遮挡部分用虚线画出来口图.肖a图3 .平面的表示法图的平面可表示为平面a、平面ABCD平面AC或平面BD点睛(1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量;(2)平面无厚薄、无大小，是无限延展的.4 .平面的基本性质公理内容图形符号作用公理1如果一条直线上的 两点在一个平面 内，那么这条直线 在此平面内37Al, Bl，且 A a , B a ? l ?a用来证明直线在平面内公理2过不在一条直线上代B, C三点不共 线？存在唯一的 a使代B, C a用来确定一个平面的三点，有且只有一个平面皿/公理3如果两个不重合的 平面有一个公共 点，那么它们有且 只有一条过该点的

3、 公共直线P a , P 3 ? a n 3 = l，且 P l用来证明空间的点共线和线共点点睛对公理2必须强调是不共线的三点.尝试应用1.判断下列命题是否正确.(正确的打“V”，错误的打“ X”)(1) 空间不同三点确定一个平面 ()(2) 空间两两相交的三条直线确定一个平面()(3) 和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内()答案： X (2) X (3) V2 .有以下命题：(1) 8个平面重叠起来要比 6个平面重叠起来厚；(2) 有一个平面的长是 50 m,宽是20 m；(3) 平面是无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念.其中正确命题的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3解析：

4、选B平面是无厚度的，故(1)错；平面是无限延展的，不可度量，故(2)错；平面是无厚度、无限延展的，故(3)正确.正确命题的个数为 1.3 .根据右图，填入相应的符号：A平面ABC A平面BCD B 平面ABC平面 ABCH 平面 ACD=.答案：? ? AC題型一A课堂讲练咙计举-能通类题文字语言、图形语言、符号语言的相互转化sT-典例根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.点P与直线AB点C与直线AB点M与平面AC点A与平面AC直线AB与直线BC;直线AB与平面AC;(7)平面AiB与平面 AC解(1)点P直线AB点C ?直线AB点平面AC点A?平面AC直线ABA直线BC=点B直线A

5、B?平面AC(7)平面AiBA平面AC=直线AB三种语言的转换方法(1) 用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位 置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2) 根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.活学活用1 .若点M在直线a上，a在平面a内，贝U Ma, a间的关系可记为()A.a, a aB. M a, a? aC. MP a, a? aD. MP a, a aB正确.解析：选B根据点与线、线与面之间位置关系的符号表示可知2 用符号语言表示下列语句，并画出图形：（1）三个平面 a ,3 ,Y相交于一点 P,

6、且平面a与平面3相交于PA平面a与平面丫相交于PB 平面3与平面丫相交于PC（2）平面ABD与平面BDCf交于BD平面ABC与平面ADCf交于AC解：（1）符号语言表示：a n 3 y = P a n 3 = PA a门丫 = pb 3门y = PC图形表示：如图（1）.（2）符号语言表示：平面 ABCT平面BD= BD平面ABCH平面 AD= AC图形表示：如图（2）.(1)LES；：平面的基本性质的应用题点一：点线共面问题1.如图，已知直线 a/ b/c,l n a = A,I n b=B,I nc= C 求证：a ,b,c,l 共面.证明： a/ b,. a, b确定一个平面 a .I

7、n a= A, I n b= B,二 A a , B a .又 A I , B I , I ? a .t b / c,. b, c确定一个平面 3 .同理可证I? 3 .于是 b? a , I ? a , b? 3 , I ? 3,即卩 a n 3 = b, a n 3 = I.又 b与I不重合， a与3重合， a, b, c, I 共面.点线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题，主要依据是公理1、公理2.解决该类问题通常有三种方法：（1）纳入平面法，先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内；（2）辅助平面法（平面重合法），先由有关的点、线确定平面a，再由其余元素确定平面3

8、，最后证明平面 a , 3重合；（3）反证法通常情况下采用第一种方法.证：B, Q题点二：点共线问题2.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D中，设线段 AC与平面ABCD交于点Q,求D三点共线.证明：如图，连接 AB, CD,显然B平面ABCD, D平面 ABCD BD?平面 ABCD 同理BD?平面ABCD.平面 ABCDQ平面 ABC吐BD. AiCn 平面 ABCD= Q Q平面 ABCD.又；AC?平面ABCD, Q平面 ABCD Q在平面A BCD与ABCD的交线上，即 Q BD, B, Q D三点共线.nY点共线问题是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理 3.解决

9、此类问题常用以下两 种方法：（1）首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理 3知，这些点都在这 两个平面的交线上；（2）选择其中两点，确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.题点三：三线共点问题3 .已知：平面 a , 3 , Y两两相交于三条直线l 1, l 2, l 3,且丨1,丨2不平行.求证：丨1,丨2,丨3相交于-一占八、证明：如图，a n 3 = 11, 3 n y = 12,/ 1 1? 3 , 1 2? 3 ,且 11, 12 不平行， 11与12必相交.设11 n 12= P,则 P 1 1? a, P 1 2? y , P a n y = 1 3

10、, I 1, I 2, I 3相交于一点P.证明三线共点问题的基本方法是，先确定待证的三线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.常结合公理3,证出该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线（第三条直线）上，从而证明三线共点.课后层级训练步涉提升能力层级一学业水平达标1 .下列说法中正确的是（）A. 三点确定一个平面B. 四边形一定是平面图形C. 梯形一定是平面图形D. 两个不同平面 a和3有不在同一条直线上的三个公共点解析：选C不共线的三点确定一个平面，故A不正确；四边形有时指空间四边形，故B不正确；梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确；两个平面如果相交，一定有一条交线，

11、所有这两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确.故选 C.2 .给出以下四个命题: 不共面的四点中，其中任意三点不共线； 若点A, B, C, D共面，点 A, B, C, E共面，则点 A B, C, D, E共面; 若直线a, b共面，直线a, c共面，则直线b, c共面； 依次首尾相接的四条线段必共面.其中正确命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3解析：选B假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定 这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以正确；如图，两个 三个公共点A, B, C,但A, B, C, D, E不共面；显然不正确；不正确，因为此时所得的四边形的四条

12、 边可以不在一个平面上，如空间四边形.3 在空间四边形 ABCD,在AB BC, CD DA上分别取E, F, G H四点，如果 GH EF交于一点P, 则（）A. P 一定在直线BD上B. P 一定在直线AC上C. P在直线AC或BD上D. P既不在直线BD上 ,也不在 AC上解析：选B 由题意知GH?平面ADC因为GH EF交于一点P,所以P平面ADC同理，P平面ABC 因为平面 AB©平面ADC= AC由公理3可知点P 一定在直线 AC上.4 .用一个平面截正方体所得的截面图形不可能是（）A.六边形B.五边形C. 菱形D.直角三角形解析：选D可用排除法，正方体的截面图形可能是六

13、边形、五边形、菱形，故选D.5 .下列各图均是正六棱柱,P, Q, R S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是（）解析：选D在选项A、B、C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS/ QR即在此三个图形中P, Q R S共面，故选D.6 .用符号表示"点 A在直线l上，I在平面a夕卜”为.答案：A l , l? a7 .如图，看图填空：（1）平面ABQ平面AG =；（2）平面 AQQAC 平面 AC=.答案：AB1 AC1个平面，当第四个点不在&已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是 解析：其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，

14、可确定此平面内时，则可确定 4个平面.答案：1或49.如图，在正方体 ABCDABCD中，判断下列命题是否正确，并由点A, O, C可以确定一个平面；(2)由点A, C, Bi确定的平面为平面 ADCi.解：(1)不正确因为点 A, Q C在同一条直线上，故不能确定一(2)正确因为点 A, B, C不共线，所以可确定一个平面又因为 以由点A, C, Bi确定的平面为平面 ADCB .1 0按照给出的要求，完成图中两个相交平面的作图，图中所给线段说明理由.个平面.AD/ BC,所以点D平面ABC.所AB分别是两个平面的交线.（4）解：以AB为其中一边，分别画出表示平面的平行四边形如图. 层级二应

15、试能力达标1 .如果直线 a?平面a ,直线b?平面a , M a, N b, M l , N l，则（）A. l ? aB. l ? aC. l Cl a = MD. I Cl a = N解析：选 A T M a, a? a ,. M a，同理，N a ,又 M l , N l，故 I ? a .2 .下列命题正确的是（）A. 一条直线和一点确定一个平面B. 两条相交直线确定一个平面C.四点确定一个平面D.三条平行直线确定一个平面解析：选B根据一条直线和直线外的一点确定一个平面，知A不正确；B显然正确；C中四点不一定共面，故C不正确；三条平行直线可以确定一个平面或三个平面，故D不正确.故选B

16、.3 .下列命题中，正确的是 （）A.经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面B.经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面C.经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面D.经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面解析：选B因为正方体的四条体对角线相交于同一点（正方体的中心），因此经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面，故选 B.4 .在正方体 ABCDA1B1C1D中，M1N分别是棱 DD和BB上的点，MD= 3DD,31NB= 3BB ,那么正方体的过3点M N, C的截面图形是（）A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形解析：选 C 在正方体 ABCDAiB

17、iCiD中，M N分别是棱 DD和BB上1 1=3DD , NB= 3BB.如图，延长 CM交CD于点P,延长GN交CB于点QAD于点E, AB于点F,连接NF, ME则正方体的过点 M N, C的截面图连接PQ交形是五边Qa A3 = l ,形.故选C.5 .已知a , 3是不同的平面，I , m n是不同的直线,P为空间中一点.若3 , mn n= P ,则点P与直线I的位置关系用符号表示为的点，MDm? a , n?解析：因为m? a , n? 3 , mA n= P,所以P a且P 3 .又a A 3 = I ,所以点P在直线I上，所以P I .答案：P I6 .在长方体 ABCDAi

18、BiCiD的所有棱中，既与 AB共面，又与CC共面的棱有条.解析：作图并观察可知既与 AB共面，又与 CC共面的棱有CD BC, BB , AA , CD ,共5条.答案：57.如图所示,ABA a = P , CDA a = P, A , D 与 B, C 分别在平面 aACTl a = Q BDA求证：P, Q,R三点共线.两侧 ，证明：T ABA a = P , CDn a = P , ABn CD= P.- AB CD可确定一个平面，设为 3 ./ A AB C CD B Ab D CDA 3 , C 3 , B 3 , D 3 . AC? 3 , BCP 3 ,平面 a , 3 相交

19、.T ABTl a = P, ACTl a = Q, BDTl a = R, P, Q R三点是平面a与平面3的公共点. P, Q R都在a与3的交线上，故 P, Q, R三点共线.BRBB , CC ,交点为G8.如图，在直四棱柱 ABCDABCD中，AOBC P, Q M N分别为AA , DD上的点，设 PQ与NM的交点为S, AB与DC的交点为R, AB与DG的 求证：R, S, G三点共线.证明：因为 P, Q M N分别为AA , BB , CC, DD上的点，POP NM= S,所以 S MN MN 平面 CCDD S PQ PQ?平面 AABB,所以S平面CCDD,且S平面AA

20、BiB , 所以S在平面AABB与平面 CCDD的交线上.同理可证：R, G也在平面 AAB B与平面CCD D的交线上，所以R S , G三点共线.2. 1 .2 空间中直线与直线之间的位置关系课前自上学 小基稳才能楼高预习课本P4447 ,思考并完成以下问题1空间两直线有哪几种位置关系?2 什么是异面直线?3 什么是异面直线所成的角?4 .平行公理的内容是什么?5 .等角定理的内容是什么?新知初探1异面直线(1) 定义：不同在任何一个平面内的两条直线.(2) 异面直线的画法:2 空间两条直线的位置关系宀护¥方 位置大糸特点相交冋一平面内，有且只有一个公共点平行冋一平面内，没有公共

21、点异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点点睛(1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交，也不平行.(2) 不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a? a , b?即a, b分别在两个不同的平面内，但是因为an b= Q所以a与b不是异面直线.3 .平行公理(公理4)(1) 文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行卫二性质叫做空间平行线的 (2) 符号表述：aII b b/ c ? a/ c.4 .等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 5.异面直线所成的角(1) 定义：已知两条异面直线a, b,经过空间任一

22、点 0作直线a'/ a, b'/ b,我们把a'与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2) 异面直线所成的角0的取值范围：0°< 0 < 90°.(3) 当0 = 90°时,a与b互相垂直，记作 a±b.点睛(1)异面直线所成角的范围是0°< 0 w 90°,所以垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直.(2)公理4也称为平行公理，表明空间的平行具有传递性，它在直线、平面的平行关系中得到了广泛的 应用.小试身手1.判断下列命题是否正确.(正确的打“V”，错误的打“

23、 x”)(1) 两条直线无公共点，则这两条直线平行()(2) 两直线若不是异面直线，则必相交或平行()(3) 过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线()(4) 和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线()答案：x (2) V (3) x x2 如果两条直线 a和b没有公共点，那么 a与b的位置关系是()A.共面B.平行C. 异面D.平行或异面解析：选D空间中两直线的位置关系有：相交；平行；异面两条直线平行和两条直线异面都 满足两条直线没有公共点，故a与b的位置关系是平行或异面.3.已知 AB/ PQ BC/ QR 若/ ABC= 30°，则/ PQF等于

24、()A. 30°B. 30° 或 150°C. 150°D.以上结论都不对解析：选B 由等角定理可知/ PQF与/ ABC相等或互补，故/ PQ圧30°或150°谍堂讲练设计，举-能通类题两直线位置关系的判定典例如图，在长方体 ABCDABCD中， 直线AiB与直线DC的位置关系是 直线AiB与直线BC的位置关系是 直线DD与直线DC的位置关系是 直线AB与直线BC的位置关系是 .解析(1)在长方体 ABCDABCD中，AD綊BC二四边形 ABCD为平行四边形，二 AB/ D C.(2)直线A B与直线BC不同在任何一个平面内.直线D

25、D与直线DC相交于点D.(4) 直线AB与直线B C不同在任何一个平面内.答案(1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面(1)判定两条直线平行或相交的方法判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理(2)判定两条直线是异面直线的方法4判断.定义法：由定义判断两直线不可能在同重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用 符号语言可表示为 A?a , Ba, I ? a , B?l ? AB与I是异面直线(如图).活学活用1 在空间四边形 ABCDK E, F分别为对角线 AC, BD的中点，贝U BE与CF )A.平行B

26、.异面C.相交D.以上均有可能解析：选B假设BE与CF是共面直线，设此平面为a,则 E，F，B, C a，所以 BF, CE? CE D BF,所以A, D a，即有A, B, C, D a ,与ABCD空间四边形矛盾，所以BE与CF是异面直线，故选B.2 若a, b为异面直线，直线 c / a,则c与b的位置关系是()A.相交B.异面C.平行D.异面或相交解析：选D由空间直线的位置关系，知c与b可能异面或相交.|題型二平行公理与等角定理的应用典例 如图，在正方体 ABCDABGD中，M M分别是棱 AD和AD 求证：四边形 BBMM为平行四边形；求证：/ BMC=Z B1MC1.证明(1)在

27、正方形 ADD1中，M M分别为AD AD的中点， AM四边形AMPA是平行四边形， AiA 綊 MM又T AiA綊 BiB,. MM綊 BiB,四边形BBMM为平行四边形.(2)由(1)知四边形BBMM为平行四边形， BM/ BM的中点.綊AM同理可得四边形 CCM M为平行四边形,CM / CM由平面几何知识可知，/ BMC和/ BMC都是锐角. / BMG/ BMC.(1) 空间两条直线平行的证明：定义法：即证明两条直线在同一个平面内没有公共点；利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.(2) “等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等，还是互补

28、，这 是两种情况都有可能.活学活用如图，已知在棱长为a的正方体ABCDABiCD中,M N分别是棱CD AD的中点.求证：（1）四边形MNAC是梯形； / DNMZ DAG.证明：如图，连接AG在厶AGD中, M N分别是GD AD的中点，皿卜1是厶ACD的中位线，1 MIN/ AG MN= qAC由正方体的性质得：AC/ A1G1, AG= A1G1.1 MN/ AG,且 MN=AG,2即M岸AG,.四边形MNAG是梯形.（2）由（1 ）可知 M/ AQ.又ND/ AD,./ DNMZ DAG 相等或互补.而/ DNM与/ DAQ均为锐角，/ DNIZ DAQ.异面直线所成角典例 在正方体A

29、BCDA1B1GD中，E, F分别是A1B, B1G的中点,求异面直线DB与EF所成角的大小.取DD的中点G连接OG AG GG解法一：如图1所示，连接 AC, BD,并设它们相交于点 0,则 OG/ BD EF/ AG ,Z G0A为异面直线DB与EF所成的角（或其补角）.T GA= GG,0为AG的中点, GOL A G.异面直线DB与EF所成的角为90°.图1法二：如图取AD的中点I，连接HI, IF ,则 HI 丄IF , HF = HI2+ IF2 = 5, hF= eF+ hE,./ HEF= 90°.异面直线DB与EF所成的角为90°图2法三：如图3

30、，连接AiG,分别取 AA, CC的中点M N,连接MN / E, F分别是A1B1, BCi的中点， EF/ AC,又 MN/ AC , MN/ EF连接 DM BN, MB, DN 贝U BN綊 DM四边形DM取为平行四边形， MN与 DB必相交，设交点为 P,则/ DPM为异面直线DB与EF所成的角(或其补角).设 AA = k(k>0),贝U MP=DM= DP+ MP，/ DPM= 90°.异面直线DB与EF所成的角为90°图3图1法四：如图4 ,在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连接 BQ易得BQ/ EF,/ DBQ就是异面直线 DB与EF所成的角(或

31、其补角)设 AA = k(k>0),则 BD= . 3k , DQ= 5k , BQ= 2k, B1D + BiQ= dQDBQ= 90°.异面直线DB与EF所成的角为90°求两异面直线所成的角的三个步骤(1) 作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；(2) 证：证明作出的角就是要求的角； 计算：求角的值，常利用解三角形得出.cw()DC面a别J 是活学活用如图所示，点 A是厶BCD所在平面外一点， AD= BC E, F分又 AD= BC, EG= FG= £aD EG与GF所成的锐角（或直角）即为AD与BC所成的角.在厶 EFG中， EG=

32、FG=，AD 又 EF= EG+ FG= eF,即卩 EGL FG/ EGF= 90° .故 AD与 BC所成角为 90°课后层级训练步步提升能力层级一学业水平达标1 .若空间三条直线 a, b, c满足a丄b, b/ c,则直线a与c（）解析：选D 因为a丄b, b/ c,则a丄c,故选D.A. 一定平行B. 定相交C. 一定是异面直线D. 定垂直2 .一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条A.相交B.异面A.相交B.异面C.平行D.垂直，求异面直线AD和BC所成的角.AB CD的中点，当EFAD时解：如图所示，设 G为AC的中点，连接 EG FG E,

33、F, G分别为AB CD AC的中点. EG/ BC 且 EG= 2bCFG/ AD 且 FG= 2aD解析：选 C 如图所示的长方体 ABCDABCD中，直线 AA与直线 BC线，与BC平行的直线有 AD , AD BC显然直线 AA与AD相交，与BC异3.在正方体 ABCEABCD中，E , F分别是平面 AADD 平面CCDD的形的中位线定理，知 EF/ AC GH/ AC所以EF/ GH,故选C.4 .已知直线a , b , c ,下列三个命题:C.相交或异面D.平行分别是线段 AB BC的中点，贝U直线EF与直线GH勺位置关系是（）解析：选C如图，连接AD,CD , AC贝U E ,

34、 F分别为AD ,CD的中点.由三角是异面直中心，G H可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角范围是0°<90 若a与b异面，b与c异面，则a与c异面; 若a/ b, a和c相交，则b和c也相交； 若a丄b, a丄c,贝U b/ c.其中，正确命题的个数是 （B. 1D. 3A. 0C. 2解析：选A不正确如图；不正确,平行，可能相交也可能异面.5 .异面直线 a, b,有a? a , b? 3正确.可能关系是有可能相交也有可能异面；不且a n 3 = c,则直线c与a,A. c与a, b都相交B. c与a, b都不相交C. c至多与a, b中的一条相交D. c至

35、少与a, b中的一条相交解析：选D 若c与a, b都不相交， c与a在a内， a/ c.又 c 与 b 都在 3 内，二 b / c.由公理4,可知a / b,与已知条件矛盾.如图，只有以下三种情况.6.如图，正方体 ABCDA1B1GD中，AC与 BC所成角的大小是解析：连接AD,则AD/ BC. / CAD（或其补角）就是AC与 BC所成的CD,在正方体 ABCDABCD 中，AC= AD= CD,/ CAE= 60°,即AC与BC所成的角为60°.答案：60°角，连接7.如图，点P, Q R,S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面

36、直线的一个图是（填序号解析：中PQ/ RS中AiM与DN所成的角的c,cndJsl答案：8.如图，在正方体 ABCDAiBiCiD中，M N分别是棱 CD CC的中点，则异面直线D、大小是解析：如图，过点 M作ME DN交CC于点E,连接AE,则/ AME为异面直线 AM与DN所成的角（或其补角）.设正方体的棱长为a，则 2a，m半 a& 乎a，所以AM+ ME= A1E2,所以/ AME= 90°,即异面直线 AM与DN所成的角为90°答案：909.如图所示，E F分别是长方体 ABCD-ABCD勺棱AA C C的中点.求证：四边形B EDF是平行四边形.证明：设

37、Q是DD的中点，连接EQ QC E是AA的中点， EQ綊 A D.又在矩形A B CD中，A D綊B C, EQ綊B C（平行公理）.四边形EQCB为平行四边形. B E綊Ci Q又 Q, F是DD, CC两边的中点， QD綊C F.四边形QDFC为平行四边形. Ci Q綊 DF B E 綊 DF四边形B EDF为平行四边形.1 0.如图所示，空间四边形 ABCDh AB= CD ABL CD E, F分别 点，求EF和AB所成的角.解：如图所示,取 BD的中点G连接EG FG/ E , F分别为BC, AD的中点，AB= CDEG/ CD GF/ AB 且 EG= gcD GF= gAB /

38、 GFE就是EF与AB所成的角,/ ABL CD EGL GF/ EGF= 90°. EFG为等腰直角三角形.EG= GFAC/ GFE= 45°,即EF与AB所成的角为45层级二应试能力达标1 在正方体ABCDA B CD中，E, F分别是线段BC, C D的中点，则直线AB与直线EF的位置关系是（）A.相交B.异面C.平行D.垂直解析：选A 如图所示，连接 BD, CD, CD与CD交于点F,由题意可得A BCD是平行四边形，在平行四边形 A BCD中，E, F分别是线段BC CD的中EF/ BD,所以直线 AiB与直线EF相交，故选 A.2 .在三棱锥A-BCD中,

39、ACL BD, E, F , G H 分别是 AB, BC CD DA的四边形点，所以中点，则四边形EFGH1 （A.菱形B.矩形C.梯形D.正方形解析：选B如图，在厶ABD中，点H ,1同理GF綊尹D所以HE綊GF所以四边形E分别为边AD, AB的中点，所以EFGH平行四边形.又 ACL BD所以HGLA. 60°解析：选C 设BB= 1,如图，延长 CC至G ,使CC2= CC= 1,连接BiC2 ,/ BC ,所以/ ABC2为AB与BC所成的角(或其补角).连接AC,因为AB = , 3 , .；3 , AC=叮6,所以 aC= aB+ BiC,则/ ABC2= 90

40、6;.在正方体 ABCDA Bi Ci D中，点P在线段AD上运动，则异面直线CP与B C2BA所成HE所以四边形 EFGH1矩形，故选B.3.在正三棱柱 ABCAB C中，若AB= 2BB ,则AB与BC所成的角的大小是B. 75°C. 90°D. 1 05°的取值范围是（）A.0°< 0 <60°B. 0°< 0 <60°C.0°< 0 < 60°D. 0°< 0 < 60°解析：选D如图，连接 CD, AC因为CD / BA ,所以

41、CP与BA所与CD所成的角，即 0 =/ D CP当点P从D向A运动时，/ D CP从 0°但当点P与D重合时，CP/ BA ,与CP与 BA为异面直线矛盾，所以异面所成的角0的取值范围是0°< 0 < 60°.成的角就是CP增大到60° ,7直线CP与BA5.如图所示，正方体 ABCAB C D中, 为.解析：连接BC , AD, AB ,则EFBCC的中位线， EF/ BC.又T AB綊CD綊C D ,四边形ABCD为平行四边形.E, F分别是棱BC CC的中点，则异面直线 EF与B D所成的角DiC.NClaHA D =a4B,5a3

42、.SF, CF BC / AD. EF/ AD./ ADB为异面直线EF和B D所成的角或其补角.在厶ABD中，易知 AB= B D = AD,ABD 为正二角形，/ ADBi = 60° EF与Bi D所成的角为60°答案：606.如图，空间四边形 ABCD勺对角线 AC= 8, BD= 6, M N分别为ABCD的中点，并且异面直线AC与 BD所成的角为90°,则MN等于.解析：取 AD的中点 P,连接PM PN贝U BD/ PM AC/ PNMPN '," 即异面直线AC与 BD所成的角，/ MP= 90° , PN= ：AC=

43、4 , PM= ?BD= 3, MN='5.22 氐答案：5、27 在三棱柱 ABCA B C中，AA与AC AB所成的角均为 60°, / BA(= 90° ,AC= AA,求异面直线 A B与AC所成角的余弦值.且AB=又/ BAC= 90°, 在矩形 ABCD中 , AD= 2a , Ai D2+ Ai 宵=BD，/ BAD = 90° ,在厶 SAB中 , SA= SB= a , AF= FB= |a ,解：如图所示,把三棱柱补为四棱柱ABDCAi B D C ,连接BD , AD , AD在 Rt BAD 中，cos/ Ai BD=器8

44、.正三棱锥SABC的侧棱长与底面边长都为a , E, F分别是SC AB的中点，求直线EF和SA所成的角.由四棱柱的性质知 BD/ AC,则/ A BD就是异面直线Ai B与AC所成的角.设 AB= a , AA与AC AB所成的角均为 60°,且 AB= AC= AA ,3a- Ai B= a , BD= AC= 2AA cos 30在厶SAB中 , F, G分别是AB SB的中点, FG/ SA 且 FG= *SA解：如图，取 SB的中点 G 连接EG GF于是异面直线SA与 EF所成的角就是直线EF与 FG所成的角. SF丄 AB 且 SF=同理可得CFL AB且CF=在厶SF

45、C中, FE丄SC且1 a在厶SAB中, FG是中位线， FG= 2SA=勺1 a在厶SBC中, GE是中位线， GE= 2BC= q2在厶 EGF中, FG+ GE= I = FE EGF是以/ FGE为直角的等腰直角三角形，/ EFG= 45° . 异面直线 SA与EF所成的角为45°.2. 1.3&2.1.4空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系课前自主学儿基稳才能楼高预习课本P4850,思考并完成以下问题1 直线与平面的位置关系有哪几种？2 .平面与平面的位置关系有哪几种?3 .直线与平面的几种位置关系分别是怎样定义与表示的?4 .平面与平

46、面的几种位置关系分别是怎样定义与表示的?新知初探1.直线与平面的位置关系宀护¥方 位置大糸直线a在平面a内直线a在平面a外直线a与平面a相交直线a与平面a平仃公共点无数个公共点一个公共点没有公共点2 两个平面的位置关系宀护¥ W 位置大糸两平面平行两平面相交公共点没有公共点有无数个公共点（在一条直线上）付号表示a / 3a n 3= I图形表示<Cz x>z点睛（1）判断面面位置关系时，要利用好长方体（或正方体）这一模型.画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.小试身手判断下列命题是否正确.（正确的打“V”，错误的打“ X”）若两条

47、直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行2.如图所示，用符号语言可表示为（aa答案：(1) X (2) X (3) V (4) XC. I /3, I ? a解析：选D显然图中a /3，且I ?答案：平行3 .平面a /平面3，直线a? a,则a与3的位置关系是13直线与平面的位置关系课堂讲练哎计举-能通类题典例下列命题中，正确命题的个数是（） 如果a, b是两条平行直线，那么 a平行于经过b的任何一个平面； 如果直线a和

48、平面a满足a / a ,那么a与平面a内的任何一条直线平行; 如果直线a, b满足a /a, b /a，则a / b; 如果直线a, b和平面a满足a / b, a/a, b? a,那么b/ a；如果平面 a的同侧有两点 A B到平面a的距离相等，则 AB/ a .A. 0B. 1C. 2/crC D 中，AA / BB , AA/4A|i1/平面 BCC B' , BC?平面1/ 平面 BCC B ' , A' D /平假设b与a相交，因为aJD. 3在过BB的平BCC B ，但 面 BCC B',/ b,所以a与C.a相交，这与a/ a矛盾，故b/a，即正确

49、；显然正确，故答案为解析如图，在正方体 ABCDA' B' 面ABB A'内，故命题不正确； AA AA不平行于 BC故命题不正确； AA 但AA与A D'相交，所以不正确；中答案C在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏另外，我们可以借助空 间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆 断.活学活用 若直线l平行于平面a内的无数条直线，则I /a ； 若直线a在平面a夕卜，则a/a； 若直线a/ b, b? a,贝U a/a ； 若直线a/ b, b? a,那么直线a平行于平面a内的无数

50、条直线.其中正确的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4解析：选A 对于，：直线I虽与平面a内无数条直线平行，但 I有可能在平面a内， I不一定 平行于a，错误；对于，直线a在平面a外包括两种情况：a/a和a与a相交， a和a不一定平行，错误；对于，直线a/ b, b? a,只能说明a和b没有公共点，a可能在平面a内， a不一定平行于a，错误；对于， a/ b, b? a,那么a? a或a/a, a与平面a内的无数条直线平行， 正确平面与平面的位置关系典例a , 3是两个不重合的平面，下面说法中正确的是（）A. 平面a内有两条直线a, b都与平面3平行，那么a/3B. 平面a内有无数条直线

51、平行于平面3，那么a / 3C. 若直线a与平面a和平面3都平行，那么 a / 3D. 平面a内所有的直线都与平面 3平行，那么a/3解析A、B都不能保证a , 3无公共点，如图（1）所示；C中当a/ a , a/ 3时，a与3可能相交，如图（2）所示；只有D说明a答案D两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：如果两个平面有一 个公共点，那么由公理 3可知，这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么 就说这两个平面互相平行这样我们可以得出两个平面的位置关系：平行一一没有公共点；相交一一 有且只有一条公共直线.若平面a与B平行，记作a /B；若平面a与B相交，且交线为I ,记作a A3 =I .活学活用1 在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有组互相平行的面与其中一个侧面相交的面共有个.解析：六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组